精品解析：湖南师范大学附属中学2026届高三下学期模拟卷(一) 数学试题

高三模拟卷（一）数学 命题人、审题人：高三数学备课组 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴，∴. 2. 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ） A. 0或1 B. 或1 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得 或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 3. 已知 、，集合，，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算可得出，即可得出，然后分和两种情况讨论，结合交集运算进行检验，即可得解. 【详解】已知集合，，且，所以，即. 若 ，则，此时，，与矛盾，舍去. 若，则，此时，，符合条件. 综上所述，. 4. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】向量，， 向量在方向上的投影向量为，得. 5. 定义在R上的偶函数的部分图象如图，则下列函数在区间上与的单调性不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】利用偶函数的对称性知在上单调递减. 又在上单调递减，在上单调递减， 易知在上单调递增， 当时，在上单调递减， 综上，只有选项C的函数在上与的单调性不同. 6. 已知数列是公比大于0的等比数列，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可设等比数列的公比为， 则，当且仅当即时取等号， 故的最小值为. 7. 一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种； 所求概率为. 8. 已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于，记 的中点为点M，则的中点也为点M，如下图： 显然直线的斜率一定存在，设直线，，， 则，，于是， 则，，， 由，，两式相减可得， 即，得. 又，所以E为 的中点，则，可得. 又因为，即， 所以，可得，即 解得离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量、、一定共面 C. 向量在基底下的坐标是 D. 对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在 、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为 的直线与 的右支交于点 ，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 的最小值为-9 D. 若以实轴为直径的圆与相切，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，通过离心率的定义求解即可；对于B选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直线与双曲线交于右支求解即可；对于C选项，设，分别表达出，，再由 在双曲线上求解即可；对于D选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解 ，再由直线与双曲线联立，由余弦定理求解即可. 【详解】对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以 ，，所以离心率为，故A错误； 对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得， ，， ，，，因为直线与双曲线右支交于一点， 所以，解得，故B正确； 对于C选项，设，，，所以， 由 在双曲线上可得，代入可得， ， 当时，取得最小值，可得，故C正确； 对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切， 由点到直线的距离公式，，联立求解 坐标， 将代入双曲线方程，可得，解得，， 所以，， ，，故D正确. 11. 在非等腰 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B满足，则（ ） A. B. C. 记c上的高为h，则的取值范围为 D. 的内切圆半径、外接圆半径、周长不可能构成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意利用三角恒等变换整理可得，即可判断A；利用诱导公式判断B；对于C：整理可得，令，结合对勾函数性质运算求解；对于D：根据题意可得，整理可知方程有解. 【详解】由得，， 化简得：， 因为，则， 又因为 为非等腰三角形，则，可知， 可得，即，所以，，故选项A错误， 因为，则，即，故选项B正确； 对于选项C：因为，，， 则， 令，且，则， 因为， 且，则， 可得，则， 所以，故C选项正确； 对于选项D：因为 的内切圆半径， 且外接圆半径， 假设 的内切圆半径、外接圆半径、周长构成等比数列， 则，整理可得，此方程显然是有解的，故选项D错误. 综上，正确答案为BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________． 【答案】14 【解析】 【分析】根据直观图还原该平面图形，然后可得答案． 【详解】 在直观图中，设与交于点，则，，， 在原图形中，， ，， 所以原图形周长是 故答案为：14 13. 已知，则______. 【答案】243 【解析】 【分析】根据题意利用赋值法，令代入求解即可. 【详解】因为， 令，得， 两边同时乘以32，得. 14. 已知O为坐标原点，函数与函数的图象有两个不同的交点A，B，当取最小值时， ______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据直线恒过定点 及图象分析确定交点 、 满足 ，并将 面积拆分为 与 之和，化简得出面积等于 ，从而将面积最小值问题转化为求 的最小值.接着，由交点满足的方程得出斜率 的两个表达式,通过变形构造函数 和 ,利用导数分析两个函数的单调性，发现 存在极大值点，最后，根据 取极大值时导数为 0 的条件，求出对应参数值,进而得到 的最小值，即 的面积最小值，同时求得此时的斜率 ，整个解题过程核心运用了几何面积转化、函数构造及导数求单调性与极值的方法. 【详解】设交点 ， ，其中 ，. 因为交点满足函数方程，所以 结合图象分析，直线 恒过定点 ， 且当且仅当 时图象有两个不同交点，不妨设 . 的面积可表示为 与 的面积之和即 由三角形面积公式得： 代入 ，，，得： 因此，求 的最小值等价于求 的最小值. 由 ，得 ，即 两边同时乘以得. 由 得 ，同理 . 故 . 因为 ，故 ， 设 ，则 ， 设 ，故 在 上单调递减， 故 ，即 ，故 在 上单调递减. 设 ，则 . 设 ，则 ，故 在 上为单调递减， 又 ，故 在 上存在零点 ， 且 时，，即 ， 当 时， ，即 ， 故 在 上单调递增. 在上为单调递减. 故当 时， 取最大值. 即 取最小值. 取最小值，此时 ，即，又 ，故此时 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）两边取倒数，结合等差数列通项公式进行求解； （2）裂项相消法求和即可 【小问1详解】 两边取倒数得， 即，又，所以， 从而为首项为，公差为2的等差数列， 所以， 故， 【小问2详解】 ， 所以. 16. 某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验．研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y（单位：）随给药剂量x（单位：mg）的变化情况．为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图（如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量）． （1）观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； （2）设这14组数据得到的经验回归方程为 ． （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为 ，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； （ⅱ）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为 ，生化指标的标准差为 ，求生化指标与给药剂量的相关系数．（结果精确到0.01） 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）模型一的拟合效果更好，理由如下： 模型一残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型二的带状宽度窄，所以模型一的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应就越高． （2）（ⅰ）点 ，理由如下： 因为模型一的拟合效果更好，经验回归方程为 ， 所以该方程相应于点 的残差为 ，故选 点； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据残差图，比较带状区域的宽度即可得出判断； （2）（ⅰ）计算出残差即可求解；（ⅱ）根据相关系数公式及经验回归方程计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由题可知， ， 所以， 由 ， ， 所以 ． 17. 如图，已知圆台的上、下底面圆的圆心分别为和，四边形 为下底面圆O的内接正方形，且 ， ， 为上底面圆上两点， 为 的中点，且满足平面 平面 ， . （1）求证：； （2）求圆台的体积； （3）若直线与平面 所成角的正弦值为，求点 到平面 的距离. 【答案】（1）证明：取 的中点 ，连 交 于 ． 在正方形 中，由于 为 的中点， 因为 ， ， ， 可得≌ ，则 ， 因为，所以， 得到，即 ． 因为 ，所以， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，又平面 ， 所以 ，又 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ． （2） ； （3）. 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，连 交 于 ，证明 ，再根据面面垂直性质定理和线面垂直的定义证明 ，根据线面垂直判定定理证明 平面 ，再证明 即可； （2）结合（1）证明 ，结合圆台体积公式求结论； （3）建立空间直角坐标系，设 ，求直线 的方向向量和平面 的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面 所成角的正弦值，列方程求 的坐标，再利用向量方法求点 到平面 的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 平面 ，又 平面 ， 所以， 因为圆圆，所以，所以四边形 为矩形， 所以圆的半径 ， 又圆的半径， 所以圆台的体积 ， 【小问3详解】 以为坐标原点，过点作 平行的直线分别为 轴， 轴，以所在的直线为 轴，建立如图空间直角坐标系． 则 ， 由于圆半径 ， 为上底面圆上一点设 ， 故 ． 设平面 的法向量为 ，由，得 取，故 ， 设与平面 所成角为 ，则 平方后整理方程得 解得 或（舍） 所以 ， ． 所以点 到平面 的距离. 18. 已知函数，. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若存在，使得，求实数t的取值范围； （3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3） ，理由如下： 由可得， 令，则. 因为，则， 所以 ，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 即， 同理可得， 且， 因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 因为函数在上单调递减， 故，即， 取，则. 【解析】 【分析】（1）先求函数在 处的函数值得切点坐标,再用乘积法则求导得导函数,代入 算出切线斜率,最后由点斜式写出切线方程并整理. （2）由已知可得存在 ,使得 成立,因为 时, ,故存在 ,用参变分离法可得出 ,利用导数求出函数 在 上的最大值即可求解; （3）令 ,利用导数分析 在 上的单调性,利用零点存在性定理可知 ,求得 ,证明出 ,结合 的单调性,即可证得结论成立. 【小问1详解】 ，即切点为. 将 代入，得，即切线斜率 . 由点斜式 ，代入， . 得切线方程为，整理为 . 【小问2详解】 由题意知，存在，使得成立， 因为时，，即， 故原不等式等价于存在，使得. 令，其中， ， 且 不恒为零，故函数在上单调递减， 则， 故实数 的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 已知圆和抛物线 ，F为C的焦点，点是抛物线 上的动点，当时，，过动点P作圆E的两条切线，切点分别为M、N． （1）求抛物线 的标准方程； （2）当 时，求的最小值． （3）设直线PM、PN分别交C于另两点A、B，是否存在实数 ，使得当点P在C上运动时，直线AB总与圆E相切？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由点是抛物线C上的动点，当时，，列出方程组，求得 的值，即可求解； （2）当 时，求得圆 的圆心为，半径为，过点 作圆 的切线，切点为，得到，在直角 中，得到，结合倍角公式和二次函数的性质，即可求解； （3）假设存在实数 满足题设中的条件，当点 与坐标原点重合时，设切线 的斜率分别为，求得，得到 的方程为，求得 ，结合直线与圆的位关系的判定方法，即可得证. 【小问1详解】 由抛物线 的焦点坐标为 ， 因为点是抛物线C上的动点，当时，， 可得，即，解得 ， 所以抛物线 的标准方程为. 【小问2详解】 当 时，圆 的方程为，可得圆 的圆心为，半径为， 因为点是抛物线 上的动点，可得， 过点 作圆 的切线，切点为， 则，其中 为切线与的夹角， 在直角 中，可得， 所以， 又由， 当 时，， 所以的最小值为. 【小问3详解】 假设存在实数 满足题设中的条件， 当点 与坐标原点重合时，设切线 的斜率分别为， 则圆心到直线的距离为，可得， 将代入抛物线 ，可得， 则直线 的方程为， 由直线 与圆 相切，可得， 联立方程组，解得 （负值舍去）； 下面证明：当 时，对于抛物线 上任意一点 ，直线 与圆 相切， 设点， 则直线 的方程为， 即， 同理可得，直线 的方程为， 所以直线 的方程为， 因为直线 与圆 相切，则， 即， 同理可得，直线 与圆 相切，可得， 则为方程的两个不等的实数根， 则， 点 到直线 的距离为， 所以直线 与圆 相切， 综上可得，存在 ，使得当点 在曲线 上运动时，直线 与圆 相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三模拟卷（一）数学 命题人、审题人：高三数学备课组 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ） A. 0或1 B. 或1 C. 1 D. 0 3. 已知 、，集合，，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 定义在R上的偶函数的部分图象如图，则下列函数在区间上与的单调性不同的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是公比大于0的等比数列，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量、、一定共面 C. 向量在基底下的坐标是 D. 对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与 的右支交于点，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 的最小值为-9 D. 若以实轴为直径的圆与相切，则 11. 在非等腰 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B满足，则（ ） A. B. C. 记c上的高为h，则的取值范围为 D. 的内切圆半径、外接圆半径、周长不可能构成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________． 13. 已知，则______. 14. 已知O为坐标原点，函数与函数的图象有两个不同的交点A，B，当取最小值时， ______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验．研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y（单位：）随给药剂量x（单位：mg）的变化情况．为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图（如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量）． （1）观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； （2）设这14组数据得到的经验回归方程为 ． （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为 ，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； （ⅱ）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为 ，生化指标的标准差为 ，求生化指标与给药剂量的相关系数．（结果精确到0.01） 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 17. 如图，已知圆台的上、下底面圆的圆心分别为和，四边形 为下底面圆O的内接正方形，且 ， ， 为上底面圆上两点， 为 的中点，且满足平面 平面 ， . （1）求证：； （2）求圆台的体积； （3）若直线与平面 所成角的正弦值为，求点 到平面 的距离. 18. 已知函数，. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若存在，使得，求实数t的取值范围； （3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由. 19. 已知圆和抛物线 ，F为C的焦点，点是抛物线 上的动点，当时，，过动点P作圆E的两条切线，切点分别为M、N． （1）求抛物线 的标准方程； （2）当 时，求的最小值． （3）设直线PM、PN分别交C于另两点A、B，是否存在实数 ，使得当点P在C上运动时，直线AB总与圆E相切？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $