专题07函数基础.一次函数及其应用期末复习讲义(22大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题07函数基础.一次函数及其应用期末复习讲义 (不含一次函数图象与性质) 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解函数定义、自变量与因变量，掌握函数三种表示方法：解析式法、列表法、图象法。 2.会求函数自变量的取值范围，能根据已知条件求函数值。 3.掌握一次函数、正比例函数的定义、解析式及图象性质，理解系数的几何意义。 4.熟练掌握一次函数图象画法、增减性，会求直线与坐标轴交点坐标。 5.明晰一次函数与方程、不等式的联系，熟记实际问题中函数模型的基本形式。 1.能根据题意列出函数解析式，实现三种表示方法之间的相互转化。 2.结合图象分析函数变化规律，提升读图、识图与数形结合能力。 3.会用待定系数法求一次函数解析式，具备基本运算与推理能力。 4.能建立一次函数模型，分析、解决生活与几何中的实际问题。 1.基础题：准确判断函数、求自变量范围与函数值，做到答题零失误。 2.中档题：熟练求解一次函数解析式、分析图象性质、结合函数解简单方程与不等式。 3.拔高题：掌握一次函数实际应用题解题步骤，突破方案选择、最值、行程类综合题型。 4.规避易错点：区分正比例函数与一次函数、注意实际问题中自变量取值限制，减少失分。 题型01.函数的概念 题型02.函数解析式 题型03.用表格表示变量间的关系 题型04.用关系式表示变量间的关系 题型05.用图象法表示变量间的关系 题型06.求自变量的取值范围 题型07.求自变量的值或函数值 题型08.函数图象识别 题型09.从函数图象获取信息 题型10.用描点法画函数图象 题型11.函数的三种表示方法 题型12.正比例函数的定义 题型13.识别一次函数 题型14.由一次函数的定义求参数 题型15.求一次函数的自变量或函数值 题型16.列一次函数解析式并求值 题型17.分配方案问题 题型18.最大利润问题 题型19.行程问题 题型20.梯度计价问题 题型21.其他实际应用问题 题型22.一次函数与几何综合 知识点01:函数的概念 1.定义：在某个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，对于 x 在允许取值范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 y 是 x 的函数。 2.核心判定要点： 有两个相关联的变量； 自变量每取一个确定值，函数值只能有唯一一个。 知识点02:函数的三种表示方法 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 关键：三种方法可相互转化，根据题目需求灵活选用。 知识点03:自变量的取值范围（必考） 整式型（如y=2x+1）：全体实数 分式型（如y=）：分母≠0 二次根式型（如y=，）：被开方数≥0 组合型（如y=）：取各条件的公共解（交集） 实际问题：符合实际意义（如时间、数量≥0） 知识点04:正比例函数的概念 一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成y=kx（k是常数，且k0）的形式，这个函数叫做正比例函数。 关键特征：自变量x的次数为 1，不含常数项，不含分式、二次根式等复杂形式；比例系数k不能为 0。 取值范围：若无特殊说明，自变量x取值为全体实数 知识点05:正比例函数的图像 正比例函数y=kx(k0)的图像是经过坐标原点(0,0)的一条直线。 图像绘制方法：两点作图法，选取原点(0,0)和点(1,k)，连接两点并延伸，即可画出函数直线。 左图一次函数 右图正比例函数 一句话区分：正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数 知识点06:正比例函数的图像性质 当k＞0时：函数图像经过第一、第三象限；y的值随x的增大而增大。 当k＜0时：函数图像经过第二、第四象限；y的值随x的增大而减小。 知识点07:正比例函数解析式求解 方法：待定系数法，为本节核心考点。 解题步骤： 1 设出正比例函数解析式y=kx(k0)； ② 将已知图像上点的坐标代入解析式； ③ 解方程求出比例系数k的值； ④ 带回式子，写出完整函数解析式。 知识点08:函数图象的画法（三步） 知识点09:实际应用（核心建模） 1. 常见类型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，分段函数处理变速 / 不同路段 工程问题：工作量 = 效率 × 时间，结合完成进度建模 利润问题：利润 =（售价−成本）× 销量，分析单价与销量的函数关系 方案选择：对比不同函数解析式，通过交点或取值范围选择最优方案 2. 解题步骤 (1)审题：明确变量（自变量 x、因变量 y），找出等量关系，确定实际意义。 (2)建模：设函数解析式为 y=kx+b(k0)，用待定系数法求 k、b（代入已知点坐标，解方程组）。 (3)求解：代入自变量求函数值，或已知函数值求自变量；注意自变量取值范围。 (4)检验：结果是否符合实际意义（如时间、路程非负）。 题型01.函数的概念 1．下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、给定一个的值，有唯一一个值和它对应，是的函数，该选项符合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意． 2．下表是根据某地区入学儿童人数编制的： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 … 入学儿童人数/人 2930 2720 2520 2330 2140 … 上表反映了__________个变量之间的关系，其中，自变量是__________，因变量是__________． 【答案】 两 年份 入学儿童人数 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．首先根据表格，可得上表反映了两个变量（入学儿童人数和年份）之间的关系；然后根据自变量、因变量的含义，判断出自变量、因变量各是哪个即可． 【详解】解：∵入学儿童人数随着年份的变化而变化， ∴上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是年份；因变量是入学儿童人数． 故答案为：两，年份，入学儿童人数． 3．如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】由函数的概念求解即可． 【详解】①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意； 所以正确的序号有①④， 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念． 题型02.函数解析式 4．像这样的函数称为常值函数，函数的图象经过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数解析式，在函数的图象上的点的纵坐标为2，据此可得答案． 【详解】解：∵在函数的图象上的点的纵坐标为2， ∴四个点中，只有点在函数的图象上， 故选：D． 5．已知一支长16cm的蜡烛点燃后每小时燃烧掉3cm，用单位：表示燃烧后蜡烛的长度，用单位：表示燃烧的时间，则y与之间的关系式是______． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据燃烧后蜡烛的长度=燃烧前蜡烛的长度-每小时燃烧掉的长度燃烧的时间写出y与t之间的关系式是解题的关键． 根据燃烧后蜡烛的长度=燃烧前蜡烛的长度-每小时燃烧掉的长度燃烧的时间计算即可． 【详解】解：由题意可知，y与t之间的关系式为 故答案为： 6．等腰三角形的周长是60cm，腰长（cm）与底边长（cm）的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周长等量关系，即可写出函数解析式，利用两腰长之和底边长，底边长可得的取值范围． 【详解】解：依题意有. 依题意有. 解得：． 故选：A． 【点睛】考查了等腰三角形的性质，函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围． 题型03.用表格表示变量间的关 7．为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数的变化关系如表所示： 1 2 3 4 5 … /棵 4 8 … 观察表中数据可知，该班有8人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为_____棵． 【答案】 【分析】本题考查函数的表示方法，写出正确的函数表达式是解题的关键．由表格数据可知，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数满足正比例关系，写出函数关系式，再代入即可． 【详解】解： 由表可知， 当时，， 故答案为． 8．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（   ） 金额 数量/升 单价/元/升 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念，根据常量是固定不变的量，变量是变化的量，即可判断求解． 【详解】解：∵常量是一个变化过程中固定不变的量，变量是一个变化过程中可以发生变化的量， 在加油过程中，单价是固定不变的，金额随着加油数量的变化而变化，数量也会根据加油量改变， ∴只有单价是常量． 9．变量x，y的一些对应值如表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … -8 -1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是______． 【答案】－125 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，y＝x3， 当x＝﹣5时，y＝（﹣5）3＝﹣125， 故答案为：﹣125． 【点睛】本题考查了用表格表示变量间的关系，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解题的关键． 题型04.用关系式表示变量间的关系 10．一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，平均每千米耗油0.1升，那么油箱中剩余的油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数关系式中，常量和变量分别是（    ） A．常量：60、0.1；变量：、 B．常量：60、；变量：0.1、 C．常量：0.1、；变量：60、 D．常量：60、；变量：0.1、 【答案】A 【分析】先根据题意得到函数关系式，再根据定义区分常量和变量． 【详解】解：∵剩余油量=原有油量-总耗油量，总耗油量=平均每千米耗油量×行驶路程 ∴根据题意得 根据定义：数值始终不变的量是常量，数值发生变化的量是变量 ∴本题中60和0.1是数值不变的量，和是数值变化的量，因此常量为60、0.1，变量为、，对应选项A． 11．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设长为米，长为米，则与之间的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，结合篱笆总长度为36米列出等式，整理即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：四边形是矩形， ， 用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米， ，即， ， ． 12．某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3千米以内收费8元，超过3千米，每增加1千米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 题型05.用图象法表示变量间的关系 13．小华在离家不远的图书馆看书．下面哪一幅图能较好地刻画看书这段时间内她离家的距离与时间之间的关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象的实际应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解答本题的关键．小华在离家不远的图书馆看书，离家的距离随时间的变化不变，据此解答即可． 【详解】解：小华在离家不远的图书馆看书，离家的距离随时间的变化不变，即C选项符合题意． 故选C． 14．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行的路程为（千米），与之间的图象如图所示． （1）图中自变量是_____，因变量是_____；（用字母表示） （2）甲、乙两地相距_____千米，轮船在乙地停留了_____小时． 【答案】 60 6 【分析】本题考查用图象表示变量间的关系，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． （1）根据自变量和因变量的定义进行判断即可； （2）从图象直接观察即可得出答案． 【详解】解：（1）由图象可知：自变量是t，因变量是s； 故答案为：t；s； （2）由图象可知：甲乙两地相距60千米， 轮船在乙地停留了（小时）； 故答案为：60；6． 15．某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能结合函数的图象进行分析是关键． 依据题意，根据函数的图象逐个进行分析判断可以得解． 【详解】解：由题意，结合图象可得， A．他家与学校的距离为1000米，从家出发到学校，王老师共用了25分钟，故选项说法错误，符合题意； B．王老师从家出发10分钟后开始用早餐，到20分钟结束，花了：（分钟），故选项说法正确，不符合题意； C．用完早餐以后的速度是：（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， D． 王老师用早餐前步行的速度是：（米/分），用完早餐以后的速度是100（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， 故选：A． 题型06.求自变量的取值范围 16．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该函数由分式组成，故分母不等于0，就可以求出的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 17．函数中，自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得：且， ∴函数中自变量的取值范围是且． 18．下列函数中，自变量的取值范围是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式以及分母不为0求解即可． 【详解】A.由可得或，解得或，不符合题意； B.由可得或，解得或，不符合题意； C.由可得，解得，不符合题意； D.由可得，解得，符合题意； 故选：D． 题型07.求自变量的值或函数值 19．某商店进了一批玩具，其销售数量x（个）与销售额y（元）之间的关系式为，则当销售数量为4个时，销售额为（    ） A．24元 B．32元 C．40元 D．48元 【答案】B 【分析】把代入即可求解． 【详解】解：当时，（元） ∴当销售数量为4个时，销售额为32元． 20．已知函数，那么__________ 【答案】3 【分析】本题考查求函数值，二次根式的运算，把代入函数表达式，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：3 21．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据流程图计算出输入的x值是和2时，对应的y值，列方程即可求解． 【详解】解：由题意知，输入的x值是时，， 输入的x值是2时，， ， ． 题型08.函数图象识别 22．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故A符合题意； B，C，D对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B，C，D不符合题意． 23．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是________．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数．    【答案】①②③ 【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键． 24．如图是某企业年月份总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象，则下列图像中能大致反映每个月产量增长速度的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象分析出每个月产量增长速度变化情况，确定符合的图象即可． 【详解】解：观察函数图象可知，总产量在月，每个月产量增长速度由快变缓，在月，每个月产量保持不变，不再增加，能大致反映每个月产量增长速度的是C选项的图象． 题型09.从函数图象获取信息. 25．如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__________米． 【答案】80 【详解】解：根据函数图象可知：小明家离儿童公园有800米，回家的时间为（分钟）， ∴小明回家的速度是（米/分钟）． 26．4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．物资车往返总路程为 B．物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度 C．物资车中途卸货停留0.5小时 D．物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度逐渐变小 【答案】D 【分析】根据题意结合图象逐项分析即可. 【详解】解：物资车往返总路程为，故A不符合题意； 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度为， 出发后第1个小时内的速度为， 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度，故B不符合题意； 物资车中途卸货停留0.5小时，故C不符合题意； 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故D符合题意． 27．某周日上午，小明和家人一起驾车从家出发去美术馆，在馆内参观后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图所示的是他们离开家的距离与离开家的时间的关系图，根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，变量是______，点A的实际意义为______； (2)从美术馆到姑妈家的速度为______； (3)当小明和家人离开家多久时，他们离家的距离为． 【答案】(1)离开家的时间；小明和家人驾车小时后到达离家处的美术馆； (2) (3)或 【分析】（1）根据因变量的定义，以及函数图象即可得到答案； （2）根据图象，用从美术馆到姑妈家的路程除以时间，即可求解， （3）由图象可知，在段和段，存在离家的距离为的时刻，结合函数图象根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 【详解】（1）解：上述过程中，自变量是离开家的时间，点A的实际意义为小明和家人驾车小时后到达离家处的美术馆； （2）解：从美术馆到姑妈家的速度为； （3）解：由图象可知，在段和段，存在离家的距离为的时刻， 当在段时，根据题意得， 解得， 当在段时，根据题意得， 解得； 综上所述，当小明和家人离开家或时，他们离家的距离为． 题型10.用描点法画函数图象 28．变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可． 【详解】解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为， 把x＝﹣5代入得，． 故选择：B． 【点睛】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题关键． 29．小明同学利用学习函数的方法，在同一平面直角坐标系研究函数与的图象性质，他用描点法画函数图象，列出如下表格： x … 0 1 2 3 … … 0 1 2 3 … … 不存在 1 … 现有如下结论： （1）点在函数图象上； （2）方程有两个不相等的实数解，分别是或； （3）当时，函数有y随x的增大而增大的性质； （4）若，则， （5）函数的图象不能与y轴相交． 其中正确结论的序号为________． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了函数的图象，结合函数图象逐项分析判断即可． 【详解】解：（1），故点在函数图象上，原说法正确； （2）函数与函数的图象有两个交点，和，故原说法正确， （3）函数的图象分布在第一三象限，在每个象限内，有y随x的增大而减小的性质，原说法错误； （4）若，则或，原说法错误； （5）当时函数的图象不存在，所以函数的图象不能与y轴相交，原说法正确； 正确的序号为：①②⑤． 故答案为：①②⑤． 30．如图，在中，，，点沿运动，每秒运动，连接．已知，设点运动时间为秒，、点间的距离为．    小军根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小军的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了与的几组对应值，如下表： 1 2 3 4 5 6 2 0 (2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：    (3)进一步探究结合图象发现，当的准确值为且点在边上时，写出对应的值：__________． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)或 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，一次函数的图象等知识． （1）过点C作于点D，先求出、、、、的长度，根据，可确定点P位置，问题可解，当时，同理解答； （2）根据（1）的数据，先描点，画出函数图象即可； （3）分两类讨论：当点P在点D的右侧，当点P在点D的左侧，结合（1）的方法可解． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 当时，点P走过的距离为， ∵， ∴点P在上，此时， 当时，点P走过的距离为， ∵，，， ∴点P在上，且在点D的右侧， 如图， ∴， ∴在中，， ∴此时， 即：当时，；当时，； （2）建立直角坐标系，描点，画出函数图象如下： （3）当点P在点D的右侧，如图， ∵，， ∴在中，， ∴， 即； 同理，当点P在点D的左侧，可得：， 即； 综上：的值为或． 题型11.函数的三种表示方法 31．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 32．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下从表中可知音速y随温度x的升高而__________．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米． 气温（） 0 5 10 15 20 音速y（米/秒） 331 334 337 340 343 【答案】 加快 68.6 【详解】解：观察表中的数据可知，音速随温度的升高而加快； 当气温为时，音速为343米/秒，而该人是看到发令枪的烟秒后，听到了枪声． 则由此可知，这个人距发令地点（米）． 33．在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得的弹簧长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：    (1)上表反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据以上图象补全表格： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 .(3)由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？ (4)在弹簧承受范围内，请直接用含有x的代数式表示y． 【答案】(1)图中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)16，18 (3)5千克 (4) 【分析】 （1）根据变量常量的定义结合题意进行判断即可； （2）根据图象填写表格即可； （3）根据图象得出结论； （4）根据图象可知所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长2厘米，据此解答即可． 【详解】（1） 图中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2） 由图象得： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 16 18 故答案为：16，18； （3） 由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是5千克． （4） ∵所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长2厘米， ∴． 【点睛】 本题考查函数的表示方法，理解表格中弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系是正确判断的关键． 题型12.正比例函数的定义 34．下列函数中，为正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据正比例函数的定义判断选项，正比例函数定义为：形如 （ 是不为 的常数）的函数为正比例函数． 【详解】解：A选项含有常数项，属于一次函数，不符合正比例函数定义； B选项中的次数为，属于二次函数，不符合定义； C选项，满足，其中，符合正比例函数定义； D选项属于反比例函数，不符合定义． 35．若函数是正比例函数，则的值是_____________ . 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：，为常数且，自变量的次数为1，即；． 【详解】解：由题意得：， ,而， , 故答案为： ． 36．下列各关系式中成正比例的个数有（ ） （1）圆的周长与半径     （2）正方形的面积与边长 （3）速度一定，路程与时间  （4）长方形的面积一定时，长和宽 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数，理解相应函数的意义和相应的关系式是正确判断的前提． 分别得出四个问题中的两个变量的函数关系式，进而确定是正比例函数的个数即可． 【详解】解：（1）圆的周长C与半径R之间的关系为：是正比例函数； （2）正方形的面积S与边长a的关系为：不是正比例函数； （3）速度一定，路程S与时间t之间的关系为：是正比例函数； （4）长方形的面积一定时，长和宽的关系为：不是正比例关系； ∴是正比例函数的有（1）（3），共2个， 故选：C． 题型13.识别一次函数 37．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一次函数的定义判断各选项即可，一次函数的定义为：形如（是常数，）的函数是一次函数． 【详解】解：选项A中，的次数为，不符合一次函数定义； ∵选项C中等号右边不是整式，不符合一次函数形式； ∵选项D中等号右边不是整式，不符合定义； ∵选项B中符合形式，其中，，满足一次函数定义， 38．下列函数中，属于一次函数的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①不属于一次函数； ②属于一次函数； ③不属于一次函数； ④属于一次函数； ⑤，当时，属于一次函数； 属于一次函数的有②④． 故答案为：②④ 39．下列函数中，是的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：，进行判断即可． 【详解】解：A．不是一次函数，不符合题意； B．不是一次函数，不符合题意； C．是一次函数，符合题意； D．不是一次函数，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 题型14.由一次函数的定义求参数 40．已知函数是关于x的一次函数，则_________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的定义，由定义可得，且，从而可得答案． 【详解】解：函数是关于x的一次函数， 则，且， 解得， 故答案为：． 41．已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入一次函数，根据可求出的取值范围，再根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：将点代入一次函数， ， ， ， ， . ， . 不等式两边同时除以得. 故选：A. 【点睛】本题考查了一次函数与不等式性质的综合，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质. 42．若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 【答案】； 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的函数值，先根据定义可得，求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由函数是关于x的一次函数得， ， ∴， ∴； ∴， 把代入， ． 题型15.求一次函数的自变量或函数值 43．下列各点在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各点横坐标对应的函数值，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故在函数图象上的是. 44．直线恒过定点___________． 【答案】 【分析】将直线解析式变形为，易知当时，，从而得到直线恒过定点． 【详解】解：∵， ∴， 当时，即时，， ∴直线恒过定点． 45．定义：若点中的，满足（为常数，且），则称点为“生长点”，下列各点是一次函数图象上的“生长点”的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，新定义．根据“生长点”的定义，点需满足方程组且，同时位于直线上，需逐一验证选项是否满足条件． 【详解】解：A、 当时，，故点在一次函数图象上，则，，不唯一，不符合题意； B、当时，，故点在一次函数图象上，则，，符合题意； C、当时，，故点在一次函数图象上，则，，不唯一，不符合题意； D、当时，，故点不在一次函数图象上，不符合题意； 故选：B． 46．已知：y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点在这个函数的图像上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值等知识．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入得，，可求，进而可得y与x之间的函数关系式； （2）将代入得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：将代入得，， 解得，． 题型16.列一次函数解析式并求值 47．为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过200度时，电价为元/度；超过200度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元），则y与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．根据题意列出函数关系式即可． 【详解】当时，, 当时，，即； 故答案为： 48．已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线经过得到，则，由可化为，得到，由得到，即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过， ∴， ∴， ∴可化为， 整理得，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是得到关于x的不等式． 49．在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 【答案】(1) (2)安排方案有4种，见解析 【分析】（1）先表示出装运生活用品的车辆数为，再结合表格中的数据解答即可； （2）先根据题意得出关于x的不等式组，求出解集后结合x为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为， 则有， 整理得，， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，，x， 由题意，得， 解这个不等式组，得， 因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8． 所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆． 【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数关系式和不等式组是解题的关键． 题型17.分配方案问题 50．某单位要制作一批宣传材料，洽谈了两家公司． 甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费； 乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费． (1)求甲公司收取费用y（元）与该单位要制作宣传材料x（份）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)选择哪家公司制作这批宣传材料，使此单位所付费用较少？ 【答案】(1)y＝20x＋3000 (2)当0＜x＜300时，选择乙公司付费较少；当x＝300时，选择甲公司或乙公司付费相同；当x＞300时，选择甲公司付费较少 【分析】（1）根据甲公司的收费方法列出函数关系式即可； （2）设当制作宣传材料x份时，乙公司收取费用为元，求出，然后分情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得，y＝20x＋3000                          ∴甲公司收取费用y（元）与制作宣传材料x（份）之间的函数关系式是y＝20x＋3000； （2）解：设当制作宣传材料x份时，乙公司收取费用为元， 由题意得，， 当时，即20x＋3000＞30x，解得x＜300． ∴当0＜x＜300时，选择乙公司付费较少． 当时，即20x＋3000＝30x，解得x＝300． ∴当x＝300时，选择甲公司或乙公司付费相同． 当时，即20x＋3000＜30x，解得x＞300． ∴当x＞300时，选择甲公司付费较少． 综上所述：当0＜x＜300时，选择乙公司付费较少； 当x＝300时，选择甲公司或乙公司付费相同； 当x＞300时，选择甲公司付费较少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息和两家公司的收费标准是解题的关键，难点在于（2）要分情况讨论． 51．某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【答案】(1)， (2)当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少 【分析】（1）根据题干所给的优惠方式，分别计算出、与x之间的函数关系式即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少． 52．随着生活水平的提高，人们越来越注重健康饮食、均衡膳食营养．某校食堂为丰富日常餐食，采购小米、黑米两种优质杂粮食材．已知小米每千克的价格是黑米每千克价格的1.2倍，用150元购买小米的质量比用100元购买黑米的质量多5千克． (1)求小米、黑米每千克分别是多少元； (2)该食堂计划采购两种杂粮共60千克，且购买小米的质量不少于黑米质量的一半，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)小米、黑米每千克分别是6元和5元 (2)当采购小米20千克，采购黑米40千克时，所需费用最少． 【分析】（1）设黑米每千克x元，则小米每千克元，以质量为等量构造方程求解即可； （2）采购小米a千克，则采购黑米千克，用a表示所需费用为w元，根据题意求出a的取值范围，利用一次函数性质求最小值即可． 【详解】（1）设黑米每千克x元，则小米每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原列方程的解， （元）． 小米、黑米每千克分别是6元和5元； （2）设采购小米a千克，则采购黑米千克，所需费用为w元， 则有， 即， ， w随a的增大而增大， 购买小米的质量不少于黑米质量的一半， ， 解得：， 当时，w取得最小值，最小值（元）． 此时，千克 当采购小米20千克，采购黑米40千克时，所需费用最少． 题型18.最大利润问题 53．漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元． (1)求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？ (2)据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元； (2)商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键． （1）设甘蔗汁每杯售价是x元，苹果汁每杯售价y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设当天售卖甘蔗汁m杯，则售卖苹果汁杯，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甘蔗汁每杯售价是x元，苹果汁每杯售价y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元； （2）解：设当天售卖甘蔗汁m杯，则售卖苹果汁杯， 根据题意得：， 解得：， 设商家售完这1000杯果汁可获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 答：商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元． 54．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知1件乙种农机具比1件甲种农机具多0.5万元，用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共30件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具m件，购买的总费用为W万元，求购买这批农机具最少要用多少万元？ 【答案】(1)购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2.5万元 (2)65万元 【分析】（1）设购买1件甲种农机具需要x万元，则购买1件乙种农机具需要万元，根据用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同，列出分式方程，求解并检验即可得出结论； （2）设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件，根据乙的件数不低于甲件数的一半，列出一元一次不等式求出m的取值范围，根据题意得，根据一次函数的性质及m的取值范围求最小值即可． 【详解】（1）解：设购买1件甲种农机具需要x万元，则购买1件乙种农机具需要万元， 由题意列分式方程得，， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意； 则， 答：购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2.5万元； （2）解：设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件， 由题意列一元一次不等式得，， 解得， ， W随着m的增大而减小， 当时，W有最小值，最小值； 答：购买这批农机具最少要用65万元． 55．日购兴超市常年售卖矿泉水和乳酸菌饮品，并根据季节销量调整进货数量．已知矿泉水进价2元/瓶，售价3元/瓶；乳酸菌饮品进价4元/瓶，售价6元/瓶． (1)超市第一次购进两种饮品共80瓶，全部进货总成本为230元，求超市本次购进矿泉水、乳酸菌饮品各多少瓶？ (2)结合季节销量，超市计划第二次购进两种饮品共90瓶，为控制成本，进货总费用不超过280元， ①求第二次最多可购进乳酸菌饮品多少瓶？ ②若两种饮品全部售完，超市能获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进矿泉水45瓶，购进乳酸菌饮品35瓶 (2)①最多购进乳酸菌饮品50瓶；②140元 【分析】（1）设超市第一次购进矿泉水瓶，则购进乳酸菌饮品瓶，根据“全部进货总成本为230元”，列出一元一次方程求解； （2）①设第二次购进乳酸菌饮品瓶，则购进矿泉水瓶，根据“进货总费用不超过280元”，列出一元一次不等式求解，取最大值即可； ②设超市获得的利润为元，根据利润每件的利润数量，得，结合①中m的取值范围，根据一次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：设超市第一次购进矿泉水瓶，则购进乳酸菌饮品瓶， 根据题意得， 解得， ∴， 答：超市本次购进矿泉水45瓶，购进乳酸菌饮品35瓶； （2）解：①设第二次购进乳酸菌饮品瓶，则购进矿泉水瓶， ∵进货总费用不超过280元， ∴， 解得， 答：第二次最多可购进乳酸菌饮品50瓶； ②设超市获得的利润为元， 根据题意得，， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为（元）， 答：超市能获得的最大利润是140元． 题型19.行程问题 56．某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题： (1)当时，求y关于x的函数关系式； (2)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键． （1）设当时，y与x的函数关系式为，运用待定系数法就可以求出结论； （2）将代入（1）的解析式就可以求出x的值． 【详解】（1）解：由图象知，y与x的图象为一次函数，并且经过点，， 所以设y与x的关系式为， 则有：， 解得，， ∴ （2）解：由题意，该乘客乘车里程超过了， 则， 解得． 答：这位乘客乘车的里程为． 57．甲、乙两辆汽车沿同一公路同时从地出发前往相距的地，行驶过程中所行路程分别用，（单位：）表示，它们与行驶时间（单位：）的函数关系如图所示． (1)分别求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)分别求行驶了及时，两车之间相距的路程． 【答案】(1)； (2)分别求行驶了及时，两车之间相距的路程为、 【分析】（1）设甲车函数表达式为，乙车函数表达式为，再根据题意求解即可； （2）分别求出当行驶了及的甲、乙两辆汽车的路程即可． 【详解】（1）解：由图可得，两车均从A地出发，路程与时间成正比例关系， 设甲车函数表达式为，乙车函数表达式为， 由图可知，甲车60分钟行驶， ∴将点代入， 解得， ∴甲车的函数表达式为， 由图可知，乙车100分钟行驶， ∴将点代入， 解得， ∴乙车的函数表达式为； （2）解：当行驶时， 此时， ∴两车均在行驶中， ∴甲车路程：；乙车路程：， ∴两车距离：； 当行驶时 此时，甲车已到达B地，路程保持不变， ∴甲车路程：；乙车路程：， ∴两车距离：． 58．小方同学骑车上学，当他骑了一段路时，想起要带当天的报纸回班级分享每日时事，于是又折回到刚经过的报刊亭，买到报纸后继续去学校．以下是他离家距离（米）与上学所用的时间（分钟）的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小方在报刊亭停留了______分钟； (2)本次上学途中，小方一共行驶了多少米？ (3)通过计算说明，在整个上学的途中哪个时间段小方骑车速度最快，最快的速度是多少米／分钟？ 【答案】(1)2 (2) (3)在分钟时，速度最快，速度是 【分析】本题考查一次函数的实际应用和一次函数与图形之间的关系．通过读题显然得知，小方同学在分钟时想起要带报纸开始折返，在分钟时到达报刊亭，在分钟时继续往学校走，在分钟时到达学校． 【详解】（1）解：小方在报刊亭停留时间是：． （2）解：小方行驶的路程是：． （3）解：小方在分钟时，速度是：； 在分钟时，速度是：； 在分钟时，速度是：； , 在分钟时，速度最快，速度是． 题型20.梯度计价问题 59．某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨2.2元：超过10吨时，水价为每吨3元，现有某户居民7月份用水x吨，应交水费y元 (1)应交水费y与用水量x的关系式； (2)若小强家里本月缴水费67元，请问小强家里用水多少吨？ 【答案】(1) (2)25吨 【分析】（1）应交水费吨的水费超过10吨的水费，依此列式即可． （2）将代入关系式，即可得出答案． 【详解】（1）根据题意得，， 答：应交水费y与用水量x的关系式为：． （2）当时，， 解得，， 答：小明家里用水25吨． 【点睛】此题考查的是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 60．为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【答案】(1) (2)9元 (3)最多骑行5小时 【分析】（1）根据收费标准求解即可； （2）将代入求解； （3）将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：骑行3.5小时按4小时算， ∴将代入得，（元） ∴应付9元； （3）解：令，得 解得 答：最多骑行5小时． 61．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为_________元/吨． (2)求出居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的函数关系式． (3)若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【答案】(1)2.5 (2) (3)20吨 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式及一次函数的应用；根据自变量或函数值的取值使用相应的函数解析式是解决本题的关键． （1）根据图象列式求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别利用待定系数法求解即可； （3）根据题意将代入求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， ∴用水不超过10吨，水费为2.5元/吨； （2）解：当用水不超过10吨时，即时， 设该函数图象对应的一次函数的表达式为． 将点代入，得 解得 ∴； 当用水超过10吨时，即时， 设该函数图象对应的一次函数的表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴ 综上所述，； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨． 由（2），得． 将代入，得， 解得， 故该户居民8月共用水20吨． 题型21.其他实际应用问题 62．一辆汽车的油箱现有汽油，已知该车平均耗油量为，油箱中的存油量为y（单位：L），行驶里程为x（单位：），y随着x的变化而变化． (1)写出表示y与x的函数关系的式子； (2)求出自变量的取值范围； (3)汽车行驶时，油箱中还有多少L汽油？ 【答案】(1) (2) (3)油箱中还有汽油 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）先求出跑完所有油的路程，即可求解自变量的取值范围； （3）把代入（1）中的函数解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：当时，， 解得：， ∴自变量的取值范围为； （3）解：把代入得， ， ∴油箱中还有汽油． 63．为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． (1)请列方程求出跳绳和实心球的单价； (2)该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 【答案】(1)跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元 (2)最低费用为1600元 【分析】（1）先将跳绳的单价和实心球的单价设出来，再根据“数量总价单价”列出代数式，根据题目的等量关系列出等量关系式； （2）根据跳绳的数量与实心球的数量之间的关系列不等式求出跳绳数量的取值范围，再列出跳绳与实心球的总费用的一次函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，则实心球的单价为元， 根据题意得：，解得， 将代入验证，分母不为， ∴是原方程的解， ， 答：跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元． （2）解：设购买跳绳个，则购买实心球个，购买跳绳和实心球的费用为元， 则题意， 解得， ， ∵一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，最小， （元）， 答：最低费用为1600元． 64．为推进生态美、产业强，促进乡村全面振兴，河南西峡以香菇、猕猴桃、山茱萸为代表，形成了“菌果药”三大特色产业．某香菇种植大棚计划购买20个A，两种型号的货架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表． 型号 线下 线上 售价 运费 售价 运费（不超过20个） 九折 0 八折 110元 九折 八五折 若按原价购买，则购买10个A型货架和10个型货架共需3500元．已知每个A型货架的原价比每个型货架便宜50元 (1)求每个A，型号的货架的原价． (2)若该香菇种植大棚选择线上或线下任意一种方式购买，且购买型货架的数量不少于A型货架数量的2倍，请求出花费最少的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)每个A型货架的原价为150元，每个型货架的原价为200元 (2)线上购买6个型货架，14个型货架，理由见解析 【分析】（1）设每个A型货架的原价为元，则每个型货架的原价为元，然后根据“购买10个A型货架和10个型货架共需3500元”列一元一次方程即可解答； （2）设购买A型货架个，则购买型货架个；根据“购买型货架的数量不少于A型货架数量的2倍”列不等式求得x的取值范围；再根据求出线下购买所需费用为与设购买A型货架的关系式确定的最小值，同理求得线上购买所需费用为的最小值，然后再比较即可解答 【详解】（1）解：设每个A型货架的原价为元，则每个型货架的原价为元． 根据题意得:，解得． 则． 答：每个型货架的原价为150元，每个型货架的原价为200元． （2）解：设购买A型货架个，则购买型货架个． 由题意，得，解得．         设线下购买所需费用为元，则． ∵， ∴随的增大而减小， 又∵，且为整数． ∴当时，取最小值，最小值为．     设线上购买所需费用为元，则． 同理，当时，取最小值，最小值为． 此时． ∵． ∴花费最少的购买方案为线上购买6个型货架，14个型货架． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出“一元一次方程和不等式”是解答本题的关键． 题型22.一次函数与几何综合 65．已知是一次函数． (1)求这个一次函数的解析式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上； (3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)不在 (3) 【分析】（1）利用一次函数定义列出方程，解出方程得到，进而可求解； （2）将代入函数解析式求出此时的值，进而可判断； （3）先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，进而可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）解：当时，， ∴点不在这个一次函数的图象上； （3）解：当时，， 当时，，解得， ∴函数与x轴、y轴的交点分别为：和， ∴此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积为：． 66．如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于两点． (1)求b的值，并结合图象写出关于的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点，若线段的长为4，求出a的值． 【答案】(1)3， (2) (3)或 【分析】（1）将交点的横坐标代入直线的解析式中求解出b，观察发现，二元一次方程组变形后正好是两条直线的解析式，则方程组的解即为两直线交点P的坐标； （2）令两直线解析式中的，求出点的坐标，进而求出线段的长度，最后利用三角形的面积公式即可求解； （3）将分别代入和的解析式，由轴可知，由此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由条件可得：， ， ∴方程组的解为， ∴方程组的解为； （2）对于直线， 令，则， 解得：， ∴， 对于直线， 令，则， 解得：， ， ∴， ∴； （3）当时，，， ∵， ， 即， 解得：或． 67．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，且与直线相交于点． (1)求 k， b的值； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)直线与x轴相交于点 B，连接，求四边形的面积； (4)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据方程的解即为直线与直线的交点的横坐标求解即可； （3）根据四边形的面积求解即可； （4）画出函数图象，根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点，点代入， 则 解得； （2）解：方程的解即为直线与直线的交点的横坐标， 又∵交点 ∴方程的解为； （3）解：由（1）知直线， 设直线交轴于点，则， 解得， ∴， 对于直线，时，解得， ∴， ∴四边形的面积； （4）解：为，在同一坐标系中画出，的图象，如下图所示，    再作出直线 ∵时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值， 即直线在直线和直线之间，可以重合， ∴由图象可得，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07函数基础.一次函数及其应用期末复习讲义 (不含一次函数图象与性质) 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解函数定义、自变量与因变量，掌握函数三种表示方法：解析式法、列表法、图象法。 2.会求函数自变量的取值范围，能根据已知条件求函数值。 3.掌握一次函数、正比例函数的定义、解析式及图象性质，理解系数的几何意义。 4.熟练掌握一次函数图象画法、增减性，会求直线与坐标轴交点坐标。 5.明晰一次函数与方程、不等式的联系，熟记实际问题中函数模型的基本形式。 1.能根据题意列出函数解析式，实现三种表示方法之间的相互转化。 2.结合图象分析函数变化规律，提升读图、识图与数形结合能力。 3.会用待定系数法求一次函数解析式，具备基本运算与推理能力。 4.能建立一次函数模型，分析、解决生活与几何中的实际问题。 1.基础题：准确判断函数、求自变量范围与函数值，做到答题零失误。 2.中档题：熟练求解一次函数解析式、分析图象性质、结合函数解简单方程与不等式。 3.拔高题：掌握一次函数实际应用题解题步骤，突破方案选择、最值、行程类综合题型。 4.规避易错点：区分正比例函数与一次函数、注意实际问题中自变量取值限制，减少失分。 题型01.函数的概念 题型02.函数解析式 题型03.用表格表示变量间的关系 题型04.用关系式表示变量间的关系 题型05.用图象法表示变量间的关系 题型06.求自变量的取值范围 题型07.求自变量的值或函数值 题型08.函数图象识别 题型09.从函数图象获取信息 题型10.用描点法画函数图象 题型11.函数的三种表示方法 题型12.正比例函数的定义 题型13.识别一次函数 题型14.由一次函数的定义求参数 题型15.求一次函数的自变量或函数值 题型16.列一次函数解析式并求值 题型17.分配方案问题 题型18.最大利润问题 题型19.行程问题 题型20.梯度计价问题 题型21.其他实际应用问题 题型22.一次函数与几何综合 知识点01:函数的概念 1.定义：在某个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，对于 x 在允许取值范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 y 是 x 的函数。 2.核心判定要点： 有两个相关联的变量； 自变量每取一个确定值，函数值只能有唯一一个。 知识点02:函数的三种表示方法 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 关键：三种方法可相互转化，根据题目需求灵活选用。 知识点03:自变量的取值范围（必考） 整式型（如y=2x+1）：全体实数 分式型（如y=）：分母≠0 二次根式型（如y=，）：被开方数≥0 组合型（如y=）：取各条件的公共解（交集） 实际问题：符合实际意义（如时间、数量≥0） 知识点04:正比例函数的概念 一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成y=kx（k是常数，且k0）的形式，这个函数叫做正比例函数。 关键特征：自变量x的次数为 1，不含常数项，不含分式、二次根式等复杂形式；比例系数k不能为 0。 取值范围：若无特殊说明，自变量x取值为全体实数 知识点05:正比例函数的图像 正比例函数y=kx(k0)的图像是经过坐标原点(0,0)的一条直线。 图像绘制方法：两点作图法，选取原点(0,0)和点(1,k)，连接两点并延伸，即可画出函数直线。 左图一次函数 右图正比例函数 一句话区分：正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数 知识点06:正比例函数的图像性质 当k＞0时：函数图像经过第一、第三象限；y的值随x的增大而增大。 当k＜0时：函数图像经过第二、第四象限；y的值随x的增大而减小。 知识点07:正比例函数解析式求解 方法：待定系数法，为本节核心考点。 解题步骤： 1 设出正比例函数解析式y=kx(k0)； ② 将已知图像上点的坐标代入解析式； ③ 解方程求出比例系数k的值； ④ 带回式子，写出完整函数解析式。 知识点08:函数图象的画法（三步） 知识点09:实际应用（核心建模） 1. 常见类型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，分段函数处理变速 / 不同路段 工程问题：工作量 = 效率 × 时间，结合完成进度建模 利润问题：利润 =（售价−成本）× 销量，分析单价与销量的函数关系 方案选择：对比不同函数解析式，通过交点或取值范围选择最优方案 2. 解题步骤 (1)审题：明确变量（自变量 x、因变量 y），找出等量关系，确定实际意义。 (2)建模：设函数解析式为 y=kx+b(k0)，用待定系数法求 k、b（代入已知点坐标，解方程组）。 (3)求解：代入自变量求函数值，或已知函数值求自变量；注意自变量取值范围。 (4)检验：结果是否符合实际意义（如时间、路程非负）。 题型01.函数的概念 1．下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下表是根据某地区入学儿童人数编制的： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 … 入学儿童人数/人 2930 2720 2520 2330 2140 … 上表反映了__________个变量之间的关系，其中，自变量是__________，因变量是__________． 3．如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型02.函数解析式 4．像这样的函数称为常值函数，函数的图象经过（    ） A． B． C． D． 5．已知一支长16cm的蜡烛点燃后每小时燃烧掉3cm，用单位：表示燃烧后蜡烛的长度，用单位：表示燃烧的时间，则y与之间的关系式是______． 6．等腰三角形的周长是60cm，腰长（cm）与底边长（cm）的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03.用表格表示变量间的关 7．为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数的变化关系如表所示： 1 2 3 4 5 … /棵 4 8 … 观察表中数据可知，该班有8人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为_____棵． 8．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（   ） 金额 数量/升 单价/元/升 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 9．变量x，y的一些对应值如表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … -8 -1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是______． 题型04.用关系式表示变量间的关系 10．一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，平均每千米耗油0.1升，那么油箱中剩余的油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数关系式中，常量和变量分别是（    ） A．常量：60、0.1；变量：、 B．常量：60、；变量：0.1、 C．常量：0.1、；变量：60、 D．常量：60、；变量：0.1、 11．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设长为米，长为米，则与之间的函数关系式为__________． 12．某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 题型05.用图象法表示变量间的关系 13．小华在离家不远的图书馆看书．下面哪一幅图能较好地刻画看书这段时间内她离家的距离与时间之间的关系（    ） A． B． C． D． 14．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行的路程为（千米），与之间的图象如图所示． （1）图中自变量是_____，因变量是_____；（用字母表示） （2）甲、乙两地相距_____千米，轮船在乙地停留了_____小时． 15．某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 题型06.求自变量的取值范围 16．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．函数中，自变量的取值范围是__________． 18．下列函数中，自变量的取值范围是的是（    ） A． B． C． D． 题型07.求自变量的值或函数值 19．某商店进了一批玩具，其销售数量x（个）与销售额y（元）之间的关系式为，则当销售数量为4个时，销售额为（    ） A．24元 B．32元 C．40元 D．48元 20．已知函数，那么__________ 21．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D． 题型08.函数图象识别 22．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 23．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是________．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数．    24．如图是某企业年月份总产量（即前个月产量之和）与时间（月）的函数图象，则下列图像中能大致反映每个月产量增长速度的是（    ） A． B． C． D． 题型09.从函数图象获取信息. 25．如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__________米． 26．4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．物资车往返总路程为 B．物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度 C．物资车中途卸货停留0.5小时 D．物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度逐渐变小 27．某周日上午，小明和家人一起驾车从家出发去美术馆，在馆内参观后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图所示的是他们离开家的距离与离开家的时间的关系图，根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，变量是______，点A的实际意义为______； (2)从美术馆到姑妈家的速度为______； (3)当小明和家人离开家多久时，他们离家的距离为． 题型10.用描点法画函数图象 28．变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 29．小明同学利用学习函数的方法，在同一平面直角坐标系研究函数与的图象性质，他用描点法画函数图象，列出如下表格： x … 0 1 2 3 … … 0 1 2 3 … … 不存在 1 … 现有如下结论： （1）点在函数图象上； （2）方程有两个不相等的实数解，分别是或； （3）当时，函数有y随x的增大而增大的性质； （4）若，则， （5）函数的图象不能与y轴相交． 其中正确结论的序号为________． 30．如图，在中，，，点沿运动，每秒运动，连接．已知，设点运动时间为秒，、点间的距离为．    小军根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小军的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了与的几组对应值，如下表： 1 2 3 4 5 6 2 0 (2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：    (3)进一步探究结合图象发现，当的准确值为且点在边上时，写出对应的值：__________． 题型11.函数的三种表示方法 31．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 32．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下从表中可知音速y随温度x的升高而__________．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米． 气温（） 0 5 10 15 20 音速y（米/秒） 331 334 337 340 343 33．在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得的弹簧长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：    (1)上表反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据以上图象补全表格： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 .(3)由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？ (4)在弹簧承受范围内，请直接用含有x的代数式表示y． 题型12.正比例函数的定义 34．下列函数中，为正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 35．若函数是正比例函数，则的值是_____________ . 36．下列各关系式中成正比例的个数有（ ） （1）圆的周长与半径     （2）正方形的面积与边长 （3）速度一定，路程与时间  （4）长方形的面积一定时，长和宽 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型13.识别一次函数 37．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 38．下列函数中，属于一次函数的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 39．下列函数中，是的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型14.由一次函数的定义求参数 40．已知函数是关于x的一次函数，则_________． 41．已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 42．若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 题型15.求一次函数的自变量或函数值 43．下列各点在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 44．直线恒过定点___________． 45．定义：若点中的，满足（为常数，且），则称点为“生长点”，下列各点是一次函数图象上的“生长点”的为（　　） A． B． C． D． 46．已知：y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点在这个函数的图像上，求m的值． 题型16.列一次函数解析式并求值 47．为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过200度时，电价为元/度；超过200度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元），则y与x之间的函数关系式为______． 48．已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 49．在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 题型17.分配方案问题 50．某单位要制作一批宣传材料，洽谈了两家公司． 甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费； 乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费． (1)求甲公司收取费用y（元）与该单位要制作宣传材料x（份）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)选择哪家公司制作这批宣传材料，使此单位所付费用较少？ 51．某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 52．随着生活水平的提高，人们越来越注重健康饮食、均衡膳食营养．某校食堂为丰富日常餐食，采购小米、黑米两种优质杂粮食材．已知小米每千克的价格是黑米每千克价格的1.2倍，用150元购买小米的质量比用100元购买黑米的质量多5千克． (1)求小米、黑米每千克分别是多少元； (2)该食堂计划采购两种杂粮共60千克，且购买小米的质量不少于黑米质量的一半，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 题型18.最大利润问题 53．漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元． (1)求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？ (2)据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？ 54．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知1件乙种农机具比1件甲种农机具多0.5万元，用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共30件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具m件，购买的总费用为W万元，求购买这批农机具最少要用多少万元？ 55．日购兴超市常年售卖矿泉水和乳酸菌饮品，并根据季节销量调整进货数量．已知矿泉水进价2元/瓶，售价3元/瓶；乳酸菌饮品进价4元/瓶，售价6元/瓶． (1)超市第一次购进两种饮品共80瓶，全部进货总成本为230元，求超市本次购进矿泉水、乳酸菌饮品各多少瓶？ (2)结合季节销量，超市计划第二次购进两种饮品共90瓶，为控制成本，进货总费用不超过280元， ①求第二次最多可购进乳酸菌饮品多少瓶？ ②若两种饮品全部售完，超市能获得的最大利润是多少元？ 题型19.行程问题 56．某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题： (1)当时，求y关于x的函数关系式； (2)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程． 57．甲、乙两辆汽车沿同一公路同时从地出发前往相距的地，行驶过程中所行路程分别用，（单位：）表示，它们与行驶时间（单位：）的函数关系如图所示． (1)分别求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)分别求行驶了及时，两车之间相距的路程． 58．小方同学骑车上学，当他骑了一段路时，想起要带当天的报纸回班级分享每日时事，于是又折回到刚经过的报刊亭，买到报纸后继续去学校．以下是他离家距离（米）与上学所用的时间（分钟）的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小方在报刊亭停留了______分钟； (2)本次上学途中，小方一共行驶了多少米？ (3)通过计算说明，在整个上学的途中哪个时间段小方骑车速度最快，最快的速度是多少米／分钟？ 题型20.梯度计价问题 59．某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨2.2元：超过10吨时，水价为每吨3元，现有某户居民7月份用水x吨，应交水费y元 (1)应交水费y与用水量x的关系式； (2)若小强家里本月缴水费67元，请问小强家里用水多少吨？ 60．为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 61．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为_________元/吨． (2)求出居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的函数关系式． (3)若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 题型21.其他实际应用问题 62．一辆汽车的油箱现有汽油，已知该车平均耗油量为，油箱中的存油量为y（单位：L），行驶里程为x（单位：），y随着x的变化而变化． (1)写出表示y与x的函数关系的式子； (2)求出自变量的取值范围； (3)汽车行驶时，油箱中还有多少L汽油？ 63．为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． (1)请列方程求出跳绳和实心球的单价； (2)该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 64．为推进生态美、产业强，促进乡村全面振兴，河南西峡以香菇、猕猴桃、山茱萸为代表，形成了“菌果药”三大特色产业．某香菇种植大棚计划购买20个A，两种型号的货架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表． 型号 线下 线上 售价 运费 售价 运费（不超过20个） 九折 0 八折 110元 九折 八五折 若按原价购买，则购买10个A型货架和10个型货架共需3500元．已知每个A型货架的原价比每个型货架便宜50元 (1)求每个A，型号的货架的原价． (2)若该香菇种植大棚选择线上或线下任意一种方式购买，且购买型货架的数量不少于A型货架数量的2倍，请求出花费最少的购买方案，并说明理由． 题型22.一次函数与几何综合 65．已知是一次函数． (1)求这个一次函数的解析式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上； (3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． 66．如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于两点． (1)求b的值，并结合图象写出关于的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点，若线段的长为4，求出a的值． 67．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，且与直线相交于点． (1)求 k， b的值； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)直线与x轴相交于点 B，连接，求四边形的面积； (4)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $