8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l（与直线BB1不重合）⊥平面A1B1C1D1，则（　　） A.B1B⊥l B.B1B∥l C.B1B与l异面但不垂直 D.B1B与l相交但不垂直 2.在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（　　） A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行 3.如图所示，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE等于（　　） A.2 B.3 C. D. 4.已知平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，且直线m与n不平行.记平面α，β之间的距离为d1，直线m，n之间的距离为d2，则（　　） A.d1＜d2 B.d1＝d2 C.d1＞d2 D.d1与 d2大小不确定 5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1之间的距离为（　　） A.4 B.2 C.2 D. 6.已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD等于（　　） A.2 B.1 C. D. 7.如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ、一段连接绳QO和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，O为上底面圆的圆心，在圆柱上、下底面圆周上分别有一点A，B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 8.如图所示，在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，已知OA＝OB＝2，OC＝1，则点O到平面ABC的距离为（　　） A. B. C. D. 9.（多选）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面.下列四个命题中，是真命题的有（　　） A.若m⊥n，n⊂α，则m⊥α B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C.若m⊥α，n⊥α，则m∥n D.若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n 二、填空题 10.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题 ：（用序号表示）. 11.线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为 . 12.直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是 （只填序号）. ①a和b垂直于正方体的同一个面； ②a和b在正方体两个相对的面内，且共面； ③a和b平行于同一条棱； ④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直. 13.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是 . 三、解答题 14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD. 证明：l∥AE. 15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，AD＝1，E是棱PB的中点.求直线AB与平面ECD之间的距离. 16.如图所示，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A（即PA⊥α），从点P看地面上一物体B（不同于点A），直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β. 试探讨平面β与平面α的位置关系. 参 考 答 案 一、选择题 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l（与直线BB1不重合）⊥平面A1B1C1D1，则（　B　） A.B1B⊥l B.B1B∥l C.B1B与l异面但不垂直 D.B1B与l相交但不垂直 解析： ∵B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，∴l∥B1B. 2.在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（　B　） A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行 解析： 由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，∴它们平行. 3.如图所示，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE等于（　D　） A.2 B.3 C. D. 解析： ∵▱ADEF的边AF垂直于平面ABCD，∴DE⊥平面ABCD，而CD⊂平面ABCD，则DE⊥CD，可知△CDE为直角三角形.又DE＝AF＝2，CD＝3， ∴CE＝＝. 4.已知平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，且直线m与n不平行.记平面α，β之间的距离为d1，直线m，n之间的距离为d2，则（　B　） A.d1＜d2 B.d1＝d2 C.d1＞d2 D.d1与 d2大小不确定 解析： ∵平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，且直线m与n不平行，∴平面α，β之间的距离等于直线m，n之间的距离，∴d1＝ 5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1之间的距离为（　C　） A.4 B.2 C.2 D. 解析： 如图所示，MN∥BC1，又BC1⊂平面BCC1B1，MN∥平面BCC1B1，∴MN与平面BCC1B1之间的距离为N到面BCC1B1的距离.又N到平面BCC1B1的距离为NB＝AB＝2，∴MN与平面BCC1B1之间的距离为2. 6.已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD等于（　A　） A.2 B.1 C. D. 解析： ∵AC⊥平面α，BD⊥平面α，∴AC∥BD.连接OD，∴＝.∵OA＝AB，∴＝.∵AC＝1，∴BD＝2. 7.如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ、一段连接绳QO和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，O为上底面圆的圆心，在圆柱上、下底面圆周上分别有一点A，B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（　A　） A.2 B.4 C.6 D.8 解析： 如图所示，作出平面CDEF，使得PQ⊥平面CDEF，当PQ⊥AB时，AB∥平面CDEF或AB⊂平面CDEF，结合旋转分析可知，有2次使得PQ⊥AB. 8.如图所示，在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，已知OA＝OB＝2，OC＝1，则点O到平面ABC的距离为（　D　） A. B. C. D. 解析： 由题意得AB＝2，AC＝，BC＝，在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝＝，∴sin∠ACB＝，∴S△ABC＝×××＝.设点O到平面ABC的距离为d，由VA－BOC＝VO－ABC，得××2×1×2＝×·d，解得d＝，即点O到平面ABC的距离为. 9.（多选）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面.下列四个命题中，是真命题的有（　BC　） A.若m⊥n，n⊂α，则m⊥α B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C.若m⊥α，n⊥α，则m∥n D.若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n 解析： 直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，A不是真命题；B是直线与平面垂直的定义的应用，B是真命题；C是直线与平面垂直的性质定理，C是真命题；对于D，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，D不是真命题. 二、填空题 10.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：　若②③，则①（答案不唯一）　（用序号表示）. 解析： 由l，m是平面α外的两条不同直线，得若l⊥α，m∥α，则由线面垂直、线面平行的性质定理得l⊥m. 11.线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为　4　. 解析： 如图所示，设AB的中点为M，分别过点A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1， 则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4. 12.直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是　①②③　（只填序号）. ①a和b垂直于正方体的同一个面； ②a和b在正方体两个相对的面内，且共面； ③a和b平行于同一条棱； ④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直. 解析： ①根据线面垂直的性质定理判断；②根据面面平行的性质定理判断；③根据基本事实4判断；只有④错误. 13.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是　平行　. 解析： ∵DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，∴DE∥PA.又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC. 三、解答题 14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD. 证明：l∥AE. 证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. 又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD. ∵PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又AE⊂平面PAD，∴AE⊥CD. ∵AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD.∵l⊥平面PCD，∴l∥AE. 15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，AD＝1，E是棱PB的中点.求直线AB与平面ECD之间的距离. 解：如图所示，取PA的中点F，连接EF，FD， ∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥CD， ∵底面ABCD为矩形， ∴AD⊥CD， 又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD， 又CD⊂平面EFDC，∴平面EFDC⊥平面PAD， ∵平面EFDC∩平面PAD＝FD， ∴点A到FD的距离，即为点A到平面EFDC的距离，∵AB∥CD，AB⊄平面EFDC，CD⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∴点A到平面EFDC的距离，即为直线AB到平面EFDC的距离， 在Rt△AFD中，AF＝，AD＝1，DF＝， ∴点A到FD的距离为d＝＝. 16.如图所示，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A（即PA⊥α），从点P看地面上一物体B（不同于点A），直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β. 试探讨平面β与平面α的位置关系. 解：平面β与平面α必相交.假设平面α与平面β平行. ∵PA⊥平面α，∴PA⊥平面β.∵PB⊥平面β，由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB，与已知PA∩PB＝P矛盾，∴平面β必与平面α相交. 学科网（北京）股份有限公司 $