精品解析：2026年广东省深圳市宝安区宝安中学（集团）初中部第三次学情自测 数学试卷

2025-2026学年宝安中学（集团）初中部九年级下 数学学科素养调查 一、选择题（8×3=24分） 1. 如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后．任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5附近．那么可以估算出m的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 20 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，若设栅栏的长为，则下列各方程中，符合题意的是（ ） A. B. C. D. 7. 新定义：对于二次函数和，若的顶点坐标在的顶点坐标上方，则是的“仰顶函数”，例如：函数是函数“仰顶函数”．若无论取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知四边形中，，，连接对角线，，若，且平分，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（共15分） 9. 在平面直角坐标系中，是平面内一点，且点到轴、轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点的坐标________． 10. 小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是______． 11. 已知快递员取一件快递的收益比送一件快递的收益多1元，某天该快递员送快递的件数是取快递件数的2倍，若送、取快递获益相同，则该快递员取一件快递的收益为________元． 12. 如图，过原点的直线和反比例函数相交于、，延长至，使得点是中点，过作轴于，交反比例函数第一象限图象于，连接，若的面积为，则_______． 13. 如图，在中，，，．将绕的中点逆时针旋转得到，当经过点时，的长为_____． 三、解答题（共61分） 14. 计算． 15. 在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式 第一步 第二步 第三步 习题2：解方程： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误； （2）任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题1给分）． 16. 为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取的学生加科学竞赛．同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查． 【收集数据】 本次竞赛满分10分，已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据． 【整理数据】 a．图1为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图； 平均数 众数 中位数 七年级 6 8 7 八年级 7 6、7、8 n 九年级 8 m 8 b．九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8． 【分析数据】 图表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数； 【解决问题】 （1）______，______． （2）设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是，比较大小______； （3）在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为，和，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生所占百分比． 17. 某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动． 【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具 【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度，段为水平路面，B点位置设有指示牌，它与地面垂直． 【活动过程】 活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡长为39米． （1）求斜坡的高度； 活动2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离为1.2米．李老师平视前方（视线与斜坡平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点． （2）求指示牌牌杆的高度； 活动3：如图③，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.2米．李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合．李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点． （3）求指示牌的高度． 18. 如图，已知是的直径，平分，且，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 19. 实践与操作：如何制作简易风筝 【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节． 【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定． 【制作步骤】 步骤一 骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段作为骨架，且，与的和为，四边形的面积为． （1）直接写出骨架的长度：_____，_____； 步骤二 蒙面制作：若（1）中骨架满足，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．现把以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为的三点E，F，G绘制抛物线． （2）求过E，F，G三点的二次函数解析式； 步骤三 蒙面取材：已知以下部分的蒙面设计为等腰，点H在延长线上且，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），如图3．小超同学剪下的这张筝形纸片的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，． （3）小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为多少平方厘米？ 20. 如图1，在菱形中，点是对角线上一点，点与点关于对称，射线分别与直线、分别交于点、． （1）如图2，已知，点恰好落在对角线上时， ①__________； ②若，则___________； （2）试猜想图1中与有怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图3，已知，若点恰好落在菱形的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年宝安中学（集团）初中部九年级下 数学学科素养调查 一、选择题（8×3=24分） 1. 如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：它的主视图是： ． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算、单项式乘法、代数式化简及完全平方公式的应用，需逐一分析各选项的正确性． 根据运算法则注意运算即可． 【详解】选项A：根据幂的乘方运算法则，，故选项A正确； 选项B：单项式相乘时，系数相乘，同底数幂相加，，但选项B结果为，缺少的指数，故选项B错误； 选项C：左边提取公因式得，显然仅在特定条件下成立，而非恒等式，故选项C错误； 选项D：根据完全平方公式，，选项D漏掉了中间项，故选项D错误； 故选：A． 3. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后．任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5附近．那么可以估算出m的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验后，随机事件发生的频率会稳定在概率附近，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， 根据概率公式可得 ，， 解得 ， 经检验， 是方程的解，且符合题意． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上如图所示： 6. 如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，若设栅栏的长为，则下列各方程中，符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据的长表示出线段或线段的长，利用矩形的面积列出方程即可． 【详解】解：设的长为x米，则， 根据矩形的面积得： 故选：A． 7. 新定义：对于二次函数和，若的顶点坐标在的顶点坐标上方，则是的“仰顶函数”，例如：函数是函数“仰顶函数”．若无论取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先配方得到两个二次函数的顶点纵坐标，根据新定义列出不等式，将不等式整理为小于关于的二次式，再求出该二次式的最小值，根据不等式对任意恒成立，即可得到的取值范围． 【详解】解： ， 该函数顶点纵坐标为， ， ∴该函数顶点纵坐标为 ， 根据“仰顶函数”的定义可得， 整理得 ， ∵无论取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”， 无论取任何实数， 恒成立， ∴ 小于的最小值， ，即的最小值为， ∴ ． 8. 已知四边形中，，，连接对角线，，若，且平分，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解含30度的直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理及相似三角形的判定与性质．由已知条件利用勾股定理求出的长度，通过正弦的定义求出的角度，用三角形内角和定理求出的度数，由角平分线定义求得，设，则，利用三角形内角和定理得出，，证得，得出，最终求得的值． 【详解】解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（共15分） 9. 在平面直角坐标系中，是平面内一点，且点到轴、轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点的坐标________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据点到轴、轴的距离即可判断出点的可能性，从而写出符合条件的坐标，解题的关键在于熟练掌握点到轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到轴的距离即点的横坐标的绝对值． 【详解】解：点到轴、轴的距离分别为2，5， ，． 所在的象限不确定， （答案不唯一）． 10. 小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率，列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝； 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是， 故答案为：． 11. 已知快递员取一件快递的收益比送一件快递的收益多1元，某天该快递员送快递的件数是取快递件数的2倍，若送、取快递获益相同，则该快递员取一件快递的收益为________元． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题思路是设出相关未知数，根据送、取快递总获益相等的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该快递员送一件快递的收益为元，则取一件快递的收益为元，设取快递的件数为，则送快递的件数为，. 根据送、取快递获益相同，列方程得 等式两边同时除以，得 移项得 合并同类项得 因此取一件快递的收益为元． 12. 如图，过原点的直线和反比例函数相交于、，延长至，使得点是中点，过作轴于，交反比例函数第一象限图象于，连接，若的面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，设点的坐标为，则点的坐标为，根据平面直角坐标系中两点中点公式可得点的坐标为，根据轴，可知点的横坐标为，可以求出点的纵坐标为，从而可得，，根据的面积为，可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点，过点作于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， 点是中点，设点的坐标为， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 点的横坐标为， ， ，， ， 的面积为， ， 解得：． 13. 如图，在中，，，．将绕的中点逆时针旋转得到，当经过点时，的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可证明，推出；求出，，则可得到，，由勾股定理得，解直角三角形得到，证明，得到，即，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为的中点， ∴， 由旋转的性质可得，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 三、解答题（共61分） 14. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，需要分别根据乘方的意义，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂法则计算每一项，再合并得到最终结果． 【详解】解： 原式 ． 15. 在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式 第一步 第二步 第三步 习题2：解方程： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）解答过程中，习题1从第______步开始出现错误，习题2从第______步开始出现错误； （2）任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题1给分）． 【答案】（1）二，三； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据分式的通分和平方根解题即可； （2）根据分式的通分可解答习题，根据配方法可解答习题． 【小问1详解】 解：习题中第二步在合并分子时，对分子去括号时出错，应为； 习题中第三步应为； 【小问2详解】 解：习题1：原式 ； 习题2：∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴，． 16. 为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取的学生加科学竞赛．同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查． 【收集数据】 本次竞赛满分10分，已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据． 【整理数据】 a．图1为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图； 平均数 众数 中位数 七年级 6 8 7 八年级 7 6、7、8 n 九年级 8 m 8 b．九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8． 【分析数据】 图表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数； 【解决问题】 （1）______，______． （2）设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是，比较大小______； （3）在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为，和，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生所占百分比． 【答案】（1）8，7 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）分别根据中位数、众数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据数据的波动情况判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：∵出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是8，即； 把8年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为：， 中位数是； 故答案为：8，7； 【小问2详解】 从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大； 八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以， 故答案为：； 【小问3详解】 人， 七八年级各200人， 人， 九年级160人， ， ∴该初中所有学生中选择“非常原意”的学生所占百分比为． 17. 某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动． 【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具 【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度，段为水平路面，B点位置设有指示牌，它与地面垂直． 【活动过程】 活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡长为39米． （1）求斜坡的高度； 活动2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离为1.2米．李老师平视前方（视线与斜坡平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点． （2）求指示牌牌杆的高度； 活动3：如图③，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.2米．李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合．李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点． （3）求指示牌的高度． 【答案】（1）斜坡的高度为米； （2）指示牌牌杆的高度为米； （3）指示牌的高度为米． 【解析】 【分析】（1）如图，延长交斜坡底面水平线于点，易得，由坡度比可得，设米，则米，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）过点作于点，延长交斜坡底面水平线于点，证明四边形 是矩形，得到米，易证，得到，即可求解； （3）作交延长线于点O，作于点Q，交于点R，延长交斜坡底面水平线于点，则四边形为矩形，四边形为矩形，得到米，米，求出米，同理（1）得米，则米，根据，得到，再证明，推出，即可求解出米，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交斜坡底面水平线于点， 由题意得， ∵该斜坡坡度， ∴， 设米，则米， 在中，米， ∴，即， 解得（负值舍去）， 即米， 答：斜坡的高度为米； 【小问2详解】 解：过点作于点，延长交斜坡底面水平线于点， 则， 由题意得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵， ∴， 由（1）知米，则米， ∴， ∴米， 答：指示牌牌杆的高度为米； 【小问3详解】 解：作交延长线于点O，作于点Q，交于点R，延长交斜坡底面水平线于点， 则四边形为矩形，四边形为矩形， 米，米， （米）， 同理（1）得米，则米， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ∴， ∴米， ， ， ∴， ∴米， 答：指示牌的高度为米． 18. 如图，已知是的直径，平分，且，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是解题的关键． （1）证明即可得到结论； （2）连接．求出，证明，得到．即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ， ． 平分， ， ， ． ， ， 是的切线． 【小问2详解】 解：连接． ， ． 是的直径， ，． ， ． ，， ． ， ． ，， ． 19. 实践与操作：如何制作简易风筝 【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节． 【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定． 【制作步骤】 步骤一 骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段作为骨架，且，与的和为，四边形的面积为． （1）直接写出骨架的长度：_____，_____； 步骤二 蒙面制作：若（1）中骨架满足，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．现把以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为的三点E，F，G绘制抛物线． （2）求过E，F，G三点的二次函数解析式； 步骤三 蒙面取材：已知以下部分的蒙面设计为等腰，点H在延长线上且，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），如图3．小超同学剪下的这张筝形纸片的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，． （3）小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为多少平方厘米？ 【答案】（1）60，20； （2） （3）小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米． 【解析】 【分析】（1）设，则的长为，根据四边形的面积为，建立方程，并结合，即可求解； （2）先得出，结合“过距离A，B，D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线”，得出，根据图象性质，设，再运用待定系数法求解，即可作答； （3）求出，求出直线的解析式为，进一步求出，，直线的解析式为，令，解得，得到，根据筝形纸片面积至少为即可求出答案． 【小问1详解】 解：设，则的长为， 由题意得， 解得， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵过距离点A，点B，点D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线， ∴， 设所求抛物线表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为，代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可知直线的解析式为， ∴， 令， 则， 令， 解得， ∴， ∴，直线的解析式为， ∴， 令，解得， ∴， 即， 即筝形纸片面积至少为． 答：小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米． 20. 如图1，在菱形中，点是对角线上一点，点与点关于对称，射线分别与直线、分别交于点、． （1）如图2，已知，点恰好落在对角线上时， ①__________； ②若，则___________； （2）试猜想图1中与有怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图3，已知，若点恰好落在菱形的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请直接写出此时的值． 【答案】（1）①；②16 （2），理由见解析 （3），， 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识，解题的关键是利用轴对称和菱形的性质构造全等或相似三角形，建立线段与角的关系求解． （1）①利用正方形的性质、轴对称性质，推导角的关系，得； ②构造相似三角形，利用相似三角形的性质得． （2）通过轴对称和菱形的性质，证明，结合等腰三角形性质和四边形内角和，推导 ． （3）分点落在边和边所在直线上两种情况，利用三角函数、相似三角形性质，分别求出的值． 【小问1详解】 解：① 四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，，． 点与点关于对称， ，， ， ， 点在上，， ， ， ， ，， ． ②连接，由①知，， ， 又， ， ， ． ， ． 【小问2详解】 解：猜想： ． 证明 四边形是菱形， ，，， 点与点关于对称， ，， ， ． 设，则， ， ， 在中， ，且 ， ， 整理得： ． 【小问3详解】 解：分三种情况如下： 情况1：点落在直线上（对应）， 四边形是菱形，设，， 由轴对称性质，， 在中，作于，则 ，， ，， ， ， ， 由相似比可得：，， 结合 ，，解得； 情况2：点落在直线上（对应） 由轴对称性质，设， 作于，则，， ，， ∵ ∴ ， ， ， ，， ， ， ， , ， 又， ， ， 解得； 情况3：点落在直线上 由轴对称性质，设，，在延长线上，， 结合菱形边长，可得在点上方，，， 延长交于， ， ，，， ， ， ，， ， 解得， 综上，的值为、或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $