湖南长沙市雅礼中学2026届高三数学模拟卷(一)

**基本信息** 高三数学模拟卷注重数学思维与实际应用结合，通过统计案例分析腐蚀深度与时间关系考查数据观念，以数列探究题发展创新意识，适配一模综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|命题否定、复数、向量、函数图像等|单选巩固基础，多选考查立体几何位置关系等逻辑推理| |填空题|3题15分|圆锥体积、函数性质P、椭圆与双曲线|创新定义函数性质P，培养抽象能力| |解答题|5题77分|统计（相关系数/回归）、双曲线、三角函数等|统计题分析腐蚀数据体现数据意识，数列题探究单调性发展创新意识|

高三模拟卷(一) 数 学 命题人：童继稀 审题人：张鎏 周才凯 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知命题:∀x∈R,x+|x|≥0,则该命题的否定是 A. ∀x∈R,x+|x|<0 B.∀x∈R,x+|x|≤0 C. ∃x∈R,x+|x|≥0 D. ∃x∈R,x+|x|<0 2.已知复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 A.(-1,0) B.(-3,0) C.(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,+∞) 3.已知=(3,2),=(0,-1),若(-2)⊥(k-),则k= A. B. C.0 D. 4.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π，π]的大致图象，则该函数是 A. B C. D. 5.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 n mile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 n mile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为 A.0 n mile B.15 n mile C.30 n mile D.40 n mile 6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这5人名次排列的所有可能情况共有 A.36种 B.42种 C.48种 D.54种 7.已知正项等比数列{an}的公比不为1，Tn为其前n项积，若T₇=1,则集合 中的元素个数为 A.13 B.17 C.18 D.20 8.已知曲线y=2ˣ上的点A，和曲线 上的两点 B，C，满足△ABC是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则|AB|= A. B.2 C. D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知α,β,γ是三个不同的平面,且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,则三条直线a,b,c的位置关系可能是 A.三条直线两两平行 B.有且仅有两条直线平行 C.三条直线相交于同一点 D.有且仅有两条直线相交 10.甲罐中有2个黑球，5个白球，乙罐中有4个黑球，3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，事件A 表示“由甲罐取出的球是黑球”；再从乙罐中随机取出一球事件B表示“由乙罐取出的球是黑球”，则 C.事件A 与事件B 相互独立 D. 11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC=3ccosB,则 A. a=4ccos B B. B-C≥30° C. BC边上的中线长为c D.的取值范围是(1,3) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.将一个圆心角为 120°、半径为3 的扇形纸板作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 . 13.若存在a∈R且a≠0,对任意的x∈R,均有 f(x+a)<f(x)+f(a)恒成立,则称函数 f(x)具有性质 P.请写出一个满足性质 P 的函数是 . 14.已知以原点为中心的椭圆C₁、双曲线C₂，与抛物线 有公共焦点 F，且在第一象限交于同一点 P.若C₂的离心率为2，则 C₁ 的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 为了得到某种新产品表面的腐蚀刻线，技术员通过实验检测，发现该产品的腐蚀深度y(单位：μm)与腐蚀时间t(单位：s)有关，并收集数据如下表： 腐蚀时间t/s 5 10 15 20 30 40 腐蚀深度 y/μm 5 8 10 13 17 19 (1)根据表中样本数据，计算样本相关系数，并推断它们的线性相关程度； (2)建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.01)；若腐蚀时间为60s，请估计腐蚀深度.参考数据： 参考公式：相关系数 经验回归方程的斜率 截距 16.(本题满分15分) 已知双曲线 过点A(-1,0),且焦距为 (1)求双曲线的方程； (2)过定点(2，0)的直线l与双曲线Γ交于B，C两点，若AB=AC,，求直线 l的方程. 17.(本题满分15分) 已知函数 其中实数ω>0. (1)若f(x)的最小正周期为π,求 f(x)在x=0处的切线方程; (2)若f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，求ω的取值范围. 18.(本题满分17分) 如图，在三棱台.A'B'C'-ABC中， ,M,N分别为AC,BC的中点，且. (1)证明: (2)证明:平面. (3)若 求平面AB'N与平面ABC 的夹角的正弦值. 19.(本题满分17分) 已知有穷数列 满足 其中a>1,且最后一项 (1)当a=e,且m=2时，求x₁ 的取值范围； (2)当 时，如果m足够大， (i)证明：数列 为单调递减数列； (ii)探究数列 中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $