专题09函数期末复习讲义(13大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题09函数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解变量、常量概念，能区分实际问题中的变量与常量。 2.掌握函数的定义，明确自变量、函数、函数值三者关系，会判断两个变量是否构成函数。 3.熟练掌握函数三种表示方法：解析式法、列表法、图象法，理解三种形式的优缺点并能相互转化。 4.掌握自变量取值范围的求解规则，能结合代数式、实际情境确定取值范围。 5.学会读懂函数图象，能从图象中提取点的坐标、变化趋势、最值、特殊位置等信息。 1.列式能力：能根据实际问题，列出简单的函数解析式。 2.计算能力：已知自变量求函数值，已知函数值反求自变量；规范求解自变量取值范围。 3.识图能力：结合函数图象分析变量增减变化、行程、最值、交点等实际意义。 4.作图能力：能根据解析式、列表，规范画出简单函数图象。 5.应用能力：运用函数知识分析生活、行程、工程、几何等实际问题，建立函数模型。 1.选择 / 填空题：快速辨析常量与变量、函数概念、自变量取值范围、图象信息，基础题零失误。 2.基础解答题：规范写出函数解析式、求取值范围、计算函数值，步骤完整。 3.图象分析题：准确解读函数图象，用数学语言描述变化过程、解释实际含义。 4.综合应用题：结合几何、行程等问题建立函数关系，解决中档实际题型，理清变量之间的联系。 题型01.用表格表示变量间的关系 题型02.用关系式表示变量间的关系 题型03.用图象表示变量间的关系 题型04.函数的概念 题型05.函数解析式 题型06.求自变量的取值范围 题型07.求自变量的值与函数值 题型08.函数图象识别 题型09.用描点法画函数图象 题型10.从函数的图象获取信息 题型11.函数的三种表示方法 题型12.分段函数应用题 题型13.动点问题的函数图象 知识点01:常量与变量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量（如时间t、路程s、数量x）。 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量（如速度v、单价、固定票价）。 要点说明 1.常量和变量是相对某个变化过程而言的，过程改变，二者可能互换； 2.常量可以是具体数字，也可以是固定字母。 举例 汽车以60km/h匀速行驶，路程s、时间t满足 s=60t。 常量：速度60； 变量：路程s、时间t。 知识点02:函数的相关概念（本章核心重点） 1. 函数定义 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称： y是x的函数； x叫做自变量；y叫做因变量。 2. 关键词解读（判断函数的依据） 两个必备条件，缺一不可： 对自变量x每一个确定值； 因变量y有唯一确定值对应。 易错提醒：一个x只能对应一个y；但一个y可以对应多个x。 3. 函数值 当自变量x取某个确定值时，对应的y的值，叫做函数值。 已知x求y：直接代入解析式计算； 已知y求x：列方程求解。 4. 判断是否为函数的常用题型 解析式判断：如y=2x+1、y=x2是函数；y2=x不是函数（一个x对应两个y）； 图象判断：作垂直于x轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则y是x的函数。 知识点03:自变量的取值范围（必考） 整式型（如y=2x+1）：全体实数 分式型（如y=）：分母≠0 二次根式型（如y=，）：被开方数≥0 组合型（如y=）：取各条件的公共解（交集） 实际问题：符合实际意义（如时间、数量≥0） 知识点04:函数的三种表示方法 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 三者关系 同一函数可以用三种形式互相转化：解析式⇔列表（取值、算对应值）⇔图象（描点、连线）。 知识点05:函数的图象（重点：识图、作图、读图） 1. 函数图象定义 把自变量x和函数y的每一组对应值，分别作为点的横坐标、纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应点，所有这些点组成的图形，叫做这个函数的图象。 2. 画函数图象的基本步骤（描点法三步法） 描点法作图 函数图象的解读（期末高频大题） 核心：看懂横、纵轴代表的实际意义，分析图象分段、拐点、交点、升降趋势。 （1）基础信息读取 坐标点：读出点的横、纵坐标，对应自变量与函数值； 交点：两个函数图象交点坐标，同时满足两个函数解析式。 （2）变化趋势 图象从左向右上升：y随x的增大而增大； 图象从左向右下降：y随x的增大而减小； 图象水平：函数值保持不变。 （3）分段图象（行程、工程、计费问题必考） 图象被拐点分成多段，每一段对应一个变化状态，拐点代表状态发生改变（如：停止、加速、转向、到达终点等）。 知识点06:高频易错点（丢分汇总） 1.函数概念理解错误 误区：认为一个y不能对应多个x。 纠正：函数只要求一个x对应唯一y，允许多个x对应同一个y。 2.自变量取值范围漏条件 分式忘记 “分母≠0”； 二次根式忘记 “被开方数≥0”； 实际问题忽略长度、时间等非负要求。 3.图象判断失误 用竖线法判断函数图象时，理解不清规则，误判图形。 4.作图不规范 描点连线时，不按顺序连线、直线 / 曲线混用，端点不标注。 5.实际问题建模漏洞 列出解析式后，遗漏自变量取值范围，解答题直接扣分。 题型01.用表格表示变量间的关系 1．新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少．在这个变化过程中，自变量是（   ） A．温度 B．电池 C．化学物质的活性 D．续航里程 【答案】A 【分析】根据题意，温度变化导致续航里程变化，因此温度是自变量． 【详解】解：题目中明确描述“随着温度降低，续航里程减少”，说明温度是主动变化的量（自变量），而续航里程是受温度影响而变化的量（因变量）．选项A“温度”符合自变量的定义，选项D“续航里程”是因变量，选项B“电池”是名词，不是变量；选项C“化学物质的活性”是受温度影响的中间变量，不是整个变化过程的自变量． 2．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 【答案】 【分析】观察表格数据可得，每降价5元，日销售量增加30件，售价为260元即未降价，据此可计算出对应日销售量． 【详解】解：由表格可知，每降价5元，日销售量增加30件， 当售价为260元时，降价金额为0元，比降价5元时少30件销售量， 因此日销售量为 （件）． 3．某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，此选项不符合题意； B.根据数据表可知，在一定范围内，温度越高，声速越快，正确，此选项不符合题意； C、，当空气温度为时，声音可以传播，故选项不符合题意； D、∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加，正确，此选项不符合题意； 故选：C． 4．在高海拔（为高海拔，为超高海拔，以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 空气含氧量/（） 299.3 265.5 234.8 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97 (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)在海拔高度0m的地方空气含氧量是多少？海拔高度4000m的地方空气含氧量是多少？ (3)随着海拔高度的变化，空气含氧量是如何变化的？ 【答案】(1)该表反映了海拔高度和空气含氧量的关系，海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量 (2)； (3)随着海拔高度的增加，空气含氧量逐渐减少 【详解】（1）解：该表反映了海拔高度和空气含氧量的关系，海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； （2）解：观察表格可知，在海拔高度的地方空气含氧量是；海拔高度的地方空气含氧量是； （3）解：观察表格可知，随着海拔高度的增加，空气含氧量逐渐减少． 题型02.用关系式表示变量间的关系 5．黎侯虎是发祥于山西省黎城县的传统手工艺品，因黎城古称黎侯古国而得名，是国家级非物质文化遗产代表性项目．现在有一款“枕头虎”，每个“枕头虎”的成本是元，每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，设一个“枕头虎”的利润为元，则与的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元列关系式即可. 【详解】解：∵每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元， ∴． 6．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升／分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数解析式是______．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】根据剩余油量等于原有存油量减去流出油量解答即可求解． 【详解】解：由题意得，原有存油量为升，分钟流出的油量为升， ∴剩余油量与流出时间的函数解析式是． 7．中国古代数学成就显著，《算法统宗》中有这样的叙述：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半．”大意是：要去路程为里的某关口，第一天腿脚利落快速行走，第二天起，因为脚痛每天只能走前一天一半的路程，设第一天行走里，则此人第三天晚上距离关口的路程（里）与（里）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意表示出前三天行走的路程，再根据剩余路程等于总路程减去已走路程得出函数关系式即可． 【详解】解：∵第一天行走里，从第二天开始每天走的路程是前一天的一半， ∴第二天行走路程为里，第三天行走路程为里， ∵总路程为里， ∴，整理得． 8．如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，两个变量分别是_________，_________． (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 【答案】(1)小正方形的边长，阴影部分的面积 (2) (3)阴影部分的面积由减小到 【分析】（1）根据题意可知阴影部分的面积随着小正方形的边长的变化而变化，故两个变量分别为小正方形的边长和阴影部分的面积； （2）根据阴影部分的面积=大正方形的面积－小正方形的面积列式即可； （3）分别计算出小正方形的边长为1cm，3cm时阴影部分的面积，即可确定阴影部分的面积的变化情况． 【详解】（1）解：自变量是小正方形的边长，函数为阴影部分的面积； （2）解：大正方形的面积为，4个小正方形的面积为，则 阴影部分的面积为； （3）解：当时，， 当时，， 当小正方形的边长由1cm变化到3cm时，阴影部分的面积由减小到． 题型03.用图象表示变量间的关系 9．如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将小明的行程分为三个阶段：①在分钟内，②在分钟内，③在分钟内，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，小明的行程分为三个阶段：. 第一阶段：从家走到报亭， ∵从家走了20分钟到一个离家900米的报亭， ∴在分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标为900的一条线段； 第二阶段：在报亭看报， ∵在报亭看报10分钟，此时离家的距离不变，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为平行于轴的一条水平线段； 第三阶段：返回家， ∵用15分钟返回家，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为从纵坐标下降至0的一条线段，且终点横坐标为45； 观察各选项图象，只有D选项符合． 10．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 11．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 12．甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答： (1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________； (2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，2，1 (2)点A代表甲乙相遇． 甲、乙第二次相距5个单位长度． (3)不能，理由见详解 【分析】（1）根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，即可求出乙位置坐标，根据当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，设乙的速度为∶v，则，解方程即可得出乙的速度．根据点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，根据甲的速度和时间即可得出c点的值． （2）根据（1）可知：点A代表甲乙相遇． 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，列出关于t的一元一次方程求解即可． （3）分别计算出甲乙分别到达对方最初的位置的时间加上中间运动休息的时间比较即可得出答案． 【详解】（1）解：根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为， ∴乙位置坐标为：， 根据关系图可知， 当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动， 设乙的速度为：v， 故， 解得：． 根据关系图可知点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行， ， 故答案为：10，2，1 （2）解：根据（1）可知：点A代表甲乙相遇．且， 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度， ， 解得：， 则， 即甲、乙第二次相距5个单位长度． （3）解：不能，理由如下： 甲到达乙的位置需要的时间：甲先走了，路程为，然后停止运动，还需要走， 则甲到达乙的位置一共需要， 乙到达甲的位置需要的时间：乙先走，路程为：，然后停止运动，还需要走， 则乙到达甲的位置一共需要， 则甲、乙不能同时到达对方最初的位置． 题型04.函数的概念 13．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要判断一条图象是否表示是的函数，需要依据函数的定义：对于每一个值，只能对应一个值．可以通过“竖直检验法”来判断：如果在某条图象上画一条竖直线，这条竖直线与图象的交点不超过一个，则该图象表示是的函数；否则，不表示函数关系． 【详解】解：选项A：存在某些竖直线与图象相交于两个不同的点，这意味着对于某些值，有两个不同的值，因此不表示是的函数． 选项B：无论画哪条竖直线，与图象的交点最多只有一个，因此表示是的函数． 选项C：无论画哪条竖直线，与图象的交点最多只有一个，表示是的函数． 选项D：无论画哪条竖直线，与图象的交点最多只有一个，表示是的函数． 14．下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 【答案】1 【分析】根据函数的定义，判断每个关系式中，对的任意一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应，统计不满足条件的个数即可得到结果． 【详解】解：根据函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数， ① ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ② ，对于的每一个不为的确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ③ ，当取任意一个正数时，有两个不同的确定的值与之对应，因此不是的函数； ④ ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； 综上，不是的函数的有个． 15．下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的概念，掌握函数和自变量的一一对应关系是解题的关键． ①某天的气温随时间的变化而变化，且每一时刻对应唯一的温度，符合函数的定义；②正方形的面积随边长的变化而变化，且对于边长的每一个值，其面积都有唯一的值与之对应，符合函数的定义；③，即当一个点不与原点重合时，对于x的每一个值，y均有两个值与之对应，且互为相反数，不符合函数的定义． 【详解】解：根据函数的定义，某天的气温与时间x（时）的关系可以表示y是x的函数，故①符合题意； 正方形的面积与边长的关系可以表示y是x的函数，故②符合题意； 数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系不能表示y是x的函数，故③不符合题意． 综上，表示y是x的函数的是①②． 故选：A． 题型05.函数解析式 16．部分烃类化合物的名称及其结构式如下所示．若将结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知关于的函数解析式为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据观察图形得出规律求解即可. 【详解】解：观察图形可知： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴， 故选：B ． 17．在梯形中，，点P是射线的一动点（点P不与点B重合），连接，点E是对角线的中点，点F是的中点，若，，，则x与y的函数关系为 _____________． 【答案】或 【分析】根据中位线的性质得出，分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，分别写出x与y的函数关系即可． 【详解】解：∵点E是对角线的中点，点F是的中点， ∴， 当点P在线段上时，， ∴； 当点P在线段的延长线上时，， ∴； 即x与y的函数关系为：或． 18．一个长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积求得长方形的另一条边长，然后根据长方形的周长公式进行即可求解， 本题考查了列函数关系式，理解题意求得长方形的另一条边长是解题的关键． 【详解】解：∵一个长方形的周长为，其中一条边长为， ∴另一条边长为：， 长方形面积为， 则． 故选：D． 19．某学校运动会需要购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需要60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少元； (2)学校计划购买A、B两种奖品，且A种奖品的数量比B种奖品数量的3倍少10件，设B种奖品购买m件，总费用为p元，求p与m之间的函数关系式； (3)若购买的总费用p不多于800元，求最多购买B种奖品多少件？ 【答案】(1)A种奖品10元/件，B种奖品15元/件 (2)（且为整数） (3)最多购买B种奖品20件 【分析】（1）设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，根据条件建立方程组求出其解即可； （2）根据总费用=两种奖品的费用之和表示出p与m的关系式； （3）列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，根据题意可列 ， 解得：． 答：A种奖品10元/件，B种奖品15元/件． （2）解：设B种奖品购买m件，则购买A种奖品件， 则， 由题意得，， 解得， 又m为整数， 且为整数， （且为整数）． （3）解：， ， 解得， 又且为整数， 所以最多购买B种奖品20件． 题型06.求自变量的取值范围 20．函数的自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】要使函数有意义 需满足且 解不等式，得 解不等式，得 ∴自变量的取值范围是且． 21．函数的自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出自变量需满足的不等式，求解后取公共范围即可得到结果． 【详解】解：要使函数有意义，需同时满足： 被开方数非负、分母不为零、零指数幂的底数不为零， 因此可得不等式组， 解不等式组得，且，且， 由可知恒成立，因此自变量的取值范围为且． 22．函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 23．如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 【答案】(1) (2)10 【分析】此题考查了应用函数概念解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列出函数解析式，并能进行相关的计算． （1）分别用x表示出两个正方形的面积，即可得出结果； （2）按照（1）结果代入x的值进行计算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 自变量x的取值范围是． （2）解：当时，． ∴当时，此时两正方形的面积和S为10． 题型07.求自变量的值与函数值 24．在物理学中，功的计算公式为（W为功，F为力，s为距离），若已知，则F的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， ， ∴． 25．与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：是偶函数，是奇函数．已知函数是奇函数，当时，，那么______． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义可得 ，将代入时的函数解析式求出，即可得到的值． 【详解】解：是奇函数， ， 当时，， ． 26．已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键． 先根据题意求出a、b值，再代值求解函数值即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，整理，得； ∵当时，． ∴，整理，得； 得，解得， 将代入①中，得， ∴， ∴当时， ∴ ． 故选：C． 题型08.函数图象识别 27．下列各曲线中不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，结合图像利用“垂线法”进行判断即可； 【详解】解：A. 图像是一条直线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数； B. 图像是一个圆，作垂直于轴的直线（在圆范围内），与图像有两个交点，即对于同一个，有两个值与之对应，不是函数； C. 图像是折线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数； D. 图像是抛物线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数． 28．育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要_________ h才能追上七（1）班． 【答案】2 【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发1小时，已经走了4km，即七（1）班的速度为图中表示联络员追上七（1）班，用时h，可以算出联络员与七（1）班的速度差那么联络员的速度为联络员用了第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，即可计算出追上七（1）班所需时间． 【详解】解：由题意得： 七（1）班的速度为： 联络员与七（1）班的速度差为： 即联络员的速度为： 当七（2）班出发时， 联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和， 设七（2）班的速度为 列出方程： ， 解得： 即七（2）班的速度为， 则七（2）班追上七（1）班需要的时间为： 故填：2． 【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度． 29．王红骑自行车去与家相距的樱花园赏花游玩，王红以的速度匀速骑行，出发后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离与王红的行驶时间的函数关系图象为（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的确定，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据题意逐段进行分析，求出每个关键点的函数值和自变量的值，然后对比选项函数图象即可． 【详解】解：根据题意，当王红出门开始时，哥哥和王红的距离逐渐增大，当时，； 当哥哥开始追王红时，哥哥和王红的距离逐渐减小，哥哥追上王红所用时间为：，当时，； 当哥哥和王红离开时，哥哥和王红的距离逐渐增大，此时，哥哥到家和王红到达终点所用时间为，即当时，； 通过选项对比，只有B选项符合要求， 故选：B． 题型09.用描点法画函数图象 30．下列函数中，和函数的图象关于y轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，函数图像对称的性质；取的图象任意一点，再写出这个点关于轴的对称点，然后通过判断点是否满足四个选项中的解析式得到正确答案． 【详解】解：设点为的图象上一点， 点关于轴的对称点为， 而点满足， 所以和函数的图象关于轴对称． 故选：B． 31．某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，长方形的面积与边长之间的函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整 （1）列函数表达式：若长方形的周长为8，设长方形的一边长为x，面积为y，则有________； （2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是______________； （3）列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 写出____________． （4）画图：在平面直角坐标系中画出该函数的图象 【答案】（1）；（2）；（3）1.75；（4）见解析 【分析】（1）由题意，长方形的另一一边长为，可得函数解析式． （2）上述函数表达式中，表示长方形的边长，则，由题知，，则，可得自变量的取值范围是． （3）把代入，可得． （4）根据图表可画出函数图象． 【详解】解：（1）由题意：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x． 故答案为：y＝﹣x2+4x； （2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是0＜x＜4． 故答案为：0＜x＜4． （3）x＝3.5时，y＝1.75， ∴m＝1.75． 故答案为：1.75． （4）函数图象如图所示： 【点睛】本题考查函数的图象等知识，解题的关键是正确理解题意、明确画函数图象的方法、利用所学的知识解决问题． 32．手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】 如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图2，设该长方体盒子的容积为，求V的最大值． 【探究模型】 （1）长方体的容积________（用含x的代数式表示）； （2）当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 m 576 500 384 252 128 36 ①计算：________，并在图3中补全折线统计图； ②观察表格和折线统计图，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积怎样变化，当x为何值时，所得到的无盖长方体的容积最大． 【继续研究】 当小正方形边长x不为整数时，下面给出了部分参考数据： 当时，；当时，；当时，；当时，． （3）请你观察数据变化，推测x取到何值时，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）①588；画图见解析；②；（3）x取到3.3时，容积V的值最大，最大值是． 【分析】本题考查了画函数图象、一元一次不等式组的应用，熟练掌握函数图象的画法是解题关键． （1）根据长方体的体积公式即可的函数关系式，根据硬纸板的边长即可得的取值范围； （2）①将代入计算即可得； ②由表格和折线统计图求解即可； （3）根据题目给出的参考数据求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴， 则． （2）①当时，，即， 画出函数的大致图象如下所示： ②由表格和折线统计图可得，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积先增大，后减小， 当时，所得到的无盖长方体的容积最大； （3）观察数据变化，推测x取到3.3时，容积V的值最大，最大值是． 题型10.从函数的图象获取信息 33．甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是________． 【答案】甲 【分析】根据求平均速度的公式分别求出甲、乙、丙、丁的平均速度，再进行比较即可． 【详解】解：∵， ， ∴甲最快． 34．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，小明在摩天轮上距离地面的高度（单位：）与旋转时间（单位：）之间的关系如图2所示．下面说法错误的是（    ） A．摩天轮旋转一圈需要 B．当时，小明在摩天轮上距离地面的高度随时间的增大而减小 C．从第到第，小明在摩天轮上距离地面的高度增加了 D．当小明在摩天轮上距离地面的高度为时，摩天轮恰好转了 【答案】D 【分析】本题考查函数图象的分析，通过观察图象获取周期、增减性及特定点的坐标进行判断即可． 【详解】解：A．由图2可知，图象从到完成一个完整的波动，故摩天轮旋转一圈需要，说法正确，故本选项不符合题意； B．当时，图象从最高点下降到最低点，故小明离地面的高度随时间的增大而减小，说法正确，故本选项不符合题意； C．当时，；当时，．高度增加了，说法正确，故本选项不符合题意； D．摩天轮运动具有周期性，高度为的时刻有多个，例如在之间也存在高度为的时刻，并非恰好转了，说法错误，故本选项符合题意．故选：D． 35．某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)出发地到派送点的距离是____米，小李在便利店停留了____分钟； (2)整个送快递的过程中，小李的最快速度是____米/分钟； (3)当快递员小李距离派送点600米时，求小李所用时间． 【答案】(1)，； (2)； (3)分钟或分钟或分钟． 【分析】（1）根据函数图象进行回答即可； （2）根据图象可知 至 分钟速度最快； （3）分别求出在不同时段的速度，再根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：出发地到派送点的距离是米，小李在便利店停留了：（分钟）； （2）解：当时，速度为（米/分钟）， 当时，速度为（米/分钟）， 当时，速度为， 当时，速度为（米/分钟）， ， 故整个送快递的过程中，小李的最快速度是米/分钟； （3）解：设小李从家出发分钟时，离派送点的距离是米， 当时，，得， 当时，，得， 当时，，得， 即小李出发分钟或分钟或分钟时，离派送点的距离是米． 题型11.函数的三种表示方法 36．下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 【答案】C 【分析】本题考查函数不同表示方法的适用场景，初中函数表示方法分为解析法、列表法、图象法三类，解析法通过数学解析式表达函数关系，需结合各情境特征判断． 【详解】解：∵ 解析法适合表示有明确数学关系式的函数关系，列表法适合整理离散的对应数据，图象法适合直观展示变化趋势． 又∵ A选项记录不同时刻的体温，为离散对应数据，优先选列表法；B选项反映各月份的平均降雨量，为离散对应数据，优先选列表法；D选项展示速度随时间的变化趋势，优先选图象法． C选项中h为定值，体积与底面半径有明确关系式，符合解析法的适用特征，优先用解析法． 37．农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为__米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 【答案】840 【分析】观察表格数据可得y=20x，可得施工8天后y的值，进而求出未铺设的管道长度． 【详解】解：观察表格数据可知： y＝20x， 当x＝8时，y＝160， 所以未铺设的管道长度为：1000﹣160＝840（米）． 故答案为：840. 【点睛】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是根据表格数据表示函数． 38．声音在空气中传播的速度（简称声速）v（）与空气温度t（）满足一次函数的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（    ） 温度：/ … -20 -10 0 10 20 30 … 声速v/（） … 318 324 330 336 342 348 … A．温度越高，声速越快 B．当空气温度为20时，声速为342 C．声速v（）与温度t（℃）之间的函数关系式为 D．当空气温度为40时，声速为350 【答案】D 【分析】根据表中数据即可判断A、B选项；利用待定系数法，设v与t之间的函数关系式为，把表中两组对应的数值代入即可求解，从而判断C选项；把代入函数解析式，即可判断D选项． 【详解】A选项：根据表格可得，随着温度t的增大，声速v也随之增大，故A选项正确； B选项：根据表格可得，当时，，即当空气温度为20时，声速为342，故B选项正确； C选项：设声速v与温度t之间的函数关系式为， 由表格可得，当时，，当时，， ∴， 解得， ∴声速v与温度t之间的函数关系式为． 故C选项正确． D选项：由C选项得到声速v与温度t之间的函数关系式为， 当时， ∴当空气温度为40时，声速为， 故D选项错误． 故选：D 【点睛】本题考查通过表格形式表示函数关系，待定系数法求一次函数解析式，读懂表格，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 题型12.分段函数应用题 39．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离1200米； ②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】 ①②④ 【分析】先读懂函数图象，获取相关信息，再利用行程问题的数量关系进行计算，根据图象纵坐标的最大值判断①；根据速度路程时间计算小华的速度判断②；求出小华行驶米所需时间，结合出发时刻计算相遇时刻判断；计算小华跑步到达学校所需时间，推算到达时刻与小明比较判断． 【详解】解：由图象可知，路程的最大值为， 小明家和学校距离米，故①正确； 小华乘坐公共汽车的时间为（分钟）， 小华乘坐公共汽车的速度是（米/分），故②正确； 当时，小华行驶的时间为（分钟）， 小华在时出发，即后分钟，为， 相遇时刻为经过分钟，即，故③错误； 当小华跑步速度为米/分时， 所需时间为（分钟）， 小华出发时间不变，仍为， 小华到达学校时的值为， 由图象可知小明到达学校时的值为， 他们可以同时到达学校，故④正确. 综上所述，正确的有①②④． 40．如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示，给出以下结论：其中正确的个数是（   ） ①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟；②小亮打羽毛球的时间是30分钟； ③羽毛球馆与报亭的距离是400米；④小亮从报亭返家的速度是4千米/时． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故①正确， 羽毛球馆与报亭的距离（千米）， 千米米， 即羽毛球馆与报亭的距离是600米，故③错误， 小亮打羽毛球的时间是（分钟），故②正确； 小亮从报亭返家的速度是（千米/时），故④正确； 综上，①②④正确，共3个． 41．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明坐公交车的同时，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园，结果比小明早到．如图是他们离家的路程（）与小明离家的时间（）的关系图．请根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到滨海公园的路程为___，小明在中心书城逗留的时间为___． (2)小明两次乘坐公交车，其中较快的速度为___；小明爸爸驾车的速度为___． (3)小明从家出发多长时间时和爸爸处在同一位置，此地距离滨海公园还有多远？ (4)小明从家出发多长时间和爸爸的距离是？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)小明从家出发小时后和爸爸的距离是 【分析】（1）直接根据图象得出答案即可； （2）根据相应的路程除以时间，即可得出速度； （3）设小明从家出发x小时和爸爸处在同一位置，列方程求出x的值，进而可求出此地距离滨海公园距离． （4）根据题意分别写出小明和爸爸离家的路程（）与小明离家的时间（）的关系式，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，小明家到滨海公园的路程为30km，小明在中心书城逗留的时间为2.5-0.8=1.7（h）； 故答案为：30，1.7； （2）解：小明从家到中心书城时，他的速度为， 小明从中心书城到滨海公园的平均速度为， ∴小明两次乘坐公交车，其中最快的速度为； 小明爸爸驾车的平均速度为； （3）解：设小明从家出发x小时和爸爸处在同一位置，由题意得 ， 解得， ， 所以小明从家出发小时和爸爸处在同一位置，此地距离滨海公园还有． （4）解：由（3）可得小明从中心书城到滨海公园的平均速度为，则 小明爸爸的路程和小明离家的时间的函数关系式为： 根据题意， 相遇后：，解得：（舍去） 小明的爸爸到达以后，即当时，，解得：（舍去） 相遇前：，解得： 答：小明从家出发小时后和爸爸的距离是． 题型13.动点问题的函数图象 42．已知如图，正方形中，点从出发，沿着的路线到停止运动，若点的运动时间为秒，速度为每秒个单位长度，的面积为，关于的函数图像如图所示，则 ________．（用含有a，b的代数式表示） 【答案】 【分析】依据题意得，正方形的边长为，当点在上时，可得，根据图知：当时，，代入可得答案． 【详解】解：由题意得：正方形的边长为， 当点在上时，如图， ∴， 由图知：当时，， ∴． 43．如图1所示（图中各角均为直角），动点 P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点 P运动的时间x（秒）变化的函数关系图象如图2所示，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意，得，延长交于点M，且，得到四边形，都是矩形，根据平行线的判定和性质，三角形的面积，求解即可； 【详解】解：当时，点P在上运动，此时，根据图象，得当时，， 设，根据题意，得， ，， 解得， 故， A，B选项都是错误的； 图中各角均为直角， ， ， ，， ， 当时，点P在上运动，此时，， 根据图象，得时，， 根据图象，得点P在上运动了（秒），点P在上运动了（秒）， 故，， 延长交于点M，且， ， 故四边形，都是矩形， 故，， 故选项C错误，选项D正确； 44．如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)存在， 【分析】（）根据题意和函数图象解答即可求解； （）当时，利用三角形面积公式解答即可求解； （）分两种情况：①点在上；②点在上，利用三角形面积公式构建方程解答即可求解； （4）延长至，使，连接交于，连接，此时△APD的周长最小，证出是等腰直角三角形，得出，由得到，再根据三角形外角性质解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴； （2）解：当时，动点在线段上，如图所示： ∴， 即与之间的关系式为； （3）解：分两种情况： ①当点在上时，如图所示，则， 解得； ②当点在上时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得； 综上所述，当时，的值为或； （4）解：点使得的周长最小，理由如下： 延长至，使，连接交于，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的图象，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，看懂函数图象是解题的关键． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09函数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解变量、常量概念，能区分实际问题中的变量与常量。 2.掌握函数的定义，明确自变量、函数、函数值三者关系，会判断两个变量是否构成函数。 3.熟练掌握函数三种表示方法：解析式法、列表法、图象法，理解三种形式的优缺点并能相互转化。 4.掌握自变量取值范围的求解规则，能结合代数式、实际情境确定取值范围。 5.学会读懂函数图象，能从图象中提取点的坐标、变化趋势、最值、特殊位置等信息。 1.列式能力：能根据实际问题，列出简单的函数解析式。 2.计算能力：已知自变量求函数值，已知函数值反求自变量；规范求解自变量取值范围。 3.识图能力：结合函数图象分析变量增减变化、行程、最值、交点等实际意义。 4.作图能力：能根据解析式、列表，规范画出简单函数图象。 5.应用能力：运用函数知识分析生活、行程、工程、几何等实际问题，建立函数模型。 1.选择 / 填空题：快速辨析常量与变量、函数概念、自变量取值范围、图象信息，基础题零失误。 2.基础解答题：规范写出函数解析式、求取值范围、计算函数值，步骤完整。 3.图象分析题：准确解读函数图象，用数学语言描述变化过程、解释实际含义。 4.综合应用题：结合几何、行程等问题建立函数关系，解决中档实际题型，理清变量之间的联系。 题型01.用表格表示变量间的关系 题型02.用关系式表示变量间的关系 题型03.用图象表示变量间的关系 题型04.函数的概念 题型05.函数解析式 题型06.求自变量的取值范围 题型07.求自变量的值与函数值 题型08.函数图象识别 题型09.用描点法画函数图象 题型10.从函数的图象获取信息 题型11.函数的三种表示方法 题型12.分段函数应用题 题型13.动点问题的函数图象 知识点01:常量与变量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量（如时间t、路程s、数量x）。 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量（如速度v、单价、固定票价）。 要点说明 1.常量和变量是相对某个变化过程而言的，过程改变，二者可能互换； 2.常量可以是具体数字，也可以是固定字母。 举例 汽车以60km/h匀速行驶，路程s、时间t满足 s=60t。 常量：速度60； 变量：路程s、时间t。 知识点02:函数的相关概念（本章核心重点） 1. 函数定义 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称： y是x的函数； x叫做自变量；y叫做因变量。 2. 关键词解读（判断函数的依据） 两个必备条件，缺一不可： 对自变量x每一个确定值； 因变量y有唯一确定值对应。 易错提醒：一个x只能对应一个y；但一个y可以对应多个x。 3. 函数值 当自变量x取某个确定值时，对应的y的值，叫做函数值。 已知x求y：直接代入解析式计算； 已知y求x：列方程求解。 4. 判断是否为函数的常用题型 解析式判断：如y=2x+1、y=x2是函数；y2=x不是函数（一个x对应两个y）； 图象判断：作垂直于x轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则y是x的函数。 知识点03:自变量的取值范围（必考） 整式型（如y=2x+1）：全体实数 分式型（如y=）：分母≠0 二次根式型（如y=，）：被开方数≥0 组合型（如y=）：取各条件的公共解（交集） 实际问题：符合实际意义（如时间、数量≥0） 知识点04:函数的三种表示方法 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 三者关系 同一函数可以用三种形式互相转化：解析式⇔列表（取值、算对应值）⇔图象（描点、连线）。 知识点05:函数的图象（重点：识图、作图、读图） 1. 函数图象定义 把自变量x和函数y的每一组对应值，分别作为点的横坐标、纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应点，所有这些点组成的图形，叫做这个函数的图象。 2. 画函数图象的基本步骤（描点法三步法） 描点法作图 函数图象的解读（期末高频大题） 核心：看懂横、纵轴代表的实际意义，分析图象分段、拐点、交点、升降趋势。 （1）基础信息读取 坐标点：读出点的横、纵坐标，对应自变量与函数值； 交点：两个函数图象交点坐标，同时满足两个函数解析式。 （2）变化趋势 图象从左向右上升：y随x的增大而增大； 图象从左向右下降：y随x的增大而减小； 图象水平：函数值保持不变。 （3）分段图象（行程、工程、计费问题必考） 图象被拐点分成多段，每一段对应一个变化状态，拐点代表状态发生改变（如：停止、加速、转向、到达终点等）。 知识点06:高频易错点（丢分汇总） 1.函数概念理解错误 误区：认为一个y不能对应多个x。 纠正：函数只要求一个x对应唯一y，允许多个x对应同一个y。 2.自变量取值范围漏条件 分式忘记 “分母≠0”； 二次根式忘记 “被开方数≥0”； 实际问题忽略长度、时间等非负要求。 3.图象判断失误 用竖线法判断函数图象时，理解不清规则，误判图形。 4.作图不规范 描点连线时，不按顺序连线、直线 / 曲线混用，端点不标注。 5.实际问题建模漏洞 列出解析式后，遗漏自变量取值范围，解答题直接扣分。 题型01.用表格表示变量间的关系 1．新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少．在这个变化过程中，自变量是（   ） A．温度 B．电池 C．化学物质的活性 D．续航里程 2．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 3．某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 4．在高海拔（为高海拔，为超高海拔，以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 空气含氧量/（） 299.3 265.5 234.8 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97 (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)在海拔高度0m的地方空气含氧量是多少？海拔高度4000m的地方空气含氧量是多少？ (3)随着海拔高度的变化，空气含氧量是如何变化的？ 题型02.用关系式表示变量间的关系 5．黎侯虎是发祥于山西省黎城县的传统手工艺品，因黎城古称黎侯古国而得名，是国家级非物质文化遗产代表性项目．现在有一款“枕头虎”，每个“枕头虎”的成本是元，每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，设一个“枕头虎”的利润为元，则与的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 6．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升／分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数解析式是______．（不用写自变量的取值范围） 7．中国古代数学成就显著，《算法统宗》中有这样的叙述：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半．”大意是：要去路程为里的某关口，第一天腿脚利落快速行走，第二天起，因为脚痛每天只能走前一天一半的路程，设第一天行走里，则此人第三天晚上距离关口的路程（里）与（里）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，两个变量分别是_________，_________． (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 题型03.用图象表示变量间的关系 9．如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（   ） A． B． C． D． 10．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    11．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 12．甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答： (1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________； (2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由． 题型04.函数的概念 13．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 14．下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 15．下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型05.函数解析式 16．部分烃类化合物的名称及其结构式如下所示．若将结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知关于的函数解析式为（      ） A． B． C． D． 17．在梯形中，，点P是射线的一动点（点P不与点B重合），连接，点E是对角线的中点，点F是的中点，若，，，则x与y的函数关系为 _____________． 18．一个长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 19．某学校运动会需要购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需要60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少元； (2)学校计划购买A、B两种奖品，且A种奖品的数量比B种奖品数量的3倍少10件，设B种奖品购买m件，总费用为p元，求p与m之间的函数关系式； (3)若购买的总费用p不多于800元，求最多购买B种奖品多少件？ 题型06.求自变量的取值范围 20．函数的自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 21．函数的自变量的取值范围是_____． 22．函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 23．如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 题型07.求自变量的值与函数值 24．在物理学中，功的计算公式为（W为功，F为力，s为距离），若已知，则F的值为（   ） A． B． C． D． 25．与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：是偶函数，是奇函数．已知函数是奇函数，当时，，那么______． 26．已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型08.函数图象识别 27．下列各曲线中不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 28．育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要_________ h才能追上七（1）班． 29．王红骑自行车去与家相距的樱花园赏花游玩，王红以的速度匀速骑行，出发后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离与王红的行驶时间的函数关系图象为（   ） A．B． C．D． 题型09.用描点法画函数图象 30．下列函数中，和函数的图象关于y轴对称的是（    ） A． B． C． D． 31．某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，长方形的面积与边长之间的函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整 （1）列函数表达式：若长方形的周长为8，设长方形的一边长为x，面积为y，则有________； （2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是______________； （3）列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 写出____________． （4）画图：在平面直角坐标系中画出该函数的图象 32．手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】 如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图2，设该长方体盒子的容积为，求V的最大值． 【探究模型】 （1）长方体的容积________（用含x的代数式表示）； （2）当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 m 576 500 384 252 128 36 ①计算：________，并在图3中补全折线统计图； ②观察表格和折线统计图，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积怎样变化，当x为何值时，所得到的无盖长方体的容积最大． 【继续研究】 当小正方形边长x不为整数时，下面给出了部分参考数据： 当时，；当时，；当时，；当时，． （3）请你观察数据变化，推测x取到何值时，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论） 题型10.从函数的图象获取信息 33．甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是________． 34．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，小明在摩天轮上距离地面的高度（单位：）与旋转时间（单位：）之间的关系如图2所示．下面说法错误的是（    ） A．摩天轮旋转一圈需要 B．当时，小明在摩天轮上距离地面的高度随时间的增大而减小 C．从第到第，小明在摩天轮上距离地面的高度增加了 D．当小明在摩天轮上距离地面的高度为时，摩天轮恰好转了 35．某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)出发地到派送点的距离是____米，小李在便利店停留了____分钟； (2)整个送快递的过程中，小李的最快速度是____米/分钟； (3)当快递员小李距离派送点600米时，求小李所用时间． 题型11.函数的三种表示方法 36．下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 37．农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为__米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 38．声音在空气中传播的速度（简称声速）v（）与空气温度t（）满足一次函数的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（    ） 温度：/ … -20 -10 0 10 20 30 … 声速v/（） … 318 324 330 336 342 348 … A．温度越高，声速越快 B．当空气温度为20时，声速为342 C．声速v（）与温度t（℃）之间的函数关系式为 D．当空气温度为40时，声速为350 题型12.分段函数应用题 39．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离1200米； ②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是___________．（填序号） 40．如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示，给出以下结论：其中正确的个数是（   ） ①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟；②小亮打羽毛球的时间是30分钟； ③羽毛球馆与报亭的距离是400米；④小亮从报亭返家的速度是4千米/时． A．1 B．2 C．3 D．4 41．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明坐公交车的同时，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园，结果比小明早到．如图是他们离家的路程（）与小明离家的时间（）的关系图．请根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到滨海公园的路程为___，小明在中心书城逗留的时间为___． (2)小明两次乘坐公交车，其中较快的速度为___；小明爸爸驾车的速度为___． (3)小明从家出发多长时间时和爸爸处在同一位置，此地距离滨海公园还有多远？ (4)小明从家出发多长时间和爸爸的距离是？ 题型13.动点问题的函数图象 42．已知如图，正方形中，点从出发，沿着的路线到停止运动，若点的运动时间为秒，速度为每秒个单位长度，的面积为，关于的函数图像如图所示，则 ________．（用含有a，b的代数式表示） 43．如图1所示（图中各角均为直角），动点 P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点 P运动的时间x（秒）变化的函数关系图象如图2所示，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 44．如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $