2025年山东省济南市天桥区中考二模数学试题

2025年九年级学业水平考试模拟测试 数学参考答案 一、选择题： B B A D C A C D B D 二、填空题： 11． 12．7 13． 14．1 15. 三、解答题 16. ------------------------------4分 ． ------------------------------7分 17．解：， 解不等式①，得：， ------------------------------2分 解不等式②，得：， ------------------------------4分 原不等式组的解集是， -------------------------------6分 该不等式组的所有整数解是0，1，2． --------------------------------7分 18．证明：四边形是平行四边形， ，， ----------------------------2分 ， ---------------------------3分 ， ，， ------------------------------4分 又，， △△， ------------------------------6分 ------------------------------7分 19．解：（1）如图1，连接，过点作交于点， ， ， ， （米， 答：，之间的距离要大于5.0米；--------------3分 （2）法1：如图1，延长交于点，过点作，交的延长线于点， 设米，则米， 要使的最长，段和段的坡度，--------4分 ( 一楼地面 G M 第 19 题图 1 D 8 m 小心碰头 二楼地面 A E F B C H )米，米， --------5分 在中，， 则（米，------6分 四边形为矩形， ， ------7分 则（米， 答：平台的最大长度约为6.2米． --------8分 法2：如图2，延长交于点， 段和段的坡度， ( 第 19 题图 2 D 8 m 小心碰头 二楼地面 一楼地面 A C E F B N )， ． 又， 四边形为平行四边形． --------5分 段和段的坡度， （米． ---------6分 在中，， 则（米，----7分 则（米， 答：平台的最大长度约为6.2米．--------8分 ( D 8 m 小心碰头 二楼地面 一楼地面 A C E F B M ) ( D 8 m 小心碰头 二楼地面 一楼地面 A C E F B M ) ( D 8 m 小心碰头 二楼地面 一楼地面 A C E F B M ) ( D 8 m 小心碰头 二楼地面 一楼地面 A C E F B M ) 20．（1）证明：平分， ， -------------------------------------1分 为的切线， ， -------------------------------------2分 ， 中， ， ----------------------------------3分 ． -----------------------------------4分 ( 第 20 题图 D A B C H O E )（2）解：连接， 为直径， ， -----------------------------------5分 ， ， ， -----------------------------------6分 ， ， ， ， ， -----------------------------------7分 的半径为． -----------------------------------8分 21．解：（1）13；2；15；------------3分 （2）72.5；135；乙．------------6分 （3）甲． ------------7分 （4）估计甲校能参加第二轮比赛的人有：（人．------------9分 22．解：（1）设每本文学名著元，每本人物传记元， 根据题意得：， ------------2分 解得：． 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元；------------3分 （2）文学名著和人物传记各40本费用：元，------------4分 ，总费用不在预算内， ------------5分 元，还需追加资金300元 ------------6分 （3）设人物传记买本，则文学名著买本，------------7分 根据题意得：， ------------------------- ------------8分 解得：， -------------------------------------9分 又为正整数， 的最大值为33． 答：人物传记至多买33本． ------------------------- ------------10分 23．解：（1）当时，，则点，-----1分 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数表达式为：； ------------2分 （2）设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的中垂线上， 则， ------------3分 解得：（舍去）或， ------------4分 则点，的坐标分别为：，， ------------5分 则；------------6分 （3）， 的坐标为， 作于，过作轴平行线，作， 一次函数的图象绕点顺时针旋转交反比例函数图象于点，， ( Q F C B A D E O x y R P )， ， ------------------------- -----------------7分 设， ，， ， ------------------------- -----------------9分 直线解析式为：，与反比例函数联立方程组解得：． ------------------------- -----------------10分 ( 第 24 题 图 1 B y O x A H )24.解：（1）最高点的坐标为， ，，，------------1分 设抛物线的解析式为，则，解得， 抛物线的函数表达式为；------------3分 （2）令，则， ( 第 24 题图 2 A B E D F C )解得，，------------5分 两个支撑柱之间的距离是；------------6分 （3）如图，设矩形宣传牌为矩形MNPQ,且边NP落在CE上， 拱桥的最高点到的距离为，且矩形MNPQ长、宽均为整数， ∴ MN的值可以为1，2，3------------8分 又∵矩形宣传牌的面积为 有下列2种初步的设计方案 ①MN=1，NP=20；②MN=2，NP=10； ， ∴方案①不合题意，------------9分 ∴MN=2，NP=10，此时点M到路面的距离为6 ∵当时，，------------11分 ∴此时宣传牌左上方顶点M的坐标是，，符合题意 综上所述，矩形宣传牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是．------------12分 法二：矩形宣传牌的面积为且长、宽均为整数， 宣传牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表落在上的边长） ①：②；③；④；⑤；⑥，------------7分 拱桥的最高点到的距离为，方案①，②，③不符合题意，------------9分 ，方案⑥不符合题意，------------10分 ( 第 24 题图 3 A B E D F C M N Q P )对于方案④：当时，， 此时宣传牌的最上边距离路面的高度为， ，方案④不满足要求；------------11分 对于方案⑤：当时，， 此时宣传牌的最上边距离路面的高度为，方案⑤可以满足要求， 此时宣传牌左上方顶点的坐标是，， 综上所述，矩形宣传牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是．------------12分 ( B P A C D 第 25 题 图 1 )25.（1）证明：选择思路1，如图1，过点交的延长线于点， ， ， 又， ，----------1分 ， 是的角平分线， ， ， ，----------2分 ；----------3分 选择思路2，如图2，过点分别作交于点，作交于点，作于点， 是的角平分线， ，----------1分 ，，，， ( A B P D E C F 第 25 题 图 2 )，，----------2分 ， ， ．----------3分 （2）解：，，， ，----------4分 设，由（1）结论得，，----------5分 解得．----------6分 （3）解：为的角平分线， ，， 中，，，， ， ，----------7分 的垂直平分线交延长线于，， ， ，， ， ，，----------8分 ， ， ．----------10分 （4）----------12分 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题第 1 页（共 8 页） 2025 年九年级学业水平考试模拟测试 数学试题 注意事项： 本试题共 8 页，满分为 150 分．考试时间为 120 分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、 姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡上题号所提 示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第 I 卷（选择题共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1．2025 的相反数是 A． 2025 B． 2025 C． 1 2025 D． 1 2025  2．太阳与地球的平均距离大约是 150000000 千米，150000000 用科学记数法表示为 A． 71.5 10 B． 81.5 10 C． 715 10 D． 615 10 3．如图，该三棱柱的俯视图是 A． B． C． D． 4．芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术．下列关于芯片的图标中，既 是轴对称图形又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 正面 数学试题第 2 页（共 8 页） 5．已知实数m ， n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 A． 1 0 m  B． | | 0n  C． 0mn  D． 0m n  6．已知关于 x 的一元二次方程 2 2 0x x k   有两个不相等的实数根，则 k 的值可以是 A． 2 B．1 C．2 D．3 7．如图，已知直线 / /a b ，直角三角形如图放置， 90DCB  ，若 1 60B    ，则 2 的 度数为 A． 50 B． 40 C．30 D．20 8．一个不透明的袋子中装有 4 个分别标有化学元素符号H ，O ，C ， N 的小球（除元素符 号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“C ”的概率是 A． 1 6 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 2 9．如图，在正方形 ABCD中，点 E 是 AC 上一点，连接ED，过点C 作 ED的垂线交对角线 BD 于点M ，垂足为 F ，若 2CE CD  ，则DM 的长为 A．1 B． 2 2 2 C．2 2 D． 2 10．新定义：若函数图象恒过点（m，n)，我们称（m，n）为该函数的“永恒点”. 如：一次 函数 ( 1)( 0)y k x k   ，无论 k 值如何变化，该函数图象恒过点（1，0），则点（1，0） 称为这个函数的 “永恒点”.点 P 和点 B 分别为抛物线 2 2 3 ( 0)y mx mx m m     的顶 点和 x 轴正半轴上的“永恒点”，设点 B 到直线 3 ( 0)y mx m m   的距离为 d1，设点 P 到直线 3 ( 0)y mx m m   的距离为 d2，则 1 2 d d 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 n m 0 1 C 第 7 题图 1 a A 2 b B D A B C D E F O M 第 9 题图 数学试题第 3 页（共 8 页） 第Ⅱ卷（非选择题共 110 分） 注意事项： 1．第 II 卷必须用 0.5mm 黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用 涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．） 11．客厅地面上铺了 18 块地砖，有 12 块是白色的，其余都是黑色的，小猫停留在任何一块 地砖上的机会都相等，小猫停留在黑色地砖上的概率等于 ． 12．代数式 3 2x  与代数式 2 1x  的值相等，则 x  ． 13．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），示意图 如图所示，则形成的 1 的度数是 ． 14．如图，射线OA与函数 0 0 k y k x x   （ ， ）图象相交于点 A （1， 3 ），以点O 为圆心， 以适当长为半径作弧，分别与OA，OB 相交于点M ， N ；再分别以点M ， N 为圆心， 以大于 1 2 MN 的长为半径作弧，两弧在 AOB 内部相交于点 P ，作射线OP ，交函数 k y x  图象于点C ，连接 AC ，则△ AOC 的面积是 ． 15．如图，在菱形纸片 ABCD中， 4 3 4BC   ， 60B  ，将菱形纸片翻折，使点 B 落在CD 边上的点 P 处．折痕为MN ，点M ， N 分别在BC ， AB 上，若PN AB ，则折痕MN 的长为 ． 三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．） 16．(本小题满分 7 分) 计算： 0 1 1 9 ( 3.14) ( ) | 3 | 2cos30 4       ． 17．(本小题满分 7 分) 解不等式组 2( 1) 1 3 1 1 3 x x x          ① ≤ ② ，并写出它的所有整数解． 1 第 13 题图 第 14 题图 O A B C M N P x y C B A N P M 第 15 题图 D 数学试题第 4 页（共 8 页） 18．(本小题满分 7 分) 如图，在ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AE=CF，EF，BD 相交于点 O， 求证：OE=OF． 19．(本小题满分 8 分) 某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯 AC ，截面的示意图如图所示，一楼和 二楼地面平行（即点 A与点 B 所在的直线与CD平行），层高 AD 为8m，坡角 20ACD  ， 为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头， A ， B 之间必须达到一定的距离． （1）要使身高1.8m 的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么 A ，B 之间的距离要大于多少米？ （精确到0.1 )m （2）商场计划改造这个扶梯，将其分为三段： AE 段（上坡段自动扶梯）、EF 段（水平 平台，即 / /EF DC ）、FC 段（上坡楼梯），如图中虚线所示． AE 段和 FC 段的坡度（垂直距 离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度 i 不能超过1: 2 ．商场希望尽可能延长平台EF 的长度，以方便顾客休息．在其他条件不变的情况下，请探究平台 EF 的最大长度．（精确到 0.1 )m （参考数据： sin 20 0.34  ， cos20 0.94  ， tan 20 0.36)  20．(本小题满分 8 分) 如图，在四边形 ABCD中， 90BCD  ，BD平分 ABC ，CD与 O 相切于点D ，以 AD 为直径作 O 交 AB 于点 E ，交 BD于点 H ． （1）求证： AB AD ； （2）若 1 tan 2 BDC  ， 5DH  ，求 O 的半径． E 第 18 题图 A D B F C O 小心碰头 A 第 19 题图 D C 8m 二楼地面 一楼地面 E F B 第 20 题图 D A B C H O E 数学试题第 5 页（共 8 页） 21．(本小题满分 9 分) 每年 4 月 15 日是全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组 织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取 40 名学生的成绩（成绩用 x 表示，单位： 分），并对成绩进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 【收集数据】甲校成绩在 这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73， 74，75，76，77，78． 【整理数据】甲、乙两校 40 名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 a 10 b 乙 6 3 c 14 2 【分析数据】甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 47.5 乙 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： （1） a ； b ； c ； （2） ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在 这一组 的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙” ； （3）在此次测试中，某学生的成绩是 74 分，在他所属学校排在前 20 名，由表中数据可 知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙” ； （4）甲校有 600 名学生都参加此次测试，如果成绩不低于 75 分可以参加第二轮比赛，请 你估计甲校能参加第二轮比赛的人数． 70 80x  50 60x  60 70x  70 80x  80 90x  90 100x  m m  70 80x  ) ) 数学试题第 6 页（共 8 页） 22．(本小题满分 10 分) 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购 的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30 本文学名著和 20 本人 物传记共需 1150 元，10 本文学名著比 10 本人物传记多 50 元． （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）根据学校图书馆的采购计划，拟用 1500 元预算购买文学名著和人物传记各 40 本， 请通过计算判断此次采购总费用是否在预算内？若经费不足，还需追加多少资金？ （3）图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多 20 本， 总费用不超过 2000 元，请求出人物传记至多买多少本？ 23．(本小题满分 10 分) 已知，一次函数 2 4y x  的图象交反比例函数 m y x  图象于点 A ， B ，交 x 轴于点C ， 点 B 为 (1 )m， ． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图 1，点M 为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M 作 x 轴垂线，交一次 函数 2 4y x  图象于点 N ，连接 BM ，若 BMN 是以MN 为底边的等腰三角形，求 BMN 的 面积； （3）如图 2，一次函数 2 4y x  交 y 轴于点 F ，将一次函数绕C 顺时针旋转45交反比 例函数 m y x  图象于点D ， E ，求点 E 的坐标． y x 第 23题图 1 C B A O M N 第 23 题图 2 C B A D E O x y F 数学试题第 7 页（共 8 页） 24.（本小题满分 12 分） 某城市计划在滨河步道 AB 上方搭建一座抛物线型观景台．根据以下素材探索完成任务． 【素材 1】如图 1，步道 AB 的宽为 20m，观景台拱顶最高处距离地面为8m． 【素材 2】如图 2，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美 观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称．支撑柱 4CD EF m  ． 【素材 3】如图 3，在两个支撑柱上搭一个限高横杆CE ，为提升景观效果，现要在横杆 CE 上方设置一个矩形宣传牌，要求宣传牌满足以下条件：①宣传牌在观景台内部，且一边 落在CE 上；②矩形长、宽均为整数；③宣传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为 20 2m ． （1）以步道 AB 的中点为原点，求出抛物线的解析式； （2）求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）； （3）设计宣传牌方案：给出符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． x 第 24 题图 1 B y O A 第24题图2 A B E D F C 第24题图3 A B E D F C 数学试题第 8 页（共 8 页） 25.（本小题满分 12 分） “联想”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关“联想”就有很多 【问题提出】 （1）如图 1， PC 是 PAB 的角平分线，求证： PA AC PB BC  ． 请写出完整的证明过程，以下解决问题思路仅供参考． 思路 1：联想“平行线、等腰三角形”，过点 B 作 / /BD PA，交 PC 的延长线于点D ，利 用“三角形相似”． 思路 2：联想 “角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C 分别作CD PA 交PA 于点D ，作CE PB 交 PB于点 E ，利用“等面积法”． 【理解应用】 （2）如图 2，在 ABC 中， 90BAC  ， 3AB  ， 4AC  ，AD 平分 BAC 交BC 于 D ， 求 BD的长． 【深度思考】 （3）如图 3， ABC 中， 6AB  ， 4AC  ， AD 为 BAC 的角平分线． AD 的垂直平分 线 EF 交 BC 延长线于点 F ，连接 AF ，当 3BD  时，求 AF 的长． 【拓展升华】 （4）如图 4， AD 是 ABC 的角平分线，若 4BC  ， 2BD CD ，请直接．．写出 ABC 的面 积最大值． 第 25题图 1 P A C B 第 25 题图 2 A C D B 第 25 题图 3 A B C D E F A B D C 第 25 题图 4 2025年九年级学业水平考试模拟测试 数学试题答题卡 1 数学试题答题卡 第 1 页（共 3 页） 学校 班级 姓名 准考证号 注 意 事 项 1. 答题前请考生务必在每张答题卡的规定位置认真填写学校、班级、姓名、 考号。 2. 请认真核对条形码上的姓名、考号，确认无误后粘贴在考号条形码粘贴区 内，并将考号填写在相应的位置，每个书写框内只能填写一个阿拉伯数字。 3. 答题卡中选择题请务必用 2B 铅笔规范填涂，其它试题用 0.5 毫米黑色签字 笔作答。 4. 请按题号在规定答题区域内作答，未在对应答题区域内作答，或超出答题 区域作答，均不得分。 5. 修改时，请用橡皮擦干净，不得使用涂改液、涂改带。 6. 请保持卡面清洁，不要折叠。 一 选 择 题 选择题须用 2B 铅笔填涂 二 填 空 题 11．（4 分）__________________. 12．（4 分）__________________. 13．（4 分）__________________. 14．（4 分）__________________ . 15．（4 分）__________________. 三 解 答 题 16.（7 分）计算： 0 1 1 9 ( 3.14) ( ) | 3 | 2cos30 4        17．（7 分）解不等式组 2( 1) 1 3 1 1 3 x x x          ① ≤ ② ，并写出它的所有整数解． 三 解 答 题 18.（7 分） 19.（8 分） （1） （2） 正确填涂 1 ［ A］［ B］［ C］［ D］ 2 ［ A］［ B］［ C］［ D］ 3 ［ A］［ B］［ C］［ D］ 4 ［ A］［ B］［ C］［ D］ 准考证号条形码粘贴区 5 ［ A］［ B］［ C］［ D］ 6 ［ A］［ B］［ C］［ D］ 7 ［ A］［ B］［ C］［ D］ 8 ［ A］［ B］［ C］［ D］ 9 ［ A］［ B］［ C］［ D］ 10 ［ A］［ B］［ C］［ D］ 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考教师用 2B 铅笔填涂缺考标记 E 第 18 题图 A D B F C O 小心碰头 A 第 19 题图 D C 8m 二楼地面 一楼地面 E F B 2025年九年级学业水平考试模拟测试 数学试题答题卡 1 数学试题答题卡 第 2 页（共 3 页） 20.（8 分） （1） （2） 21.（9 分） （1） ； ； ； （2） ； ； ； （3） ； （4） 三 解 答 题 22．（10 分） （1） （2） （3） 23.（10 分） （1） （2） （3） 第 20 题图 D A B C H O E x 第 23题图 1 C B A O y M N 第 23 题图 2 C B A D E O x y F 2025年九年级学业水平考试模拟测试 数学参考答案 一、 选择题： B B A D D B D 二、填空题： 12.7 13.132° 14.1 15.62 三、解答题 16.5-(a-3.140+(2+151-2cos30 =3-1+4+5-2x5 -4分 =6. -7分 2(x-1)+1>-3① 17.解： x-II+x 3 ②' 解不等式①，得：x>-1, -2分 解不等式②，得：≤2， -4分 .原不等式组的解集是-1<≤2， 6分 .该不等式组的所有整数解是0,1,2. -7分 18.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD//BC,AD=BC, -2分 .∠ODE=∠OBF, -3分 .AE =CF, AD-AE=BC-CF,即DE=BF, -4分 又，∠DOE=∠BOF,∠ODE=∠OBF, ∴.△DOE≌△BOF(AAS), --6分 ∴.OE=OF --7分 19.解：(1)如图1，连接AB,过点B作BM⊥AB交AC于点M, AB//CD, ∴.∠BAM=∠ACD=20°， ,tan∠BAM= BM AB BM1.8 .AB= tan∠BAM0.36 =5.0(米) 答：A,B之间的距离要大于5.0米：-3分 (2)法1：如图1，延长FE交AD于点H,过点C作CG⊥EF,交EF的延长线于点G, 设AH=x米，则HD=CG=(8-x)米， .要使EF的最长，∴.AE段和FC段的坡度i=1:2,---4分 ∴.HE=2x米，FG=2(8-x)米， ----5分 B小心碰头 r二楼地面 在Rt△ACD中，∠ACD=20°， F H 8m 则CD= AD 8 ≈22.22（米)，---6分 tan∠ACD0.36 :四边形HDCG为矩形， 一楼地面 D 第19题图1 .HG=CD=22.22, --7分 则EF=CD-EH-FG=22.22-2x-(16-2x)≈6.2（米）， 答：平台EF的最大长度约为6.2米.--8分 法2：如图2，延长AE交CD于点N, :AE段和FC段的坡度i=1:2, '.∠END=∠FCN, .EN∥FC. 小头 二楼地面 又，EF∥CN, F 8 E ∴.四边形CNEF为平行四边形. --5分 ,一楼地面 D 第19题图2N ,AE段和FC段的坡度i=1:2, ∴.CD=2AD=16(米). ----6分 在Rt△ACD中，∠ACD=20°， 则CD= AD 8 ≈22.22（米），--7分 tan∠ACD0.36 则EF=CN=22.22-16≈6.2（米）， 答：平台EF的最大长度约为6.2米.--8分 2 20.(1)证明：：BD平分∠ABC, .∠CBD=∠DBE, -1分 ,CD为⊙O的切线， ∴.AD⊥CD,∠ADC=90 -2分 ∴.∠ADB+∠BDC=90°， 又Rt△BCD中，∠DBC+∠CDB=90° ,∠ADB=∠ABD, -3分 .AB=AD. 4分 (2)解：连接AH, :AD为直径， D ∴.∠AHD=90°， H .∠C=∠ADC=90°， - .∠ADH+∠CDB=∠ADH+∠DAH=90°， E B 第20题图 .∠DAH=∠CDB, --6分 an∠BDC= 3 DH 1 .tan∠DAH= AH2' DH=5, .AH=25, .AD=√AH2+DH2=5, -7分 ⊙0的半径为3 -8分 21.解：(1)13：2：15：-----3分 (2)72.5:135:乙.----6分 (3)甲. --7分 (4)估计甲校能参加第二轮比赛的人有：600×16=240（人）.9分 40 3 22.解：(1)设每本文学名著x元，每本人物传记y元， 根据题意得： 30x+20y=1150 -2分 10x-10y=50 x=25 解得： y=20 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元：--3分 (2)文学名著和人物传记各40本费用：25×40+20×40=1800元， ---4分 .1500<1800,.总费用不在预算内， -5分 1800-1500=300元，还需追加资金300元 ----6分 (3)设人物传记买m本，则文学名著买(m+20)本，-7分 根据题意得：25(m+20)+20mm≤2000， -8分 解得：m≤ 00 9分 又：m为正整数， ∴m的最大值为33. 答：人物传记至多买33本. -10分 23.解：(1)当x=1时，y=2x+4=6,则点B1,6,--1分 将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k=1×6=6, 6 即反比例函数表达式为：y=口： -2分 6 (2)设点N的坐标为，21+4)，则点M亿，)， 若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上， 则5(21+4+6=6， -3分 解得：t=1(舍去)或t=3, ---4分 则点M,N的坐标分别为：(3,10)，(3,2)， -5分 则5w-×Mw-化-，)-号x0-2x6-0=8: ---6分 (3)y=2x+4, F的坐标为(0,4)， 作FQ⊥CD于Q,过Q作y轴平行线PR,作FP⊥PR, :一次函数片=2x+4的图象绕点C顺时针旋转45°交反比例函数y,=m图象于点D,E, 「∠FPQ=∠QRC=90° ∠FOP=∠QCR FO=CO B ∴.△FPO≌△QRC(AAS), E 设Q(a,b), 「a=b a=1 4-b=a+2’ b=1' ∴.Q1,1) --9分 直线CQ解析式为：y= 12 3 与反比例函数y=6联立方程组解得： E-L四+ -10分 3 24.解：(1)最高点H的坐标为(0,8)， .AB=20,.OB=10,.∴B10,0),--1分 a=-0.08 设抛物线的解析式为y=2+c,则 100a+c=0 ,解得 c=8 c=8 ，A B x 第24题图1 .抛物线的函数表达式为y=0.08x2+8(-10≤≤10)：----3分 (2)令y=4,则0.08x2+8=4, 解得x=-52,x2=52,-5分 ∴.两个支撑柱之间的距离是102m；--6分 D 第24题图2 (3)如图，设矩形宣传牌为矩形MNPO,且边NP落在CE上， :拱桥的最高点到CE的距离为8-4=4(m),且矩形MNPQ长、宽均为整数， .MN的值可以为1,2,3----8分 又，∵矩形宣传牌的面积为20m2 .有下列2种初步的设计方案： ①MWN=1,NP-20:②MN-2,NP-10: CE=10N2<20, ∴.方案①不合题意，9分 ∴.MW=2,NP-10,此时点M到路面的距离为6 :当x=10=5时，y=-0.08r2+8=6m,-11分 ∴.此时宣传牌左上方顶点M的坐标是(-5,6)，符合题意 综上所述，矩形宣传牌的长为10m,宽为2m,左上方顶点的坐标是(-5,6).--12分 法二：矩形宣传牌的面积为20m2且长、宽均为整数， .宣传牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表落在CE上的边长）： ①1×20：②2×10：③4×5：④5×4：⑤10×2：⑥20×1，-----7分 .拱桥的最高点到CE的距离为8-4=4(m),方案①，②，③不符合题意，--9分 CE=10N2<20,∴.方案⑥不符合题意，-10分 对于方案④：当x=4=2时，y=0.08r2+8=7.68, 2 M 此时宣传牌的最上边距离路面的高度为4+5=9(m), .·7.68<9,方案④不满足要求：---11分 B 第24题图3 对于方案⑤：当x=5时，y=0.08x2+8=6(m), 此时宣传牌的最上边距离路面的高度为4+2=6(m),方案⑤可以满足要求， 此时宣传牌左上方顶点的坐标是(-5,6)， 综上所述，矩形宣传牌的长为10m,宽为2m,左上方顶点的坐标是(-5,6).-12分 25.(1)证明：选择思路1，如图1，过点BD/1AP交PC的延长线于点D, BD//AP, ∠APC=∠D, B 又，∠ACP=∠BCD, ∴.△4ACP∽△BCD,---1分 D 6 第25题图1 .PA_AC ·BDBC :PC是△PAB的角平分线， .∠APC=∠BPC, .∠BPC=∠D, PB=BD,---2分 PA AC --3分 PB BC 选择思路2，如图2，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D,作CE⊥PB交PB于点E,作 PF⊥BC于点F, PC是△PAB的角平分线， ∴CD=CE,----1分 SvPA-CD SvwPB-CE 5vCFSCF 2 2 .BC·PF=PB.CE,PACD=AC·PF,----2分 CE=BC.PF D PB PA.BC.PF CF B PB =AC.PF, 第25题图2 :P44C -3分 PB BC (2)解：.∠BAC=90°，AB=3,AC=4, BC=√AB2+AC2=V32+4=5,-4分 设BD=x,由(1)结论得，x=3 5-x4,-5分 解得BD=5。 -6分 (3)解：AD为∠BAC的角平分线， AB、BD ∠BAD=∠DAC, AC CD ,△ABC中，AB=6,AC=4,BD=3, 63 4 CD .CD=2,--7分 ,AD的垂直平分线EF交BC延长线于F,∴，AF=DF, ∴.∠FAD=∠FDA, .∠FAD=∠FAC+∠DAC,∠FDA=∠B+∠BAD, ∴.∠B=∠FAC, .:∠AFB=∠CFA,.△FBA∽△FAC,----8分 片AB、AF AC CF 6 AF 4AF-2 .AF=6.---10分 (4)16 3 -12分 f 2025年九年级学业水平考试模拟测试 数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．2025的相反数是 A． B． C． D． 2．太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，150000000用科学记数法表示为 A． B． C． D． 3．如图，该三棱柱的俯视图是 ( 正面 )A． B． C． D． 4．芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A． B． C． D． ( n m 0 1 )5．已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是 A． B．1 C．2 D．3 7．如图，已知直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为 A． B． C． D． ( A B C D E F O M 第 9 题图 ) ( C 第 7 题图 1 a A 2 b B D ) 8．一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号，，，的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“”的概率是 A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则的长为 A． B． C． D． 10．新定义：若函数图象恒过点（m，n)，我们称（m，n）为该函数的“永恒点”. 如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图象恒过点（1，0），则点（1，0）称为这个函数的 “永恒点”.点P和点B分别为抛物线的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线 的距离为d1，设点P到直线 的距离为d2，则的值为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第II卷必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11．客厅地面上铺了18块地砖，有12块是白色的，其余都是黑色的，小猫停留在任何一块地砖上的机会都相等，小猫停留在黑色地砖上的概率等于　　 ． 12．代数式与代数式的值相等，则　　 ． ( 第 14 题图 O A B C M N P x y ) ( 1 第 13 题图 )13．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），示意图如图所示，则形成的的度数是　　 ． ( C B A N P M 第 15 题图 D ) 14．如图，射线与函数图象相交于点（，），以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线，交函数图象于点，连接，则△的面积是　　 ． 15．如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的点处．折痕为，点，分别在，上，若，则折痕的长为　　 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．） 16．(本小题满分7分) 计算：． 17．(本小题满分7分) 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18．(本小题满分7分) ( E 第 18 题图 A D B F C O )如图，在ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD相交于点O，求证：OE=OF． 19．(本小题满分8分) 某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，，之间必须达到一定的距离． （1）要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么，之间的距离要大于多少米？（精确到 ( 小心碰头 A 第 19 题图 D C 8 m 二楼地面 一楼地面 E F B )（2）商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度不能超过．商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息．在其他条件不变的情况下，请探究平台的最大长度．（精确到（参考数据：，， ( 第20题图 D A B C H O E ) 20．(本小题满分8分) ( 第 20 题图 D A B C H O E )如图，在四边形中，，平分，与相切于点，以为直径作交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21．(本小题满分9分) 每年4月15日是全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 【收集数据】甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78． 【整理数据】甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 10 乙 6 3 14 2 【分析数据】甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 47.5 乙 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ； （2）　　 ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是　　 度；本次测试成绩更整齐的是　　 校（填“甲”或“乙”； （3）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是　　 校的学生（填“甲”或“乙”； （4）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数． 22．(本小题满分10分) 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）根据学校图书馆的采购计划，拟用1500元预算购买文学名著和人物传记各40本，请通过计算判断此次采购总费用是否在预算内？若经费不足，还需追加多少资金？ （3）图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 23．(本小题满分10分) 已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点，，交轴于点，点为． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； ( 第 23 题图 2 C B A D E O x y F ) ( x 第 23 题图 1 C B A O M N ) ( y )（3）如图2，一次函数交轴于点，将一次函数绕顺时针旋转交反比例函数图象于点，，求点的坐标． 24.（本小题满分12分） 某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．根据以下素材探索完成任务． 【素材1】如图1，步道的宽为，观景台拱顶最高处距离地面为． 【素材2】如图2，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称．支撑柱． 【素材3】如图3，在两个支撑柱上搭一个限高横杆，为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个矩形宣传牌，要求宣传牌满足以下条件：①宣传牌在观景台内部，且一边落在上；②矩形长、宽均为整数；③宣传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为20． （1）以步道的中点为原点，求出抛物线的解析式； （2）求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）； （3）设计宣传牌方案：给出符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． ( 第 2 4 题图 2 A B E D F C ) ( 第 2 4 题图 1 B y O A ) ( 第 2 4 题图 3 A B E D F C ) ( x ) 25.（本小题满分12分） “联想”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关“联想”就有很多 【问题提出】 ( 第 25 题图 2 A C D B )（1）如图1，是的角平分线，求证：． ( 第 25 题图 1 P A C B ) ( 第 25 题图 3 A B C D E F ) ( A B D C 第 25 题图 4 ) 请写出完整的证明过程，以下解决问题思路仅供参考． 思路1：联想“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形相似”． 思路2：联想 “角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”． 【理解应用】 （2）如图2，在中，，，，平分交于，求的长． 【深度思考】 （3）如图3，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点，连接，当时，求的长． 【拓展升华】 （4）如图4，是的角平分线，若，，请直接写出的面积最大值． 数学试题第8页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰台区2013～2014学年度第一学期 初一 数学 答题卡 2025年九年级学业水平考试模拟测试 数学试题答题卡2 学校 班级 姓名 准考证号 注意事项 所有注意事项同答题卡1 ( 条形码黏贴区 准考证号条形码粘贴区 ) 三 解答题 24．（12分） ( 第 2 4 题图 1 B y O A )（1） （2） ( 第 2 4 题图 2 A B E D F C ) （3） ( 第 2 4 题图 3 A B E D F C ) 三 解答题 25．（12分） ( 第 25 题图 1 P A C B ) （1） ( 第 25 题图 2 A C D B ) （2） ( 第 25 题图 3 A B C D E F ) （3） ( A B D C 第 25 题图 4 ) （4） - 3 - 北京教育学院丰台分院监制 - 4 - 技术支持：达睿思服务 www.k12media.cn 数学试题答题卡 第 3 页（共 3 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰台区2013～2014学年度第一学期 初一 数学 答题卡 2025年九年级学业水平考试模拟测试 数学试题答题卡1 学校 班级 姓名 准考证号 注意事项 1. 答题前请考生务必在每张答题卡的规定位置认真填写学校、班级、姓名、考号。 2. 请认真核对条形码上的姓名、考号，确认无误后粘贴在考号条形码粘贴区内，并将考号填写在相应的位置，每个书写框内只能填写一个阿拉伯数字。 3. 答题卡中选择题请务必用2B铅笔规范填涂，其它试题用0.5毫米黑色签字笔作答。 4. 请按题号在规定答题区域内作答，未在对应答题区域内作答，或超出答题区域作答，均不得分。 5. 修改时，请用橡皮擦干净，不得使用涂改液、涂改带。 6. 请保持卡面清洁，不要折叠。 ( 考生 禁填 缺考 标记 缺考考生由 监考教师 用 2 B 铅笔 填涂缺考标记 ) ( 准考证号条形码粘贴区 ) 一 选择题 ( 正确填涂 ) 选择题须用2B铅笔填涂 ( 1 ［ A ］［ B ］［ C ］［ D ］ 2 ［ A ］［ B ］［ C ］［ D ］ 3 ［ A ］［ B ］［ C ］［ D ］ 4 ［ A ］［ B ］［ C ］［ D ］ ) ( 5 ［ A ］［ B ］［ C ］［ D ］ 6 ［ A ］［ B ］［ C ］［ D ］ 7 ［ A ］［ B ］［ C ］［ D ］ 8 ［ A ］［ B ］［ C ］［ D ］ ) ( 9 ［ A ］［ B ］［ C ］［ D ］ 10 ［ A ］［ B ］［ C ］［ D ］ ) 二 填空题 11．（4分）__________________. 12．（4分）__________________. 13．（4分）__________________. 14．（4分）__________________ . 15．（4分）__________________. 三 解答题 16.（7分）计算： 17．（7分）解不等式组，并写出它的所有整数解． 三 解答题 ( E 第 18 题图 A D B F C O )18.（7分） ( 小心碰头 A 第 19 题图 D C 8 m 二楼地面 一楼地面 E F B )19.（8分） （1） （2） ( 第 20 题图 D A B C H O E )20.（8分） （1） （2） 21.（9分） （1）　 　 ；　 　 ；　 　 ； （2） 　；　 　 ；　　 ； （3） 　； （4） 三 解答题 22．（10分） （1） （2） （3） 23.（10分） ( x 第 23 题图 1 C B A O y M N )（1） （2） ( 第 23 题图 2 C B A D E O x y F ) （3） - 3 - 北京教育学院丰台分院监制 - 4 - 技术支持：达睿思服务 www.k12media.cn 数学试题答题卡 第 2 页（共 3 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$2025 年九年级学业水平考试模拟测试 数学试题答题卡 2 数学试题答题卡 第 3 页（共 3 页） 学校 班级 姓名 准考证号 注 意 事 项 所有注意事项同答题卡 1 三 解 答 题 24．（12 分） （1） （2） （3） 三 解 答 题 25．（12分） （1） （2） （3） （4） 条形码黏贴区 准考证号条形码粘贴区 第 24 题图 1 B y O A 第 24 题图 2 A B E D F C 第 24 题图 3 A B E D F C 第 25题图 1 P A C B 第 25 题图 2 A C D B 第 25 题图 3 A B C D E F A B D C 第 25 题图 4