专题01 平面向量（期末真题汇编，山东专用）高一数学下学期

**基本信息** 汇集山东多地2024-2025年期末真题，聚焦平面向量三大核心考点，通过几何图形与实际情境融合，实现基础巩固与综合应用的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|27题|线性运算（如三角形向量表示）、数量积（如单位向量夹角）、坐标表示（如共线条件）|结合梯形、平行四边形等几何图形，考查基底表示与运算| |多选题|10题|向量性质（如投影向量）、充要条件（如菱形判定）|设置多结论判断，强化逻辑推理（如重心坐标与三点共线）| |填空题|12题|动态向量（如线段分点）、新定义运算（如叉乘模）|融入建筑测量、团扇文化等情境，体现实际应用| |解答题|16题|综合应用（如中线长度计算、动态点轨迹）|设计多问递进（如向量表示→取值范围→存在性证明），衔接高考命题趋势|

专题01 平面向量 4大高频考点概览 考点01平面向量的线性运算 考点02平面向量的数量积 考点03平面向量的基本定理及坐标表示 地 城 考点01 平面向量的线性运算 一、单选题 1．（2024高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·山东临沂·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024高一下·山东聊城·期末）设，，任意一点P关于点A的对称点为M，关于点B的对称点为N，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·山东聊城·期末）P是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 5．（2025高一下·山东滨州·期末）如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一下·山东德州·期末）已知，为平面内一组基底，，，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 7．（2025高一下·山东德州·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了在同一水平面上的，，三处（垂直于平面），如图.已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，是的中点，米，则该建筑的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（2025高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 9．（2025高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 10．（2025高一下·山东聊城·期末）在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2025高一下·山东青岛·期末）如图，在中，D是的中点，O是上一点，且，下列结论正确的有（   ） A． B． C．过点作一条直线与边，分别相交于点E，F，若，，则 D．若是边长为4的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是 三、填空题 12．（2024高一下·山东日照·期末）已知平行四边形ABCD，，，，．若F为线段DE上的一点，且，则______． 四、解答题 13．（2025高一下·山东青岛·期末）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 14．（2024高一下·山东潍坊·期末）如图，在直角梯形中，，，，是的中点.    (1)求； (2)连接，交于点，求； (3)若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 15．（2024高一下·山东枣庄·期末）如图，在等边中，点E为底边BC的中线AD的靠近点A的四等分点，过点E的直线分别与AB，AC交于点M，N.设，. (1)若，用，分别表示，； (2)若M为AB的中点. （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，求的边长t. 16．（2024高一下·山东临沂·期末）已知两个单位向量与的夹角为，设，． (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围． 17．（2024高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（2025高一下·山东济宁·期末）在矩形中，点是边上的中点，点在边上. (1)若点是上靠近的四等分点，设，求的值； (2)若，，当时，求的长. 地 城 考点02 平面向量的数量积 一、单选题 1．（2025高一下·山东日照·期末）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·山东滨州·期末）已知非零向量与满足，且，则为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2025高一下·山东枣庄·期末）已知|，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．若，则 C． D．在上的投影向量为 4．（2025高一下·山东东营·期末）如图，在平行四边形中，，，E为的中点，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2025高一下·山东潍坊·期末）团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025高一下·山东潍坊·期末）已知向量，，若，则（   ） A．-2 B． C． D．1 7．（2025高一下·山东青岛·期末）在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 二、多选题 8．（2025高一下·山东威海·期末）已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 9．（2025高一下·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，向量如图所示，则（    ） A． B． C． D．存在实数，使得与共线 10．（2025高一下·山东泰安·期末）已知向量，，，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若向量与的夹角为钝角，则 D．若，，则向量在向量方向上的投影向量为 11．（2025高一下·山东滨州·期末）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量的坐标是 12．（2025高一下·山东东营·期末）已知O是所在平面内一点，，，，则下列说法正确的是（    ） A．外接圆的半径为 B．内切圆的半径为 C．若O是的外心，则在上的投影向量为 D．若O是的垂心，则在上的投影向量为 三、填空题 13．（2025高一下·山东聊城·期末）若向量在单位向量上的投影向量为，则______. 14．（2025高一下·山东临沂·期末）已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.若，，则的最小值为_______. 15．（2025高一下·山东泰安·期末）已知，，，则______． 16．（2025高一下·山东泰安·期末）在中，内角A，，的对边分别为，，，S为的面积，为的中点，且，，则的最大值为______． 17．（2025高一下·山东枣庄·期末）已知，，则 ________． 18．（2025高一下·山东济南·期末）设Ox，Oy是平面内的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序数对叫做向量在坐标系Oxy中的坐标．已知，，对任意，恒成立，则的取值范围为________． 四、解答题 19．（2025高一下·山东威海·期末）在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． (1)用，表示，； (2)若，求； (3)若，求的取值范围． 20．（2025高一下·山东青岛·期末）已知向量， (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 21．（2025高一下·山东聊城·期末）对于向量，，定义运算，已知向量，，. (1)若，求t的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 22．（2025高一下·山东东营·期末）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且，D是的中点，点E在线段上且，线段与线段交于点M. (1)求角A的大小； (2)若，求的值； (3)若，且点G是的重心，求线段的最小值. 23．（2025高一下·山东潍坊·期末）记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求； (2)若为的中点，求的长． 24．（2025高一下·山东潍坊·期末）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求． 25．（2025高一下·山东德州·期末）已知． (1)若，求； (2)若： （i）求函数的单调递减区间； （ii）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值．（结果精确到小数点后3位，参考数据：） 地 城 考点03 平面向量的基本定理及坐标表示 一、单选题 1．（2025高一下·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一下·山东日照·期末）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一下·山东临沂·期末）已知向量，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025高一下·山东泰安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一下·山东东营·期末）已知平面向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一下·山东淄博·期末）在中，，点平分线段．设，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一下·山东威海·期末）已知，向量，，则存在和，使得（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一下·山东菏泽·期末）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C． D． 10．（2024高一下·山东济南·期末）如图，设，是平面内夹角为的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序数对叫做点在坐标系中的坐标.在该坐标系下，，，为不共线的三点，下列结论错误的是（    ）    A．线段中点的坐标为 B．重心的坐标为 C．，两点的距离为 D．若，则，，三点共线 11．（2024高一下·山东东营·期末）如图，已知，则（   ） A． B． C． D． 12．（2024高一下·山东东营·期末）已知与不共线，若与共线，则实数的取值为（   ） A． B． C． D． 13．（2024高一下·山东滨州·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（2024高一下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，为上一点，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一下·山东青岛·期末）在平行四边形中，，若交于点M，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（2025高一下·山东淄博·期末）已知向量，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为2 B．若，则的值为 C．若与的夹角为锐角，则 D．若，则与的夹角的余弦值为 17．（2024高一下·山东东营·期末）已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为钝角，则的取值范围为 D．若，则在上的投影向量的坐标为 18．（2024高一下·山东菏泽·期末）已知平面向量，，则（    ） A．当时， B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则 19．（2024高一下·山东淄博·期末）如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 20．（2025高一下·山东威海·期末）已知向量，，若，则_______． 21．（2025高一下·山东日照·期末）已知向量，若，则的值为___________. 22．（2024高一下·山东临沂·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为_________． 23．（2024高一下·山东淄博·期末）平行四边形中，交于，则等于_____________． 四、解答题 24．（2025高一下·山东泰安·期末）已知中，内角，，所对的边为，，，其中，，的面积为． (1)求角的大小； (2)如图，点在边的延长线上，若，，求的长． 25．（2024高一下·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，. (1)若点P满足，求点P的坐标； (2)若点D满足，，求向量的坐标. 26．（2024高一下·山东潍坊·期末）已知平面向量，. (1)若，求； (2)若，求. 27．（2024高一下·山东淄博·期末）设两个向量满足， (1)求方向的单位向量； (2)若向量与向量反向，求实数的值． 28．（2024高一下·山东济宁·期末）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求与的夹角的余弦值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 4大高频考点概览 考点01平面向量的线性运算 考点02平面向量的数量积 考点03平面向量的基本定理及坐标表示 地 城 考点01 平面向量的线性运算 一、单选题 1．（2024高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果. 【详解】由已知有. 故. 故选：A. 2．（2024高一下·山东临沂·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果. 【详解】连接，如图所示， 因为， 所以， 又因为，， 所以， 又因为、、三点共线， 所以， 所以. 故选：C. 3．（2024高一下·山东聊城·期末）设，，任意一点P关于点A的对称点为M，关于点B的对称点为N，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知∥，且，结合向量的线性运算求解. 【详解】由题意可知：分别为的中点，则∥，且， 所以. 故选：D. 4．（2024高一下·山东聊城·期末）P是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，可知点为的一个三等分点（靠近点A），即可得面积. 【详解】因为，则， 即点为的一个三等分点（靠近点A），    所以的面积为. 故选：B. 5．（2025高一下·山东滨州·期末）如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出. 【详解】取，作为基底，因为是中点，则. 因为，所以， 所以. 故选：D. 6．（2025高一下·山东德州·期末）已知，为平面内一组基底，，，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】D 【分析】由题设可得，且，应用向量共线的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，又，且，，三点共线， 所以，则. 故选：D 7．（2025高一下·山东德州·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了在同一水平面上的，，三处（垂直于平面），如图.已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，是的中点，米，则该建筑的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】设，首先表示出，，，再根据向量数量积运算列式求出得解. 【详解】设，可得，，， 因为是的中点，所以米， 由，得， 由，得， 所以， ，解得， 所以该建筑的高度米. 故选：B. 8．（2025高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【分析】根据向量共线的线性表示，可得，使，在利用向量相等的条件构建方程组，解方程组即可. 【详解】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 9．（2025高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 【答案】B 【分析】若是的中点，根据已知得，则，结合向量数量积的几何意义求数量积. 【详解】设是的中点，由，则， 所以，又， 则. 故选：B    10．（2025高一下·山东聊城·期末）在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，确定的值即可. 【详解】如图： 取，过作，交于点，交于点. 设，因为三点共线，所以. 设，因为， 所以，. 因为共线，所以，所以. 因为且点在内运动，所以点在线段上，所以. 即，.所以. 故选：C 二、多选题 11．（2025高一下·山东青岛·期末）如图，在中，D是的中点，O是上一点，且，下列结论正确的有（   ） A． B． C．过点作一条直线与边，分别相交于点E，F，若，，则 D．若是边长为4的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算可判断AB；根据向量的线性运算以及三点共线可判断C；建立平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算可判断D. 【详解】对于A，由题意得，， 故，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， ， ， 因为三点共线，故可设， 即，解得，C正确； 对于D，以D为坐标原点，以为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 则， 则， 设，则， ，， 故， 当时，取最大值， 当时，取最小值， 即的取值范围是，D正确， 故选：ACD 三、填空题 12．（2024高一下·山东日照·期末）已知平行四边形ABCD，，，，．若F为线段DE上的一点，且，则______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算及共线向量定理的推论求出，再利用数量积的运算律求解即得. 【详解】在中，，则，即， 于是，而点F在线段DE上， 因此，解得，则， 由，，，得， 则.    故答案为： 四、解答题 13．（2025高一下·山东青岛·期末）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角； （2）利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到方程求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理边化角得 利用三角形内角和定理可得 即 因为所以，即 因为，所以. （2）由得① 由得② 由①②得 由， 得. 14．（2024高一下·山东潍坊·期末）如图，在直角梯形中，，，，是的中点.    (1)求； (2)连接，交于点，求； (3)若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可； （2）设，，根据向量坐标运算得到方程组，解出，最后利用向量模的坐标公式即可； （3）首先证明，最后转化为求解即可. 【详解】（1）因为，所以以为坐标原点，为轴，为轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以.    （2）设，， ，所以， 所以， 所以，解得， 所以. （3）在中，因为为中点，所以， 又因为是边的101等分点， ， 所以， 所以 由（2）得， 所以， 所以. 15．（2024高一下·山东枣庄·期末）如图，在等边中，点E为底边BC的中线AD的靠近点A的四等分点，过点E的直线分别与AB，AC交于点M，N.设，. (1)若，用，分别表示，； (2)若M为AB的中点. （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，求的边长t. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）（ⅱ）3 【分析】（1）由结合向量的减法运算得出，再由结合平行四边形法则得出； （2）（ⅰ）由向量的运算得出，，结合得出点的位置，再由减法、数乘运算得出；（ⅱ）先由向量的运算表示，再由数量积运算得出t. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）（ⅰ）设，因为三点共线， 所以存在唯一的实数，使得， 所以，即. 所以， 即. 由（1）可得，即，且. 解得，所以， （ⅱ）由， ，得， 即，即， 解得，所以的边长为. 16．（2024高一下·山东临沂·期末）已知两个单位向量与的夹角为，设，． (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【详解】（1）由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； （2）因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 17．（2024高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用向量的线性运算可得答案； （2）利用向量的线性运算、数量积的运算可得答案； （3），， 若，，三点共线，则，求出可得答案. 【详解】（1）； （2），且，即， 所以， 又因为，所以； （3）若点为的重心，则， 又因为， 若，，三点共线，则使得， 可得，解得， 所以存在，使得，，三点共线. 18．（2025高一下·山东济宁·期末）在矩形中，点是边上的中点，点在边上. (1)若点是上靠近的四等分点，设，求的值； (2)若，，当时，求的长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，再根据平面向量基本定理即可得出结果； （2）设，取基底向量表示，再利用向量数量积即可计算作答. 【详解】（1）∵， ∵是边的中点，点是上靠近的四等分点， ∴， 在矩形中，，， ∴， 即，， 则. （2）设，则， ， ， 又， ∴， 解得， ∴的长为.    地 城 考点02 平面向量的数量积 一、单选题 1．（2025高一下·山东日照·期末）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，为单位向量，所以，所以， 又因为，所以. 故选：B. 2．（2025高一下·山东滨州·期末）已知非零向量与满足，且，则为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据已知条件可知的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出即可得的形状. 【详解】，分别为向量与方向上的单位向量， 因为，所以的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形，且， 由，，所以， 所以， 所以是等腰三角形. 故选：A. 3．（2025高一下·山东枣庄·期末）已知|，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．若，则 C． D．在上的投影向量为 【答案】B 【分析】由向量的模，数量积，向量平行的条件，投影向量逐项判断可得. 【详解】对于A，，则， 所以，又， 所以，故，故A正确； 对于B，因为，则， 又，即， 设，则，解得，故B错误； 对于C，， 由可得，即，故C正确； 对于D，，所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：B. 4．（2025高一下·山东东营·期末）如图，在平行四边形中，，，E为的中点，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】设的长为，又，，根据数量积的运算律及定义得到方程，解得即可. 【详解】设的长为，因为，， 所以 ，解得或（舍去）． 故选：A 5．（2025高一下·山东潍坊·期末）团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正多边形的性质得正八边形的内角为，再利用数量积的定义，即可求解. 【详解】因为正八边形的内角为， 又，， 所以， 故选：A. 6．（2025高一下·山东潍坊·期末）已知向量，，若，则（   ） A．-2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，解出方程即可 【详解】由得：，解得： 故选：B 7．（2025高一下·山东青岛·期末）在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】由大前提推得，再利用菱形的几何性质即可判断. 【详解】在四边形中，由，可得四边形为平行四边形， 若，则平行四边形对角线垂直，所以为菱形，反之也成立， 故“”是“四边形是菱形”的充要条件． 故选：D. 二、多选题 8．（2025高一下·山东威海·期末）已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A利用向量数量积的运算律即可判断，对于B根据共线向量定理即可判断，对于C当时，即可判断，对于D利用夹角公式即可判断. 【详解】对于A：由得 ，所以，故A错误； 对于B：由于为非零向量，由可知不等于1，故，所以，故B正确； 对于C：当时，，但不是锐角，故C错误； 对于D：因为，所以，所以或，所以，故D正确. 故选：BD. 9．（2025高一下·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，向量如图所示，则（    ） A． B． C． D．存在实数，使得与共线 【答案】BCD 【分析】由题意可得：，根据向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】由题意可得：. 对于选项A：因为，所以不垂直，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，， 若与共线，则，解得， 所以当时，与共线，故D正确. 故选：BCD. 10．（2025高一下·山东泰安·期末）已知向量，，，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若向量与的夹角为钝角，则 D．若，，则向量在向量方向上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的运算律运算求解；对于C：根据数量积的定义分析判断；对于D：根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】对于选项A：例如，与不共线， 但，成立，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：因为向量与的夹角为钝角，即，则， 所以，故C正确； 对于选项D：若，，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为，故D正确； 故选：BCD. 11．（2025高一下·山东滨州·期末）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量的坐标是 【答案】BCD 【分析】求出的坐标，再利用向量垂直、模、向量共线依次判断ABC；求出投影向量判断D. 【详解】向量，则， 对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，，，向量在向量上的投影向量，D正确. 故选：BCD 12．（2025高一下·山东东营·期末）已知O是所在平面内一点，，，，则下列说法正确的是（    ） A．外接圆的半径为 B．内切圆的半径为 C．若O是的外心，则在上的投影向量为 D．若O是的垂心，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解判断A；利用三角形面积公式计算判断B；利用投影向量的意义求解判断CD. 【详解】对于A，在中， ，则， 由余弦定理得，即. 设外接圆的半径，由正弦定理可得，则，A正确； 对于B，的面积为，设内切圆的半径为， 则，解得，B错误； 对于C，若为的外心，结合投影向量定义可得在上的投影向量为，C正确. 对于D， ，若为的垂心， 则在上的投影向量为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 13．（2025高一下·山东聊城·期末）若向量在单位向量上的投影向量为，则______. 【答案】 【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的概念求值即可. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为： 14．（2025高一下·山东临沂·期末）已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.若，，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】利用向量模长的计算公式和基本不等式求解即可. 【详解】， ， 所以且， 故 因为，故， 且， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 15．（2025高一下·山东泰安·期末）已知，，，则______． 【答案】18 【分析】根据向量的坐标表示和数量积的坐标表示，求出向量数量积. 【详解】已知，，，则, 可知， 故答案为：18. 16．（2025高一下·山东泰安·期末）在中，内角A，，的对边分别为，，，S为的面积，为的中点，且，，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】利用面积公式得到，然后利用余弦定理，以及中线得向量表示可得，利用不等式计算判断. 【详解】由题可知：， 又，所以. 又为的中点，所以，两边平方得：，所以， 又，所以， 由（当且仅当时，取等号），所以， 所以， 所以的最大值为. 故答案为： 17．（2025高一下·山东枣庄·期末）已知，，则 ________． 【答案】 【分析】根据题意利用向量的坐标运算可得，，，即可得结果. 【详解】因为，， 则，，， 所以. 故答案为：. 18．（2025高一下·山东济南·期末）设Ox，Oy是平面内的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序数对叫做向量在坐标系Oxy中的坐标．已知，，对任意，恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意将，转化成用基底表示的形式，进一步可求出，根据恒成立求解的取值范围即可. 【详解】，. ，. ，， . 对任意，恒成立. . . ， . 解得：. ；. 即的取值范围为. 四、解答题 19．（2025高一下·山东威海·期末）在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． (1)用，表示，； (2)若，求； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的加减法即可求解； （2）由得，利用平面向量数量积的运算律即可求解； （3）设，，又，利用数量积的定义得，利用二倍角公式化简得，令，利用二次函数即可求解. 【详解】（1）由题意知，， ； （2）若，则， 所以， 可得， 即，所以． （3）设，， 因为， 所以 ， 令，则，， 因为，， 可得， 所以的取值范围是． 20．（2025高一下·山东青岛·期末）已知向量， (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求出m，即可求得，即可求解答案； （2）根据向量平行的坐标表示求出m，再利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）由于向量，，故，， 由，得， 即，解得，则， 故， （2）由于向量，，，则， 则，故， 故与夹角的余弦值为. 21．（2025高一下·山东聊城·期末）对于向量，，定义运算，已知向量，，. (1)若，求t的值； (2)若，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用新定义列方程求解； （2）由垂直求得值，由新定义求得，再由向量夹角公式计算. 【详解】（1）因为，，， 所以， 因为，所以，解得. （2）由题意得 又，且，所以，解得， 此时， 设与的夹角为， 则 所以与夹角的余弦值为 22．（2025高一下·山东东营·期末）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且，D是的中点，点E在线段上且，线段与线段交于点M. (1)求角A的大小； (2)若，求的值； (3)若，且点G是的重心，求线段的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用面积公式和余弦定理化简得到，求出，可得； （2）由三点共线得到，，从而得到方程组，求出，得到答案； （3）由重心定义得到，进而求出，根据三角形面积公式得到， 两边平方，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为，则， 可得， 则，可得， 又因为，则， 则，所以； （2）由题意可得：，， 由D、M、C三点共线得， 由B、M、E三点共线可得， 则，解得， 可得，可得， 所以； （3）由重心定义得，则， 又因为，可得， 可得 ， 当且仅当时，等号成立， 即，所以线段GM的最小值为. 23．（2025高一下·山东潍坊·期末）记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求； (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得，再结合条件，利用正弦定理，即可求解； （2）利用余弦定理得，由向量的中线公式得，利用数量积的运算律，可得，即可求解. 【详解】（1）因为，则，且， 由正弦定理，得到， 又，，所以，又，则. （2）由余弦定理，得以， 整理得到，解得或（舍）， 又为的中点，所以， 则， 所以，即的长为. 24．（2025高一下·山东潍坊·期末）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）计算出，根据向量平行得到方程，求出答案； （2）计算出，根据向量模长得到方程，求出，由向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】（1）， ，故，解得； （2）， ，故，解得， 所以， . 25．（2025高一下·山东德州·期末）已知． (1)若，求； (2)若： （i）求函数的单调递减区间； （ii）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值．（结果精确到小数点后3位，参考数据：） 【答案】(1)或 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由平面向量平行的坐标表示得出，再分类讨论的值，结合二倍角公式及同角三角函数的商数关系即可求解； （2）（ⅰ）由平面向量数量积的坐标运算，结合二倍角公式，辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解；（ⅱ）根据诱导公式得出，结合泰勒公式即可求解． 【详解】（1）若，则， 若，满足要求，此时， 若； 故或． （2）（ⅰ）， 令， 即， 所以函数的单调递减区间． （ⅱ）因为， 所以， 由泰勒公式得：， 所以． 地 城 考点03 平面向量的基本定理及坐标表示 一、单选题 1．（2025高一下·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可设，与相交于点，则，利用三点共线可得即可求解. 【详解】设，与相交于点， 又，所以， 则，又三点共线， 所以，则， 所以，即的面积为. 故选：B. 2．（2025高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 3．（2025高一下·山东日照·期末）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】由，可得， 所以. 故选：D. 4．（2025高一下·山东临沂·期末）已知向量，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】已知向量，，若，则，解得. 故选：B. 5．（2025高一下·山东泰安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理，和平面向量运算方法，用基底表示目标向量. 【详解】 如图所示，. 故选：D. 6．（2025高一下·山东东营·期末）已知平面向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量共线求解出参数的值，然后根据坐标运算即可计算出的结果. 【详解】因为，，且， 所以，， 故选：A. 7．（2025高一下·山东淄博·期末）在中，，点平分线段．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理，，再由，化简即可求解. 【详解】因为，即， 又点平分线段， 所以. 故选：D. 8．（2024高一下·山东威海·期末）已知，向量，，则存在和，使得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量坐标的数量积运算、运算律应用以及向量共线的充要条件判断，对选项进行逐一分析、计算即得. 【详解】对于A，因，则，则， 故，即不能成立，即A错误； 对于B，， 因，则，则，故，即B错误； 对于C，由B项可得，同理， 因，则，则，故，即C错误； 对于D，由和可得，， 即若取时，有，此时满足，故D正确. 故选：D. 9．（2024高一下·山东菏泽·期末）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得，再求其模. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：A 10．（2024高一下·山东济南·期末）如图，设，是平面内夹角为的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序数对叫做点在坐标系中的坐标.在该坐标系下，，，为不共线的三点，下列结论错误的是（    ）    A．线段中点的坐标为 B．重心的坐标为 C．，两点的距离为 D．若，则，，三点共线 【答案】C 【分析】依题意可得，，，根据平面向量线性运算判断A、B，表示出，再根据数量积的运算律判断C，根据向量共线定理判断D. 【详解】根据题意，，，， 对于A，设的中点为，则， 故线段中点的坐标为，故A正确．    对于B，设重心为，则 ， 故重心的坐标为，故B正确； 对于C，， 所以 = 即该坐标系中，两点间的距离为： ，故C错误； 对于D，，， 若，易得，则、、三点共线， 若，变形可得，所以， 所以，所以、、三点共线， 综合可得：若，则，，三点共线，故D正确． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键是对斜坐标的理解，灵活运用平面向量的相关知识解答即可. 11．（2024高一下·山东东营·期末）如图，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题中有90°，因此建立平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算即可． 【详解】建立如图所示的直角坐标系， ， ， 设， ， ，解得， 所以. 故选：A. 12．（2024高一下·山东东营·期末）已知与不共线，若与共线，则实数的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量共线即可列出方程组求解. 【详解】由题意设，而与不共线，所以，解得. 故选：A. 13．（2024高一下·山东滨州·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】运用向量共线可解． 【详解】若A，B，C三点共线，则共线. 即，则. 故选：C. 14．（2024高一下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，为上一点，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可． 【详解】解：由题意建立如图所示直角坐标系 因为，，则，，， 所以，，设， 因为，即，解得． 因为，所以， 所以，解得，则． 故选：． 15．（2024高一下·山东青岛·期末）在平行四边形中，，若交于点M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形相似的性质结合向量的运算，即可得出答案. 【详解】，为线段靠近点的四等分点 显然，即 故选：B 【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题. 二、多选题 16．（2025高一下·山东淄博·期末）已知向量，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为2 B．若，则的值为 C．若与的夹角为锐角，则 D．若，则与的夹角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】由向量的坐标运算可逐项判断. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，与的夹角为锐角，所以， 又时，与的夹角为0， 所以与的夹角为锐角，，故C错误； 对于D，，，，故D正确； 故选：ABD. 17．（2024高一下·山东东营·期末）已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为钝角，则的取值范围为 D．若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】利用向量平行的坐标表示可判断A，利用向量垂直的坐标表示判断B，根据向量夹角的坐标求解C，利用投影向量的坐标表示求解D. 【详解】对于A，若，则，即，故A错误； 对于B，若，则，即，故B正确； 对于C，若与的夹角为钝角， 则，即，且与不反向， 当时，，，与反向，所以， 所以的取值范围为，故C错误； 对于D，时，， 在上的投影向量为， 故D正确. 故选：BD. 18．（2024高一下·山东菏泽·期末）已知平面向量，，则（    ） A．当时， B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则 【答案】ACD 【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A；根据向量平行的坐标公式计算即可判断B；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D. 【详解】对A，当时，，所以，故A正确； 对B，若，则，解得，故B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若与的夹角为钝角，则且与不共线， 解得且，即，故D正确， 故选：ACD 19．（2024高一下·山东淄博·期末）如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据向量线性运算依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由B知：，D错误. 故选：BC. 三、填空题 20．（2025高一下·山东威海·期末）已知向量，，若，则_______． 【答案】2 【分析】根据向量坐标的线性运算先求，利用共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有， 因为，所以， 故答案为：2. 21．（2025高一下·山东日照·期末）已知向量，若，则的值为___________. 【答案】/ 【分析】根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 22．（2024高一下·山东临沂·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据题意，计算出 ，再根据向量的坐标运算法则计算出点的坐标. 【详解】因为，， 所以 ， 将向量顺时针方向旋转，即逆时针旋转， 得到， 其中， ， 化简得 ， 所以点坐标为. 故答案为：. 23．（2024高一下·山东淄博·期末）平行四边形中，交于，则等于_____________． 【答案】 【分析】运用三点共线向量表达式和加减三角形法则将都用基底表示，后运用数量积运算律计算即可. 【详解】如图所示， 故答案为：. 四、解答题 24．（2025高一下·山东泰安·期末）已知中，内角，，所对的边为，，，其中，，的面积为． (1)求角的大小； (2)如图，点在边的延长线上，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）现根据正弦面积公式，求出边长，再根据正弦定理和余弦定理解三角形； （2）根据平面向量基本定理，用基底表示向量，根据向量模长的计算方法，求出线段的长. 【详解】（1）面积，即， ， 在中，由余弦定理得， ， 由正弦定理，， ，，， （2）由（1），， ，， ，，， ， . 25．（2024高一下·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，. (1)若点P满足，求点P的坐标； (2)若点D满足，，求向量的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点P的坐标为，根据向量的数乘列式求解即可； （2）设向量的坐标为，根据向量平行、垂直关系列式求解即可. 【详解】（1）设点P的坐标为，则， 因为，则，解得， 所以点P的坐标为. （2）设向量的坐标为，即， 则，， 因为，，则，解得， 所以向量的坐标为. 26．（2024高一下·山东潍坊·期末）已知平面向量，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解出值，再利用向量的坐标表示即可得到答案； （2）根据向量垂直的坐标表示得到，再利用向量夹角的坐标表示即可. 【详解】（1）因为， 又因为，所以，解得， 所以. （2）因为， 所以，解得. 所以， 所以. 27．（2024高一下·山东淄博·期末）设两个向量满足， (1)求方向的单位向量； (2)若向量与向量反向，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出，利用求出答案； （2）根据向量与向量反向，得到答案. 【详解】（1）由已知，所以， 由方向的单位向量为，所以 即方向的单位向量为； （2）解法1： 设，即， 则，得，得 解法2： ， 由平行，令，得， 由反向，. 28．（2024高一下·山东济宁·期末）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意设，结合模长公式即可列式求解参数，进而得解； （2）对已知等式两边平方并化简可得，利用转换法可求的模，根据数量积的运算律可求得与的数量积，结合向量夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为，且，所以可设，， 所以，解得， 所以或． （2）因为，所以，所以， 又，所以，解得， 又，所以， 又， 设与的夹角为，所以， 即与的夹角的余弦值为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $