专题03 一次函数高分突破重难题型（高效培优期末专项训练）数学新教材沪教教版五四制八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数与几何综合，以面积计算、图形存在性、角度关系为核心，通过分层题型构建从代数到几何的递进训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积问题|4题|一次函数与坐标轴围成图形面积计算，含动点面积|以坐标求交点为基础，结合割补法，体现数形结合| |等腰三角形和平行四边形存在性|6题|动点构成特殊四边形，分类讨论顶点位置|在面积问题上拓展，强化分类讨论与方程思想| |两角相等问题|4题|坐标系中利用三角函数或全等证角等|衔接图形性质，深化几何推理与代数表达| |45°夹角问题|4题|含45°角的等腰直角三角形构造，“一线三直角”模型|综合前序知识，突出模型应用与创新意识|

专题03《一次函数》高分突破重难题型 知识点01：面积问题 知识点02：等腰三角形和平行四边形的存在性问题 知识点03：在平面直角坐标系中两角相等问题 知识点04：在平面直角坐标系中45°夹角问题 知识点01：面积问题 1．（24-25八年级下·上海·期末）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边在第二象限内作等边． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上有一点，求的面积． (3)在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先令，解方程得到，然后根据勾股定理求出的长，根据等边三角形的性质证明，得到点的坐标为；设直线的解析式为．解方程组即可得到结论； （2）求出，过点作轴于点H，求出，，根据，即可求解； （3）设出点，分，，三种情况，列方程即可得出结论． 【详解】（1）解：将代入，则； 令，解得：； ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点A作于点G， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴点纵坐标为2， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点在直线上， 则，解得：， ∴， 如图，过点作轴于点H， 则， ∴， ∴， ； （3）解：设， ∵， ∴， 当时，即， 则， 解得：， ∴点M的坐标为； 当时，即， 则， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，即， 则， 解得：或， ∴点M的坐标为或； 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，等腰三角形的性质，要充分利用函数图象的性质是解决此题的关键． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； 【答案】(1)；点坐标为 (2)点 【分析】（1）结合平移的性质以及截距的定义得，因为点在轴上，故把代入进行求解，即可作答． （2）设点坐标为,结合的面积为6,进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． ∴， ∴； 令则， 解得， ∴点坐标为 （2）解：依题意，设点坐标为, 的面积为6, , ∴， ∴， 即或， 或， 点是线段上的点， , 点； 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，解方程组解答即可； （2）联立两条直线解析式构成方程组，解方程组得解即为交点坐标； （3）连接，得，计算，确定，设，得到，解答即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把点，代入，得， 解得： ∴直线的表达式为． （2）解：根据题意，联立得方程组， 解得： ∴点的坐标为． （3）解：连接，如图所示．    由直线的表达式为，得， 故， ∵点的坐标为． ∴， 直线的表达式为，令，则． ∴直线与轴交于点 ∴， 设， ∵的面积是面积的4倍， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． 4．（24-25八年级下·上海闵行·阶段检测）如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A、，直线，交于点C，点C的横坐标为2． (1)点D的坐标为_________；直线的解析式为_________． (2)在直线上有一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标． (3)点M在直线，点N在y轴上，若点M、N、A、C构成平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）令，求出点坐标，令，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出，设点，作轴交于点，则，分点在点上方和点在点下方，两种情况进行讨论求解即可； （3）分为对称轴，为对称轴，为对角线三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，则：，当时，则：， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得：，解得：， ∴； （2）∵， ∴时，， ∴， ∵， ∴； 设点，作轴交于点，则， 当点在点上方时，则：， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在点下方时，则：， ∴， 解得：， ∴； 综上：或； （3）∵在轴上， ∴， ∵，， 当点M、N、A、C构成平行四边形时，分三种情况： ①当为对称轴时，，解得：， ∴， ∴； ②当为对称轴时，，解得：， ∴， ∴，此时，重合，不符合题意；舍去； ③当为对角线时，，解得：， ∴； ∴； 综上：或． 知识点02：等腰三角形和平行四边形的存在性问题 1．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)若直线与轴相交于点， ①若平分，且交轴于点，求直线的表达式； ②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①直线的表达式为；②点P的坐标为或或或 【分析】（1）根据点C在直线上，先求得点C的坐标，再代入直线，即可求得b值； （2）①设直线交y轴于点F，过点E作于点G，先求得D、F的坐标，根据勾股定理求得，然后根据角平分线的性质定理可知，由可求得，得到点E的坐标，进而根据待定系数法即可求解； ②先求得点A的坐标，从而根据勾股定理求得的长度，然后设，分四种情况：当点P在点A的左侧，且时；当点P在点A的右侧，且时或时或时；分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，把点代入直线，得； ∴，代入直线，得， ∴； （2）解：①由（1）可知直线， 设该直线交y轴于点F，过点E作于点G，如图所示， 令，得，则；令，则， ∴，，即，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴，则， 设直线的表达式为， 代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； ②对于直线，令，则， ∴， 由（1）可知， ∴， 设， 当点P在点A的左侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 综上所述，点P的坐标为或或或． 2．（24-25八年级下·上海宝山·阶段检测）如图，已知直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，，直线在y轴上的截距为2，直线与直线交于点P． (1)求直线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，有一点F，使得四边形是直角梯形，求点F的坐标． (3)若点C在y轴负半轴上，点M在直线上，点N在直线上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点C的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先求得，根据四边形是直角梯形，可得或，分两种情况分别求出点F的坐标即可； （3）分两种情况：①当为菱形对角线时，②当为菱形边时，分别利用菱形性质求得点C的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线在y轴上的截距为2， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：联立得：， 解得：， ∴， ∵四边形是直角梯形， ∴或， 当时，如图1， 则， ∴； 当时，如图2， 则，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴； 综上，点F的坐标为或； （3）解：设，，，又， ∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，设菱形的中心为点K， ∴分两种情况： ①当为菱形对角线时，，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； ②当为菱形边时，，，，如图2，过点M作轴于点G， 则，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上，点C的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，直角梯形的性质，两直线的交点坐标的求法，菱形的性质，用方程的思想和分类讨论思想解决问题是解本题的关键． 3．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点D的坐标为②存在， 【分析】（1）理解题意，令时，则，即，令时，则，即，再证明四边形是矩形，则，运用勾股定理得，即可作答． （2）①理解题意，设，则，，根据勾股定理得，代入数值进行计算，即可得点D的坐标； ②把点D的坐标代入反比例函数，求出，再求出点F的坐标为，因为四边形是以为底的等腰梯形，得，设直线的解析式为，把，分别代入，，因为设直线的解析式为，计算化简得直线的解析式为，设，结合点F的坐标为，得，运用公式法进行解方程， 进行下一步分析，当时，则不平行，此时四边形为等腰梯形，再求出．即可作答． 【详解】（1）解：∵与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴令时，则，解得，即， 令时，则，即， ∵过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， ∵折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ∴， 设， 则，， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． ②存在，过程如下： 经过点D的双曲线与线段交于点F，且点D的坐标为． ∴， ∴， ∴， 点F的纵坐标等于点B的纵坐标，即， 把代入， 得， ∴， ∴点F的坐标为， ∵四边形是以为底的等腰梯形， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， ∵，且点在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线的解析式为， 即直线与直线重合， 设， ∵，且点D的坐标为． ∴， ∵点F的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴或， 当时，则， ∵， 此时四边形为平行四边形，不符合题意，故舍去， 当时，则不平行， 即， 此时四边形为等腰梯形，符合题意， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，等腰梯形的定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，折叠性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（24-25八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点轴交于点，点在射线上（不与点重合），点在轴上（点在点左侧），四边形是正方形． (1)当点的横坐标为时，求直线的表达式； (2)当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由； (3)点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，在，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意，先求出、，再由正方形性质得到，最后由待定系数法列方程组求解即可得到答案； （2）由（1）的求解过程，同理求解即可得到，将代入验证即可得到答案； （3）由（2）中知，根据四边形是等腰梯形，分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：直线，点在直线上，点的横坐标为， ，即， ， 当时，则，解得，即， 四边形是正方形， ， , 设直线的表达式为， 将、代入得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：在，理由如下： 由（1）知，直线的表达式为， 当点在射线上运动时，设点的横坐标为， ， 则， 四边形是正方形， ，则, 将代入，得， 即此时，在（1）中的直线上； （3）解：如图所示： 由（2）知，， 根据题意，分两种情况： 当时， 直线， 当时，，即， 设直线，将代入得， 直线， 当时，则，解得， ， 如果四边形是等腰梯形，则， ，即， 解得或， 当时，、， 、， 四边形是平行四边形（舍去）； 当时，、， 、， 四边形是等腰梯形，此时； 当时，则点与点重合， 如果四边形是等腰梯形，则， 过点作轴，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与四边形综合，涉及一次函数图象与性质、正方形性质、待定系数法确定函数表达式、等腰梯形定义、两点之间距离公式等知识．数形结合，灵活运用一次函数图象与性质是解决问题的关键． 5．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为， (2) (3)当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标及，的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，由取的中点，连接，可得是等边三角形，进而求出的度数； （2）过点作轴，垂足为点，由，的长度可得出，由，，可得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式； （3）分，及三种情况考虑：①当时，点与点重合，进而可得出点的坐标；②当时，由可求出的长度，结合是等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标；③当时，过点作直线，垂足为点，通过解直角三角形可求出的长度，由等腰三角形的性质及的长度可求出的长度，结合为等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标．综上，此题得解． 【详解】（1）解：当时， ，点的坐标为； 当时， 解得： 点的坐标为， 在中，， 如图，取的中点，连接， 是等边三角形， （2）在图中，过点作轴，垂足为点． ，， ， ，， 为等边三角形， （3）解：∵以、、、为顶点的四边形为菱形， 分三种情况考虑，如图所示． ①当时，点与点重合， 点的坐标为； ②当时， 是等边三角形， ③当时，过点作直线，垂足为点， 在中，，， ， ， ． 为等边三角形， ， ， 点的坐标为． 综上所述：当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 6．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D． (1)求点A和点B的坐标； (2)点P在直线上，且的面积为， ①求出点P的坐标； ②点Q为平面内一点，当点P在直线下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标． 【答案】(1)点、的坐标分别为、 (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）对于，求出时，，时，则，即可求出A、B的坐标； （2）①设直线交y轴于点H，先求出点C的坐标，设，求出直线的解析式为，得到点H的坐标为，根据的面积，由此求解即可；②设点Q的坐标为，分以为对角线，以为对角线，以为对角线，由中点坐标公式列方程组即可得到结论.． 【详解】（1）解：对于，令，则，令，解得， 故点、的坐标分别为、； （2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，， ∴， 设直线交轴于点， 设， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴， 则的面积， 即， 解得：或， ∴点的坐标为或； ②由（1）（2）知，，，，设点， ∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得， ∴， ∴点， Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得， ∴， ∴点； Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得， ∴， ∴， 综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或． 知识点03：在平面直角坐标系中两角相等问题 1．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)点或 【分析】（1）先根据已知条件求得，，再利用待定系数法求解的函数解析式即可； （2）设直线交轴于点，先求得，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分两种情况：当点P在点E的左侧时和当点P在点E的右侧时，分别画出对应图形，利用数形结合思想，结合等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，由得， ∴，,， ∵， ∴，则， ∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵函数的图象经过点C、D， ∴，解得， ∴； （2）解：解：设直线交轴于点， 当时，，则， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：根据题意，分两种情况： 当点P在点E的左侧时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则点P为直线和直线的交点， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当点P在点E的右侧时，如图， M P ∵，，， ∴， 延长CP至点M，使CM=CB，连接EM ∵CE=CE ∴△CEB≌△CMB ∴∠CEB=∠CEM ∵CO=CE ∴∠CEO=45° ∴∠CEB=∠CEM=135° ∴∠OEM=90° ∴M(3,3) 设直线CM的函数解析式为， 将、M(3,3)代入，得，解得， ∴直线CM的函数解析式为； 联立方程组，解得， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 2．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知点，点，将直线绕点顺时针旋转，点落在点处， (1)求点坐标． (2)点是轴上一动点（不与原点重合），直线与的夹角和相等，请直接写出点坐标． 【答案】(1)点坐标为； (2)点坐标为． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，全等三角的判定与性质，求一次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点，则， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴，， ∴， ∴点坐标为； （2）解：设交轴于点， 如图，过作轴于点D，ON⏊BO交BM的延长线于点N，过N作NH⏊y轴于点H， ∵时， ∴， ∵ON⏊OB，BD⏊y轴 ∴∠ONB=45°，∠NOH+∠BOD=∠BOD+∠OBD ∴ON=OB，∠NOH=OBD ∴△OBD≌△NOH ∴BD=OH=4，NH=OD=2 ∴N(-2,-4) 设直线BN解析式为y=kx+b， 把B（-4，2）、N（-2，-4）代入得 ∴k=-，b=-10 ∴直线BN解析式为y=x-10， 当y=0时，x= ∴点坐标为， 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，在直线上有一点P（点P在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和B的坐标； (2)求点P的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求Q点坐标． 【答案】(1)点A、B的坐标分别为： (2)点 (3) 【分析】（1）令，求得；令，求得，即可得出点A、B坐标； （2）过点P作于C，设，则，，根据，得，求出值即可求解． （3）设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F，根据题意可求得，，再利用等积法求，，则，由点Q在第四象限，即可写出点Q坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴． （2）解：如图，过点P作于C， ∵点P在直线上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：如图，设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，三角形的面积．熟练掌握利用等积法求高是解题的关键． 4．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，已知一次函数的图像经过点，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且． (1)求m的值； (2)点D在x轴上，且的面积是3，求点D的坐标． (3)在（2）的条件下，且点D在x轴正半轴上，设点E为x轴上一动点，当时，求点E的坐标． 【答案】(1)4 (2)点D的坐标为或 (3)或 【分析】（1）由函数解析式得C的坐标为，由得，则B的坐标为，即可求得直线的解析式，再令求出y的值即可得m的值； （2）设点D的坐标为，由，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）分以下两种情况：①当E在D左侧时，由得，利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，即可得解；②当E在D右侧时，设与相交于点F，设，由得，利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，并用含n的代数式表示出点F，再由，根据勾股定理得出关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴、y轴分别相交于B、C两点， ∴C的坐标为， ∵， ∴， ∴B的坐标为， 代入解析式中：， 解得， ∴一次函数解析式为：， ∵一次函数的图像经过点， ∴； （2）解：∵， ∴点， 设点D的坐标为， ∴ ∵，， ∴， 整理得 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：分以下两种情况： ①当E在D左侧时， ∵， ∴， ∵点，点D的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵C的坐标为， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴点E的坐标为； ②当E在D右侧时，设与相交于点F，设， ∵OB=OC=OD=3 ∴△CBD为等腰直角三角形 ∴∠ACD=90 ∵， ∴， ∵∠FCD+∠FCA=∠FDC+∠DAC=90° ∴∠FCA=∠DAC ∴FA=FC=FD ∵A（1，4）、D（3，0） ∴F（2，2） 设直线的解析式为：，代入C、F坐标得：， 解得， ∴直线的解析式为：． 当y=0时，x=6 ∴点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为：或． 【点睛】本体是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线相交或平行问题，勾股定理，平行线的判定等，解题的关键是熟练掌握相关知识及分类讨论思想在解题过程中的运用． 知识点04：在平面直角坐标系中45°夹角问题 1．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】    （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以P点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，先求出A、B坐标得到的长，再证明推出的长即可得到答案； （2）先证可得，进而得到，最后根据待定系数法即可解答； （3）分，点P在x轴上方或下方和点P在x轴上方或下方2种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和二元一次方程组解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作y轴的垂线，垂足为D， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点B作交直线l于点C，过点C作轴于D，    ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，当时，， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴； 设直线l对应的函数表达式为， 将和代入得    解得 ∴直线l解析式为． （3）当，，P在x轴的上方， 如图：过P作轴，交于M，交y轴于N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ①②联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的下方， 如图：    同理可得， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ③④联立解得：， ∴； 综上，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质与判定、、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半轴上，． (1)求一次函数的解析式及点与点的坐标； (2)如果四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标； (3)将直线绕着点逆时针旋转45°后与轴交于点，求点坐标． 【答案】(1)；； (2)或 (3) 【分析】（1）把的坐标代入即可求得的值，求得函数的解析式，然后即可求得，的坐标，从而得到的长，进而求得的长，则点的坐标即可求得； （2）分两种情况，当且时，当且时，画出图形，求出结果即可； （3）过点A作，交于点E，过点E作轴于点F，证明，得出，，求出，待定系数法求出直线的解析式为，最后求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 则一次函数的解析式是：． 在中，令，则．则点的坐标是：； ， ， 的坐标是：； （2）解：当且时，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ， ． ∴点的坐标是：． 当且时，如图所示： ∵，的解析式为，， ∴直线的解析式为：， 设点， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点D的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或； （3）解：过点A作，交于点E，过点E作轴于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要是一次函数与几何图形综合，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，两点间距离公式，正确作出辅助线，注意分类讨论，是解题关键． 3．（24-25八年级下·上海·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 【答案】(1)，或，或， (2) 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键在于构造“一线三等角”的全等． （1）先求出，即，然后分三种情况讨论，利用“一线三等角”的全等进行求解即可； （2）当时，，则可求，过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N，可得，同上可证明：，即可得到，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当， ∴，即， ①当，记直线交y轴于点D，如图： ∵直线与轴垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； ②，过点F作轴于点D，如图： 同理可证明：， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 当，记直线交y轴于点D，过点A作直线的垂线，垂足为点H，如图： 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 综上所述：，或，或，； （2）解：当时，， 令，则， 解得， ∴， 过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N， ∵，， ∴， ∴， 同上可证明：， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：, 解得：， ∴直线表达式为． 4．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）解决以下问题： (1)借助网格，用无刻度直尺作； (2)如图，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且． ①P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； ②在①的条件下，Q为直线上的一个动点，连接，若，求Q点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②或． 【分析】（1）以为直角顶点，构造等腰直角三角形即可； （2）①根据，得到，进而求出点坐标即可； ②以为直角顶点，构造等腰直角三角形，进而求出的坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和直线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图易得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴； ②以为直角顶点，在直线的下方构造等腰直角三角形，如图，过点作轴，作于点，作于点，则，， ∴，， ∴点在射线上，， ∴， 由①知：， ∴， ∴，即， 同①法可得：直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 以为直角顶点，在直线的上方构造等腰直角三角形，如图，作轴，轴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 综上：或． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03《一次函数》高分突破重难题型 知识点01：面积问题 知识点02：等腰三角形和平行四边形的存在性问题 知识点03：在平面直角坐标系中两角相等问题 知识点04：在平面直角坐标系中45°夹角问题 知识点01：面积问题 1．（24-25八年级下·上海·期末）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边在第二象限内作等边． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上有一点，求的面积． (3)在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． 4．（24-25八年级下·上海闵行·阶段检测）如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A、，直线，交于点C，点C的横坐标为2． (1)点D的坐标为_________；直线的解析式为_________． (2)在直线上有一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标． (3)点M在直线，点N在y轴上，若点M、N、A、C构成平行四边形，直接写出点M的坐标． 知识点02：等腰三角形和平行四边形的存在性问题 1．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)若直线与轴相交于点， ①若平分，且交轴于点，求直线的表达式； ②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标． 2．（24-25八年级下·上海宝山·阶段检测）如图，已知直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，，直线在y轴上的截距为2，直线与直线交于点P． (1)求直线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，有一点F，使得四边形是直角梯形，求点F的坐标． (3)若点C在y轴负半轴上，点M在直线上，点N在直线上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由． 3．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 4．（24-25八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点轴交于点，点在射线上（不与点重合），点在轴上（点在点左侧），四边形是正方形． (1)当点的横坐标为时，求直线的表达式； (2)当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由； (3)点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标． 5．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 6．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D． (1)求点A和点B的坐标； (2)点P在直线上，且的面积为， ①求出点P的坐标； ②点Q为平面内一点，当点P在直线下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标． 知识点03：在平面直角坐标系中两角相等问题 1．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知点，点，将直线绕点顺时针旋转，点落在点处， (1)求点坐标． (2)点是轴上一动点（不与原点重合），直线与的夹角和相等，请直接写出点坐标． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，在直线上有一点P（点P在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和B的坐标； (2)求点P的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求Q点坐标． 4．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，已知一次函数的图像经过点，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且． (1)求m的值； (2)点D在x轴上，且的面积是3，求点D的坐标． (3)在（2）的条件下，且点D在x轴正半轴上，设点E为x轴上一动点，当时，求点E的坐标． 知识点04：在平面直角坐标系中45°夹角问题 1．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】    （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以P点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半轴上，． (1)求一次函数的解析式及点与点的坐标； (2)如果四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标； (3)将直线绕着点逆时针旋转45°后与轴交于点，求点坐标． 3．（24-25八年级下·上海·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 4．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）解决以下问题： (1)借助网格，用无刻度直尺作； (2)如图，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且． ①P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； ②在①的条件下，Q为直线上的一个动点，连接，若，求Q点的坐标． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $