奥数：第11讲 空间想象力进阶训练（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

【人教版】小学六年级下数学奥数：第11讲 空间想象力进阶训练

📚 第一部分：高频考点，核心易错点

浸没问题： 关键在于计算水面上升的高度对应的体积，而不是直接计算桶的总体积。石块是“沉底”的，所以利用“排水体积 = 上升的水的体积”。

纸盒配比： 必须列出二元一次方程组。难点在于找出“正方形纸板”和“长方形纸板”各自的使用数量关系。

涂色问题： 记忆口诀

三面涂色：只在顶点，永远是 8 个。

两面涂色：只在棱上（不含顶点），公式为   的总和。

一面涂色：只在面中心，公式为   的总和。

无面涂色：内部，公式为  。

切割与打孔： 打孔时，表面积增加的是孔洞的侧面积，同时要减去孔洞在表面挖掉的面积（如果孔洞贯穿则不减，因为变成了内表面）。

🧩 第二部分：经典例题

🔺 题型一：方程与比例应用

【例1】浸没排水问题

题目： 底面为边长 10cm 正方形、高 30cm 的长方体水桶，桶内已有一半容积的水。投入长 2cm、宽 2cm、高 3cm 的长方体石块，至少投入多少块石块，水面恰好与桶口平齐？

【解析】

①计算空余空间（需要填充的水体积）。

水桶总体积 =  。

一半水，所以空余体积 =  。

②计算单块石块体积。

石块体积 =  。

③计算块数。

理论块数 =   块。

验证可行性： 需要检查石块能否放入（即石块高度3cm < 水桶剩余高度15cm，且底面积能容纳）。由于125是整数且尺寸匹配，故可行。

答：至少投入 125 块。

🔲 题型二：立体几何表面积（第9、12、14题）

【例2】正方体三向打孔

题目： 棱长为 3 的正方体，三个方向各打通一个底面积为 1、高为 3 的长方体孔洞，求表面积。

【解析】

这道题需要分两部分计算：外表面积（外部可见的面积）和内表面积（孔洞内壁新增的面积），再合并得到总表面积。

解：① 原正方体表面积：

棱长为 3 的正方体，表面积为：
 

②外表面积的变化：

每个面被打通了一个底面积为 1 的正方形孔洞，每个面减少了 1 个单位面积，共 6 个面：
因此，剩余的外表面积为：
 

③内表面积的计算：

三个方向的孔洞在正方体中心交汇，中心的 区域是公共部分，被三个孔洞同时打通，因此实际孔洞是十字交叉的通道，每个通道被中心区域分成两段。

单个孔洞（非中心部分）的侧面积：每段通道的尺寸为 ，每段的侧面积为 ，每个方向的孔洞有 2 段，3 个方向共：

④总表面积

答案：挖洞后立体图形的表面积为：（单位面积）。

💡补充说明

易错点：直接按 “三个独立通道” 计算侧面积，会重复计算中心公共部分的内壁，导致结果偏大。

关键技巧：先减去外部孔洞的面积，再按 “分段通道” 计算内壁面积，避免重复计数。

🎨 题型三：空间想象与涂色（第10、11题）

【例3】正方体涂色规律

题目： 将边长为 10 的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为 1 的小正方体木块 1000 块。问：

1. 没有涂红色的共有多少块？
2. 只有一个面是红色的共有多少块？
3. 恰有两个面为红色的共有多少块？
4. 恰有三个面为红色的共有多少块？

【解析】  (利用口诀)

解题思路

这类问题可以根据小正方体在大正方体中的位置来分类：

三面红色：位于大正方体的顶点处

两面红色：位于大正方体的棱上（不包含顶点）

一面红色：位于大正方体的面上（不包含棱）

没有红色：位于大正方体的内部（完全不接触表面）

解：

①三面红色的小正方体