专题02 函数及其图象（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题02 函数及其图象（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 函数的概念 题型02 函数的解析式 题型03 自变量取值范围 题型04 平面直角坐标系 题型05 从函数图象获取信息 题型06 一次函数的概念 题型07 一次函数的性质 题型08 一次函数的图象 题型09 一次函数的实际应用 题型10 反比例函数的概念 题型11 反比例函数的图象 题型12 反比例函数的性质 题型13 K的几何意义 题型14 一次函数与反比例函数综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 变量与函数的相关概念 能准确识别变量、常量、自变量、因变量的定义，明确各量的含义；理解函数的定义，掌握判断两个变量是否存在函数关系的核心方法；能区分函数与代数式、等式的差异，能根据实际问题确定自变量的取值范围。 基础必考点，常出现在选择题、填空题，考查对函数定义的辨析，易忽略“对于自变量的每一个确定值，因变量有唯一确定值与之对应”的核心条件，也常结合实际问题考查自变量取值范围的确定。 函数的三种表示方法 熟练掌握函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法，能明确每种方法的特点与适用场景；能根据实际问题选择合适的方法表示函数关系，能完成三种表示方法之间的相互转化。 基础必考点，常出现在选择题、填空题，也会在解答题中结合实际问题考查，易在三种表示方法的转化中出现错误，需重点关注解析法的规范书写和列表法、图象法的对应关系。 平面直角坐标系与点的坐标特征 能准确认识平面直角坐标系的结构，明确横轴、纵轴、原点、象限的定义；能熟练根据点的位置确定坐标，根据坐标确定点的位置；掌握各象限内点的坐标特征、坐标轴上点的坐标特征、关于坐标轴对称的点的坐标特征。 基础必考点，是函数图象的核心基础，常出现在选择题、填空题，考查点的坐标特征的应用，易在象限的符号判断、对称点的坐标变化上设置易错点，也会结合几何图形考查点的坐标确定。 函数的图象及其画法 理解函数图象的定义，明确函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系；熟练掌握用描点法画函数图象的基本步骤（列表、描点、连线），能规范完成简单函数图象的绘制；能根据函数图象获取相关信息，判断函数的变化趋势。 高频考点，是研究函数性质的核心方法，常出现在选择题、填空题，也会在解答题中结合函数性质考查，易在描点的准确性、连线的合理性上出现错误，需重点关注函数图象与解析式的对应关系，以及从图象中提取信息的能力。 正比例函数的定义、图象与性质 能准确识别正比例函数的定义，明确正比例函数的一般形式，掌握判断一个函数是否为正比例函数的核心条件；能熟练画出正比例函数的图象，掌握正比例函数图象的形状、位置特征；能根据正比例函数的解析式判断函数的增减性、图象经过的象限，能结合图象解决简单的求值、比较大小问题。 高频核心考点，是一次函数的特殊形式，常出现在选择题、填空题，也会在解答题中结合一次函数考查，易在正比例函数的定义辨析、比例系数k的符号与函数性质的对应关系上设置易错点，需重点掌握k的几何意义和函数性质的综合应用。 一次函数的定义、图象与性质 能准确识别一次函数的定义，明确一次函数的一般形式，掌握判断一个函数是否为一次函数的核心条件，能区分一次函数与正比例函数的关系；能熟练画出一次函数的图象，掌握一次函数图象的形状、位置特征，能根据解析式快速确定图象经过的象限；能根据一次函数的解析式判断函数的增减性，能结合图象解决求值、比较大小、确定自变量取值范围等问题；能根据已知条件确定一次函数的解析式，掌握待定系数法的应用。 高频核心考点，是本章的核心内容，期末必考，常出现在选择题、填空题、解答题，考查形式多样，易在一次函数的定义辨析、k和b的符号与函数图象的对应关系、增减性的判断上设置易错点，需重点掌握待定系数法求解析式、函数性质的综合应用，这是后续学习的核心基础。 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系 能理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，能从“数”和“形”两个角度解释三者的关系；能利用一次函数的图象求解一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，能结合图象解决方程、不等式的相关问题。 高频考点，是数形结合思想的核心应用，常出现在选择题、填空题，也会在解答题中结合函数性质考查，易在方程的解、不等式的解集与函数图象的对应关系上出现理解错误，需重点关注从图象中提取方程、不等式相关信息的能力，以及数形结合思想的应用。 一次函数的实际应用 能结合具体实际问题，分析题目中的数量关系，准确找出变量之间的函数关系；能根据实际问题的场景，合理设变量，列出一次函数的解析式，确定自变量的取值范围；能结合一次函数的图象和性质，解决实际问题中的最值、方案选择、趋势分析等问题；能规范完成解题全流程，检验解的实际合理性。 高频核心考点，期末必考，常出现在解答题的应用题部分，分值占比高，考查学生的数学建模能力和分析解决实际问题的能力，易在等量关系的建立、自变量取值范围的确定、实际意义的检验上出现错误，需重点掌握常见实际场景（行程、工程、销售、方案选择等）的函数建模方法和解题规范。 知识点01 变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量（如行驶路程中的速度、时间）； 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如匀速行驶中，速度是常量）； 注意：变量和常量是相对的，取决于变化过程（同一量在不同变化过程中，可能是变量，也可能是常量）。 知识点02 函数的定义及表示方法 定义：在一个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 是 的函数， 是自变量。 函数的表示方法： 1.解析法：用数学式子表示两个变量之间的函数关系（如 ）； 2.列表法：用表格列出自变量 与对应函数值 的关系（如表格中 取 1、2、3 时， 对应取 3、5、7）； 3.图象法：用平面直角坐标系中的点表示自变量 与函数值 的关系（每个点的坐标 对应一组 、 的值）。 函数自变量的取值范围： 使函数有意义的自变量的所有取值，叫做自变量的取值范围； 常见限制条件： 1.分母不为 0（如 ，自变量 ）； 2.被开方数非负（如 ，自变量 ）； 3.结合实际意义（如路程、人数不能为负数）。 知识点03 平面直角坐标系 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做 轴（纵轴），向上为正方向；两轴的交点叫做原点 。 象限划分：平面直角坐标系把平面分成四个象限，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限；注意：坐标轴（ 轴、 轴）上的点不属于任何一个象限。 点的坐标： 平面内任意一点 ，过 作 轴的垂线，垂足对应的数为横坐标（）；过 作 轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标（），则点 的坐标表示为 ； 各象限内点的坐标特征：第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ； 坐标轴上点的坐标特征： 轴上的点，纵坐标为 0（如 ）； 轴上的点，横坐标为 0（如 ）；原点坐标为 ； 对称点的坐标特征： 关于 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数（如 对称点为 ）。 知识点04 函数的图象 定义：把一个函数的自变量 与对应的函数值 分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。 画函数图象的步骤： 列表：选取自变量 的若干个取值（需在自变量取值范围内），计算出对应的函数值 ，列出表格； 描点：根据表格中的 ，在平面直角坐标系中描出对应的点； 连线：根据点的分布规律，用平滑的曲线（或直线）连接各点，得到函数图象；注意：若自变量取值为离散值，可只描点，不连线。 函数图象的意义：图象上任意一点的坐标 ，都满足函数关系式；反之，满足函数关系式的任意一组 ，对应的点一定在函数图象上。 知识点05 一次函数 1. 一次函数 定义：一般地，形如 （、 为常数，且 ）的函数，叫做一次函数。 特殊情况：当 时，一次函数变为 （），叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 注意：一次函数的条件是”“，若 ，则函数变为 ，是常数函数，不是一次函数。 2. 一次函数的图象 图象形状：一次函数 （）的图象是一条直线，因此一次函数也叫做线性函数。 图象画法（两点法，最简便）： 对于正比例函数 ：图象过原点 和点 ，描出这两点，连线即可； 对于一般一次函数 ：找与 轴、 轴的交点，即当 时，（与 轴交点 ）；当 时，（与 轴交点 ），描出这两点，连线即可。 直线 的位置与 、 的关系： 的作用：决定直线与 轴的交点位置（，交点在 轴正半轴；，交点在原点；，交点在 轴负半轴）； 的作用：决定直线的倾斜方向和倾斜程度（，直线从左到右上升；，直线从左到右下降； 越大，直线越陡峭）。 3. 一次函数的性质 当 时： 随 的增大而增大； 若 ，直线经过第一、二、三象限； 若 ，直线经过第一、三象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第一、三、四象限。 当 时： 随 的增大而减小； 若 ，直线经过第一、二、四象限； 若 ，直线经过第二、四象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第二、三、四象限。 补充：一次函数的图象是直线，因此它的性质是“单调增减”，无最大值、最小值（除非有自变量取值范围限制）。 4. 求一次函数的表达式 核心方法：待定系数法（华东师大版重点），步骤如下： 设：设一次函数的表达式为 （）；若为正比例函数，设为 （）； 代：将已知的两组（或一组，正比例函数）、 的值代入表达式，得到关于 、 的二元一次方程组（或一元一次方程）； 解：解方程组（或方程），求出 、 的值； 写：将 、 的值代入所设表达式，得到一次函数的最终表达式。 注意：求表达式时，需确保已知点的坐标满足函数表达式，代入后计算要准确；若有实际意义，需检验 、 的合理性。 知识点06反比例函数 1. 反比例函数 定义：一般地，形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫做反比例函数。 反比例函数的其他形式：（）、（），三种形式可以互相转化。 自变量取值范围：（分母不能为 0），函数值 。 2. 反比例函数的图象和性质 图象形状：反比例函数 （）的图象是双曲线，有两个分支，且两个分支关于原点对称。 图象与坐标轴的关系：双曲线永远不会与 轴、 轴相交（因为 、）。 图象位置与 的关系（华东师大版重点）： 当 时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限； 当 时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限。 反比例函数的性质： 当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小（注意：“每个象限内”不可省略，不同象限的点不能比较增减性）； 当 时，在每个象限内， 随 的增大而增大（同样需强调“每个象限内”）； 补充：双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但永远不会相交； 越大，双曲线的分支越远离原点。 知识点07 实践探索 核心内容：结合一次函数、反比例函数的图象和性质，解决实际问题（如行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等）。 解题步骤： 审题：理解题意，找出题目中的变量和常量，明确函数关系； 设元：设出自变量和函数，根据题意列出函数表达式（一次函数或反比例函数）； 求解：结合函数图象和性质，求出所需的未知量（如自变量取值、函数值、交点坐标等）； 检验：检验结果是否符合函数关系式和实际意义； 作答：写出最终答案。 常见题型： 一次函数与反比例函数的交点问题（联立两个函数表达式，求解方程组，得到交点坐标）； 利用函数图象比较两个函数值的大小； 结合实际场景，求函数自变量的取值范围、函数的最大值或最小值（需结合自变量取值范围）。 题型一 函数的概念 【典例1】圆周长公式中，下列说法错误的是（    ） A．C、、r是变量，2是常量 B．C、r是变量，是常量 C．r是自变量，C是因变量 D．当自变量时，因变量 【答案】A 【分析】在变化过程中，数值不变的量是常量，数值改变的量是变量，据此判断选项即可． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在圆周长公式中，是固定不变的常数，属于常量，不是变量，2也是常量，和是变化的量，是变量；故A选项的说法是错误的，符合题意； 是固定不变的常量，、可以发生变化是变量，故B选项说法正确，不符合题意； 随的变化而变化，且是自变量，是因变量，故C选项说法正确，不符合题意； 将代入公式，得，故D选项说法正确，不符合题意． 【变式1】下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义解答即可，在一个变化过程中，给出一个x的值，y有唯一的值与之相对应，此时y叫做x的函数． 【详解】解：由B，C，D中的曲线可知，存在当x取一个值时，对应的y有不唯一的值，所以不符合题意，而A中满足对于x的每一个取值，y都有确定的值与之对应，所以A符合题意． 【变式2】嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 题型二 函数的解析式 【典例1】博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 【变式1】如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式． 根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵三边总长恰好为， 设边的长为，边的长为， ． 故答案为：B． 【变式2】像这样的函数称为常值函数，函数的图象经过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数解析式，在函数的图象上的点的纵坐标为2，据此可得答案． 【详解】解：∵在函数的图象上的点的纵坐标为2， ∴四个点中，只有点在函数的图象上， 故选：D． 题型三 自变量取值范围 【典例1】函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，核心依据是分式的分母不能为0的性质，根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵分式的分母不能为0， ∴， ∴， ∴函数的自变量的取值范围为． 故选：A． 【变式1】已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为__，自变量x的取值范围是__． 【答案】 / 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定x的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵两边之和大于第三边， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：，． 【变式2】函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围． 无论x取何值，函数解析式均有意义，即取全体实数． 【详解】解：∵无论x取何值，函数解析式均有意义， ∴取全体实数． 故选：A． 题型四 平面直角坐标系 【典例1】在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】∵ 平面直角坐标系中各象限点的符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限； 又∵ 点的横坐标，纵坐标，符合第二象限点的符号特征； ∴ 点在第二象限. 【变式1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，C的坐标分别为． (1)请在网格中画出相应的平面直角坐标系； (2)请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，． 【分析】（1）根据点A，C的坐标分别为找到直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系即可； （2）先找出A、B、C三点关于y轴对称的对称点，连接三点画出三角形即可，进而写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示： 则． 【变式2】如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（   ） A．北偏东方向上的1200米处 B．南偏西方向上的1200米处 C．北偏东方向上的1200米处 D．距离学校1200米处 【答案】B 【分析】此题主要考查了方向角，结合图形得出小明家在学校的南偏西方向上的1200米处，即可作答． 【详解】解：， 由图形知，小明家在学校的南偏西方向上的1200米处． 题型五 从函数图象获取信息 【典例1】如图为世界人口变化趋势图（含预测），下面关于世界人口的叙述正确的是（   ） A．从1800年开始年增长率持续降低 B．世界人口数量不断增长 C．从1800年开始年增长率持续升高 D．世界人口数量不断减少 【答案】B 【分析】从图象中获取信息进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，从1800年开始年增长率有升有降，世界人口数量不断增长， 故只有选项B正确. 【变式1】如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是 _______． 【答案】84 【分析】先分析出点P在和上运动时的大小变化，再结合函数图象得到相应线段长． 【详解】解：由图象分析可得：当点P在上运动时，不断增大，到达C点时，达到最大值，此时； 当P在上运动时，先减小再增大， 在此过程中，时，此位置记为，有最小值为，由勾股定理可得， P点到达A点时，可得，由勾股定理可得， ∴， ∴． 【变式2】在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在米高的上空停留的时间是______分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； (3)图中表示的数是______；表示的数是______； (4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】（）根据图像找到无人机在米高空的起止时间，用结束时间减去开始时间，算出停留时长； （）利用分钟的高度变化，根据速度公式求出无人机上升/下降的速度即可； （）分别计算上升到米的时间，以及从米下降到地面的时间，即可得出答案； （）先算出第12分钟到第分钟的下降高度，用米减去下降高度，得到此时的飞行高度． 【详解】（1）解：由图像可知，无人机在米高空时，对应时间从分钟到分钟， 停留时间为（分钟）； （2）解：分钟内，无人机分钟上升了（米）， 因此上升/下降速度为（米/分钟）； （3）解：求：无人机从原点上升到米，速度为米/分钟， 时间； 求：无人机分钟开始从米高度下降， 下降总时间为（分钟）， 因此； （4）解：第分钟时，无人机已经下降了（分钟）， 下降高度为（米）， 因此此时飞行高度为（米）． 题型六 一次函数的概念 【典例1】下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义； B：，，，符合一次函数定义； C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数； D：，分母有未知数，不符合一次函数定义； 故选：B． 【变式1】下列表格反映了自变量与其对应的函数值的关系，其中可能表示一次函数的是（   ） A． x … 1 2 3 4 5 … y … 1 4 9 16 25 … B． x … 1 2 3 4 5 … y … 1 3 5 7 9 … C． x … 1 2 3 4 5 … y … 1 … D． x … 1 2 3 4 5 … y … 1 3 6 10 15 … 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，即自变量每增加1个单位，函数值随自变量是均匀增加的，据此作答即可． 【详解】A．从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值增加3、5、7、9，函数值随自变量不是均匀增加，因而不满足一次函数关系； B．从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值分别增加2，函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系； C．从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值分别减小，函数值随自变量不是均匀增加，因而不满足一次函数关系； D．从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值分别增加2、3、4、5，函数值随自变量不是均匀增加，因而不满足一次函数关系； 故选：B． 【变式2】下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数，根据一次函数和正比例函数的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，的次数为，不是一次函数，该选项不合题意； 、是一次函数但不是正比例函数，该选项符合题意； 、是正比例函数，该选项不合题意； 、中的次数为，不是一次函数，该选项不合题意； 故选：． 题型七 一次函数的性质 【典例1】已知一次函数（k是常数，），y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为________． 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据一次函数的增减性和一次项系数的关系即可确定的范围． 【详解】在中，随的增大而减小， ,的值可以是（答案不唯一，即可）． 【变式1】已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【详解】（1）解： 为正比例函数， ， ． （2）解： 不经过第一象限， 可得， 解得． （3）解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大， 则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 【变式2】已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据一次函数的增减性，结合已知点的横坐标大小关系，判断y值的大小顺序即可． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随着x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：B． 题型八 一次函数的图象 【典例1】如图，一次函数的图象，则k、b的符号是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象经过第一、二、四象限， 则，． 【变式1】将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移，利用初中一次函数平移“上加下减”的规则即可解答，沿y轴向上平移，只需在原函数常数项上加平移长度． 【详解】解：∵一次函数图象沿y轴平移时，不改变一次项系数，沿y轴向上平移遵循“上加下减”的平移规则， 原函数解析式为，向上平移3个单位长度， ∴平移后的解析式为， 化简得， 故选：A． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，然后根据平移的规律，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵边长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； ∵直线与正方形有交点， ∴的取值范围是． 题型九 一次函数的实际应用 【典例1】某工厂生产某种产品，每件产品的生产成本为25元，出厂价为50元．在生产过程中，平均每生产一件这种产品有的污水排出．为净化环境，该厂购买了一套污水处理设备，每处理污水所需原材料费为2元，另外每月排污设备耗费4000元．（利润＝总收入－总支出） (1)求该厂每月的利润（元）关于产品件数（件）的函数关系式； (2)若想要每月盈利32000元，则该厂每月需生产并销售这种产品多少件？ 【答案】(1) (2)该厂每月需生产并销售这种产品1500件 【分析】（1）由题意，得求解即可． （2）由题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 即该厂每月的利润（元）与产品件数（件）的函数关系式为． （2）解：由题意，得． 解得． 答：该厂每月需生产并销售这种产品1500件． 【变式1】小红同学为了参加周末劳动实践活动，便带着爸妈种植的鲜玉米进城出售，为了方便，她带了一些备用零钱．按市场价出售一些后，又降价出售．小红手中持有的钱数y（元）（含备用零钱）与售出鲜玉米个数x（个）间的关系如图所示、根据图象解决问题： (1)小红自带的零钱是_____元． (2)降价前每个鲜玉米出售的价格是______元． (3)降价后小红按每个0.8元将剩余鲜玉米全部售完，这时她手中持有的钱数是43元．求小红一共带了多少个鲜玉米． (4)写出小红手中持有的钱数y（元）与售出鲜玉米个数之间的表达式． 【答案】(1)5 (2)1 (3)40个 (4) 【分析】（1）根据图象可直接进行求解； （2）根据图象及（1）可进行求解； （3）由图象可知降价后比降价前多了8元，然后根据数量=售价÷单价可进行求解； （4）由（1）及图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由图象可知：小红自带的零钱是5元； （2）解：（元）； 故降价前每个鲜玉米出售的价格是1元； （3）解：（个）， （个）； 答：小红一共带了40个鲜玉米． （4）解：小红手中持有的钱数y（元）与售出鲜玉米个数之间的表达式为． 【变式2】通过AI与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某AI快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量（单位：个）与工作时间（单位：分钟）的关系如图所示． (1)乙机器人分拣包裹的速度是__________个/分，11分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差__________个． (2)求乙分拣包裹数量（单位：个）与工作时间（单位：分钟）的关系式． (3)由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间． (4)直接写出12分钟之后，在分拣过程中，两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）乙机器人50分钟分拣3000个包裹，据此可求出乙机器人的分拣速度，进而求出11分钟时乙机器人分拣的包裹数，再求甲机器人在12分钟前的分拣速度，得到11分钟时甲机器人分拣的包裹数，据此可得答案； （2）设，再利用待定系数法求关系式即可； （3）先求出异常前甲的分拣速度，进而求出异常后甲的分拣速度，再根据甲和乙机器人分拣的包裹数量相同建立方程求解即可； （4）分， 和三种情况，分别求出两个机器人分拣的包裹数相差不超过200时x的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解；由函数图象可得乙机器人分拣包裹的速度是（个/分）， 则11分钟时，乙机器人分拣的包裹数量为（个）， 甲机器人在12分钟前的分拣速度为（个/分）， 则11分钟时，甲机器人分拣的包裹数量为（个）， 甲和乙机器人分拣的包裹数量相差（个）； 故答案为：60；； （2）解：设， 由题可知过和， ，解得， 乙分拣包裹数量与工作时间的关系式； （3）解：由（1）知，甲机器人视觉系统识别异常前，分拣包裹的速度是80个/分， 则甲机器人视觉系统识别异常后，分拣包裹的速度是（个/分）， 所以12分钟后，甲机器人分拣包裹数量与工作时间的关系式， 设甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为x分， 则， 解得， ∴甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为42分钟． （4）解：当时，由题意得，， 解得； 当时，由题意得， ， 解得； 当时，由题意得，， ∴， ∴整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间为 分钟． 题型十 反比例函数的概念 【典例1】下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质，反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积恒等于k，据此计算乘积即可判断. 【详解】解：∵ ∴在反比例函数图象上的是. 【变式1】如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据函数图像以及P点坐标即可解答． 【详解】解：由P点坐标以及函数图像可知，当时，y的取值范围是． 【变式2】反比例函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入函数解析式，计算得到的值和点的纵坐标对比，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解∶∵ 反比例函数解析式为 ， ∴ 当 时，， 和A选项纵坐标不相等， A不符合题意． 当 时，， 和B选项纵坐标不相等， B不符合题意． 当 时，， 和C选项纵坐标不相等， C不符合题意． 当 时，， 和D选项纵坐标相等， D符合题意． 题型十一 反比例函数的图象 【典例1】反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，故可得答案． 【详解】解：∵中， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限， 所以，选项C符合题意， 故选：C． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 【变式2】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 题型十二 反比例函数的性质 【典例1】关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象过点 B．图象在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，当时，图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：把代入得：，因此图象不过点，故A错误； 选项B：由于，则反比例函数图象位于第二、四象限，故B错误； 选项C：由于，则当时，随的增大而增大，故C错误； 选项D：由于，则当时，随的增大而增大，故D正确． 【变式1】已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么_________（请写出一个符合条件的k值）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，由点A和点B的横坐标大小关系及纵坐标大小关系，判断函数图象的象限和增减性，从而确定k的取值范围，并写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， 又∵，且， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴双曲线位于第一、三象限， ∴， 故可取（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一） 【变式2】如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：设阴影部分的面积为m，根据反比例函数k值的几何意义可得： ， ∴． 题型十三 K的几何意义 【典例1】如图，反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4，则k的值是（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据k的几何意义和反比例函数图象的性质，可得k的值． 【详解】解：反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4， ， ， 由反比例函数图象可知，， ． 【变式1】如图，点A在反比例函数（k为常数，）的图象上，轴于点B，连接．若的面积小于3，则k的值可能是______________ ．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据过反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，再结合图象位置的分布即可解答． 【详解】解：∵的面积小于3， ∴，即， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， ∴， 则k的值可能是（答案不唯一）． 【变式2】如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为，则k的值为_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的横坐标相同，设，，则，根据的面积为，得出，求得答案即可． 【详解】解：∵轴， 、的横坐标相同， 设，，，则， ， ∵的面积为， ∴， ． 故答案为：． 题型十四 一次函数与反比例函数的综合 【典例1】已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式． (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）求解，，再根据函数图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把点，点代入，得： ， ∴，解得：， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴，， ∴根据图象可得，关于x的不等式的解集或. 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； (3)请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，再求出一次函数的解析式即可； （2）利用勾股定理求得，进而即可求得点的坐标； （3）根据函数的图象和点的坐标得出答案即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 即反比例函数的表达式是， 把点，与代入， 得， 解得， 一次函数的表达式是． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点 P 是y 轴上的一点， ∴或． （3）解：根据图象可知：在第二象限中，当时x 的取值范围为： ． 【变式2】参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为 ，所以我们对函数进行探究． … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … … 3 5 … (1)与的几组对应值如表：其中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的图象． (3)根据所画图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）； ②函数的图象是由的图象向 平移 个单位长度得到的． (4)进一步探究函数与的图象，结合函数、不等式、方程三者之间的关系，解决下列问题． ①方程有 个解； ②不等式的解集是 ． 【答案】(1)2，0 (2)画图见解析； (3)①增大；②上，1 (4)①2；②或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，平移的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）把和分别代入，即可求得m、n的值； （2）根据表格数据，绘制函数的图象即可； （3）①利用函数图象的增减性即可得到答案；②结合表格信息，利用平移的性质即可得到答案； （4）①先画出函数的图象，观察图象即可解决问题．②利用即可解决问题． 【详解】（1）解：把和分别代入， ∴，； （2）解：先描点，再画图如下： （3）解：①当时，随的增大而增大； ②函数的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的． （4）解：的图象如图所示， ∴①由图象可得方程有个解； ②由图象可得的两个解为： ，，经检验符合题意； ∴函数图象的两个交点的横坐标为，， ∴不等式的解集是或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行判断即可． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，不一定有唯一的值与之对应，故不是的函数，符合题意． 2．如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 【答案】 【分析】先根据点的平移规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求解点的坐标． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵ 点的横坐标，纵坐标， ∴ 点在第二象限． 4．如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各象限内点的坐标特征进行作答即可． 【详解】解：依题意，小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴小手盖住的点的坐标可能为， 选项符合题意． 5．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大3，求的值； (2)若点在轴上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“点的纵坐标比横坐标大3”列方程求解即可； （2）根据“点在轴上”得到纵坐标为0，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得． （2）解：点在轴上， ， 解得． 6．党的十八大以来，文山路网建设进展迅速.实现了县县通等级公路和州府通高速公路的目标．小明和爸爸为了体验高铁出行，假期间爸爸带小明从家驾车到普者黑火车站乘高铁前往昆明，他们离家的距离（）与出发时间（）之间的关系如图所示． (1)小明家离普者黑火车站 ； (2)从图中可以看出，小明和爸爸在普者黑火车站取票、检票、候车共用了 ； (3)高铁平均速度为，请你计算出普者黑火车站到昆明需要多少时间？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由图可得出结果； （2）由图可得出结果； （3）根据距离速度时间，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：当时，， 小明家离普者黑火车站； （2）解：由图可知：当时，， ， 小明和爸爸在普者黑火车站取票、检票、候车共用了； （3）解：从家驾车到普者黑火车站路程为，离家的总路程为， 则坐高铁的路程为 普者黑火车站到昆明需要 的时间为， 答：普者黑火车站到昆明需要． 7．已知点． (1)若点在第一象限，求，的取值范围； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中第一象限点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据第一象限内点的横、纵坐标均为正数的性质列不等式求解、的取值范围． （2）将点的坐标代入一次函数解析式，通过变形计算得到的值 ． 【详解】（1）解：点在第一象限 ， （2）解：点在一次函数的图象上 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点坐标代入到两个解析式，可以得到和，将其代入式子即可解决． 【详解】解：函数与的图象交于点， ，， ， ． 9．已知点，，将线段平移后得到线段，其中点A平移到点C，点B平移到点D，平移后点C、点D恰好都落在坐标轴上，则点C的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同，结合C，D都落在坐标轴上的条件，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设平移时横坐标变化量为，纵坐标变化量为， ∵平移后得到点，平移后得到点， ∴， ∵，都落在坐标轴上，分两种情况讨论： 情况1：在轴，在轴 可得 解得， ∴ 情况2：在轴，在轴 可得， 解得， ∴ 综上，点的坐标为或． 10．如图，长方形的顶点坐标分别为，，，，点，同时从点出发，在长方形的边上做环绕运动，点以2个单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，点以1个单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则点，在运动过程中第次相遇时，相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求出长方形的周长．设点，出发t秒第次相遇，即可列出关于t的等式，解出，从而可求出此时点的路程为．最后根据长方形的周长，即得出相遇点在点A，从而得出相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ，． 长方形的周长． 设点，出发t秒第次相遇，则， 解得：． ∴此时Q的路程为． ∵， ∴相遇点在A． 相遇点的坐标为． 11．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；③时，甲仓库内快件数为600件；④时，两仓库快递件数相同．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据图象可知15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，据此可得甲仓库揽收快件的速度，进而得出时，甲仓库内快件数；由图象可知45分钟，乙仓库派送快件数量为180件，可得乙仓库每分钟派送快件的数量，进而得出乙仓库快件的总数量，然后根据题意列方程即可求出两仓库快递件数相同是时间． 【详解】解：由题意结合图象可知： 15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，故①说法错误； 乙仓库派送快件的速度为（件分），故说法②正确； 甲仓库揽收快件的速度为：（件分）， 所以时，甲仓库内快件数为：（件，故③说法错误； 乙仓库快件的总数量为：（件， 设分钟后，两仓库快递件数相同，根据题意得： ， 解得， 即时，两仓库快递件数相同，故④说法正确． 所以说法正确的有②④共2个． 12．在函数的图象上有三个点的坐标分别为，，，则函数值的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用时反比例函数的图像位置和增减性，即可比较三个函数值的大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内 随 的增大而减小 ∵ ，，， ∴ ， 在第一象限， 在第三象限， ∴ ， 又∵ ， ∴ ∴ ． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】先将点代入直线解析式求出，得到点坐标，再将、两点坐标代入，列方程组求解、即可； 不等式的几何意义为：直线的图像在直线图像 上方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标直接判断； 先求出、坐标，计算，再根据面积关系得，结合三角形面积公式求出的长度，分点在左右两侧求解坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． （3）解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数解析式求解、一次函数与不等式关系、坐标与三角形面积，解题关键是利用函数图像几何意义和面积公式分类讨论． 14．宁波北仑区九峰山景区是国家4A级风景区，是大家采风游玩的好去处，某校登山兴趣小队周末去九峰山游玩，从山脚出发，经过1.5个小时到达野营点，并在这野营休息了1.5小时，又经过2小时原路下山返回山脚处．如图，是小队距山脚的距离y（）关于小队登山时间x（h）的部分图象，若小队上山的速度为，请回答以下问题： (1)野营点距离山脚 ． (2)补全函数图象，并标注图象转折点A、点B的坐标． (3)请计算小队下山的函数表达式，并且计算当出发4.5小时后，小队距山脚的距离． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)，当出发4.5小时后，小队距山脚的距离为 【分析】（1）根据时间乘速度即可求解； （2）根据题意即可补全函数图象； （3）利用待定系数法求得小队下山的函数表达式，再计算时，的值即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由题意，函数图象如下， ； （3）解：设小队下山的函数表达式为，代入，， ∴， ∴， ∴， 令时，， ∴当出发4.5小时后，小队距山脚的距离为． 15．如图，已知，是一次函数和反比例函数 的图象的两个交点． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式 的解集： (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）先根据点的坐标求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，两个、两点的坐标代入一次函数解析式中，求出一次函数解析式； （2）根据图象求出不等式的解集； （3）先求一次函数与轴交点，从而可求得，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解： ，是一次函数和反比例函数 的图象的两个交点， ， 反比例函数解析式为， ， ， 将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象得，的解集为或； （3）解：一次函数的解析式为， 当时，， 解得， ， ， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数及其图象（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 函数的概念 题型02 函数的解析式 题型03 自变量取值范围 题型04 平面直角坐标系 题型05 从函数图象获取信息 题型06 一次函数的概念 题型07 一次函数的性质 题型08 一次函数的图象 题型09 一次函数的实际应用 题型10 反比例函数的概念 题型11 反比例函数的图象 题型12 反比例函数的性质 题型13 K的几何意义 题型14 一次函数与反比例函数综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 变量与函数的相关概念 能准确识别变量、常量、自变量、因变量的定义，明确各量的含义；理解函数的定义，掌握判断两个变量是否存在函数关系的核心方法；能区分函数与代数式、等式的差异，能根据实际问题确定自变量的取值范围。 基础必考点，常出现在选择题、填空题，考查对函数定义的辨析，易忽略“对于自变量的每一个确定值，因变量有唯一确定值与之对应”的核心条件，也常结合实际问题考查自变量取值范围的确定。 函数的三种表示方法 熟练掌握函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法，能明确每种方法的特点与适用场景；能根据实际问题选择合适的方法表示函数关系，能完成三种表示方法之间的相互转化。 基础必考点，常出现在选择题、填空题，也会在解答题中结合实际问题考查，易在三种表示方法的转化中出现错误，需重点关注解析法的规范书写和列表法、图象法的对应关系。 平面直角坐标系与点的坐标特征 能准确认识平面直角坐标系的结构，明确横轴、纵轴、原点、象限的定义；能熟练根据点的位置确定坐标，根据坐标确定点的位置；掌握各象限内点的坐标特征、坐标轴上点的坐标特征、关于坐标轴对称的点的坐标特征。 基础必考点，是函数图象的核心基础，常出现在选择题、填空题，考查点的坐标特征的应用，易在象限的符号判断、对称点的坐标变化上设置易错点，也会结合几何图形考查点的坐标确定。 函数的图象及其画法 理解函数图象的定义，明确函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系；熟练掌握用描点法画函数图象的基本步骤（列表、描点、连线），能规范完成简单函数图象的绘制；能根据函数图象获取相关信息，判断函数的变化趋势。 高频考点，是研究函数性质的核心方法，常出现在选择题、填空题，也会在解答题中结合函数性质考查，易在描点的准确性、连线的合理性上出现错误，需重点关注函数图象与解析式的对应关系，以及从图象中提取信息的能力。 正比例函数的定义、图象与性质 能准确识别正比例函数的定义，明确正比例函数的一般形式，掌握判断一个函数是否为正比例函数的核心条件；能熟练画出正比例函数的图象，掌握正比例函数图象的形状、位置特征；能根据正比例函数的解析式判断函数的增减性、图象经过的象限，能结合图象解决简单的求值、比较大小问题。 高频核心考点，是一次函数的特殊形式，常出现在选择题、填空题，也会在解答题中结合一次函数考查，易在正比例函数的定义辨析、比例系数k的符号与函数性质的对应关系上设置易错点，需重点掌握k的几何意义和函数性质的综合应用。 一次函数的定义、图象与性质 能准确识别一次函数的定义，明确一次函数的一般形式，掌握判断一个函数是否为一次函数的核心条件，能区分一次函数与正比例函数的关系；能熟练画出一次函数的图象，掌握一次函数图象的形状、位置特征，能根据解析式快速确定图象经过的象限；能根据一次函数的解析式判断函数的增减性，能结合图象解决求值、比较大小、确定自变量取值范围等问题；能根据已知条件确定一次函数的解析式，掌握待定系数法的应用。 高频核心考点，是本章的核心内容，期末必考，常出现在选择题、填空题、解答题，考查形式多样，易在一次函数的定义辨析、k和b的符号与函数图象的对应关系、增减性的判断上设置易错点，需重点掌握待定系数法求解析式、函数性质的综合应用，这是后续学习的核心基础。 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系 能理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，能从“数”和“形”两个角度解释三者的关系；能利用一次函数的图象求解一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，能结合图象解决方程、不等式的相关问题。 高频考点，是数形结合思想的核心应用，常出现在选择题、填空题，也会在解答题中结合函数性质考查，易在方程的解、不等式的解集与函数图象的对应关系上出现理解错误，需重点关注从图象中提取方程、不等式相关信息的能力，以及数形结合思想的应用。 一次函数的实际应用 能结合具体实际问题，分析题目中的数量关系，准确找出变量之间的函数关系；能根据实际问题的场景，合理设变量，列出一次函数的解析式，确定自变量的取值范围；能结合一次函数的图象和性质，解决实际问题中的最值、方案选择、趋势分析等问题；能规范完成解题全流程，检验解的实际合理性。 高频核心考点，期末必考，常出现在解答题的应用题部分，分值占比高，考查学生的数学建模能力和分析解决实际问题的能力，易在等量关系的建立、自变量取值范围的确定、实际意义的检验上出现错误，需重点掌握常见实际场景（行程、工程、销售、方案选择等）的函数建模方法和解题规范。 知识点01 变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量（如行驶路程中的速度、时间）； 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如匀速行驶中，速度是常量）； 注意：变量和常量是相对的，取决于变化过程（同一量在不同变化过程中，可能是变量，也可能是常量）。 知识点02 函数的定义及表示方法 定义：在一个变化过程中，有两个变量 和 ，如果对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 是 的函数， 是自变量。 函数的表示方法： 1.解析法：用数学式子表示两个变量之间的函数关系（如 ）； 2.列表法：用表格列出自变量 与对应函数值 的关系（如表格中 取 1、2、3 时， 对应取 3、5、7）； 3.图象法：用平面直角坐标系中的点表示自变量 与函数值 的关系（每个点的坐标 对应一组 、 的值）。 函数自变量的取值范围： 使函数有意义的自变量的所有取值，叫做自变量的取值范围； 常见限制条件： 1.分母不为 0（如 ，自变量 ）； 2.被开方数非负（如 ，自变量 ）； 3.结合实际意义（如路程、人数不能为负数）。 知识点03 平面直角坐标系 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做 轴（纵轴），向上为正方向；两轴的交点叫做原点 。 象限划分：平面直角坐标系把平面分成四个象限，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限；注意：坐标轴（ 轴、 轴）上的点不属于任何一个象限。 点的坐标： 平面内任意一点 ，过 作 轴的垂线，垂足对应的数为横坐标（）；过 作 轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标（），则点 的坐标表示为 ； 各象限内点的坐标特征：第一象限 ，第二象限 ，第三象限 ，第四象限 ； 坐标轴上点的坐标特征： 轴上的点，纵坐标为 0（如 ）； 轴上的点，横坐标为 0（如 ）；原点坐标为 ； 对称点的坐标特征： 关于 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数（如 对称点为 ）； 关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数（如 对称点为 ）。 知识点04 函数的图象 定义：把一个函数的自变量 与对应的函数值 分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。 画函数图象的步骤： 列表：选取自变量 的若干个取值（需在自变量取值范围内），计算出对应的函数值 ，列出表格； 描点：根据表格中的 ，在平面直角坐标系中描出对应的点； 连线：根据点的分布规律，用平滑的曲线（或直线）连接各点，得到函数图象；注意：若自变量取值为离散值，可只描点，不连线。 函数图象的意义：图象上任意一点的坐标 ，都满足函数关系式；反之，满足函数关系式的任意一组 ，对应的点一定在函数图象上。 知识点05 一次函数 1. 一次函数 定义：一般地，形如 （、 为常数，且 ）的函数，叫做一次函数。 特殊情况：当 时，一次函数变为 （），叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 注意：一次函数的条件是”“，若 ，则函数变为 ，是常数函数，不是一次函数。 2. 一次函数的图象 图象形状：一次函数 （）的图象是一条直线，因此一次函数也叫做线性函数。 图象画法（两点法，最简便）： 对于正比例函数 ：图象过原点 和点 ，描出这两点，连线即可； 对于一般一次函数 ：找与 轴、 轴的交点，即当 时，（与 轴交点 ）；当 时，（与 轴交点 ），描出这两点，连线即可。 直线 的位置与 、 的关系： 的作用：决定直线与 轴的交点位置（，交点在 轴正半轴；，交点在原点；，交点在 轴负半轴）； 的作用：决定直线的倾斜方向和倾斜程度（，直线从左到右上升；，直线从左到右下降； 越大，直线越陡峭）。 3. 一次函数的性质 当 时： 随 的增大而增大； 若 ，直线经过第一、二、三象限； 若 ，直线经过第一、三象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第一、三、四象限。 当 时： 随 的增大而减小； 若 ，直线经过第一、二、四象限； 若 ，直线经过第二、四象限（正比例函数）； 若 ，直线经过第二、三、四象限。 补充：一次函数的图象是直线，因此它的性质是“单调增减”，无最大值、最小值（除非有自变量取值范围限制）。 4. 求一次函数的表达式 核心方法：待定系数法（华东师大版重点），步骤如下： 设：设一次函数的表达式为 （）；若为正比例函数，设为 （）； 代：将已知的两组（或一组，正比例函数）、 的值代入表达式，得到关于 、 的二元一次方程组（或一元一次方程）； 解：解方程组（或方程），求出 、 的值； 写：将 、 的值代入所设表达式，得到一次函数的最终表达式。 注意：求表达式时，需确保已知点的坐标满足函数表达式，代入后计算要准确；若有实际意义，需检验 、 的合理性。 知识点06反比例函数 1. 反比例函数 定义：一般地，形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫做反比例函数。 反比例函数的其他形式：（）、（），三种形式可以互相转化。 自变量取值范围：（分母不能为 0），函数值 。 2. 反比例函数的图象和性质 图象形状：反比例函数 （）的图象是双曲线，有两个分支，且两个分支关于原点对称。 图象与坐标轴的关系：双曲线永远不会与 轴、 轴相交（因为 、）。 图象位置与 的关系（华东师大版重点）： 当 时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限； 当 时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限。 反比例函数的性质： 当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小（注意：“每个象限内”不可省略，不同象限的点不能比较增减性）； 当 时，在每个象限内， 随 的增大而增大（同样需强调“每个象限内”）； 补充：双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但永远不会相交； 越大，双曲线的分支越远离原点。 知识点07 实践探索 核心内容：结合一次函数、反比例函数的图象和性质，解决实际问题（如行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等）。 解题步骤： 审题：理解题意，找出题目中的变量和常量，明确函数关系； 设元：设出自变量和函数，根据题意列出函数表达式（一次函数或反比例函数）； 求解：结合函数图象和性质，求出所需的未知量（如自变量取值、函数值、交点坐标等）； 检验：检验结果是否符合函数关系式和实际意义； 作答：写出最终答案。 常见题型： 一次函数与反比例函数的交点问题（联立两个函数表达式，求解方程组，得到交点坐标）； 利用函数图象比较两个函数值的大小； 结合实际场景，求函数自变量的取值范围、函数的最大值或最小值（需结合自变量取值范围）。 题型一 函数的概念 【典例1】圆周长公式中，下列说法错误的是（    ） A．C、、r是变量，2是常量 B．C、r是变量，是常量 C．r是自变量，C是因变量 D．当自变量时，因变量 【变式1】下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 题型二 函数的解析式 【典例1】博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】像这样的函数称为常值函数，函数的图象经过（    ） A． B． C． D． 题型三 自变量取值范围 【典例1】函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为__，自变量x的取值范围是__． 【变式2】函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 题型四 平面直角坐标系 【典例1】在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，C的坐标分别为． (1)请在网格中画出相应的平面直角坐标系； (2)请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【变式2】如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（   ） A．北偏东方向上的1200米处 B．南偏西方向上的1200米处 C．北偏东方向上的1200米处 D．距离学校1200米处 题型五 从函数图象获取信息 【典例1】如图为世界人口变化趋势图（含预测），下面关于世界人口的叙述正确的是（   ） A．从1800年开始年增长率持续降低 B．世界人口数量不断增长 C．从1800年开始年增长率持续升高 D．世界人口数量不断减少 【变式1】如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是 _______． 【变式2】在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在米高的上空停留的时间是______分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； (3)图中表示的数是______；表示的数是______； (4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 题型六 一次函数的概念 【典例1】下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列表格反映了自变量与其对应的函数值的关系，其中可能表示一次函数的是（   ） A． x … 1 2 3 4 5 … y … 1 4 9 16 25 … B． x … 1 2 3 4 5 … y … 1 3 5 7 9 … C． x … 1 2 3 4 5 … y … 1 … D． x … 1 2 3 4 5 … y … 1 3 6 10 15 … 【变式2】下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 题型七 一次函数的性质 【典例1】已知一次函数（k是常数，），y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为________． 【变式1】已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【变式2】已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（   ） A． B． C． D． 题型八 一次函数的图象 【典例1】如图，一次函数的图象，则k、b的符号是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型九 一次函数的实际应用 【典例1】某工厂生产某种产品，每件产品的生产成本为25元，出厂价为50元．在生产过程中，平均每生产一件这种产品有的污水排出．为净化环境，该厂购买了一套污水处理设备，每处理污水所需原材料费为2元，另外每月排污设备耗费4000元．（利润＝总收入－总支出） (1)求该厂每月的利润（元）关于产品件数（件）的函数关系式； (2)若想要每月盈利32000元，则该厂每月需生产并销售这种产品多少件？ 【变式1】小红同学为了参加周末劳动实践活动，便带着爸妈种植的鲜玉米进城出售，为了方便，她带了一些备用零钱．按市场价出售一些后，又降价出售．小红手中持有的钱数y（元）（含备用零钱）与售出鲜玉米个数x（个）间的关系如图所示、根据图象解决问题： (1)小红自带的零钱是_____元． (2)降价前每个鲜玉米出售的价格是______元． (3)降价后小红按每个0.8元将剩余鲜玉米全部售完，这时她手中持有的钱数是43元．求小红一共带了多少个鲜玉米． (4)写出小红手中持有的钱数y（元）与售出鲜玉米个数之间的表达式． 【变式2】通过AI与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某AI快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量（单位：个）与工作时间（单位：分钟）的关系如图所示． (1)乙机器人分拣包裹的速度是__________个/分，11分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差__________个． (2)求乙分拣包裹数量（单位：个）与工作时间（单位：分钟）的关系式． (3)由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间． (4)直接写出12分钟之后，在分拣过程中，两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间． 题型十 反比例函数的概念 【典例1】下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 【变式2】反比例函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 题型十一 反比例函数的图象 【典例1】反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【变式2】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 题型十二 反比例函数的性质 【典例1】关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象过点 B．图象在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【变式1】已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么_________（请写出一个符合条件的k值）． 【变式2】如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）． 题型十三 K的几何意义 【典例1】如图，反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4，则k的值是（   ） A．2 B． C． D．4 【变式1】如图，点A在反比例函数（k为常数，）的图象上，轴于点B，连接．若的面积小于3，则k的值可能是______________ ．（只写一个） 【变式2】如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为，则k的值为_______ ． 题型十四 一次函数与反比例函数的综合 【典例1】已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式． (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； (3)请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 【变式2】参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为 ，所以我们对函数进行探究． … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … … 3 5 … (1)与的几组对应值如表：其中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的图象． (3)根据所画图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）； ②函数的图象是由的图象向 平移 个单位长度得到的． (4)进一步探究函数与的图象，结合函数、不等式、方程三者之间的关系，解决下列问题． ①方程有 个解； ②不等式的解集是 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 3．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大3，求的值； (2)若点在轴上，求的值． 6．党的十八大以来，文山路网建设进展迅速.实现了县县通等级公路和州府通高速公路的目标．小明和爸爸为了体验高铁出行，假期间爸爸带小明从家驾车到普者黑火车站乘高铁前往昆明，他们离家的距离（）与出发时间（）之间的关系如图所示． (1)小明家离普者黑火车站 ； (2)从图中可以看出，小明和爸爸在普者黑火车站取票、检票、候车共用了 ； (3)高铁平均速度为，请你计算出普者黑火车站到昆明需要多少时间？ 7．已知点． (1)若点在第一象限，求，的取值范围； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 9．已知点，，将线段平移后得到线段，其中点A平移到点C，点B平移到点D，平移后点C、点D恰好都落在坐标轴上，则点C的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 10．如图，长方形的顶点坐标分别为，，，，点，同时从点出发，在长方形的边上做环绕运动，点以2个单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，点以1个单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则点，在运动过程中第次相遇时，相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 11．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；③时，甲仓库内快件数为600件；④时，两仓库快递件数相同．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．在函数的图象上有三个点的坐标分别为，，，则函数值的大小关系是（　　） A． B． C． D． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 14．宁波北仑区九峰山景区是国家4A级风景区，是大家采风游玩的好去处，某校登山兴趣小队周末去九峰山游玩，从山脚出发，经过1.5个小时到达野营点，并在这野营休息了1.5小时，又经过2小时原路下山返回山脚处．如图，是小队距山脚的距离y（）关于小队登山时间x（h）的部分图象，若小队上山的速度为，请回答以下问题： (1)野营点距离山脚 ． (2)补全函数图象，并标注图象转折点A、点B的坐标． (3)请计算小队下山的函数表达式，并且计算当出发4.5小时后，小队距山脚的距离． 15．如图，已知，是一次函数和反比例函数 的图象的两个交点． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式 的解集： (3)求的面积． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $