第六章 平面向量重难点（共线定理和等和线、奔驰定理、向量积的求法）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义以“题型为纲、知识为基”构建平面向量复习体系，通过知识提炼框架图系统梳理共线向量定理与等和线、奔驰定理、数量积问题三大核心题型，用分类说明呈现等和线中λ+μ与点位置关系，用对比表格归纳三角形四心的向量表达式，清晰展现重难点分布及内在逻辑。 讲义亮点在于“题型-方法-应用”三阶练习设计，如奔驰定理专题结合外心面积比问题，引导学生用向量语言表达几何关系，培养推理能力；数量积问题提炼定义法、极化恒等式等六种方法，例题从基础正三角形数量积到综合圆内接正方形动态取值，满足不同层次学生需求。知识提炼标注易错点，支持学生自主复习，教师可依此实施分层教学，提升复习效率。

第六章 平面向量重难点 目录 题型1：共线向量定理与等和线 2 题型2：奔驰定理 9 题型3：数量积问题 13 题型1：共线向量定理与等和线 知识提炼 (1) 与共线的充要条件：存在唯一一个实数，使. (2) 三点共线共线. (3) 向量中，三个终点共线存在实数，使得，且. ①当时，则点在点处； ②当时，则点在点处； ③当时，则点在线段上且靠近点； ④当时，则点在线段上且靠近点； ⑤当且时，则点在线段的延长线上； ⑥当且时，则点在线段的延长线上； (4) 等和线 平面内一组基底及任一向量满足：，若点在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. ①当时，即，所以等和线为过点的直线； ②当时，，即，即，所以等和线恰为直线； ③当时，等和线在点与直线之间； ④当时，直线在点与等和线之间; ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数. 【例1.1.】 在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【详解】连接，如图所示， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为三点共线， 所以，所以． 【例1.2.】 已知是不共线的向量，且，则（） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】利用向量加法求出，再观察与的线性关系，得出，两向量成倍数关系即共线，又有公共点，即可判定三点共线，其余选项向量无倍数关系，不满足三点共线条件. 【详解】. 选项A：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项B：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项C：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项D：计算， ，存在，故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 【例1.3.】 在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】将往上思考，再根据与的关系和三点共线的性质求出m，n最后得出答案. 【详解】由题知，，， 设, 因为三点共线，所以，解得，则， 故. 【例1.4.】 如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用取特殊位置上的点来分析对应的变量，通过能取到的特殊值，来排除各选项，最后作出正确判断. 【详解】    当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故AC错误； 当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故D错误； 故选：B. 【例1.5.】 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    【答案】[1，] 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量与几何最值 【详解】 如图，（λ＋μ）min＝1，（λ＋μ）max＝.    【例1.6.】 如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的最值即可. 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 【例1.7.】 如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】根据平面向量共线定理可设，知；根据分别为的中点，可得到，由此求得；根据，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】四点共线，可设，其中，， 分别是的中点，，， ， ，，， 是线段上两个动点，，， ， 当且仅当，结合，，即时取等号， 的最小值为. 【例1.8.】 在平行四边形中，，．若//，则x= （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【详解】由，得. 设， 因为， 而 所以，解得. 【例1.9.】 在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【详解】因为是上一点，所以与共线，所以根据向量共线定理，存在实数，使得， 因为，所以． 又因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，即． 将代入并化简， 因为，所以， 由，解得． 将代入，可得． 题型2：奔驰定理 知识提炼 (1) 奔驰定理 如图，为内一点，则. 推论：若为内一点，且存在正实数，满足，则=。 (2) 三角形的四心 ①为的重心=. ②为的内心=. ③为的外心 =. ④为的垂心 =. 【例2.1.】 已知的外心为，，则________． 【答案】 【难度】0.39 【知识点】二倍角的余弦公式、数量积的运算律、向量在几何中的其他应用 【分析】设，根据数量积的运算律将平方可得，判断为锐角三角形，结合二倍角公式即可求得答案． 【详解】因为为的外心，又由， 平方可得：， 不妨设， 则， 故为锐角， 由于，或， 又由， 可得点在的内部，即为锐角三角形，    故，C为锐角， 即，故. 【例2.2.】 设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示、平面向量基本定理的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】根据奔驰定理可得，等式两边同时平方，结合题意和外心的定义可得，利用基本不等式计算即可求解. 【详解】根据奔驰定理得，，即， 平方得， 又因为点P是的外心，所以，且， 所以， ，解得， 当且仅当时取等号.所以. 故答案为：. 【例2.3.】 已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足＋x＋y＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记＝λ1，＝λ2，＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x＋y的值为_______. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量与几何最值、基本不等式求积的最大值 【分析】根据题意可得λ1＝，则λ2＋λ3＝，利用基本不等式计算可知当P为EF的中点时λ2λ3取最大值时，延长AP交BC于M，则，结合题意的条件即可求出x、y. 【详解】由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1. 因为P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EFBC， 所以λ1＝，所以λ2＋λ3＝， 所以λ2λ3≤，当且仅当λ2＝λ3＝时，等号成立， 所以λ2λ3取最大值时，P为EF的中点. 延长AP交BC于M，则M为BC的中点， 所以PA＝PM，所以， 又因为，所以x＝y＝，所以3x＋y＝2. 故答案为：2. 【例2.4.】 “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】三角形的心的向量表示、向量在几何中的其他应用 【分析】延长交于点，延长交于点，延长交于点，根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，又， 则，，所以， 设，，则,即，， 所以，即，则， 所以， 则. 题型3：数量积问题 方法提炼 数量积的常见求解方法： (1) 定义法：=； (2) 平方法：； (3) 坐标法：若，，则； (4) 基底法：若，（为基底向量），则； (5) 投影法：=或=； (6) 极化恒等式 ① ②在△中，设为的中点，则. 【例3.1.】 已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【详解】根据，得， 所以， 所以. 【例3.2.】 已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用平面向量共线基本定理，结合图形求得，再由平面向量数量积的定义与运算律计算即得. 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 【例3.3.】 如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、向量与几何最值 【详解】以为原点建立如图所示坐标系， 则，设，则， 则， 由题意知，圆的半径为． 因为点在弧（包括端点）上，所以， 所以的取值范围是． 【例3.4.】 已知正六边形的边长为在梯形的边上及其内部运动，则的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.5 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】取中点，借助向量运算法则可得，再计算的范围即可得解. 【详解】取中点，中点， ， 由在梯形的边上及其内部运动， 易得， ， 即，故. 【例3.5.】 在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示： ，则 ， 设 ，其中 ， 则 ， ， 当时，取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为，则 ， 当为中点时，取得最小值为 . 【例3.6.】 已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】利用线性关系表示出和，代入原式并转化为关于的函数式，求二次函数取值范围即可 【详解】如图所示，由题知是的外心，取中点，连接， 可得，故. 因为， 所以， 由是的中线，可得，且， 故. 已知，可得：， 由，，可得， 将代入目标式： ， 设，则，为开口向上的二次函数，对称轴为，， 当时，取最小值（此时，三角形存在，最小值可取）； 当时，，但，故.因此的取值范围是. 【例3.7.】 已知P，Q分别是的外心和重心，且，，则______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】数量积的运算律、向量在几何中的其他应用 【详解】已知，因此. 已知 是的重心，满足，且，代入得： . 取中点，是外心，故，即，且， 是中点，故，代入得 . 因此 . 【例3.8.】 在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______． 【答案】1 【难度】0.75 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【详解】如图所示,在边长为2的菱形中，，E为中点， 所以 ， ， ， ， . 【例3.9.】 已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量与几何最值、由向量线性运算解决最值和范围问题 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. ∵ 是圆的直径，且为边长为的等边三角形， ∴ ， 设圆上动点，， ∴ ，， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即的取值范围为. 【例3.10.】 已知平面向量均为单位向量，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】利用和向量数量积的运算律可求得，并将所求式子化为，由可求得结果. 【详解】， ， ， ， ， 即的最大值为. 故选：B. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量重难点 目录 题型1：共线向量定理与等和线 2 题型2：奔驰定理 4 题型3：数量积问题 6 题型1：共线向量定理与等和线 知识提炼 (1) 与共线的充要条件：存在唯一一个实数，使. (2) 三点共线共线. (3) 向量中，三个终点共线存在实数，使得，且. ①当时，则点在点处； ②当时，则点在点处； ③当时，则点在线段上且靠近点； ④当时，则点在线段上且靠近点； ⑤当且时，则点在线段的延长线上； ⑥当且时，则点在线段的延长线上； (4) 等和线 平面内一组基底及任一向量满足：，若点在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. ①当时，即，所以等和线为过点的直线； ②当时，，即，即，所以等和线恰为直线； ③当时，等和线在点与直线之间； ④当时，直线在点与等和线之间; ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数. 【例1.1.】 在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 【例1.2.】 已知是不共线的向量，且，则（） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【例1.3.】 在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 【例1.4.】 如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【例1.5.】 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    【例1.6.】 如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【例1.7.】 如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【例1.8.】 在平行四边形中，，．若//，则x= （　　） A． B． C． D． 【例1.9.】 在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 题型2：奔驰定理 知识提炼 (1) 奔驰定理 如图，为内一点，则. 推论：若为内一点，且存在正实数，满足，则=。 (2) 三角形的四心 ①为的重心=. ②为的内心=. ③为的外心 =. ④为的垂心 =. 【例2.1.】 已知的外心为，，则________． 【例2.2.】 设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________. 【例2.3.】 已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足＋x＋y＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记＝λ1，＝λ2，＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x＋y的值为_______. 【例2.4.】 “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 题型3：数量积问题 方法提炼 数量积的常见求解方法： (1) 定义法：=； (2) 平方法：； (3) 坐标法：若，，则； (4) 基底法：若，（为基底向量），则； (5) 投影法：=或=； (6) 极化恒等式 ① ②在△中，设为的中点，则. 【例3.1.】 已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 【例3.4.】 已知正六边形的边长为在梯形的边上及其内部运动，则的取值范围为__________. 【例3.5.】 在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 【例3.6.】 已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________. 【例3.7.】 已知P，Q分别是的外心和重心，且，，则______． 【例3.8.】 在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______． 【例3.9.】 已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.10.】 已知平面向量均为单位向量，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $