精品解析：2026年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷

2026年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. C. π D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】是无理数，A不正确； 是无理数，B不正确； π是无理数，C不正确； 0是有理数，D正确； 故选D． 2. 盖碗茶是中国传统饮茶方式，茶具由盖、碗、托三件组成，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人，寓意天地人和．如图，是一种盖碗茶具的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的形状得到其对应的三视图即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这个几何体的俯视图与主视图和左视图不相同，主视图与左视图相同． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：． 4. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘、除法，幂的乘方，整式的加法，根据运算法则逐一验证各选项的正确性即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、 ，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 6. 已知，则下列不等式变形不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、在的两边同时加上，不等号的方向不变，即，正确，不符合题意； B、在的两边同时乘以再加，不等号的方向改变，即，原变形错误，符合题意； C、在的两边同时乘以再减，不等号的方向改变变，即，正确，不符合题意； D、在的两边同时除以，不等号的方向不变，即，正确，不符合题意； 故选：B． 7. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：设该方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系，得 ， 解得， 即该方程的另一个根为 8. 将分别标有“最”、“美”、“韶”、“关”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回摸出的球后再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“韶关”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“韶关”的有2种结果， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“韶关”的概率为， 故选B． 9. 如图，在中，． ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线交于点D； ④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，H； ⑤作直线，分别交于点E， 依据以上作图，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接由作法得平分，垂直平分，进而推出，，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行求解即可. 【详解】解：如图，连接 由作法得平分，垂直平分，连接， 平分，， ∴， ∴，即， ， 垂直平分， ， 在中，， ， 的面积 10. 定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次函数的性质，由一个点的横纵坐标之和为，可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， ， 解得 当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可 【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为， ∴=， 解得n=6， 经检验n=6是原方程的根， 故答案为：6 【点睛】本题考查了概率公式，根据概率，运用公式建立起分式方程是解题的关键． 13. 如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，再分别求出和扇形的面积，相减即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握是解题关键． 14. ，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则当时，甲、乙两人相距______． 【答案】40 【解析】 【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两人离开地的距离与时间的函数解析式，再将分别代入两个解析式求出对应的距离，最后计算两人的距离差即可． 【详解】解：设甲的解析式为，代入、， 得， 解得， 则， 设乙的解析式为，代入， 得， 解得， 则， 当时，，， 则， 则时，甲、乙两人相距． 15. 如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题． 【详解】如图，作FH⊥PE于H． ∵四边形ABCD是正方形，AB＝5， ∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°， ∵∠FHC＝90°，CF＝2， ∴CH＝HF＝， ∵CE＝4AE， ∴EC＝4，AE＝， ∴EH＝5， 在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52， ∵∠GEF＝∠GCF＝90°， ∴E，G，F，C四点共圆， ∴∠EFG＝∠ECG＝45°， ∴∠ECF＝∠EFP＝135°， ∵∠CEF＝∠FEP， ∴△CEF∽△FEP， ∴， ∴EF2＝EC•EP， ∴EP＝ 故答案为． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示其解集，确定公共部分并得到不等式组的整数解. 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 ∴原不等式组的解集是． ∴整数解为． 18. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）小玲站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小玲的身高约为多少厘米？ （2）身高的小婷，头部高度为，当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1）小玲的身高约是厘米 （2）小婷能被摄像头识别，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出即可求出，进而可求出小玲的身高； （2）过Q作的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H，在中，根据三角函数求出，，即可求出，进而可确定小婷头部以下的高度，进而即可判断． 【小问1详解】 解：如图，过M作的垂线分别交仰角线，俯角线于点E，D，交水平线于点F， 由题意得，， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 答：小玲的身高约是厘米； 【小问2详解】 解：小婷能被摄像头识别，理由如下： 如图，过Q作的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， 在中，，， ， 同理， ，， 小婷头部以下的高度为：， ，且小婷身高， 小婷整个头部都在摄像头视角范围内， 小婷能被摄像头识别． 20. 如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，从而可得，再根据等腰三角形的性质和平行线的性质，即可证得答案； （2）连接，先证明，则，根据三角函数的定义，可求得的长，最后根据勾股定理可求得的长，从而得到答案． 【小问1详解】 连接， 直线是的切线，切点为C， ， 又， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 连接， 是的直径， ， 又， 由（1）得， ， 在中，， ， 在中，， ． 21. 人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： （1）【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：_____．（请填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩； ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩； ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩； ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理如表： 组别 成绩（分） 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图． （2）【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： ①抽取学生竞赛成绩的样本容量为_____；请补全频数分布直方图； ②抽取的样本数据中位数所在组别是_____组； （3）扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是_____度； （4）若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1）④； （2）①总样本容量为，补全频数分布直方图见解析；②； （3）； （4）估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （1）根据样本具代表性，避免偏差，即可得出答案； （2）根据频数分布直方图可知样本容量，完成统计图即可；因为样本容量为，那么中位数为第，人成绩的平均数，由于组人数人，组人数人，中位数就在组； （3）用组对应的圆心角的度数是； （4）根据样本估计总体可知，用乘分以上（含分）的人数占比，即可求解． 【小问1详解】 分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩，覆盖全校不同层次，避免因单一班级或年级的特殊性导致偏差，其他选项均存在局限性（如仅抽取一个班级、年级或性别）； 故答案为：④； 【小问2详解】 ①总样本容量为， 因此组的人数 ， 补全频数分布直方图如下： ， 故答案为：； ②样本容量，那么中位数为第，人成绩的平均数，由于组人数人，组人数人， 抽取的样本数据中位数所在组别是组； 故答案为：； 【小问3详解】 扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是； 故答案为：； 【小问4详解】 （人）， 答：估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人． 22. 【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 （1）求购进A，B两种机器人玩具的单价； （2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】（1）购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 （2）购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元 【解析】 【分析】（1）根据 “数量总价单价”列出代数式，再根据“玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍”列出等量关系式解出答案； （2）将其中一种机器人的数量设出来，另一个由“两种机器人玩具共40个”列出代数式，再根据题意列出不等式求出设的值的取值范围，再列出一次函数，根据一次函数的增减性求出答案． 【小问1详解】 解：设购买一个A种机器人玩具价格为x元，则购买一个B种机器人玩具价格为元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 【小问2详解】 解:设购进A种个，则B种个， 由题意： ， 解得， 且， ， ∴，m为整数， 设总花费为w元： ， ，w随m增大而减小， 取最大值30时，花费最少，， 此时：A种30个，B种（个）， 最少花费： 元； 答：购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元． 23. 如图1，一次函数与反比例函数 的图象相交于点， 两点，点C为线段中点，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．在平面内是否存在点（点P在直线AB上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为 （2） （3）存在，点 、点 或点 、点 【解析】 【分析】（1）利用一次函数与反比例函数的交点求出反比例函数表达式，将点代入反比例函数中，求出点的坐标，再利用点点待定系数法求出直线的解析式； （2）利用一次函数解析式求出点的坐标，再利用坐标的特点求出的面积，再利用三角形的中线平分三角形的面积求解； （3）过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点，构造一线三等角得到，利用相似比分类讨论，求得点的坐标，利用中点公式求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， 将点代入，解得， ∴反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 即点， 设直线的表达式为， 将点，点分别代入表达式，得， 解得， ∴直线的表达式为：． 【小问2详解】 解：连接OA、OB， 令，则，解得，即点， 则， 点为线段中点， ， 则； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 由题意得，，， 过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，点， ∴线段中点的坐标为，即， ∵四边形为倍边矩形， ∴点是线段的中点， ①当和的相似比为1：2时， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点； 即点、点； ②当和的相似比为2：1时， 设，， 则， ， 则 且 解得：，， 则点、点 综上，点、点或点、点． 24. 如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． （1）求二次函数的表达式； （2）在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②时为锐角三角形 【解析】 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）①连接，交于，根据二次函数解析式求出，进而求出，根据平分，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立直线与二次函数的解析式求出点坐标即可； ②设的中点为，连接，当时，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，利用两点间距离公式列方程求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：将、代入， ∴， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：①如图，连接，交于， 由（1）可知，， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∵，， ∴，， ∴，是等腰三角形， ∵平分， ∴，即为的中点， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． ②设的中点为，连接， ∵，， ∴， ∵点C的横坐标为， ∴， 当时，， ∴， 解得：或， ∴时，为锐角三角形． 25. 已知四边形中，E，F分别是，边上的点，与交于点． （1）【问题发现】如图1，四边形是正方形，，______； （2）如图2，四边形是矩形，，，，______； （3）【拓展探究】如图3，四边形是平行四边形，，求证：． 请写出完整的证明过程，以下思路仅供参考． 思路一：在的延长线上取点M，使， 思路二：在线段上取点N，使． （4）【解决问题】如图4，，，，，求． 【答案】（1）1 （2） （3）完整的证明过程见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可求解； （2）根据矩形的性质证明，即可求解； （3）思路一：在的延长线上取点M，使，结合平行四边形的性质证明，即可证明；思路二：在线段上取点N，使，与交于点H，通过导角计算可证明，即可证明； （4）连接，过点C作，，M，N为垂足，与交于点H，构造矩形，得，，进一步推得，则，通过计算得，，根据勾股定理可得，根据题目易得，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，， ，，， ，， ∴， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ， 则； 【小问3详解】 证明：思路一：在的延长线上取点M，使， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 思路二：在线段上取点N，使，与交于点H， ∴， 四边形是平行四边形， ， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 如图，连接，过点C作，，M，N为垂足，与交于点H，设， ，，，， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， ，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∴，， 根据勾股定理得 ， 解得，舍去， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质并根据题意构造合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. C. π D. 0 2. 盖碗茶是中国传统饮茶方式，茶具由盖、碗、托三件组成，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人，寓意天地人和．如图，是一种盖碗茶具的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列不等式变形不正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 将分别标有“最”、“美”、“韶”、“关”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回摸出的球后再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“韶关”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，． ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线交于点D； ④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，H； ⑤作直线，分别交于点E， 依据以上作图，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 因式分解：__． 12. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______． 13. 如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为__________． 14. ，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则当时，甲、乙两人相距______． 15. 如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是_____． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 19. 如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）小玲站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小玲的身高约为多少厘米？ （2）身高的小婷，头部高度为，当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由．（结果精确到．参考数据：，，） 20. 如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 21. 人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： （1）【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：_____．（请填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩； ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩； ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩； ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理如表： 组别 成绩（分） 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图． （2）【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： ①抽取学生竞赛成绩的样本容量为_____；请补全频数分布直方图； ②抽取的样本数据中位数所在组别是_____组； （3）扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是_____度； （4）若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 22. 【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 （1）求购进A，B两种机器人玩具的单价； （2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 23. 如图1，一次函数与反比例函数 的图象相交于点， 两点，点C为线段中点，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．在平面内是否存在点（点P在直线AB上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． （1）求二次函数的表达式； （2）在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 25. 已知四边形中，E，F分别是，边上的点，与交于点． （1）【问题发现】如图1，四边形是正方形，，______； （2）如图2，四边形是矩形，，，，______； （3）【拓展探究】如图3，四边形是平行四边形，，求证：． 请写出完整的证明过程，以下思路仅供参考． 思路一：在的延长线上取点M，使， 思路二：在线段上取点N，使． （4）【解决问题】如图4，，，，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $