专题02 一次方程组（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材华东师大版

专题02 一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义 题型02 代入消元法解方程组 题型03 加减消元法解方程组 题型04 复杂方程组化简求解 题型05 已知方程组的解求参数 题型06 已知解的关系求参数 题型07 整体代入/换元法解方程组 题型08 和差倍分实际应用 题型09 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 题型10 工程/经济/方案选择问题 题型11 几何问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程（组）的相关概念 能准确识别二元一次方程、二元一次方程组的定义，明确"元""次"的含义；理解二元一次方程的解、方程组的解的定义，掌握"逢解代入"的验证方法；能区分二元一次方程与一元一次方程、整式方程的差异。 基础必考点，常出现在选择题、填空题，考查对二元一次方程（组）定义的辨析，易忽略"整式方程""未知数次数为1""两个未知数"的核心条件，也常结合方程的解的定义考查代入求值。 等式的基本性质与消元思想 熟练掌握等式的两条基本性质，能运用性质对等式进行正确变形；理解"消元"的核心数学思想，能明确消元的目标是将二元转化为一元，掌握消元的基本思路。 基础必考点，是解方程组的核心依据，常结合解方程步骤考查，易在"除以不为0的数"的条件上设置易错点，也会考查对消元思想的理解，在解答题中渗透考查。 二元一次方程组的解法——代入消元法 熟练掌握代入消元法的解题步骤，能准确选择合适的方程进行变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；能规范完成代入消元、求解一元一次方程、回代求另一个未知数、检验解的正确性的全流程；能解决含参数的简单二元一次方程组问题。 高频核心考点，是解二元一次方程组的基础方法，常出现在解答题的基础计算部分，也会在选择题、填空题中考查简单的代入求值，易错点在于代数式变形错误、代入时漏乘括号、回代求解错误，需重点关注规范解题步骤。 二元一次方程组的解法——加减消元法 熟练掌握加减消元法的解题步骤，能根据方程组中未知数的系数特点，选择合适的消元对象；能正确运用等式的性质，将方程组中同一个未知数的系数化为相等或互为相反数，通过加减消去一个未知数；能规范完成加减消元、求解、回代、检验的全流程，能灵活选择最优解法解决方程组问题。 高频核心考点，是中考考查的重点解法，常出现在解答题的计算部分，也会结合整体思想、换元法考查，易错点在于系数化时漏乘常数项、加减时符号错误、消元后求解错误，需重点关注系数的处理和符号的运算。 三元一次方程组及其解法 能准确识别三元一次方程、三元一次方程组的定义，明确三元一次方程组的结构特点；理解三元一次方程组的解法核心是"消元"，能通过"代入消元"或"加减消元"，将三元转化为二元，再转化为一元，逐步求解；能规范完成三元一次方程组的求解全流程，解决简单的含参数的三元一次方程组问题。 选考考点，常出现在选择题、填空题或解答题的中档题部分，考查对三元一次方程组定义的辨析和消元解法的掌握，易错点在于消元顺序不合理、计算过程中符号错误、漏解，需重点掌握消元的思路和步骤的规范性。 一次方程组的实际应用 能结合具体实际问题，分析题目中的数量关系，准确找出两个（或三个）等量关系；能根据等量关系，合理设未知数，列出二元一次方程组（或三元一次方程组）；能规范完成解方程组、检验解的合理性、写出实际问题的答案的全流程；能解决和差倍分、行程、工程、配套、盈亏、数字等常见类型的实际应用问题。 高频核心考点，是中考的必考内容，常出现在解答题的应用题部分，分值占比高，考查学生的数学建模能力和分析解决实际问题的能力，易错点在于等量关系找不准确、设未知数不合理、列方程时单位不统一、解完后不检验实际意义，需重点掌握常见题型的等量关系分析方法和解题规范。 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 标准形式：（，，为常数） 三大判定条件（缺一不可）： 整式方程：分母不含未知数，根号下不含未知数 两个未知数：未知数个数为2，不能多也不能少 次数为1：含未知数的项的最高次数是1，无未知数的平方、乘积项 示例：、是二元一次方程 易错点：：分母含未知数，不是整式方程 ：未知数次数为2，不符合次数要求 ：未知数乘积项，次数为2，属于二元二次方程 ：只有一个未知数，是一元一次方程 知识点02 二元一次方程组的概念 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组. 标准形式： 其中,,,,,为常数。 示例：标准二元一次方程组： 特殊二元一次方程组：（含一元一次方程，仍符合定义） 知识点03 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）。 易错点：二元一次方程有无数组解，切勿当成唯一解；解要写成的形式，不能单独写一个数值。 示例：方程的解有、、等无数组 知识点04 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组的两个公共解叫作二元一次方程组的解. 2. 检验二元一次方程组解的方法：将有序数对代入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程代入后不成立，则不是方程的解. 知识点05 代入消元法解二元一次方程组 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程；③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 示例：解方程组 解：由(1)得： (3) 把(3)代入(2)： 展开： → → 把代入(3)： ∴ 方程组的解为 易错点：代入时漏乘常数项、符号出错；回代时代入原方程而非变形后的方程，导致计算复杂出错。 知识点06 加减消元法解二元一次方程组 加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 示例：解方程组 解：(1)-(2)得： 化简： 把代入(2)： → → ∴ 方程组的解为 （系数需变形）：解方程组 解：①×3：；②×4： 两式相加： → 代入求： → ∴ 解为 易错点：加减时常数项忘记同步运算；方程两边同乘一个数时，漏乘某一项；系数互为相反数时误用减法，系数相等时误用加法。 示例：解方程组 解：(1)-(2)得： 化简： 把代入(2)： → → ∴ 方程组的解为 （系数需变形）：解方程组 解：①×3：；②×4： 两式相加： → 代入求： → ∴ 解为 易错点：加减时常数项忘记同步运算；方程两边同乘一个数时，漏乘某一项；系数互为相反数时误用减法，系数相等时误用加法。 知识点07 列方程组解应用题步骤 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 易错点：找错等量关系、设未知数漏单位、检验环节缺失（如人数、物品数不能为负数和小数）。 实际应用中未检验解的合理性，答非所问 知识点08 分析数量关系的常用方法 直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 知识点09 三元一次方程组 三元一次方程组：含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组。 三元一次方程组的解：三元一次方程组中三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解，必须同时满足三个方程。 易错点：① 只满足其中1个或2个方程的解，不是方程组的解； ② 解的书写必须规范，三个未知数的值一一对应，用大括号包裹，不能遗漏； ③ 切勿把“三个方程”当作判定三元一次方程组的唯一条件，忽略“三个未知数”“一次整式方程”两个核心条件。 题型一 二元一次方程的定义 解｜题｜技｜巧 必须同时满足3个条件：①整式方程（分母不能有未知数）；②有两个未知数；③所有未知项的次数都是1。 【典例1】下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意； C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意； D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意； 故选C． 【变式1】若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，整理方程后让含项的系数不为即可求解． 【详解】解：将方程整理得． 又该方程是关于，的二元一次方程． 含项的系数不能为，即． ． 故选：C． 【变式2】已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的变形，需通过移项、系数化为1的步骤，将方程转化为用含y的代数式表示x的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 题型二 代入消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 1. 选系数简单的方程，变形为 y=ax+b 或 x=ay+b 2. 将变形式代入另一方程，消去一个未知数 3. 解一元一次方程得一个未知数，再回代求另一个 易｜错｜点｜拨 变形时符号出错（如 错写成） 代入时漏乘常数项（如 错写成 ） 回代时选原复杂方程，增加计算错误概率 【典例1】解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程①为，将①代入②， ∴把方程②中的替换为，得． 【变式1】解方程组：． 【答案】 【详解】解： 由①，得 ③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得， 方程组的解为． 【变式2】解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】由得，代入得，把代入，可求出方程组的解． 【详解】解： 由得 把代入得， ， 解得， 把代入得， 原方程组的解为． 题型三 加减消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 把某未知数系数化为相等或互为相反数 系数相等用减法，互为相反数用加法，消去该未知数 解一元一次方程后回代求另一个未知数 易｜错｜点｜拨 方程两边同乘时漏乘某一项（如 乘 2 时，只乘前两项） 加减时符号搞反（系数互为相反数时误用减法，相等时误用加法） 常数项未同步参与加减运算 【典例1】解下列方程组： 【答案】 【详解】解： ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴. 【变式1】解二元一次方程组： 【答案】 【分析】先将原方程组整理为，再运用加减消元法解答即可． 【详解】解：方程组整理得：， 得：， 解得：． 把代入①得：． 则方程组的解为． 【变式2】解方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 将代入得， 解得：， ∴． （2）解：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得， 解得：， ∴原方程组的解为． 题型四 复杂方程组化简求解 解｜题｜技｜巧 先去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式 ax+by=c 再根据系数特点选择代入法或加减法 易｜错｜点｜拨 去分母时漏乘不含分母的项 去括号时符号处理错误（尤其是括号前是负号） 【典例1】解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）的系数互为相反数，用加减消元法解即可； （2）两个方程系数既不相等也不相反，用代入消元法解即可． 【详解】（1）解：， ①②得，，即， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴这个方程组的解是； （2）解：， ，得，即， 把③代入②得，， ，即， ∴， 解得：， 将代入③得，， ∴这个方程组的解是． 【变式1】解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，     由①得③，         将③代入②，得，解得，         把代入③得，     原方程组的解为； （2）解： 得③， 得④， 得，解得， 把代入②得，解得， 原方程组的解为． 【变式2】解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 题型五 已知方程组的解求参数 解｜题｜技｜巧 将已知解代入方程组 得到关于参数的一元一次方程或二元一次方程组 解新方程/组，求出参数值 易｜错｜点｜拨 代入时把参数和未知数混淆，计算方向错误 解参数方程时符号出错 【典例1】若是二元一次方程的解，则的值（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将给定的解代入原方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程得， 整理得， 解得． 【典例2】若方程组的解为，则被“◯”和“■”遮挡的两个数分别是（  ） A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1 【答案】A 【分析】先将x代入完整的方程求出y，得到■的值，再将x和y代入第一个方程求出○的值，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入，得， 解得：，即， 再将代入，得， ∴被遮挡的两个数分别是和． 【变式1】小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 【答案】 5 1 【分析】将已知代入方程，先求出即的值，再将与求得的代入，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入，得， 解得，即表示的数为， 将，代入，得， 即表示的数为． 题型六 已知解的关系求参数 解｜题｜技｜巧 先把参数当常数，用消元法解出 （用参数表示） 根据题目条件（如 ）列新方程 解新方程，求出参数值 易｜错｜点｜拨 解含参数方程组时消元方向错误，导致表达式复杂 未将 用参数表示，直接联立原方程与条件式，增加计算量 【典例1】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】将两个方程相加，利用整体代入法，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例2】若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为______． 【答案】 【分析】直接两个方程相加，结合解互为相反数得到，整理代入列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴两个方程相加得，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 题型七 整体代入/换元法解方程组 解｜题｜技｜巧 观察方程组中是否有重复出现的代数式（如 ） 将该代数式设为新未知数（换元），转化为简单二元一次方程组 求出新未知数后，再回代求原未知数 易｜错｜点｜拨 找不到可整体代入的代数式，强行拆分为单个未知数 换元后忘记回代求原未知数，导致答案不完整 【典例1】如果方程组的解，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据题意，易得方程组的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解 ∴方程组得解为，解得 故答案为：． 【典例2】若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是_________． 【答案】 【分析】整理可知进而可得． 【详解】解：∵关于的方程组， ∴， ∵关于的方程组的解是， ∴， ∴， 故答案为； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解是解题的关键． 【变式1】若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于a，b的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】根据已知得出关于，的方程组，进而得出答案． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， 解得：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确得出关于，的方程组是解题关键． 题型八 和差倍分实际应用 解｜题｜技｜巧 圈画关键词（“共”“比… 多”“是… 倍”），找出两组等量关系 设两个未知数，列方程组 求解后检验解是否为正整数 / 正数（符合实际意义） 易｜错｜点｜拨 找错等量关系，列错方程 忽略实际意义，接受负数 / 小数解（如人数、物品数） 【典例1】一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 【答案】B 【分析】设这个活动小组男生有人，女生有人，由题意：每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，列出二元一次方程组，解方程组即可．此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设这个活动小组男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， ， 即这个活动小组一共有16人， 故选：B． 【典例2】桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【答案】两种车型各有座位个和个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设两种车型各有座位个和个，根据租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设两种车型各有座位个和个，由题意，得： ，解得：； 答：两种车型各有座位个和个． 【变式1】为落实2023年10月15日吕梁市人民政府办公室《关于印发吕梁市贯彻新发展理念全面提升城镇园林绿化水平实施方案》的通知，某小区积极进行小区绿化，计划种植A，B两种苗木共600株，已知种植A种苗木的数量比种植B种苗木的数量的一半多60株，求种植A，B两种苗木各多少株． 【答案】A种240株，B种360株 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设种植种苗木有株，种植种苗木有株，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设种植种苗木有株，种植种苗木有株． 根据题意，得 解，得 答：种植A种苗木有240株，种植B种苗木有360株． 题型九 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 解｜题｜技｜巧 核心公式：路程 = 速度 × 时间 相遇问题：路程和 = 速度和 × 时间 追及问题：路程差 = 速度差 × 时间 顺逆水问题：顺流速度 = 船速 + 水速，逆流速度 = 船速 - 水速 易｜错｜点｜拨 混淆相遇与追及的路程关系 顺逆水速度公式记反，导致方程列错 【典例1】线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 【典例2】李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 【变式1】男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法及时间相同，路程比等于速度比． ()设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为米，由等量关系列出方程组，即可得解； （）由()知男运动员的速度是女运动员速度的倍，可设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈，利用男运动员追上女运动员时多跑圈，由等量关系列出方程组，即可得解． 【详解】（1）解：（1）设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为． 由题意，得 ， 解得 ， ∴男运动员的速度是女运动员的倍． （2）设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈， 根据题意，得 ， 解得． ∴男运动员追上女运动员时，女运动员跑了圈． 题型十 工程/经济/方案选择问题 解｜题｜技｜巧 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（常设工作总量为 1） 经济问题：利润 = 售价 - 成本，折扣后价格 = 原价 × 折扣率 方案选择：分别列方程组计算各方案成本 / 收益，再比较大小 易｜错｜点｜拨 工程问题中未统一工作时间单位 方案选择时只计算不比较，或比较时逻辑错误 【典例1】甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 【典例2】某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元． 依题意，得， 解得， 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元； （2）解：不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， ， 解得， ∵根据题意，，都为正整数， ∴不合题意，舍去， 不能实现利润恰好为1200元的目标． 【变式1】某商店销售A，B两种品牌的毛绒玩具，已知两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元，且3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价． (1)求A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为多少元？ (2)将A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售． ①A型号毛绒玩具的标价为________元，B型号毛绒玩具的标价为________元； ②若商店分别购进两种毛绒玩具各10个，A型号毛绒玩具按标价出售，B型号毛绒玩具打折销售，要保证售完所有毛绒玩具后利润率达到，求B型号毛绒玩具打几折？（提示：利润率 ） 【答案】(1)A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为10元和15元 (2)①14，21；②打9折销售 【分析】（1）设A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为x、y，再根据等量关系“两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元”和“3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价”列二元一次方程组求解即可； （2）①根据A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售，据此分别列式求解即可；②B型号毛绒玩具打z折，即按照标价的销售，再根据“售完所有毛绒玩具后利润率达到”列一元一次方程求解即可； 【详解】（1）解：设A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为x元和y元， 由题意可得：，解得：． 答：A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为10元和15元． （2）解：①A型号毛绒玩具的标价为元； B型号毛绒玩具的标价为元； ②B型号毛绒玩具打z折，即按照标价的销售， 由题意可得：， 解得：， 答：B型号毛绒玩具打9折销售． 题型十一 几何问题 解｜题｜技｜巧 1. 结合几何公式（周长、面积、边长关系）列方程 2. 联立方程组求解几何量（边长、角度等） 3. 结合几何性质（如三角形三边关系）检验解的合理性 易｜错｜点｜拨 几何公式记错（如长方形周长=2×(长+宽)，而非长×宽） 忽略几何图形对边长的限制（如边长必须为正数） 【典例1】如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 【详解】解：根据图示可得， 故选：B． 【典例2】如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形找到两个等量关系是解决问题的关键．根据图形找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵小长方形的长比宽大4， ∴； ∵大长方形的周长为34， 即， ∴， 即； ∴方程组为． 故选：D． 【变式1】在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 由图1可知：前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可． 【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：， 故选C． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足三个条件：一共含两个未知数，二所有方程都是整式方程，三未知数的最高次数为1，逐一判断选项即可． 【详解】解： A 该方程组共含有，两个未知数，两个方程都是整式方程，未知数最高次数为1，符合二元一次方程组的定义，故A正确． B 该方程组含有，，三个未知数，属于三元一次方程组，不符合定义，故B错误． C 第二个方程不是整式方程，不符合定义，故C错误． D 方程中未知数的次数为2，不符合一次的要求，故D错误． 2．若是关于、的二元一次方程，则、的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义，方程中每个未知数的次数都为，据此列出关于的方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程 ∴ 解得． 3．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ． 4．已知方程的其中一个解为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程中，解方程即可得解． 【详解】解：方程的其中一个解为， ，解得． 5．邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于1840年，中国邮政于2025年11月18日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票2种．已知1枚《跃马添福》邮票的面值为1.20元，1枚《鸿运驰春》邮票的面值为3元，学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多10枚，且所购两种邮票总面值为96元，求该社团购买两种邮票的数量． 【答案】该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚 【分析】设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 6．小红去文具店购买文具，如果购买3支钢笔和7本笔记本，要花81元；如果购买4支钢笔和6本笔记本要花88元． (1)请你帮小红算算钢笔和笔记本的单价各多少元？ (2)如果购买17支钢笔和20本笔记本需要多少钱？ 【答案】(1)钢笔的单价为13元，笔记本的单价为6元 (2)341元 【分析】（1）设钢笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据购买3支钢笔和7本笔记本，要花81元；如果购买4支钢笔和6本笔记本要花88元，列出方程组，解方程组即可； （2）根据钢笔的单价为13元，笔记本的单价为6元，列式计算即可． 【详解】（1）解：设钢笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：钢笔的单价为13元，笔记本的单价为6元； （2）解：（元）， 答：购买17支钢笔和20本笔记本需要341元． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 7．解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将关于的方程整理可得，根据与无关求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论为何值，的解都相同， ∴， ∴，． 8．将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则一个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据题意列方程组并求解，最后计算小长方形的面积即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 则每个小长方形的面积． 9．王阿姨准备用元购进，两种品牌的衣服，其中品牌衣服每件元，品牌衣服每件元，在两种衣服都购买且将元刚好用完的前提下，购买方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】设甲种运动服买了件，乙种运动服买了件，根据题意确定出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】解：设种运动服买了件，种运动服买了件， ∵品牌衣服每件元，品牌衣服每件元，在两种衣服都购买且将元刚好用完， ∴， 化简得：， ∵、是正整数， ∴，，， ∴购买方案有种． 10．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【详解】解：方程组的解为， 故中， 解得． 11．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．”意思是：9枚黄金与枚白银重量恰好相等；若在黄金袋与白银袋中交换1枚，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻两．设1枚黄金重x两，1枚白银重y两，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系．根据题意找到等量关系：两袋的重量恰好相等，交换一枚后，原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻两，列方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 即 故选：D． 12．解方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：，                                               ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ∴原方程组的解为． 13．南沙湖是一个季节性的淡水湖泊，在陕西国土资源中具有举足轻重的地位．某中学组织八年级部分学生乘车参观，若用1辆小客车和2辆大客车，则每次可运送学生115人；若用3辆小客车和1辆大客车，则每次可运送学生120人（注意：每辆小客车和大客车都坐满）．问每辆小客车和大客车各能运送学生多少人？ 【答案】每辆小客车能运送学生25人，每辆大客车能运送学生45人 【分析】设每辆小客车能运送学生人，每辆大客车能运送学生人，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设每辆小客车能运送学生人，每辆大客车能运送学生人， 依题意，得， 解得． 答：每辆小客车能运送学生25人，每辆大客车能运送学生45人． 14．某运输部门规定：办理托运，当一种物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费元；为限制过重物品的托运，当一件物品超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付元超重费．设某件物品的重量为千克． (1)当时，支付费用为________元（用含的代数式表示）；当时，支付费用为________元（用含和、的代数式表示）； (2)甲、乙两人各托运一件物品，物品重量和支付费用如下表所示． 物品重量（千克） 支付费用（元） 18 39 25 60 ①试根据以上提供的信息确定，的值． ②试问在物品可拆分的情况下，用不超过120元的费用能否托运50千克物品？若能，请设计出其中一种托运方案，并求出托运费用；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①，；②能；将物品拆成三件：两件均为16千克，另一种为18千克，费用为105元． 【分析】（1）当时，只需付基础费30元+保险费a元，所以支付费用为元；当时，需付费用为基础费30元+保险费a元+超重费，即元． （2）①根据表格列出关于a，b的二元一次方程组求解即可． ②将物品拆成三件：两件均为16千克，另一件为18千克，然后计算即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意知当某件物品之类时，支付费用元； 当时，支付费用为元． （2）解：①由题意得 解得，． ②将物品拆成三件：两件均为16千克，另一件为18千克， 则所需费用为： ∵， ∴用不超过120元的费用能托运50千克物品． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义 题型02 代入消元法解方程组 题型03 加减消元法解方程组 题型04 复杂方程组化简求解 题型05 已知方程组的解求参数 题型06 已知解的关系求参数 题型07 整体代入/换元法解方程组 题型08 和差倍分实际应用 题型09 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 题型10 工程/经济/方案选择问题 题型11 几何问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程（组）的相关概念 能准确识别二元一次方程、二元一次方程组的定义，明确"元""次"的含义；理解二元一次方程的解、方程组的解的定义，掌握"逢解代入"的验证方法；能区分二元一次方程与一元一次方程、整式方程的差异。 基础必考点，常出现在选择题、填空题，考查对二元一次方程（组）定义的辨析，易忽略"整式方程""未知数次数为1""两个未知数"的核心条件，也常结合方程的解的定义考查代入求值。 等式的基本性质与消元思想 熟练掌握等式的两条基本性质，能运用性质对等式进行正确变形；理解"消元"的核心数学思想，能明确消元的目标是将二元转化为一元，掌握消元的基本思路。 基础必考点，是解方程组的核心依据，常结合解方程步骤考查，易在"除以不为0的数"的条件上设置易错点，也会考查对消元思想的理解，在解答题中渗透考查。 二元一次方程组的解法——代入消元法 熟练掌握代入消元法的解题步骤，能准确选择合适的方程进行变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；能规范完成代入消元、求解一元一次方程、回代求另一个未知数、检验解的正确性的全流程；能解决含参数的简单二元一次方程组问题。 高频核心考点，是解二元一次方程组的基础方法，常出现在解答题的基础计算部分，也会在选择题、填空题中考查简单的代入求值，易错点在于代数式变形错误、代入时漏乘括号、回代求解错误，需重点关注规范解题步骤。 二元一次方程组的解法——加减消元法 熟练掌握加减消元法的解题步骤，能根据方程组中未知数的系数特点，选择合适的消元对象；能正确运用等式的性质，将方程组中同一个未知数的系数化为相等或互为相反数，通过加减消去一个未知数；能规范完成加减消元、求解、回代、检验的全流程，能灵活选择最优解法解决方程组问题。 高频核心考点，是中考考查的重点解法，常出现在解答题的计算部分，也会结合整体思想、换元法考查，易错点在于系数化时漏乘常数项、加减时符号错误、消元后求解错误，需重点关注系数的处理和符号的运算。 三元一次方程组及其解法 能准确识别三元一次方程、三元一次方程组的定义，明确三元一次方程组的结构特点；理解三元一次方程组的解法核心是"消元"，能通过"代入消元"或"加减消元"，将三元转化为二元，再转化为一元，逐步求解；能规范完成三元一次方程组的求解全流程，解决简单的含参数的三元一次方程组问题。 选考考点，常出现在选择题、填空题或解答题的中档题部分，考查对三元一次方程组定义的辨析和消元解法的掌握，易错点在于消元顺序不合理、计算过程中符号错误、漏解，需重点掌握消元的思路和步骤的规范性。 一次方程组的实际应用 能结合具体实际问题，分析题目中的数量关系，准确找出两个（或三个）等量关系；能根据等量关系，合理设未知数，列出二元一次方程组（或三元一次方程组）；能规范完成解方程组、检验解的合理性、写出实际问题的答案的全流程；能解决和差倍分、行程、工程、配套、盈亏、数字等常见类型的实际应用问题。 高频核心考点，是中考的必考内容，常出现在解答题的应用题部分，分值占比高，考查学生的数学建模能力和分析解决实际问题的能力，易错点在于等量关系找不准确、设未知数不合理、列方程时单位不统一、解完后不检验实际意义，需重点掌握常见题型的等量关系分析方法和解题规范。 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 标准形式：（，，为常数） 三大判定条件（缺一不可）： 整式方程：分母不含未知数，根号下不含未知数 两个未知数：未知数个数为2，不能多也不能少 次数为1：含未知数的项的最高次数是1，无未知数的平方、乘积项 示例：、是二元一次方程 易错点：：分母含未知数，不是整式方程 ：未知数次数为2，不符合次数要求 ：未知数乘积项，次数为2，属于二元二次方程 ：只有一个未知数，是一元一次方程 知识点02 二元一次方程组的概念 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组. 标准形式： 其中,,,,,为常数。 示例：标准二元一次方程组： 特殊二元一次方程组：（含一元一次方程，仍符合定义） 知识点03 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）。 易错点：二元一次方程有无数组解，切勿当成唯一解；解要写成的形式，不能单独写一个数值。 示例：方程的解有、、等无数组 知识点04 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组的两个公共解叫作二元一次方程组的解. 2. 检验二元一次方程组解的方法：将有序数对代入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程代入后不成立，则不是方程的解. 知识点05 代入消元法解二元一次方程组 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程；③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 示例：解方程组 解：由(1)得： (3) 把(3)代入(2)： 展开： → → 把代入(3)： ∴ 方程组的解为 易错点：代入时漏乘常数项、符号出错；回代时代入原方程而非变形后的方程，导致计算复杂出错。 知识点06 加减消元法解二元一次方程组 加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 示例：解方程组 解：(1)-(2)得： 化简： 把代入(2)： → → ∴ 方程组的解为 （系数需变形）：解方程组 解：①×3：；②×4： 两式相加： → 代入求： → ∴ 解为 易错点：加减时常数项忘记同步运算；方程两边同乘一个数时，漏乘某一项；系数互为相反数时误用减法，系数相等时误用加法。 示例：解方程组 解：(1)-(2)得： 化简： 把代入(2)： → → ∴ 方程组的解为 （系数需变形）：解方程组 解：①×3：；②×4： 两式相加： → 代入求： → ∴ 解为 易错点：加减时常数项忘记同步运算；方程两边同乘一个数时，漏乘某一项；系数互为相反数时误用减法，系数相等时误用加法。 知识点07 列方程组解应用题步骤 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 易错点：找错等量关系、设未知数漏单位、检验环节缺失（如人数、物品数不能为负数和小数）。 实际应用中未检验解的合理性，答非所问 知识点08 分析数量关系的常用方法 直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 知识点09 三元一次方程组 三元一次方程组：含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组。 三元一次方程组的解：三元一次方程组中三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解，必须同时满足三个方程。 易错点：① 只满足其中1个或2个方程的解，不是方程组的解； ② 解的书写必须规范，三个未知数的值一一对应，用大括号包裹，不能遗漏； ③ 切勿把“三个方程”当作判定三元一次方程组的唯一条件，忽略“三个未知数”“一次整式方程”两个核心条件。 题型一 二元一次方程的定义 解｜题｜技｜巧 必须同时满足3个条件：①整式方程（分母不能有未知数）；②有两个未知数；③所有未知项的次数都是1。 【典例1】下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 题型二 代入消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 1. 选系数简单的方程，变形为 y=ax+b 或 x=ay+b 2. 将变形式代入另一方程，消去一个未知数 3. 解一元一次方程得一个未知数，再回代求另一个 易｜错｜点｜拨 变形时符号出错（如 错写成） 代入时漏乘常数项（如 错写成 ） 回代时选原复杂方程，增加计算错误概率 【典例1】解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 【变式1】解方程组：． 【变式2】解二元一次方程组：． 题型三 加减消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 把某未知数系数化为相等或互为相反数 系数相等用减法，互为相反数用加法，消去该未知数 解一元一次方程后回代求另一个未知数 易｜错｜点｜拨 方程两边同乘时漏乘某一项（如 乘 2 时，只乘前两项） 加减时符号搞反（系数互为相反数时误用减法，相等时误用加法） 常数项未同步参与加减运算 【典例1】解下列方程组： 【变式1】解二元一次方程组： 【变式2】解方程组： (1) (2)． 题型四 复杂方程组化简求解 解｜题｜技｜巧 先去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式 ax+by=c 再根据系数特点选择代入法或加减法 易｜错｜点｜拨 去分母时漏乘不含分母的项 去括号时符号处理错误（尤其是括号前是负号） 【典例1】解方程组： (1)； (2)． 【变式1】解方程组： (1)； (2)． 【变式2】解二元一次方程组 (1) (2) 题型五 已知方程组的解求参数 解｜题｜技｜巧 将已知解代入方程组 得到关于参数的一元一次方程或二元一次方程组 解新方程/组，求出参数值 易｜错｜点｜拨 代入时把参数和未知数混淆，计算方向错误 解参数方程时符号出错 【典例1】若是二元一次方程的解，则的值（    ）． A． B． C． D． 【典例2】若方程组的解为，则被“◯”和“■”遮挡的两个数分别是（  ） A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1 【变式1】小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 题型六 已知解的关系求参数 解｜题｜技｜巧 先把参数当常数，用消元法解出 （用参数表示） 根据题目条件（如 ）列新方程 解新方程，求出参数值 易｜错｜点｜拨 解含参数方程组时消元方向错误，导致表达式复杂 未将 用参数表示，直接联立原方程与条件式，增加计算量 【典例1】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【典例2】若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为______． 【变式1】已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 题型七 整体代入/换元法解方程组 解｜题｜技｜巧 观察方程组中是否有重复出现的代数式（如 ） 将该代数式设为新未知数（换元），转化为简单二元一次方程组 求出新未知数后，再回代求原未知数 易｜错｜点｜拨 找不到可整体代入的代数式，强行拆分为单个未知数 换元后忘记回代求原未知数，导致答案不完整 【典例1】如果方程组的解，则方程组的解为______． 【典例2】若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是_________． 【变式1】若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于a，b的二元一次方程组的解是______． 题型八 和差倍分实际应用 解｜题｜技｜巧 圈画关键词（“共”“比… 多”“是… 倍”），找出两组等量关系 设两个未知数，列方程组 求解后检验解是否为正整数 / 正数（符合实际意义） 易｜错｜点｜拨 找错等量关系，列错方程 忽略实际意义，接受负数 / 小数解（如人数、物品数） 【典例1】一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 【典例2】桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【变式1】为落实2023年10月15日吕梁市人民政府办公室《关于印发吕梁市贯彻新发展理念全面提升城镇园林绿化水平实施方案》的通知，某小区积极进行小区绿化，计划种植A，B两种苗木共600株，已知种植A种苗木的数量比种植B种苗木的数量的一半多60株，求种植A，B两种苗木各多少株． 题型九 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 解｜题｜技｜巧 核心公式：路程 = 速度 × 时间 相遇问题：路程和 = 速度和 × 时间 追及问题：路程差 = 速度差 × 时间 顺逆水问题：顺流速度 = 船速 + 水速，逆流速度 = 船速 - 水速 易｜错｜点｜拨 混淆相遇与追及的路程关系 顺逆水速度公式记反，导致方程列错 【典例1】线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【典例2】李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【变式1】男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 题型十 工程/经济/方案选择问题 解｜题｜技｜巧 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（常设工作总量为 1） 经济问题：利润 = 售价 - 成本，折扣后价格 = 原价 × 折扣率 方案选择：分别列方程组计算各方案成本 / 收益，再比较大小 易｜错｜点｜拨 工程问题中未统一工作时间单位 方案选择时只计算不比较，或比较时逻辑错误 【典例1】甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【典例2】某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【变式1】某商店销售A，B两种品牌的毛绒玩具，已知两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元，且3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价． (1)求A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为多少元？ (2)将A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售． ①A型号毛绒玩具的标价为________元，B型号毛绒玩具的标价为________元； ②若商店分别购进两种毛绒玩具各10个，A型号毛绒玩具按标价出售，B型号毛绒玩具打折销售，要保证售完所有毛绒玩具后利润率达到，求B型号毛绒玩具打几折？（提示：利润率 ） 题型十一 几何问题 解｜题｜技｜巧 1. 结合几何公式（周长、面积、边长关系）列方程 2. 联立方程组求解几何量（边长、角度等） 3. 结合几何性质（如三角形三边关系）检验解的合理性 易｜错｜点｜拨 几何公式记错（如长方形周长=2×(长+宽)，而非长×宽） 忽略几何图形对边长的限制（如边长必须为正数） 【典例1】如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【典例2】如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于、的二元一次方程，则、的值分别是（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 4．已知方程的其中一个解为，则等于（   ） A． B． C． D． 5．邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于1840年，中国邮政于2025年11月18日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票2种．已知1枚《跃马添福》邮票的面值为1.20元，1枚《鸿运驰春》邮票的面值为3元，学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多10枚，且所购两种邮票总面值为96元，求该社团购买两种邮票的数量． 6．小红去文具店购买文具，如果购买3支钢笔和7本笔记本，要花81元；如果购买4支钢笔和6本笔记本要花88元． (1)请你帮小红算算钢笔和笔记本的单价各多少元？ (2)如果购买17支钢笔和20本笔记本需要多少钱？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 7．解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则一个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 9．王阿姨准备用元购进，两种品牌的衣服，其中品牌衣服每件元，品牌衣服每件元，在两种衣服都购买且将元刚好用完的前提下，购买方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 10．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 11．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．”意思是：9枚黄金与枚白银重量恰好相等；若在黄金袋与白银袋中交换1枚，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻两．设1枚黄金重x两，1枚白银重y两，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 12．解方程组： (1)． (2)． 13．南沙湖是一个季节性的淡水湖泊，在陕西国土资源中具有举足轻重的地位．某中学组织八年级部分学生乘车参观，若用1辆小客车和2辆大客车，则每次可运送学生115人；若用3辆小客车和1辆大客车，则每次可运送学生120人（注意：每辆小客车和大客车都坐满）．问每辆小客车和大客车各能运送学生多少人？ 14．某运输部门规定：办理托运，当一种物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费元；为限制过重物品的托运，当一件物品超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付元超重费．设某件物品的重量为千克． (1)当时，支付费用为________元（用含的代数式表示）；当时，支付费用为________元（用含和、的代数式表示）； (2)甲、乙两人各托运一件物品，物品重量和支付费用如下表所示． 物品重量（千克） 支付费用（元） 18 39 25 60 ①试根据以上提供的信息确定，的值． ②试问在物品可拆分的情况下，用不超过120元的费用能否托运50千克物品？若能，请设计出其中一种托运方案，并求出托运费用；若不能，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $