专题07菱形性质与判定期末复习讲义(17大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题07菱形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握菱形定义：一组邻边相等的平行四边形，理清菱形与平行四边形的从属关系。 2.熟记菱形性质：四边相等、对角相等、邻角互补；对角线互相垂直平分且平分每组对角；掌握对称性。 3.熟练掌握菱形三种判定方法，能区分平行四边形、矩形、菱形判定区别。 4.掌握菱形两种面积公式：底乘高、对角线乘积的一半。 1.计算能力：能利用菱形性质求边长、角度、周长、对角线、面积。 2.推理能力：能根据题目条件，灵活选择判定方法证明四边形为菱形。 3.综合能力：结合直角三角形、全等三角形、平行四边形知识解决中档几何题。 4.辨析能力：精准区分矩形与菱形的性质、对角线特点，避免混淆。 1.选择填空：快速判断正误、秒解角度、边长、面积基础题型。 2.解答题：掌握固定答题套路：先证平行四边形，再证邻边相等 / 对角线垂直，书写规范不扣分。 3.压轴题：熟练掌握菱形常见题型（对角线模型、折叠、最值），轻松攻克期末大题。 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07菱形性质与判定求角度 题型08.菱形性质与判定求线段长 题型09.菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与坐标系综合 题型11.菱形中的折叠问题 题型12.菱形中的动点问题 题型13.菱形中的最值问题 题型14菱形与勾股定理综合 题型15.与其他特殊四边形综合 题型16.菱形的实际应用问题 题型17.菱形中旋转问题 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质。 知识点02:核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 衍生重要结论 1.菱形的两条对角线将图形分成四个全等的直角三角形； 2.结合勾股定理：菱形的边长、两条对角线的一半构成直角三角形。若边长为a，对角线长为d1、d2，则： 知识点03:判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点05:解题通用思路 1.题干出现菱形 + 对角线：优先联想垂直关系、直角三角形、勾股定理、菱形面积公式； 2.证明菱形：有等边条件用边判定，有垂直条件用对角线判定； 3.角度计算：巧用 “对角线平分一组对角” 的性质简化推理； 4.线段计算：依托对角线分割出的直角三角形求解。 知识点06:平行四边形、矩形、菱形 性质对比（易混点专项梳理） 图形 边 角 对角线 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 0 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分、相等 2 菱形 四边相等，对边平行 对角相等，邻角互补 互相平分、互相垂直，平分一组对角 2 题型01.菱形的性质求角度 1．如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则_______ 2．如图，菱形中，∠，求的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是______． 4．综合与探究 如图，在四边形中，，，连接． (1)如图1，若，判断四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，求的大小． (3)当时，过点作于点，为上的一动点，连接． ①如图，若为的中点，，，，求的长． ②如图，过点作于点，交于点，过点作．若，，直接写出与之间的数量关系． 题型02.菱形的性质求线段长. 5．如图，在菱形中，，对角线交于点．则线段的长为________． 6．如图，菱形中，是其对角线，P是上一点，连接，将沿折叠，使点C落在上的处，得到，连接．若，，则线段的长为（     ） A．0.5 B．1 C． D．2 7．如图，菱形的周长为40，对角线． (1)求的长； (2)求菱形的高 题型03.菱形的性质求面积 8．如图，菱形的周长为，，则它的面积是______． 9．如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，，与交于点．若四边形是菱形，且，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 10．如图，四边形是菱形，交的延长线于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求菱形的面积． 题型04.菱形的性质证明 11．如图，菱形中，，交于点O，E为的中点，连接，若，则_____． 12．如图，菱形的边长为5，对角线、交于点，点、分别是边、上的点，，、分别交于点、，若，则的面积为（     ） A．2 B．4 C． D． 13．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中的，，矩形的面积是___________； (3)连接，交于点，连接，若，，的长___________． 题型05.添条件使四边形是菱形 14．如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 15．如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可） 16．如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 题型06.证明四边形是菱形 17．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 18．如图，在中，点在边上，连结交于点，连结，．求证：四边形是菱形． 19．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型07菱形性质与判定求角度 20．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 21．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为36，求长． 题型08.菱形性质与判定求线段长 23．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 24．如图在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称，过点D作的垂线交延长线于点E．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 25．如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型09.菱形的性质与判定求面积 26．如图，在中，，连接，，延长至E，平分，点P是上一点，连接、，则的面积为________． 27．如图，在中，与交于点，点为的中点．若，对角线，面积为24，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．28 D．30 28．在中，，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，． (1)如图，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当时，连接，交于点，过点作，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形． 题型10.菱形与坐标系综合 29．如图，菱形的顶点B，D在y轴上，若，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 30．将菱形放在如图所示的平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，的坐标分别是、，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 31．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 32．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 题型11.菱形中的折叠问题 33．如图，在菱形中，， E为边上一点，将沿翻折，使点B 的对应点 F 落在的延长线上，连接交 于点 G，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 34．如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 35．如图，在菱形中，，点是边上的一点，将沿翻折得，与相交于点，点恰好是的中点，若，则______． 36．【问题背景】在学习了平行四边形后，某兴趣小组研究了一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： (1)如图①，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断四边形的形状为___________； 【探究证明】 (2)在（1）的条件下，取的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接、，如图②，求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】 (3)在（1）（2）的条件下，若四边形为轴对称图形，请直接写出的值为___________． 题型12.菱形中的动点问题 37．如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 38．如图，菱形的边长为5，点是对角线上的一个动点，点，分别是边，的中点，则的最小值是___ ． 39．如图，在菱形中，，，，点P是线段上一动点，点F是线段上一动点，则的最小值为___________． 40．已知，的一边在平面直角坐标系的轴上，点． (1)如图1，点，求的长； (2)如图2，当在轴上时，的中垂线分别交，，于点，，． ①求证：四边形是菱形； ②若点，动点，分别从点，以每秒个单位和每秒个单位的速度同时出发匀速运动，动点自停止，自停止．请问是否存在，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 题型13.菱形中的最值问题 41．如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．如图，在菱形中，，，点E、F分别是边、上的动点，且，则面积的最小值为______． 43．如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是______． 44．如图，在边长为10的菱形中，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值为_____． 题型14菱形与勾股定理综合 45．若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是______． 46．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 47．如图，两个全等的菱形和叠放在一起，边与交于点P，，，若重叠部分面积是菱形面积的一半，则点A，P之间的距离为______． 48．如图，菱形的周长为，对角线、相交于点，．求菱形的面积．（提示：利用两数和的平方公式和勾股定理） 题型15.与其他特殊平行四边形综合 49．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧交对角线于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点、连接交于点，连接，，则的值为___________． 50．如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为5．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． (1)求证：是菱形； (2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 题型16.菱形的实际应用问题 52．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 53．小晨在参观土家族居民建筑时，被其中的菱花图案（图1）所吸引，她从中提取出一个含角的菱形，如图2所示，若，则菱形的周长是（    ） A．18 B．20 C．16 D．24 54．某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为．校门部分打开时，每个菱形原的角缩小为，则校门打开了_____． 55．王先生准备给家里长方形客厅铺设尺寸统一，颜色不同的某型号菱形瓷砖①和②，已知每块菱形瓷砖的边长为，内角为和，铺设方案平面图如图所示．根据以上信息回答下列问题：（参考数据：取1.7） (1)长方形客厅的宽的长度为___； (2)已知客厅长为，请你根据此设计方案平面图，计算需要菱形瓷砖①以及需要切割菱形瓷砖②的数量． 题型17.菱形中旋转问题 56．如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是______． 57．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是______． 58．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07菱形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握菱形定义：一组邻边相等的平行四边形，理清菱形与平行四边形的从属关系。 2.熟记菱形性质：四边相等、对角相等、邻角互补；对角线互相垂直平分且平分每组对角；掌握对称性。 3.熟练掌握菱形三种判定方法，能区分平行四边形、矩形、菱形判定区别。 4.掌握菱形两种面积公式：底乘高、对角线乘积的一半。 1.计算能力：能利用菱形性质求边长、角度、周长、对角线、面积。 2.推理能力：能根据题目条件，灵活选择判定方法证明四边形为菱形。 3.综合能力：结合直角三角形、全等三角形、平行四边形知识解决中档几何题。 4.辨析能力：精准区分矩形与菱形的性质、对角线特点，避免混淆。 1.选择填空：快速判断正误、秒解角度、边长、面积基础题型。 2.解答题：掌握固定答题套路：先证平行四边形，再证邻边相等 / 对角线垂直，书写规范不扣分。 3.压轴题：熟练掌握菱形常见题型（对角线模型、折叠、最值），轻松攻克期末大题。 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07菱形性质与判定求角度 题型08.菱形性质与判定求线段长 题型09.菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与坐标系综合 题型11.菱形中的折叠问题 题型12.菱形中的动点问题 题型13.菱形中的最值问题 题型14菱形与勾股定理综合 题型15.与其他特殊四边形综合 题型16.菱形的实际应用问题 题型17.菱形中旋转问题 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质。 知识点02:核心性质・四字口诀速记（菱形超能力） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 衍生重要结论 1.菱形的两条对角线将图形分成四个全等的直角三角形； 2.结合勾股定理：菱形的边长、两条对角线的一半构成直角三角形。若边长为a，对角线长为d1、d2，则： 知识点03:判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点05:解题通用思路 1.题干出现菱形 + 对角线：优先联想垂直关系、直角三角形、勾股定理、菱形面积公式； 2.证明菱形：有等边条件用边判定，有垂直条件用对角线判定； 3.角度计算：巧用 “对角线平分一组对角” 的性质简化推理； 4.线段计算：依托对角线分割出的直角三角形求解。 知识点06:平行四边形、矩形、菱形 性质对比（易混点专项梳理） 图形 边 角 对角线 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 0 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分、相等 2 菱形 四边相等，对边平行 对角相等，邻角互补 互相平分、互相垂直，平分一组对角 2 题型01.菱形的性质求角度 1．如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则_______ 【答案】/度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的定义和性质，由菱形的性质得出，进而可得出，由三角形内角和定理得出，最后由三角形外角的定义和性质得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，菱形中，∠，求的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质求出的度数，再结合，利用等腰三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：四边形是菱形， 平分， ， ， 又， 是等腰三角形，， ． 3．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是______． 【答案】/24度 【分析】利用菱形性质得出，可知为斜边中线，结合等腰三角形的性质求出，利用外角即可求出的值． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边对等角，三角形外角性质等知识，根据菱形性质判断出为斜边中线是解题关键． 4．综合与探究 如图，在四边形中，，，连接． (1)如图1，若，判断四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，求的大小． (3)当时，过点作于点，为上的一动点，连接． ①如图，若为的中点，，，，求的长． ②如图，过点作于点，交于点，过点作．若，，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到； （3）①由为的中点，得到，求得，根据勾股定理得到结论； ②根据垂直的定义得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，求得，连接，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ， ， ， ； （3）①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 连接， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 又∵， ∴ ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型02.菱形的性质求线段长. 5．如图，在菱形中，，对角线交于点．则线段的长为________． 【答案】 【分析】结合菱形性质、等边三角形的判定与性质得到相关线段长度及垂直关系，在中，由勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，，，则是等边三角形， 即， 菱形的对角线相互垂直平分， ，， 在中，，，则由勾股定理得， ∴． 6．如图，菱形中，是其对角线，P是上一点，连接，将沿折叠，使点C落在上的处，得到，连接．若，，则线段的长为（     ） A．0.5 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】首先由菱形的性质求出和，然后由折叠的性质得出 和 的长，进而求出 ，最后在中求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，． ∵是菱形的对角线， ∴． 由折叠的性质可知，． ∵点在上， ∴． 在 中，， ∴ 是直角三角形， ， ∴． 7．如图，菱形的周长为40，对角线． (1)求的长； (2)求菱形的高 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可知边长，再根据勾股定理即可求解； （2）根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形的周长为40， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设菱形的高为：， 则, ∴， ∴ 则菱形的高为：． 题型03.菱形的性质求面积 8．如图，菱形的周长为，，则它的面积是______． 【答案】 【分析】连接，交于点O，根据菱形性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，，与交于点．若四边形是菱形，且，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得，，，，，，进而证明，最后根据含的直角三角形的性质，勾股定理，求得的长，进而求得菱形的面积． 【详解】解：四边形是矩形，四边形是菱形， ，，，，，， ． ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，， ， 菱形的面积为． 10．如图，四边形是菱形，交的延长线于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是菱形，得、，结合得，进而证明四边形是平行四边形； （2）由得平行四边形是菱形，结合四边形是菱形得，得，根据勾股定理得，进而根据菱形面积等于对角线积的一半来计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：， ∴平行四边形是菱形， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∴菱形的面积为：． 题型04.菱形的性质证明 11．如图，菱形中，，交于点O，E为的中点，连接，若，则_____． 【答案】/35度 【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据菱形的性质得，，，再根据等腰对等角得，由直角三角形的性质得，最后由等腰对等角求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，菱形的边长为5，对角线、交于点，点、分别是边、上的点，，、分别交于点、，若，则的面积为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】证明得，进而由等角对等边求出，证明得，由勾股定理求出，证明四边形是平行四边形得，进而求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为5， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中的，，矩形的面积是___________； (3)连接，交于点，连接，若，，的长___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，由此即可证明四边形是矩形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，最后求出矩形的面积即可； （3）根据菱形的性质得出，，，证明，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）解：∵菱形， ，，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ． 题型05.添条件使四边形是菱形 14．如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 15．如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可） 【答案】 【详解】解：当 时，四边形是菱形； ，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线， ，， 当时， 成立， 则四边形是菱形． 16．如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各选项条件，结合菱形判定依据，逐一分析能否判定平行四边形为菱形． 【详解】解：A、∵是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，是平行四边形． ∴． ∵， ∴是菱形，不符合题意． B、∵， ∴． ∵， ∴只能说明是的角平分线，无法推出的邻边相等或对角线垂直，不能判定其为菱形，符合题意． C、，直接根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定是菱形，不符合题意． D、由三角形外角性质，， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴是菱形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定定理、三角形外角性质，解题关键是准确区分 “能判定菱形的条件” 和 “不能判定菱形的条件”，熟练将角的关系转化为边的关系． 题型06.证明四边形是菱形 17．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：平行四边形中，，， 即， 又， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是菱形． 18．如图，在中，点在边上，连结交于点，连结，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点，根据三线合一可得，进而证明四边形是菱形． 【详解】证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是菱形． 19．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据角平分线的定义得出相等的角，利用平行线得出内错角相等，得出，根据等角对等边得出，根据菱形的定义即可得出结论； （2）根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴为直角三角形，且点为斜边的中点， ∴． 题型07菱形性质与判定求角度 20．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 【答案】/62度 【分析】首先证明出四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形 ∴平分和 ∴． 21．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图过程可证四边形是菱形，再根据菱形的对角相等且对角线平分对角即可解答． 【详解】解：∵以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点， ∴， ∵分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即选项A符合题意． 22．如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为36，求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得出，由勾股定理可得，从而得到，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求出长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，，， 的周长为36， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． 题型08.菱形性质与判定求线段长 23．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，再证明平行四边形是菱形；进一步根据等边三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 24．如图在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称，过点D作的垂线交延长线于点E．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据对称的性质和可推得，从而得四边形为平行四边形，根据对称的性质得，则平行四边形为菱形，根据菱形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ 点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形， ， 则， 在中，， 在中，， 则， 在中，． 25．如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，根据，得出继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型09.菱形的性质与判定求面积 26．如图，在中，，连接，，延长至E，平分，点P是上一点，连接、，则的面积为________． 【答案】60 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，平行线之间的垂线段相等，三角形的面积， 连接交于点G，根据菱形的性质证得，根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵中，， ∴是菱形，， ∴平分， 延长至E，则， ∵平分， ∴， ∴， 连接交于点G，则，且平分， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的高为， ∴， 故答案为60． 27．如图，在中，与交于点，点为的中点．若，对角线，面积为24，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．28 D．30 【答案】A 【分析】根据等边对等角得出，根据平行四边形的性质得出，根据三角形的中位线定理得出，结合已知可得出，则是菱形，根据菱形的面积可求出，进而求出，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵面积为24，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为． 28．在中，，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，． (1)如图，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当时，连接，交于点，过点作，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用等腰三角形的性质、角平分线的定义及三角形外角性质可证，得到，即可求证； （）由可证是等边三角形，得到，即得平行四边形是菱形，即得到，，再证明是等边三角形，得到，即得到，得，又根据菱形的性质得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴与面积相等的三角形有． 题型10.菱形与坐标系综合 29．如图，菱形的顶点B，D在y轴上，若，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形是轴对称图形， 且B、D在y轴上， ∴ A、C关于y轴对称， ∵， ∴． 30．将菱形放在如图所示的平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，的坐标分别是、，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，相交于E，由点，的坐标得出，轴，，根据菱形的性质得出，，，证明四边形是矩形，可求出，即可求解． 【详解】解：连接、，相交于E， ∵点，的坐标分别是、， ∴，轴，， ∵四边形是菱形， ∴，，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵轴，， ∴轴， 又A在y轴上， ∴． 31．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 【答案】 【分析】由条件可先证得四边形为菱形，连接交于点，连接，可求得和的长，则，故当三点在一条线上时，有最小值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， 如图，连接交于点，连接，则，为的中点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴当三点在一条线上时，有最小值，最小值为． 32．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）过点作于，证明是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由题意，根据正方形的性质，只要证明，即可得到答案； （3）过点作于，延长、交于点，证明，然后求出，即可得到答案； （4）过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点，结合菱形的性质和勾股定理，得到点的坐标为；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图： 由题意，点、、、坐标分别为， ，，，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，； （2）解：存在；理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作于，延长、交于点，则四边形是矩形，此时； ∵四边形为菱形， ∴，， 又， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （4）解：如图，过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点， 由（3）可知，， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 点的坐标为， 的中点的坐标为； 点在直线上运动，点在直线上运动，且横坐标的值随的增大而增大； 当点在原点时，即，此时为； 当点在最右端时，即的值最大，此时点恰好在上，即； ， ， 点为； 点的最左端坐标为，最右端的坐标为； 点的运动路径长为：． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，通过构造垂线、利用等腰直角三角形与全等三角形，将菱形、正方形的性质转化为坐标计算．动点路径分析时，抓住中点坐标规律，结合临界位置求解，体现了“数形结合”与“化动为静”的解题思想． 题型11.菱形中的折叠问题 33．如图，在菱形中，， E为边上一点，将沿翻折，使点B 的对应点 F 落在的延长线上，连接交 于点 G，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，由折叠的性质得：，，可得为等腰直角三角形，，，再由菱形的面积解答即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，，即为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得出的度数和，结合点E在边上得出为等腰三角形，进而求出的度数，再利用菱形邻角互补求出，最后计算的度数． 【详解】解：∵菱形沿直线折叠，点B落在边上的点E处， ∴，． ∴， ∵点E在边上， ∴在中，， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．如图，在菱形中，，点是边上的一点，将沿翻折得，与相交于点，点恰好是的中点，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，能够根据含30°的直角三角形的性质构造合适的辅助线是解题的关键． 连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，从而得到，进一步推得，根据折叠的特点可得，过点作交于，利用勾股定理可得，设菱形的边长为，,根据即可求解． 【详解】解：过点作交于，连接， 设菱形的边长为， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴，， 则在中，， ∵， ∴ ∵将沿翻折得， ∴，，，， ∴在中，，， 在中，，即，解得， 则． 36．【问题背景】在学习了平行四边形后，某兴趣小组研究了一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： (1)如图①，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断四边形的形状为___________； 【探究证明】 (2)在（1）的条件下，取的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接、，如图②，求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】 (3)在（1）（2）的条件下，若四边形为轴对称图形，请直接写出的值为___________． 【答案】(1)菱形 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质结合可得，，由此判定为菱形； （2）容易判断四边形也是菱形，由菱形的性质可得，，，，，结合平行四边形的性质和中点的性质可得，，，命题得证； （3）分两类讨论，当四边形为矩形时，作于点，作于点，设，由含角的直角三角形的性质和勾股定理可得可得，，，容易证明四边形是矩形，则，．由矩形的性质可得，，则，从而得到，进一步计算出，因此；当四边形为菱形时，延长交于点，设，容易判断，，从而判断是等边三角形，则，进而计算出，因此． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：同理（1）可得，四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵为边的中点，为边的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（2）可知，四边形是平行四边形， 又∵四边形为轴对称图形， ∴四边形为矩形或菱形， ①当四边形为矩形时，如图，作于点，作于点，设， ∵为边的中点，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴； ②当四边形为菱形时，如图，延长交于点，设， . 由①可知，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 题型12.菱形中的动点问题 37．如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值，最小值为的长，然后证明四边形为平行四边形，即可求出． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点， 是的中点， 是边上的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ，即的最小值为1． 38．如图，菱形的边长为5，点是对角线上的一个动点，点，分别是边，的中点，则的最小值是___ ． 【答案】5 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，两点间线段最短等知识，利用菱形的对称性是解题的关键. 取的中点E，连接，由菱形的对称性知，；由，当点P在线段上时，的值最小，最小值为线段的长，利用平行四边形的性质求出的长即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接； 由菱形的对称性知，； ∵， ∴当点P在线段上时，的值最小，最小值为线段的长； ∵E、N分别为的中点， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即的最小值为5； 故答案为：5． 39．如图，在菱形中，，，，点P是线段上一动点，点F是线段上一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质，作点关于的对称点点，连接，则，，连接，过点作于，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理求出，再求出，当点与点重合时，（最短），由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点点，连接， 则，， 连接，过点作于， ∵在菱形中，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当点与点重合时，（最短）， ∴的最小值是， 故答案为：． 40．已知，的一边在平面直角坐标系的轴上，点． (1)如图1，点，求的长； (2)如图2，当在轴上时，的中垂线分别交，，于点，，． ①求证：四边形是菱形； ②若点，动点，分别从点，以每秒个单位和每秒个单位的速度同时出发匀速运动，动点自停止，自停止．请问是否存在，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②存在，点，点 【分析】（1）使用两点距离公式即可； （2）①容易证明，则，进而可判定四边形是平行四边形，结合可证明四边形是菱形； ②先根据菱形的性质和勾股定理计算出，分析点和点的运动过程可知，点在上，点在上时，符合平行四边形的要求，根据题意表示出，，列方程并解出的值，进而得到点和点的坐标． 【详解】（1）解：由勾股定理可得，； （2）解：①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； ②假设存在，设运动时间为秒， ∵，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ①当时，点在上，点在上， 此时与不平行，与假设矛盾； ②当时，点在上，点在上， 由题意可知，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为； ③当时，点在上，点在上， 此时与不平行，与假设矛盾； ④当时，点在上，点在上， 此时与不平行，与假设矛盾； 综上所述，假设成立，点的坐标为，点的坐标为． 题型13.菱形中的最值问题 41．如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，根据菱形的性质可知，，，利用勾股定理即可求出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可知四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得：，根据垂线段最短可知当时，最短，利用三角形的面积公式即可求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 设中边上的高为， ， ， ， 的最小值是， 即的最小值是. 故选：A． 42．如图，在菱形中，，，点E、F分别是边、上的动点，且，则面积的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，根据菱形的性质，得到和是等边三角形，证明，从而推出是等边三角形，设，则，由垂线段最短可知，当时，最短，此时有最小值，面积有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在菱形中，，， ，， 和是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 设，则， ， ， 当最小时，面积有最小值， 由垂线段最短可知，当时，最短，即有最小值， 是等边三角形， ， ， 的最小值为， 面积的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键． 43．如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键． 作于E点，连接，得到，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而得出结论． 【详解】如图，作于E点，连接， ∵菱形中， ∴， ∴为等边三角形 ∴,，， ∴， ∵ ∴ 根据垂线段最短，此时最短，即最小 ∴ ∴ ∴最小值为 故答案为： 44．如图，在边长为10的菱形中，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】作点A关于的对称点，交于点M，可得，可得的最小值为，再根据菱形的性质得，并根据直角三角形的性质求出，即可求出，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：作点A关于的对称点，交于点M，可得， ∴， 当时，取得最小值，即， 所以的最小值为． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型14菱形与勾股定理综合 45．若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是______． 【答案】 【分析】先根据对角线长度计算菱形面积，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形边长，最后利用等面积法列式求解即可． 【详解】解：设菱形中，两条对角线长分别为，，一边上的高为， 菱形的面积等于对角线乘积的一半， ， 菱形的对角线互相垂直平分， 两条对角线一半的长度分别为，，且， 在直角三角形中，由勾股定理可得菱形的边长， 菱形的面积也等于底边长乘以这边上的高， ， 解得． 46．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，得，进而可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ∴， ， ， ∴， 即， ， ∴． 47．如图，两个全等的菱形和叠放在一起，边与交于点P，，，若重叠部分面积是菱形面积的一半，则点A，P之间的距离为______． 【答案】 【分析】连接，交于H，由等边对等角及等角对等边得，得与关于对称，设，菱形的高为h，则，由重叠部分面积是菱形面积的一半，证得，勾股定理求出，由对称得，勾股定理求得即可 【详解】解：由题意得， 连接，交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与关于对称， 设，菱形的高为h，则， ∵重叠部分面积是菱形面积的一半， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 由对称得垂直平分， ∴， 在中，， ∴ 48．如图，菱形的周长为，对角线、相交于点，．求菱形的面积．（提示：利用两数和的平方公式和勾股定理） 【答案】 【分析】根据菱形的周长求得边长，在中，根据勾股定理得，进而得出，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴ ∵对角线、相交于点，． ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴菱形的面积为． 题型15.与其他特殊平行四边形综合 49．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧交对角线于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点、连接交于点，连接，，则的值为___________． 【答案】2 【分析】连接，，由作图痕迹可知，可知四边形是菱形，得到，根据矩形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，，由作图痕迹可知， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， 四边形是平行四边形， 点是的中点， ． 50．如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为5．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质及菱形的性质是解题的关键．根据折叠的性质及矩形的性质可知四边形是菱形，再根据全等三角形的判定与性质可知，这个结论不一定成立，最后利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故②正确； ∴，， ∴， ∵， 若， ∴， ∴，这个结论不一定成立， 故①错误； 点与点重合时，如图所示， 设，则， ∴在中，, ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； 当过点时，如图所示，最短，四边形的面积最小， ∴， 当点与点重合时，如图，最长，四边形的面积最大， ∴， ∴， 即的面积的最小值为4． 故④错误； 正确的项为②③，共两个， 故选：B． 51．已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． (1)求证：是菱形； (2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④任意一个即可（答案不唯一） 【分析】（1）连接、，根据平行四边形的性质得出点O为、的交点，，根据平行线的性质得出，根据角平分线的判定可得出，根据等角对等边得出，然后根据菱形的判定即可得证； （2）添加①，根据四边形内角和求出，然后根据正方形的判定即可得证；添加②M是的中点，根据线段的垂直平分线的性质得出，结合平行四边形的性质可得出，然后根据正方形的判定即可得证；添加③，证明，得出，则可判断垂直平分，设与的交点为H，则，根据等积法可得出，根据勾股定理得出，则，结合完全平方公式可得出，则，则可判断四边形是菱形，结合，得出菱形是正方形，则，然后根据正方形的判定即可得证；添加④，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，则，然后根据正方形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：连接、， ∵在中，点是它的对称中心， ∴点O为、的交点，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：添加①， ∵，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加②M是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加③， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， 设与的交点为H， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴菱形是正方形， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加④， ∵， ∴， ∵， ∴， 又是菱形， ∴是正方形， 故添加①，②，③，④中的任意一个条件，即可使是正方形 题型16.菱形的实际应用问题 52．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，即可求解. 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 又， ， ∴. 53．小晨在参观土家族居民建筑时，被其中的菱花图案（图1）所吸引，她从中提取出一个含角的菱形，如图2所示，若，则菱形的周长是（    ） A．18 B．20 C．16 D．24 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，进而证明是等边三角形，得到，即可求出菱形的周长． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长． 54．某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为．校门部分打开时，每个菱形原的角缩小为，则校门打开了_____． 【答案】 【分析】分别求出两个菱形对角线，的长度即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于O，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴校门关闭时，校门的长度为，校门打开时，校门的长度为， ∴校门打开了． 55．王先生准备给家里长方形客厅铺设尺寸统一，颜色不同的某型号菱形瓷砖①和②，已知每块菱形瓷砖的边长为，内角为和，铺设方案平面图如图所示．根据以上信息回答下列问题：（参考数据：取1.7） (1)长方形客厅的宽的长度为___； (2)已知客厅长为，请你根据此设计方案平面图，计算需要菱形瓷砖①以及需要切割菱形瓷砖②的数量． 【答案】(1)4 (2)菱形瓷砖①需要50块，切割的菱形瓷砖②需要14块 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，即可求出长方形客厅的宽的长度； （2）连接交于O，根据菱形的性质，勾股定理等可求出，即可求出需要菱形瓷砖①的数量，根据矩形边上需要三角形的特征可求出需要切割的菱形瓷砖②的数量． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由图知：； （2）解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵客厅长为， ∴， ∴需要菱形瓷砖①的数量为（块）， 由图可知：长方形客厅的宽和需要切割的菱形瓷砖②的数量为5块，其中4块瓷砖沿较短的对角线切割一分为二，1块瓷砖沿对角线切割一分为四； 长方形客厅的长和需要切割的瓷砖②为（块），瓷砖沿较长的对角线切割一分为二， ∴需要切割菱形瓷砖②的数量为（块）， 即菱形瓷砖①需要50块，切割的菱形瓷砖②需要14块． 题型17.菱形中旋转问题 56．如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，作于点，利用菱形的性质和旋转的性质求出，，利用直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合 进行求解即可． 【详解】解：连接，作于点，则， ∴，，， ∴， 将菱形绕点顺时针旋转得到菱形， ∴，，， ，，， ， ∴，， 点在上，， ∴，， ， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是， 故答案为：． 57．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，，继而得到，连接，证明，得，得到点在射线上，当时，有最小值，最小值为，即可得到答案． 【详解】解：菱形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 绕点按逆时针方向旋转，得到， ，， ， ， 如图，连接， ， ， 点在射线上， ∴当时，有最小值，最小值为， 的最小值是， 故答案为：． 58．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可． 【详解】解：向两方分别延长，连接， 根据菱形，，则，， ∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误， ∴③错误； 综上，正确结论的是①④． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $