培优01平面向量的概念及线性运算8大重难题型（含共线向量定理）（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题01 平面向量的概念及线性运算（含共线向量定理）（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平面向量的有关概念 题型02平面向量的模 题型03平面向量的加减法运算 题型04平面向量的数乘运算 题型05向量模的最值或取值范围 题型06利用向量共线证明三点共线 题型07利用向量共线证明三点共线 题型08共线向量基本定理的推论及应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 向量的基本概念 能说出向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量的定义；能判断两个向量是否平行或相等。 常以选择题考查概念辨析，易错点为零向量的方向（方向任意且与任何向量平行）及平行向量与直线平行的区别。 向量的线性运算 能画出向量加、减法的几何图形；能运用坐标公式进行加、减、数乘运算，并计算向量的模。 高频考查坐标运算，易错点为减法法则（）和数乘符号，命题常与三角形、平行四边形结合。 向量共线定理及其应用 能应用共线定理（ 或 ）解决向量共线判断、求参数值、证明三点共线等问题。 多为求参数的选择题或填空题，易错点是忽略 的条件；常与坐标运算或几何中的分点结合命题。 知识点01 平面向量的基本概念 1.向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，仅能判断是否相等或共线． 2.向量的表示：常用有向线段表示，可记为（起点为A，终点为B），也可记为小写字母、等． 3.向量的大小（模）：有向线段的长度，记为或，是非负实数，可比较大小． 4.特殊向量：零向量（模为0，方向任意，记为，与任意向量共线）；单位向量（模为1的向量，任意非零向量的单位向量为）． 5.相等向量：模相等且方向相同的两个向量，记为，与起点无关． 6.相反向量：模相等且方向相反的两个向量，的相反向量记为，的相反向量为，满足． 7.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量共线；共线向量不一定相等，相等向量一定共线． 易错点：向量概念辨析不清，抓住“方向”和“模”两个核心，区分零向量、单位向量、相等向量、共线向量的关键特征，避免忽略零向量的特殊性（如零向量与任意向量共线，零向量的方向任意，不能与非零向量讨论方向相同/相反）。 知识点02 平面向量的运算 1. 向量的加法 定义：求两个向量和的运算，满足三角形法则、平行四边形法则，运算结果仍为向量。 运算性质：交换律；结合律；；。 2. 向量的减法 定义：求两个向量差的运算，是加法的逆运算，满足三角形法则（指向被减向量终点）。 运算性质：；；。 3. 向量的数乘 定义：实数与向量的积，记为，运算结果仍为向量。 运算性质：模；方向：时，与同向；时，与反向；时，。 运算法则：；；。 知识点03共线向量定理 向量（）与向量共线的充要条件是：存在唯一实数，使得。 推论：取任意一点 （不在直线  上），则点  在直线  上的充要条件是存在实数  满足  且 。特别地，当  在线段  上时，。 题型一 平面向量的有关概念 解｜题｜技｜巧 向量概念技巧：抓住“方向”和“模”两个核心，区分零向量、单位向量、相等向量、共线向量的关键特征，避免忽略零向量的特殊性（如零向量与任意向量共线，零向量的方向任意，不能与非零向量讨论方向相同/相反）。 易｜错｜点｜拨 零向量的深层理解：零向量是唯一方向任意的向量，也是唯一模为0的向量，在共线问题、线性运算中容易出错，需注意：若且，不能推出（当时不成立）。 【典例1】（25-26高一下·江西南昌·月考）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26高一下·吉林长春·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度是0 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 【变式2】（25-26高一下·江西赣州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 题型二 平面向量的模 解｜题｜技｜巧 从题干中获取各向量所对应的有向线段之间的数量关系，以及几何关系，常见需用到勾股定理求未知向量的模长。 【典例1】（25-26高二下·江西抚州·期中）已知，若，则________. 题型三 平面向量的加减法运算 解｜题｜技｜巧 加法优先用“首尾相接”（三角形法则），平行四边形法则仅适用于不共线向量；减法牢记“指向被减向量”，可转化为加法（加相反向量）简化运算。 【典例1】（2026·宁夏银川·二模）下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【典例2】（2026·宁夏银川·二模）如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 题型四 平面向量的数乘运算 解｜题｜技｜巧 数乘运算即实数  与向量  的乘法，结果仍是一个向量，记为 。解题时，首先要明确数乘的几何意义：向量的长度变为原来的  倍，方向当  时与原向量相同， 时与原向量相反。特别地， 时结果为零向量 。在具体计算中，数乘常与向量的加减法结合使用，例如化简形如  这样的式子，需要按照分配律将系数合并：先分别乘开，得 ，再对同类向量合并系数：。注意，数乘满足结合律  和分配律 、，可以像整式运算一样处理系数，但不可将不同方向的向量合并。此外，数乘也是判断两个向量是否共线的核心工具：若向量  与非零向量  共线，则存在唯一实数  使得 。利用这一结论，可以求解参数或证明三点共线。在几何图形中，数乘常出现在分点问题里，例如点  在线段  上且 ，则 ，或 （定比分点公式）。总之，处理数乘运算时，牢记其几何直观（伸缩与反向），并熟练运用运算律合并系数，就能解决大多数基础题。 【典例1】（2026·广东湛江·一模）已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ） ①，时，与的方向一定相反； ②，时，与的方向一定相同； ③，时，与的方向一定相同； ④，时，与的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）下列各式计算正确的有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25高一下·江西南昌·月考）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）若，其中，，为已知向量，则未知向量___________． 题型五 向量模的最值或取值范围 解｜题｜技｜巧 求解形如  或  的最值问题时，优先利用三角形不等式：对于任意两个向量  与 ，恒有 。左端等号成立当  与  方向相同（取加号时）或相反（取减号时）；右端等号成立当  与  同向（取加号）或反向（取减号）。这一不等式可直接快速锁定模的范围，无需具体坐标或夹角。几何法同样有效：将向量加法视为平行四边形对角线，模的最值对应对角线长度的变化，可通过分析两向量夹角从  到  变化时的极值情形得到。需特别注意零向量的存在可能使最值区间端点取等，以及模非负的隐含条件。 【典例1】（2026·河南鹤壁·二模）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【典例2】（2026·云南大理·模拟预测）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2026·黑龙江·二模）已知向量，满足，，则的最大值为________，最小值为______ 题型六 利用向量共线证明三点共线 解｜题｜技｜巧 证明三点  共线的本质是证明  与 （或 ）共线。常见手法包括：取线段的中点或分点，利用已知条件（如平行四边形、三角形中位线）建立向量等式。例如，在三角形  中，若点  是  的中点，点  是  的中点，则 ，可直接说明  不共线（注意此处需区分）。更典型的题型是：已知 ，， 且 ，则  三点共线。证明时只需计算 ，，代入  得 ，即证。注意：必须确保作为基底的向量非零，且  需为实数。该方法完全通过线性运算完成，是向量法证明三点共线的通用技巧。 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是忽略零向量，若  则  与  重合，此时虽可视为共线但需单独说明；二是误用起点，证明  共线时必须保证两个向量有公共点（如  和 ），而非  和 （后者也成立但需转换）；三是在设  后，忘记说明  为实数且唯一。此外，由  且  推出三点共线时，需确保  与  不共线（否则结论不成立）。最后，书写步骤时务必写出“因为 ，所以  三点共线”，不可跳跃。 【典例1】（25-26高三上·天津红桥·期中）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【典例2】（25-26高三上·南昌·期中）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河北·一模）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 题型七 利用共线向量基本定理求参数 解｜题｜技｜巧 共线向量基本定理指出：若 ，则  与  共线的充要条件是存在唯一实数  使得 。求参数时，通常先根据几何条件（如三点共线、两线段平行等）写出向量共线关系，再转化为含参数的等式。例如，已知  三点共线，且 ，，则可设 ，代入得 。若  与  不共线，则根据平面向量基本定理，等式两边对应系数相等，列出方程组： 解方程组即可求出  与 。若  与  共线，则需另作讨论。此外，当题目给出线段分点比例（如 ）时，可直接利用定比分点公式的向量形式 ，将该式与已知条件对比即可求出参数。 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是忽略  的条件，直接设  会导致零向量情形漏解； 二是当  与  共线时，不能使用系数相等法，否则会得到错误或无穷多解； 三是在设比例系数时，忘记说明  的存在性与唯一性。另外，由三点共线列方程时，必须确保两个向量有公共起点（如  与 ），否则需先转化。最后，解出的参数值应代回原题验证是否满足几何条件（如分点在线段上还是在延长线上）。 【典例1】（2026·河南许昌·开学检测）如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数的值为（    ） A．-4 B． C． D．4 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知平面四边形中，，，，，，则（    ） A．或 B． C． D． 题型八 共线向量基本定理的推论及应用 解｜题｜技｜巧 共线向量基本定理的核心推论是：若  与  不共线，且 ，则  与  共线的充要条件是 ； 与  共线的充要条件是 。更重要的推论是三点共线的向量表示：对于任意点 ，三点  共线的充要条件是存在实数  使得 ，且 （其中  唯一）。应用时，若已知向量等式  且 ，可直接得出  共线。反之，若已知三点共线，可将任意一点表示为另两点向量的线性组合且系数和为1。这一推论常用于求点在线段上的位置或证明三点共线。例如，已知 ，则  在  上且 。另外，若已知  共线，且 ，则必有 ，可据此联系基本不等式中“1”的代换。 易｜错｜点｜拨 易错点有二：一是混淆系数和为1的适用对象——必须是对应同一个起点  的向量 ； 二是漏掉系数和为1的隐含条件，导致参数求解错误。此外，应用时注意比例关系：若 ，则 ，切忌颠倒。 【典例1】（25-26高三上·山东德州·开学考试）如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 【典例2】（2026·浙江·高三月考）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式1】（2026·江西·一模）（多选）在中，D为AB上一点满足，若P为线段CD上一点，且，（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （2025•开封期末）下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2. （2025秋•昌平区期末）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则（　　） A． B． C． D． 3. （2025•保定期末）化简（　　） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1. （2025•浙江杭州期末）在矩形中，，设，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2. （2025•抚州期末）若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 3. （2026·浙江·高三月考）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 4. （2026高三·全国·专题练习）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若P点坐标为，则（ ） A．k B． C．5 D．10 5. （25-26高三上·山东德州·开学考试）已知点是平行四边形内的一点，且满足，设三角形和平行四边形的面积分别是和，则（    ） A． B． C． D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的概念及线性运算（含共线向量定理）（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平面向量的有关概念 题型02平面向量的模 题型03平面向量的加减法运算 题型04平面向量的数乘运算 题型05向量模的最值或取值范围 题型06利用向量共线证明三点共线 题型07利用向量共线证明三点共线 题型08共线向量基本定理的推论及应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 向量的基本概念 能说出向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量的定义；能判断两个向量是否平行或相等。 常以选择题考查概念辨析，易错点为零向量的方向（方向任意且与任何向量平行）及平行向量与直线平行的区别。 向量的线性运算 能画出向量加、减法的几何图形；能运用坐标公式进行加、减、数乘运算，并计算向量的模。 高频考查坐标运算，易错点为减法法则（）和数乘符号，命题常与三角形、平行四边形结合。 向量共线定理及其应用 能应用共线定理（ 或 ）解决向量共线判断、求参数值、证明三点共线等问题。 多为求参数的选择题或填空题，易错点是忽略 的条件；常与坐标运算或几何中的分点结合命题。 知识点01 平面向量的基本概念 1.向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，仅能判断是否相等或共线． 2.向量的表示：常用有向线段表示，可记为（起点为A，终点为B），也可记为小写字母、等． 3.向量的大小（模）：有向线段的长度，记为或，是非负实数，可比较大小． 4.特殊向量：零向量（模为0，方向任意，记为，与任意向量共线）；单位向量（模为1的向量，任意非零向量的单位向量为）． 5.相等向量：模相等且方向相同的两个向量，记为，与起点无关． 6.相反向量：模相等且方向相反的两个向量，的相反向量记为，的相反向量为，满足． 7.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量共线；共线向量不一定相等，相等向量一定共线． 易错点：向量概念辨析不清，抓住“方向”和“模”两个核心，区分零向量、单位向量、相等向量、共线向量的关键特征，避免忽略零向量的特殊性（如零向量与任意向量共线，零向量的方向任意，不能与非零向量讨论方向相同/相反）。 知识点02 平面向量的运算 1. 向量的加法 定义：求两个向量和的运算，满足三角形法则、平行四边形法则，运算结果仍为向量。 运算性质：交换律；结合律；；。 2. 向量的减法 定义：求两个向量差的运算，是加法的逆运算，满足三角形法则（指向被减向量终点）。 运算性质：；；。 3. 向量的数乘 定义：实数与向量的积，记为，运算结果仍为向量。 运算性质：模；方向：时，与同向；时，与反向；时，。 运算法则：；；。 知识点03共线向量定理 向量（）与向量共线的充要条件是：存在唯一实数，使得。 推论：取任意一点 （不在直线  上），则点  在直线  上的充要条件是存在实数  满足  且 。特别地，当  在线段  上时，。 题型一 平面向量的有关概念 解｜题｜技｜巧 向量概念技巧：抓住“方向”和“模”两个核心，区分零向量、单位向量、相等向量、共线向量的关键特征，避免忽略零向量的特殊性（如零向量与任意向量共线，零向量的方向任意，不能与非零向量讨论方向相同/相反）。 易｜错｜点｜拨 零向量的深层理解：零向量是唯一方向任意的向量，也是唯一模为0的向量，在共线问题、线性运算中容易出错，需注意：若且，不能推出（当时不成立）。 【典例1】（25-26高一下·江西南昌·月考）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】对于①，若，则，故①错误； 对于②，若，由于方向不确定是相同或相反，则或是不一定正确的，故②错误； 对于③，若，且，因为零向量的方向是任意的，则的方向不一定相同或相反；只有当时，若，则的方向相同或相反；故③错误； 对于④，若，，由于当，就不能保证，只有当时，才一定有，故④错误； 故选：D. 【变式1】（25-26高一下·吉林长春·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度是0 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 【答案】C 【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定， 故未必成立，所以A错误； B：长度相等的向量方向不一定相同，故B错误； C：根据零向量的定义可判断C正确； D：共线向量不一定在同一条直线上，也可在相互平行的直线上，故D错误. 故选：C. 【变式2】（25-26高一下·江西赣州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 【答案】A 【详解】对于A，相等向量必是共线向量，A正确； 对于B，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，B错误； 对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，C错误； 对于D，共线向量的方向可以相反，D错误. 故选：A 题型二 平面向量的模 解｜题｜技｜巧 从题干中获取各向量所对应的有向线段之间的数量关系，以及几何关系，常见需用到勾股定理求未知向量的模长。 【典例1】（25-26高二下·江西抚州·期中）已知，若，则________. 【答案】 【详解】由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一下·浙江金华·期中）若为单位向量，，则可用表示__________. 【答案】 【详解】∵为单位向量,∴,又∵,∴, 故答案为: . 题型三 平面向量的加减法运算 解｜题｜技｜巧 加法优先用“首尾相接”（三角形法则），平行四边形法则仅适用于不共线向量；减法牢记“指向被减向量”，可转化为加法（加相反向量）简化运算。 【典例1】（2026·宁夏银川·二模）下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【详解】依题意，，①正确； 假定，则，即，因此， 无法确保，假设是错的，②错误； 是为一组邻边的平行四边形的以点为起点的对角线所对应的向量，不等于，③错误； ，④正确. 故选：A 【典例2】（2026·宁夏银川·二模）如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，分别是的边，，的中点，所以∥，，即∥，且. 所以四边形是平行四边形 由向量加法的三角形法则可得，，； 由向量加法的平行四边形法则可得，，. 所以A，B，C正确；D错误. 故选：D． 【变式1】（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 题型四 平面向量的数乘运算 解｜题｜技｜巧 数乘运算即实数  与向量  的乘法，结果仍是一个向量，记为 。解题时，首先要明确数乘的几何意义：向量的长度变为原来的  倍，方向当  时与原向量相同， 时与原向量相反。特别地， 时结果为零向量 。在具体计算中，数乘常与向量的加减法结合使用，例如化简形如  这样的式子，需要按照分配律将系数合并：先分别乘开，得 ，再对同类向量合并系数：。注意，数乘满足结合律  和分配律 、，可以像整式运算一样处理系数，但不可将不同方向的向量合并。此外，数乘也是判断两个向量是否共线的核心工具：若向量  与非零向量  共线，则存在唯一实数  使得 。利用这一结论，可以求解参数或证明三点共线。在几何图形中，数乘常出现在分点问题里，例如点  在线段  上且 ，则 ，或 （定比分点公式）。总之，处理数乘运算时，牢记其几何直观（伸缩与反向），并熟练运用运算律合并系数，就能解决大多数基础题。 【典例1】（2026·广东湛江·一模）已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ） ①，时，与的方向一定相反； ②，时，与的方向一定相同； ③，时，与的方向一定相同； ④，时，与的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】由与向量的积的方向规定，易知①②正确， 对于命题③④，当时，，同正或同负，与或者都与同向，或者都与反向．与同向， 当时．则与异号，与中，一个与同向，一个与反向，与反向，故③④也正确．故选：D 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）下列各式计算正确的有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·江西南昌·月考）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 故选：D 【变式2】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）若，其中，，为已知向量，则未知向量___________． 【答案】 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】， ， ， ． 故答案为： 题型五 向量模的最值或取值范围 解｜题｜技｜巧 求解形如  或  的最值问题时，优先利用三角形不等式：对于任意两个向量  与 ，恒有 。左端等号成立当  与  方向相同（取加号时）或相反（取减号时）；右端等号成立当  与  同向（取加号）或反向（取减号）。这一不等式可直接快速锁定模的范围，无需具体坐标或夹角。几何法同样有效：将向量加法视为平行四边形对角线，模的最值对应对角线长度的变化，可通过分析两向量夹角从  到  变化时的极值情形得到。需特别注意零向量的存在可能使最值区间端点取等，以及模非负的隐含条件。 【典例1】（2026·河南鹤壁·二模）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】如图，设，，则，. 过作，垂足为， 则， 即的最小值是2. 故选：A. 【典例2】（2026·云南大理·模拟预测）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 【变式1】（2026·黑龙江·二模）已知向量，满足，，则的最大值为________，最小值为______ 【答案】 / / 【详解】易知， 所以有. 所以，， 当且仅当同向时，等号成立， 此时取最大值3，取最大值为； 所以，， 当且仅当反向时，等号成立， 此时取最小值1，取最小值为. 故答案为：；. 题型六 利用向量共线证明三点共线 解｜题｜技｜巧 证明三点  共线的本质是证明  与 （或 ）共线。常见手法包括：取线段的中点或分点，利用已知条件（如平行四边形、三角形中位线）建立向量等式。例如，在三角形  中，若点  是  的中点，点  是  的中点，则 ，可直接说明  不共线（注意此处需区分）。更典型的题型是：已知 ，， 且 ，则  三点共线。证明时只需计算 ，，代入  得 ，即证。注意：必须确保作为基底的向量非零，且  需为实数。该方法完全通过线性运算完成，是向量法证明三点共线的通用技巧。 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是忽略零向量，若  则  与  重合，此时虽可视为共线但需单独说明；二是误用起点，证明  共线时必须保证两个向量有公共点（如  和 ），而非  和 （后者也成立但需转换）；三是在设  后，忘记说明  为实数且唯一。此外，由  且  推出三点共线时，需确保  与  不共线（否则结论不成立）。最后，书写步骤时务必写出“因为 ，所以  三点共线”，不可跳跃。 【典例1】（25-26高三上·天津红桥·期中）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】因为，，， 选项A，，， 若，，三点共线，则，即， 解得，故该选项正确； 选项B，，， 若，，三点共线，则， 即，解得不存在，故该选项错误； 选项C，，，若，，三点共线， 则，即，解得不存在，故该选项错误； 选项D，， ，若，，三点共线，则， 即，解得不存在，故该选项错误； 故选：A. 【典例2】（25-26高三上·南昌·期中）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 【变式1】（2026·河北·一模）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【详解】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误. 故选：B 题型七 利用共线向量基本定理求参数 解｜题｜技｜巧 共线向量基本定理指出：若 ，则  与  共线的充要条件是存在唯一实数  使得 。求参数时，通常先根据几何条件（如三点共线、两线段平行等）写出向量共线关系，再转化为含参数的等式。例如，已知  三点共线，且 ，，则可设 ，代入得 。若  与  不共线，则根据平面向量基本定理，等式两边对应系数相等，列出方程组： 解方程组即可求出  与 。若  与  共线，则需另作讨论。此外，当题目给出线段分点比例（如 ）时，可直接利用定比分点公式的向量形式 ，将该式与已知条件对比即可求出参数。 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是忽略  的条件，直接设  会导致零向量情形漏解； 二是当  与  共线时，不能使用系数相等法，否则会得到错误或无穷多解； 三是在设比例系数时，忘记说明  的存在性与唯一性。另外，由三点共线列方程时，必须确保两个向量有公共起点（如  与 ），否则需先转化。最后，解出的参数值应代回原题验证是否满足几何条件（如分点在线段上还是在延长线上）。 【典例1】（2026·河南许昌·开学检测）如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为三点共线，且， 所以， 过作的平行线，分别交于， 则， 又，的平分线交于点， 所以，为正三角形， 所以， 故选：A. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知向量，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数的值为（    ） A．-4 B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：设，所以，所以 故选：C 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知平面四边形中，，，，，，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以，即，所以是直角梯形，如图，作于，则是矩形， ，，则，，所以， 即，又， 所以，． 故选：D． 题型八 共线向量基本定理的推论及应用 解｜题｜技｜巧 共线向量基本定理的核心推论是：若  与  不共线，且 ，则  与  共线的充要条件是 ； 与  共线的充要条件是 。更重要的推论是三点共线的向量表示：对于任意点 ，三点  共线的充要条件是存在实数  使得 ，且 （其中  唯一）。应用时，若已知向量等式  且 ，可直接得出  共线。反之，若已知三点共线，可将任意一点表示为另两点向量的线性组合且系数和为1。这一推论常用于求点在线段上的位置或证明三点共线。例如，已知 ，则  在  上且 。另外，若已知  共线，且 ，则必有 ，可据此联系基本不等式中“1”的代换。 易｜错｜点｜拨 易错点有二：一是混淆系数和为1的适用对象——必须是对应同一个起点  的向量 ； 二是漏掉系数和为1的隐含条件，导致参数求解错误。此外，应用时注意比例关系：若 ，则 ，切忌颠倒。 【典例1】（25-26高三上·山东德州·开学考试）如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 【答案】C 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32. 故选：C 【典例2】（2026·浙江·高三月考）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题可知，， 因为，，所以，， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：A    【变式1】（2026·江西·一模）（多选）在中，D为AB上一点满足，若P为线段CD上一点，且，（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】AD 【详解】由题设，可得，又三点共线，所以， 对于A选项，，又， ∴，故A正确； 对于B选项，由，即知，B错误； 对于C选项，由，为正实数，，则， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D选项，由知，，则， 而， 所以，由得，即，故D正确， 故选：AD． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （2025•开封期末）下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：速度、力、加速度和位移都是向量，其它是标量，即向量共4个． 故选：A． 2. （2025秋•昌平区期末）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点O为正六边形ABCDEF的中心， 则． 故选：D． 3. （2025•保定期末）化简（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ． 故选：A． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1. （2025•浙江杭州期末）在矩形中，，设，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：， 延长至，使，连接， 由于，∴， 四边形是平行四边形， ， ， . 故选:C 2. （2025•抚州期末）若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】                   （2） 由非零向量，满足 当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, , 则. 在图（1）中, , 不能比较与的大小; 在图（2）中, 由, 得, 所以 为的直角三角形. 易知, 由三角形中大角对大边, 得. 故选：C 3. （2026·浙江·高三月考）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得, 即, 令是的中点，则, 所以 所以∥， 所以, 即    故答案为：D. 4. （2026高三·全国·专题练习）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若P点坐标为，则（ ） A．k B． C．5 D．10 【答案】D 【详解】因为均过点，且关于该点中心对称， 由解析式，可得函数图象如下： 由图知：有5个交点，其中与、与关于对称， 所以，故. 故选：D 5. （25-26高三上·山东德州·开学考试）已知点是平行四边形内的一点，且满足，设三角形和平行四边形的面积分别是和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接交于点，则. 所以， 所以. 因为，所以. 又，所以. 所以.这说明. 所以，而是平行四边形面积的， 所以. 故选：B. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $