奥数：第11讲 空间想象力进阶训练（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

【人教版】小学六年级下数学奥数：第11讲 空间想象力进阶训练 📚 第一部分：高频考点，核心易错点 浸没问题： 关键在于计算水面上升的高度对应的体积，而不是直接计算桶的总体积。石块是“沉底”的，所以利用“排水体积 = 上升的水的体积”。 纸盒配比： 必须列出二元一次方程组。难点在于找出“正方形纸板”和“长方形纸板”各自的使用数量关系。 涂色问题： 记忆口诀 三面涂色：只在顶点，永远是 8 个。 两面涂色：只在棱上（不含顶点），公式为 的总和。 一面涂色：只在面中心，公式为 的总和。 无面涂色：内部，公式为 。 切割与打孔： 打孔时，表面积增加的是孔洞的侧面积，同时要减去孔洞在表面挖掉的面积（如果孔洞贯穿则不减，因为变成了内表面）。 🧩 第二部分：经典例题 🔺 题型一：方程与比例应用 【例1】浸没排水问题 题目： 底面为边长 10cm 正方形、高 30cm 的长方体水桶，桶内已有一半容积的水。投入长 2cm、宽 2cm、高 3cm 的长方体石块，至少投入多少块石块，水面恰好与桶口平齐？ 【解析】 ①计算空余空间（需要填充的水体积）。 水桶总体积 = 。 一半水，所以空余体积 = 。 ②计算单块石块体积。 石块体积 = 。 ③计算块数。 理论块数 = 块。 验证可行性： 需要检查石块能否放入（即石块高度3cm < 水桶剩余高度15cm，且底面积能容纳）。由于125是整数且尺寸匹配，故可行。 答：至少投入 125 块。 🔲 题型二：立体几何表面积（第9、12、14题） 【例2】正方体三向打孔 题目： 棱长为 3 的正方体，三个方向各打通一个底面积为 1、高为 3 的长方体孔洞，求表面积。 【解析】 这道题需要分两部分计算：外表面积（外部可见的面积）和内表面积（孔洞内壁新增的面积），再合并得到总表面积。 解：① 原正方体表面积： 棱长为 3 的正方体，表面积为： ②外表面积的变化： 每个面被打通了一个底面积为 1 的正方形孔洞，每个面减少了 1 个单位面积，共 6 个面： 因此，剩余的外表面积为： ③内表面积的计算： 三个方向的孔洞在正方体中心交汇，中心的 区域是公共部分，被三个孔洞同时打通，因此实际孔洞是十字交叉的通道，每个通道被中心区域分成两段。 单个孔洞（非中心部分）的侧面积：每段通道的尺寸为 ，每段的侧面积为 ，每个方向的孔洞有 2 段，3 个方向共： ④总表面积 答案：挖洞后立体图形的表面积为：（单位面积）。 💡补充说明 易错点：直接按 “三个独立通道” 计算侧面积，会重复计算中心公共部分的内壁，导致结果偏大。 关键技巧：先减去外部孔洞的面积，再按 “分段通道” 计算内壁面积，避免重复计数。 🎨 题型三：空间想象与涂色（第10、11题） 【例3】正方体涂色规律 题目： 将边长为 10 的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为 1 的小正方体木块 1000 块。问： 1. 没有涂红色的共有多少块？ 2. 只有一个面是红色的共有多少块？ 3. 恰有两个面为红色的共有多少块？ 4. 恰有三个面为红色的共有多少块？ 【解析】 (利用口诀) 解题思路 这类问题可以根据小正方体在大正方体中的位置来分类： 三面红色：位于大正方体的顶点处 两面红色：位于大正方体的棱上（不包含顶点） 一面红色：位于大正方体的面上（不包含棱） 没有红色：位于大正方体的内部（完全不接触表面） 解： ①三面红色的小正方体 正方体有 8 个顶点，每个顶点处的小正方体三面都被染色。 数量： 块 ②两面红色的小正方体 正方体有 12 条棱，每条棱上有 个小正方体，去掉两端的 2 个顶点（三面红），中间有 个两面红的小正方体。 数量： 块 ③一面红色的小正方体 正方体有 6 个面，每个面是 的正方形，去掉最外层一圈后，中间部分是 的正方形，这些是一面红的小正方体。 数量： 块 ④没有涂红色的小正方体 位于大正方体内部，形成一个边长为 的小正方体。 数量： 块 答案汇总： 没有涂红色： 块 只有一个面红色： 块 恰有两个面红色： 块 恰有三个面红色： 块 💡 通用公式（边长为的正方体） 三面红：固定 块 两面红： 一面红： 无涂色： ✏️ 第三部分：拓展例题 🔺 题型一：方程与比例应用 【例1】纸板配比问题 题目： 正方形、长方形纸板比为 1:2。制作竖式、横式无盖纸盒刚好用完，求两种纸盒数量比。 【解析】 ①明确纸盒结构。 ②设未知数。 设竖式纸盒 个，横式纸盒 个。 ③列方程（根据纸板比例）。 ④解方程： 所以 。 答：竖式与横式纸盒总数之比为 。 🔲 题型二：立体几何表面积 【例2】多次切割表面积 题目： 棱长 1m 正方体，水平锯成 3 片，每片锯成 4 长条，每条锯成 5 小块，共 60 个长方体。求表面积总和。 【解析】 方法一：计算增加的面积。 方法二：计算小长方体尺寸。 小长方体尺寸：长 ，宽 ，高 。 一个表面积 = 。 60个总和 = 。 答：总表面积为 24 平方米。 🎨 题型三：空间想象与涂色 【例3】测量体对角线 题目： 用三个相同正方体积木和一把刻度尺，设计一种方法，不通过计算，直接量出每个正方体对角线长度。 【解析】 正方体的体对角线在内部，无法直接用刻度尺测量，因此我们需要利用三个正方体的拼接，把 “看不见的体对角线” 转化为 “能直接测量的直线距离”。 核心原理：利用拼接后的空位，构造出一条与体对角线等长的线段，再直接测量这条线段的长度。 解： ①摆放积木 将三个相同的正方体积木按 “L 形” 拼接在桌面上：两个并排平放，第三个叠放在左侧积木的上方，形成一个类似墙角的结构。 此时，在三个积木的右侧会留出一个和积木等大的 “空位”。 ②定位测量端点 设叠放在左侧上方的正方体为 A，右侧空位的顶点为 B。 点 A 是左上角正方体的内侧顶点（远离空位的那个顶点） 点 B 是右侧空位的对角顶点（和 A 相对的那个顶点） ③直接测量 用刻度尺直接测量点 A 到点 B 之间的直线距离，这个长度就等于正方体的体对角线长度（如图）。 💡补充说明 ①拼接后，A、B 两点之间的距离，恰好等于一个正方体的体对角线长度。因为这个距离在三维空间中，相当于从一个正方体的顶点到对角顶点的直线距离，和体对角线完全相等。这样就把原本在正方体内部、无法直接测量的线段，变成了外部的、可以直接测量的线段。这个方法的关键是利用拼接制造 “虚拟的体对角线”，无需任何计算，只用刻度尺一次就能读出结果。 ②也可以用两个正方体实现：将两个正方体并排平放，再用第三个正方体靠在旁边，同样可以构造出对应的空位进行测量。 🧩 第四部分：课后巩固练习及参考答案 习题1：立体图形表面积计算 题目：如下图，把 16 个边长为 2 厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。 【解析】三视图法 这类堆叠立体图形的表面积，可以通过分别数出前、后、左、右、上、下六个方向看到的小正方形数量，再乘以单个小正方形的面积，得到总表面积。 前后方向看到的数量相同 左右方向看到的数量相同 上下方向看到的数量相同 ①数各方向看到的正方形数量 根据常见的 16 个正方体堆叠图形，各方向看到的小正方形数量如下： 前面 / 后面：各 7 个 左面 / 右面：各 9 个 上面 / 下面：各 9 个 验证总数： 个 ②计算单个小正方形的面积 正方体边长为 2 厘米，单个面的面积： ③计算总表面积 💡补充说明：三视图法解题模板 数方向：分别数出前、后、左、右、上、下看到的小正方形个数（前后 / 左右 / 上下数量相等）。 算单个面积：用正方体边长 × 边长，算出单个面的面积。 求总面积：将六个方向的总个数 × 单个面的面积，即为立体图形的表面积。 习题2：长方体长宽和计算 题目:2100 个边长为 1 米的正方体堆成一个实心的长方体，它的高是 10 米，长、宽都是大于 10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？ 【解析】先求底面积：所有小正方体的总体积等于大长方体的体积。 总体积： 长方体体积公式： 已知高为 10 米，所以底面积： 分解质因数，求长和宽： 我们需要找到两个都大于 10 的整数，它们的乘积是 210。 先对 210 分解质因数： 将质因数组合成两个大于 10 的整数： 且 ，同时 14 和 15 都大于 10，符合条件。 计算长宽之和： 答案:长方体的长宽之和是 29 米。 💡解题要点总结: 关键第一步：利用体积公式，将 “长 × 宽” 转化为已知数 210。 关键第二步：通过质因数分解，找到符合 “都大于 10” 条件的因数对。 易错点：分解时容易漏掉质因数的组合，或者忽略 “大于 10” 的限制条件。 学科网（北京）股份有限公司 $