奥数：第6讲 整数的分拆（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

📚 【人教版】小学六年级下数学奥数：第6讲 整数的分拆

 

💡 一、核心知识点总结

1. 整数分拆的定义

把一个自然数   写成若干个自然数相加的形式，不考虑加数的顺序，叫做自然数   的整数分拆。

•            注意： 0 不是自然数，分拆结果中不能出现 0。*

2. 分拆的分类

•            无限制分拆： 仅要求拆成若干个自然数之和，不限制加数的个数和大小。

•            有限制分拆： 限制加数的个数（如拆成3个数）、限制加数的类型（如只能拆成2和3，或硬币问题）。

3. 有序分拆与插空原理

把自然数   拆成   个有序的自然数之和（即考虑顺序，如   和   算两种），方法数为  。

•            原理： 将   看作   个 1 排成一排，中间有   个空隙，从中选择   个空隙插入隔板。

4. 乘积最大核心规律（必背）

把一个自然数拆成若干个自然数之和，要使乘积最大，需遵循：

•            原则一： 绝对不拆出 1（1 不增加乘积）。

•            原则二： 优先拆出 3。

•            原则三： 2 的个数最多 2 个（因为  ）。

•            速算口诀：

◦          除以 3 余 0：全拆 3。

◦          除以 3 余 1：少拆一个 3，剩下 4 拆成  。

◦          除以 3 余 2：拆出一个 2，其余全拆 3。

5. 两数分拆乘积最大规律

把一个数拆成两个自然数之和，这两个数越接近，乘积越大。

•            偶数：拆成两个相等的数。

•            奇数：拆成相差 1 的两个数。

📖 二、经典例题精讲

例 1：无序分拆的枚举法

把 6 拆成若干个自然数相加，一共有多少种不同的分拆方法？

【解析】 按加数的个数分类枚举，防止遗漏。

1 个数： → 1 种

2 个数： → 3 种

3 个数： → 3 种

4 个数： → 2 种

5 个数： → 1 种

6 个数： → 1 种

【答案】 共有   种。

例 2：拆成两个自然数之和（计数）

把 2026 表示为两个自然数之和，共有多少种分法？

【解析】 不考虑顺序，从小到大枚举。

 

从 1 开始到 1013 结束。

【答案】 共有 1013 种。

💡 结论： 偶数   拆成两个自然数之和有   种；奇数   有   种。

例 3：有序分拆（插空法）

把 100 表示为有顺序的 3 个自然数之和，有多少种方式？

【解析】 这是有序分拆，使用插空原理。自然数不包括0，所以每个数至少为1,100 个 1 中间有 99 个空，选 2 个空插板。

 

【答案】 共有 4851 种。

例 4：实际应用（硬币问题）

用 1 分、2 分、5 分硬币凑成 1 元（100 分），共有多少种不同凑法？

【解析】 分类枚举（设 5 分硬币为   枚，2 分为   枚，1 分为   枚）。

 

按 5 分硬币个数分类（0 到 20 枚）：

当  ， ， 有 0~50 共 51 种。

当  ， ， 有 0~47 共 48 种。

...

规律：每增加 1 枚 5 分，剩余金额奇偶性改变，解的数量递减 2 或 3。

【答案】 经计算，总凑法为 541 种。

例 5：两数乘积最值

把 14 拆成两个自然数之和，使乘积最大。

【解析】 14 是偶数，拆成两个相等的数（或最接近的数）。

 

 

【答案】 拆成   和  ，最大乘积为 49。

🚀 三、拓展提升（乘积最大专项）

核心定理回顾：

1. 拆分数字只能是 2 和 3。
2. 优先拆 3。