奥数：第7讲 代数思维与经典应用题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

【人教版】小学六年级下数学奥数:第7讲 代数思维与经典应用题 一、核心知识点总结 1. 算术与代数的关系 算术与代数是数学两大基础分科,代数是在算术数的认识、四则运算基础上发展而来。 小学算术主要学习整数、小数、分数四则运算,解决简单应用题,核心依托三种数量关系: ①部分数与总数关系; ②两数和差关系; ③一倍数、倍数、几倍数关系。 加减解决和差问题,乘除解决倍数问题,解题依托加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律、分配律。 设 为任意数: 交换律:, 结合律:, 分配律: 算术:研究具体的数,通过已知数求未知数,依赖四则运算和特定公式。 代数:引入字母(如 )表示未知数,将未知数与已知数平等看待,通过列方程解决。 核心区别:算术是“逆向思维”(从条件推结果),代数是“顺向思维”(把题目关系直接翻译成等式)。 2. 算术解法特点 按题型分类:和倍、差倍、行程、百分数、比例等,每种题型有固定解题思路和公式,题型不同解法不同,通用性弱,靠套公式、找固定思路解题。 3. 代数解法(列方程)特点 用字母 表示未知数,把未知数和已知数同等看待,直译题目数量关系列出等式(方程); 利用四则运算法则解方程,一种方法可解多种题型,通用性强、思路统一。 4. 列方程解应用题的“四步曲” 设:设未知数(通常设关键未知量为 )。 列:寻找题目中的等量关系(如:总量=分量+分量,路程=速度 时间),列出方程。 解:利用移项、合并同类项、系数化为1等方法解方程。 答:检验结果是否符合题意,并写出答语。 5. 思维拓展 代数法通用性强,适合解决复杂关系的问题。 算术法在某些特定题型(如简单的和差倍问题、倒推问题)中依然直观快捷。 目标:灵活搭配两种方法,哪种简便用哪种。 二、经典例题精讲 例 1:基础方程求解 题目:解方程 解析: 去括号: 移项: 合并: 答案:方程的解为 。 例 2:玻璃运输赔偿问题(盈亏思想) 题目:车站运送 2000 箱玻璃,完好运到每箱运费 5 元;损坏一箱不给运费,倒扣 40 元。最后共得运费 9190 元,求损坏了几箱玻璃? 算术解法: 假设全部完好: 元。 实际差额: 元。 损坏 1 箱损失: 元(不仅少赚5元,还要赔40元)。 损坏箱数: 箱。 代数解法: 设损坏 箱,完好 箱: 答案:损坏了 18 箱玻璃。 例 3:模糊数字整除问题 题目:一年级 72 名学生共交课本费 52.7 元,首尾数字模糊,被墨汁涂黑了,求每人应交多少元? 解析: 总钱数单位换算为分: 分。即:总钱数为 100a + 52.7 + 0.01b 元,换算成分得 10000a + 5270 + b 分。 总人数 ,总钱数能同时被 8、9 整除。 被 8 整除特征:末三位 (即 270+b)能被 8 整除 (即 272)。 被 9 整除特征:各位数字和是 9 的倍数。 , 可为 2(因为 18 是9的倍数)。首位为 2。 总钱数为 25272 分。 每人费用: 分 元。 答案:每人交 3.51 元。 例 4:余数综合问题(中国剩余定理雏形) 题目:求被 6 除余 4、被 10 除余 8、被 9 除余 4 的最小自然数。 解析: 被 6 除余 4、被 10 除余 8,说明该数加 2 能被 6 和 10 整除(即能被 30 整除)。 所以该数可能是: 。 枚举满足被 9 除余 4 的数: ,符合。 答案:最小自然数是 58。 例 5:画片赠送倒推问题(逆向思维) 题目:甲、乙、丙原有若干画片,互相赠送(每次送出张数等于对方原有张数),最后每人都是 32 张。求原来三人各有多少张画片。 倒推解析:(从后往前推,送多少就拿回多少) 丙送后:甲 32、乙 32、丙 32。 丙送前:丙送给甲、乙各一半,即甲、乙原有 ,丙有 。 甲 16、乙 16、丙 64。 乙送前:乙送给甲、丙各一半,即甲原有 ,丙原有 ,乙有 。 甲 8、乙 56、丙 32。 甲送前:甲送给乙、丙各一半,即乙原有 ,丙原有 ,甲有 。 甲 52、乙 28、丙 16。 答案:原来甲有 52 张,乙有 28 张,丙有 16 张。 例 6:多人追及行程问题(比例法) 题目:乙比丙晚出发 10 分钟,40 分钟追上丙;甲比乙晚出发 20 分钟,1 小时 40 分钟(100分钟)追上丙。求甲出发后多少分钟追上乙。 解析: 乙追丙:乙走 40 分钟 = 丙走 50 分钟 乙:丙 = 5:4。 甲追丙:甲走 100 分钟 = 丙走 130 分钟(丙早出发10+20=30分钟) 甲:丙 = 13:10。 统一丙的速度份数(最小公倍数 20): 乙:丙 = 5:4 = 25:20。 甲:丙 = 13:10 = 26:20。 甲追乙:速度差 = 份。甲出发时,乙已走 份(乙比甲早出发20分钟,速度25)。 追及时间 = 分钟。 答案:甲出发后需 500 分钟追上乙。 例 7:时针分针互换位置问题 题目:小红离家两三个小时,回家时时针与分针恰好互换位置,求离家时长。 解析: 核心逻辑:两针合走的路程 = 2 圈(120分钟格)。 分针速度:1 格/分,时针速度: 格/分。 总时间 = 总路程 速度和 = 分钟。 答案:离家时间约为 1 小时 51 分钟(精确值 分)。 三、拓展例题 拓展例 1:数字谜与完全平方数 题目:一个两位数,十位为 ,个位为 ,交换十位个位得到新两位数。若原数与新数的和是一个完全平方数,求这个和是多少? 解析: 原数 = ,新数 = 。 和 = 。 因为和是完全平方数,且 11 是质数,所以 必须是 11 的倍数。 最大为 ,所以 。 和 = 。 答案:这个和是 121。 拓展例 2:等差里程碑 题目:汽车行驶依次经过三个里程碑:两位数、十位个位互换两位数、中间加 0 的三位数。已知相邻两里程碑路程相等,求三个里程碑数字。 解析: 设原两位数为 ,互换后为 ,三位数为 。 因为路程相等(等差): 。 化简得: 。 因为 是 1-9 的整数, 。 三个数为:16、61、106。 答案:三个里程碑数字分别是 16、61、106。 四、基本练习 1.解方程 题目:解方程 。 2.碗碟搬运问题 题目:搬运 150 只瓷碗,完好一只运费 3 元,破损一只赔 12 元,最后得运费 330 元,求破损几只? 3.平均分钱问题 题目:一笔模糊总价为34.6元的奖金,分给 48 名同学,刚好平均分,求每人费用(取合理值)。 4.最小公倍数余数问题 题目:求被 5 除余 3、被 7 除余 5、被 4 除余 3 的最小自然数。 五、拓展练习 1. 一个两位数,十位数字比个位大 3,颠倒后新数比原数小 27,求原两位数。 2. 甲、乙、丙三人各有若干颗糖果,按甲、乙、丙顺序依次赠送,每次互相赠送时,送出的颗数等于对方原有的颗数。经过三次互相赠送后,每人都有 48 颗糖果。用倒推法求出三人原来各有多少颗糖果。 3. 丁比戊晚出发 15 分钟,30 分钟追上戊;己比丁晚出发 15 分钟,45 分钟追上戊,求己出发后多久追上丁。 六、基本练习参考答案 1.解方程 题目:解方程 。 解析: 。 答案: 。 2.碗碟搬运问题 题目:搬运 150 只瓷碗,完好一只运费 3 元,破损一只赔 12 元,最后得运费 330 元,求破损几只? 解析:假设全完好: 元。差额: 元。破损一只损失: 元。破损数: 只。 答案:破损了 8 只。 3.平均分钱问题 题目:一笔模糊总额为34.6元的奖金,分给 48 名同学,刚好平均分,求每人费用(取合理值)。 解析:总额: 分,换算成分:10000? +3400+10? +6=10000? +10? +3406(? 为 1-9,? 为 0-9)。 ,总分数需同时被 16 和 3 整除。 被 16 整除:末四位 (即) 3406 16=212 余 14,需要 14+10b 被 16 整除,即 10b≡2(mod16),解得 b=5(因为 10 5=50, 50+14=64 被 16 整除)。 此时末四位为 3456。 被 3 整除:各位数字和 a+3+4+5+6=a+18 是 3 的倍数,则 a 是 3 的倍数。取 a=3(合理值),得总分为 33456 分。 每人: 分 = 6.97 元。 答案:每人 6.97 元。 4.最小公倍数余数问题 题目:求被 5 除余 3、被 7 除余 5、被 4 除余 3 的最小自然数。 解析: 观察发现:余数都比除数小 2( ),但 ,不统一。 需单独求解。找满足“被5除余3、被7除余5”的数:该数加2是35的倍数 33, 68, 103... 验证被4除: ,符合。 答案:最小自然数是 103。 七、拓展练习参考答案 1.符合条件的两位数有:41、52、63、74、85、96,均满足题意。 2.甲、乙、丙三人各有若干颗糖果,每次互相赠送时,送出的颗数等于对方原有的颗数。经过三次互相赠送后,每人都有 48 颗糖果。用倒推法求出三人原来各有多少颗糖果。 解题思路(倒推法) 规则:谁收到糖果,数量就会翻倍;倒推时就要退回一半。 最终状态:甲 = 48,乙 = 48,丙 = 48 第三步赠送后(最终) 甲:48 乙:48 丙:48 倒推:第三次赠送前 第三次是互相赠送后都变成 48,每人都是翻倍得来,退回一半: 甲: 乙: 丙: 第三次前:甲 24,乙 24,丙 96 倒推:第二次赠送前 甲、丙退回一半,补给乙: 甲: 丙: 乙: 第二次前:甲 12,乙 84,丙 48 倒推:第一次赠送前(原来数量) 乙、丙退回一半,补给甲: 乙: 丙: 甲: 答案:原来,甲:78 颗,乙:42 颗,丙:24 颗。 3.同行程比例法,类比例题 6 思路,可求出追及时间。 解:步骤 1:设速度,梳理时间关系 设戊、丁、己的速度分别为 。 ①丁追戊 丁晚出发 15 分钟,追及用时 30 分钟,此时戊总行走时间: 分钟 路程相等: ②己追戊 己比丁晚 15 分钟,即己比戊晚出发 分钟,追及用时 45 分钟,戊总行走时间: 分钟 路程相等: 步骤 2:求己追丁的时间 设己出发后 分钟追上丁: 己行走时间: 分钟 丁比己早出发 15 分钟,丁行走时间: 分钟 追及时路程相等: 代入 ,约去 : 解得: 答案:己出发后 135 分钟追上丁。 学科网(北京)股份有限公司 $