精品解析：江苏南京市励志高级中学2025-2026学年高一年级第二学期第二次调研考数学试卷

励志高级中学2025--2026年度高一年级第二学期第二次调研考 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人 苏太盛 审题人 赵静波 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 在中，，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 7. 等边的边长为6，若，，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 8. 已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为纯虚数，则 D. 若在复平面内对应的点位于第一象限，则 10. 在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 11. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最小值为1 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则__________. 13. 已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 14. 在中，角所对的边分别为.已知的面积为，则__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角. 16. 已知锐角满足， （1）求的值. （2）求的大小. 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若，求边和三角形的面积. 18. 已知的三个内角所对的边分别为. （1）求角的大小. （2）若的面积为，求a的值. （3）若，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 19. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 励志高级中学2025--2026年度高一年级第二学期第二次调研考 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人 苏太盛 审题人 赵静波 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，即.解得.所以， 则. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，所以. 4. 任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解. 【详解】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. 5. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且，所以. 因为，由正弦定理得， 因为 ，所以. 因为，所以，所以. 故为等边三角形． 6. 在中，，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 则．设边上的高为，由等面积法可得， 则． 7. 等边的边长为6，若，，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图： 由题意，，，所以. 又，， 所以. 8. 已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，再根据周期求函数的解析式，根据平移和伸缩变换求的解析式，最后根据选项，利用代入法求函数的一个单调递增区间. 【详解】 最小正周期，得， 即，图象向下平移2个单位长度后得到函数，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数， A.当，，此区间先减后增，故A错误； B. 当，，是正弦函数减区间的子集，故B错误； C. 当，，是正弦函数增区间的子集，故C正确； D.当，，此区间先增后减，故D错误； 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为纯虚数，则 D. 若在复平面内对应的点位于第一象限，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】由， 若，则，则，故A正确 若，则，解得，故B正确. 若为纯虚数，即且，则，故C错误； 若在复平面内对应的点位于第一象限，则，得，即，故D正确； 10. 在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】应用余弦定理计算判断A，D，应用面积公式计算判断B，应用正弦定理求解判断C. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式，故B正确； 对于C，根据正弦定理，可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确. 11. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最小值为1 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知. 对A：若，则，得错误. 对B：若，则，得，又，所以，B正确. 对C：，最小值为1，C正确 对D：在上的投影向量为，得，D正确. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则__________. 【答案】-3 【解析】 【详解】由， 则. 13. 已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角范围得出数量积大于0，且向量不共线列式求解参数即可. 【详解】因为向量，且与的夹角为锐角， 所以，且与不共线； 所以，解得且， 所以实数的取值范围是. 14. 在中，角所对的边分别为.已知的面积为，则__________. 【答案】5 【解析】 【详解】， ，解得， ， 可得. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）先设向量坐标，再根据模长及共线列式计算求解参数即可； （2）应用向量垂直的数量积为0结合向量夹角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 设，由，且， 得， 所以或， 故或； 【小问2详解】 因为，且， 所以，即. 所以， 即. 因为夹角，所以与的夹角. 16. 已知锐角满足， （1）求的值. （2）求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角关系可得，再结合倍角公式运算求解； （2）先根据同角三角关系求，再利用两角和差公式可求，即可得结果. 【小问1详解】 因为， 则 所以； 【小问2详解】 因为，则， 则， 且，所以. 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若，求边和三角形的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， ， 化简得，又，故； 【小问2详解】 由（1）知， 由正弦定理得. 因为， 所以. 18. 已知的三个内角所对的边分别为. （1）求角的大小. （2）若的面积为，求a的值. （3）若，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理边化角，再根据对上式进行化简，最后求出的值. （2）根据三角形面积公式可求出的值，再结合余弦定理以及的值求解出的值. （3）先根据求解出的值，再利用面积法求解出角平分线的长度. 【小问1详解】 . 在中，， ，可得， ，又，可得. 【小问2详解】 由，解得， 由余弦定理得，故. 【小问3详解】 由， 设的长为，由， 解得，即. 19. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积运算结合三角恒等变换化简表达式，结合周期公式求解； （2）根据正弦函数的单调性求解； （3）先求出，然后用正弦定理得出，利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由已知 又的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 可得，可得，解得， 所以； 【小问2详解】 令 解得 即函数的单调递减区间为； 【小问3详解】 因为， 所以， 又，则，解得. 由余弦定理可得， 因为，所以，即，当且仅当时成立，此时为等边三角形符合题意， . 面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $