奥数：第6讲 整数的分拆（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

📚 【人教版】小学六年级下数学奥数：第6讲 整数的分拆 💡 一、核心知识点总结 1. 整数分拆的定义 把一个自然数 写成若干个自然数相加的形式，不考虑加数的顺序，叫做自然数 的整数分拆。 · 注意： 0 不是自然数，分拆结果中不能出现 0。* 2. 分拆的分类 · 无限制分拆： 仅要求拆成若干个自然数之和，不限制加数的个数和大小。 · 有限制分拆： 限制加数的个数（如拆成3个数）、限制加数的类型（如只能拆成2和3，或硬币问题）。 3. 有序分拆与插空原理 把自然数 拆成 个有序的自然数之和（即考虑顺序，如 和 算两种），方法数为 。 · 原理： 将 看作 个 1 排成一排，中间有 个空隙，从中选择 个空隙插入隔板。 4. 乘积最大核心规律（必背） 把一个自然数拆成若干个自然数之和，要使乘积最大，需遵循： · 原则一： 绝对不拆出 1（1 不增加乘积）。 · 原则二： 优先拆出 3。 · 原则三： 2 的个数最多 2 个（因为 ）。 · 速算口诀： · 除以 3 余 0：全拆 3。 · 除以 3 余 1：少拆一个 3，剩下 4 拆成 。 · 除以 3 余 2：拆出一个 2，其余全拆 3。 5. 两数分拆乘积最大规律 把一个数拆成两个自然数之和，这两个数越接近，乘积越大。 · 偶数：拆成两个相等的数。 · 奇数：拆成相差 1 的两个数。 📖 二、经典例题精讲 例 1：无序分拆的枚举法 把 6 拆成若干个自然数相加，一共有多少种不同的分拆方法？ 【解析】 按加数的个数分类枚举，防止遗漏。 1 个数： → 1 种 2 个数： → 3 种 3 个数： → 3 种 4 个数： → 2 种 5 个数： → 1 种 6 个数： → 1 种 【答案】 共有 种。 例 2：拆成两个自然数之和（计数） 把 2026 表示为两个自然数之和，共有多少种分法？ 【解析】 不考虑顺序，从小到大枚举。 从 1 开始到 1013 结束。 【答案】 共有 1013 种。 💡 结论： 偶数 拆成两个自然数之和有 种；奇数 有 种。 例 3：有序分拆（插空法） 把 100 表示为有顺序的 3 个自然数之和，有多少种方式？ 【解析】 这是有序分拆，使用插空原理。自然数不包括0，所以每个数至少为1,100 个 1 中间有 99 个空，选 2 个空插板。 【答案】 共有 4851 种。 例 4：实际应用（硬币问题） 用 1 分、2 分、5 分硬币凑成 1 元（100 分），共有多少种不同凑法？ 【解析】 分类枚举（设 5 分硬币为 枚，2 分为 枚，1 分为 枚）。 按 5 分硬币个数分类（0 到 20 枚）： 当 ， ， 有 0~50 共 51 种。 当 ， ， 有 0~47 共 48 种。 ... 规律：每增加 1 枚 5 分，剩余金额奇偶性改变，解的数量递减 2 或 3。 【答案】 经计算，总凑法为 541 种。 例 5：两数乘积最值 把 14 拆成两个自然数之和，使乘积最大。 【解析】 14 是偶数，拆成两个相等的数（或最接近的数）。 【答案】 拆成 和 ，最大乘积为 49。 🚀 三、拓展提升（乘积最大专项） 核心定理回顾： 1. 拆分数字只能是 2 和 3。 2. 优先拆 3。 3. 2 的个数最多 2 个（若出现 3 个 2，不如换成 2 个 3）。 拓展 例1：基础数字练习 把自然数 5、6、7、8、9、10 分别拆成若干自然数之和，使乘积最大。 数字 拆分策略 ( ) 拆分结果 最大乘积 5 余 2 6 余 0 7 余 1 (4拆成2+2) 8 余 2 9 余 0 10 余 1 拓展 2：限定个数的乘积最值 把 14 拆成 3 个 自然数之和，使它们的乘积最大。 【解析】 误区： 直接套用“多拆3”， 余 2，得到 （这是5个数，不符合题意）。 正确思路： 限定3个数，且和为14。根据均值不等式，三数越接近，乘积越大。 。 尝试调整，尽量使用 3 和 2： → → → → 最优： ？不行， 还可以拆成 ， ，数值不变但个数增加。 关键： 既然限定3个数，我们直接找最接近的组合。 （不好）， （不好）。 修正策略： 为了让乘积大，应避免大数。尝试 （90），不如 （100）。 最终确认： （72）， （84）， （64）。 最佳： 或 ？计算发现 最大。 注：原讲义中提到的 3+3+8 似乎有误，应为 4+5+5 或 2+6+6 等比较，实际 5+5+4 最大。 拓展 例3：大数拆分实战 应用核心定理拆分 2023、2024、2031。 1. 拆分 2023 （余1） 策略： 余1，需少拆一个3，将 拆为 。 结果： 个 3 和 个 2。 表达式： 最大乘积： 2. 拆分 2024 （余2） 策略： 余2，直接保留一个2，其余全拆3。 结果： 个 3 和 个 2。 表达式： 最大乘积： 3. 拆分 2031 （整除） 策略： 余0，全拆为3。 结果： 个 3。 表达式： 最大乘积： 📝 四、基础练习 1. 两个十位数相乘，积中有多少个数字是奇数？（考察数论性质） 2. 简便计算题。 3. 周长为 18、边长为整数的长方形，长和宽各是多少时面积最大？ 4. 把 6 米长篱笆靠围墙角围长方形鸡圈，长、宽为多少时面积最大？ 📝五、拓展练习 1. 把 17 拆成若干个自然数之和，使乘积最大。 2. 把 18 拆成若干个自然数之和，使乘积最大。 3. 把 10 拆成两个自然数之和，有多少种分法？乘积最大是多少？ 📝 六、基础练习参考答案 1. 两个十位数相乘，积中有多少个数字是奇数？ 解： = = = 所以，两个十位数的乘积中有10个数字是奇数。 2. 1 3. 周长为 18、边长为整数的长方形，长和宽各是多少时面积最大？ 提示：半周长 9，拆成 4+5，面积 20 最大。 4. 把 6 米长篱笆靠围墙角围长方形鸡圈，长、宽为多少时面积最大？ 提示：靠墙，长+宽=6，拆成 3+3，正方形面积最大。 📝 七、拓展练习参考答案 1. 把 17 拆成若干个自然数之和，使乘积最大。 答案：17= + 2，最大乘积 35 2 = 486 2. 把 18 拆成若干个自然数之和，使乘积最大。 答案：18=3 6，最大乘积 36 = 729 3. 把 10 拆成两个自然数之和，有多少种分法？乘积最大是多少？ 答案：5 种（1+9 到 5+5）；最大乘积 25。 学科网（北京）股份有限公司 $