解答题专训05 立体几何中的线面角（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦立体几何线面角，构建“定义-方法-题型”三层逻辑体系，通过几何法与向量法双路径提炼，结合探索性及结构不良问题变式，培养空间观念与推理能力，实现从基础到创新的分层突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|定义+2种方法|几何法“作-证-算”三步；向量法sinθ=|cos<u,n>|公式|从线面角定义及范围出发，推导几何法与向量法原理，形成方法体系| |题型通法及变式提升|3题型（含例+变式）|探索问题用参数方程；结构不良问题选条件定解|按“基础计算→存在性探索→开放选择”递进，适配不同难度需求| |重难专题分层过关练|巩固12题+创新2题|综合应用双方法，结合动态几何与跨模块知识|从正方体、棱锥等基础模型到复杂多面体，实现知识迁移与创新应用|

解答题专训05 立体几何中的线面角 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 求线面角 1 题型2 求线面角中探索问题 3 题型3 求线面角中结构不良问题 4 重难专题分层过关练 5 巩固过关 5 创新提升 9 解题方法及技巧提炼 1.直线和平面的夹角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角叫作这条直线和这个平面的夹角，一条直线垂直于平面，则它们的夹角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们的夹角是0°. (2)范围： 2.直线与平面所成角 如图所示，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝｜cos＜u，n＞｜＝｜｜＝ 题型通法及变式提升 题型1 求线面角 【例1】（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 1.几何法求线面角主要分为3个步骤： （1）作（找）角； （2）证明这个角就是要求的角； （3）计算.其中作（找）角是关键，对于异面直线所成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直线相交，从而得到所求角的平面角；对于线面所成的角，一般是在直线上找一点，作平面的垂线，连接斜足与垂足得到直线在平面上的射影，直线与它在该平面上的射影所成的角就是所求角的平面角. 2.向量法求直线与平面夹角的方法是： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面的夹角. 【变式1】（25-26高三下·北京门头沟·开学考试）如图，正四棱台的高为3，且 (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【变式2】（25-26高三上·北京海淀·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型2 求线面角中探索问题 【例2】（2026·北京丰台·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点. (1)求证：为的中点； (2)若是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. 2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 【变式1】（25-26高三下·北京·期中）如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为.    (1)证明：； (2)求直线与平面的夹角正弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由. 【变式2】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为. (1)证明：； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型3 求线面角中结构不良问题 【例3】（2026·北京房山·一模）如图，在五面体中，为正方形，为矩形，，． (1)求证：∥平面； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在且唯一确定．求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式】（2026·北京石景山·一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形.G，E，F分别是，，的中点.，，，与平面GEF交于点. (1)求证：是BC的中点. (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AC与平面GEF所成角的正弦值. 条件①：平面平面BCD； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三·北京昌平·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 2.如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 3．（2026·北京海淀·二模）如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． (1)求证：； (2)若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 4．（2026·北京丰台·一模）如图，在多面体中，面是矩形，，． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2026·北京门头沟·一模）如图，四边形为正方形，平面平面，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（2026·北京朝阳·一模）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，点是的中点，平面与交于点. (1)求证：； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值. 7．（2026·四川成都·二模）如图，在三棱柱中，，. (1)证明：直线平面ABC． (2)设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值． 8．（2026·北京朝阳·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，M为中点，N为上一点，且满足． (1)设平面平面，求证：； (2)若已知点P到平面的距离为2，且平面平面．求直线与平面所成角的正弦值． 9．（2026·北京平谷·一模）如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 10．（25-26高三下·北京·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，侧面底面，，为线段的中点，为线段上的动点． (1)若平面，求证：点为线段中点； (2)如果直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 11．（2026·山东聊城·一模）如图，，是圆柱下底面圆的两条直径，点是该圆柱上底面圆周上一点，的中点为． (1)证明：平面； (2)是该圆柱的母线，若四边形是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线与平面所成角的正弦值． 12．（25-26高二上·北京·期末）如图，四棱锥中，平面，四边形是边长为1的正方形，分别为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 创新提升 13．（25-26高三上·北京东城·期末）如图，在长方体中，，，是棱上的点.    (1)求证：； (2)设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，是否存在点使得？若存在求的值；若不存在，说明理由. 14．（25-26高三上·北京通州·期末）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：侧面为矩形； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训05 立体几何中的线面角 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 求线面角 1 题型2 求线面角中探索问题 5 题型3 求线面角中结构不良问题 9 重难专题分层过关练 14 巩固过关 14 创新提升 28 解题方法及技巧提炼 1.直线和平面的夹角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角叫作这条直线和这个平面的夹角，一条直线垂直于平面，则它们的夹角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们的夹角是0°. (2)范围： 2.直线与平面所成角 如图所示，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝｜cos＜u，n＞｜＝｜｜＝ 题型通法及变式提升 题型1 求线面角 【例1】（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 【解】（1）证明：由正方体性质可知，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为， 则, ； 设平面的一个法向量为，则， 令，可得； 设直线与平面所成角为，则， 解得，即线段的长度为1.    1.几何法求线面角主要分为3个步骤： （1）作（找）角； （2）证明这个角就是要求的角； （3）计算.其中作（找）角是关键，对于异面直线所成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直线相交，从而得到所求角的平面角；对于线面所成的角，一般是在直线上找一点，作平面的垂线，连接斜足与垂足得到直线在平面上的射影，直线与它在该平面上的射影所成的角就是所求角的平面角. 2.向量法求直线与平面夹角的方法是： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面的夹角. 【变式1】（25-26高三下·北京门头沟·开学考试）如图，正四棱台的高为3，且 (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【解】（1）设交于，连接并交于，连接， 由正四棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）取OC中点，连接，则， 所以四边形为平行四边形，所以，而平面， 故平面，所以为与平面所成角， ，， ， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 【变式2】（25-26高三上·北京海淀·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解】（1）因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面． （2）因为平面，底面为正方形， 所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，由所以 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 题型2 求线面角中探索问题 【例2】（2026·北京丰台·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点. (1)求证：为的中点； (2)若是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【解】（1）因为平面平面，且平面平面，平面平面， 则，且，可得， 又因为为的中点，所以为的中点. （2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则，整理可得，解得， 所以. 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. 2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 【变式1】（25-26高三下·北京·期中）如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为.    (1)证明：； (2)求直线与平面的夹角正弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由. 【解】（1）∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面和平面的交线为，∴； （2）取的中点，连接， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， 又为平面内两条相交直线，所以平面， ∵平面平面，平面平面， 平面，，∴平面， 又在平面内，所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，    则、、、、、， 故，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设直线与平面的夹角正弦值为， 则； （3）由，则， 设平面的法向量为， 由， 令，则，， 假设在线段（不含端点）上存在一点， 使得直线与平面所成角的正弦值为． 设， 则， ∵平面的法向量为， 直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理得，解得或， 所以在线段 (不含端点)上存在点， 当或时，直线与平面所成角的正弦值为． 【变式2】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为. (1)证明：； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）证明：∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面平面， ∴. （2）取的中点，连接，， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，由， 令，则，，， 假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为. 设，， 则， ∵平面的法向量为， 直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理得，解得或， 所以在线段（不含端点）上存在点，当或时， 直线与平面所成角的正弦值为. 题型3 求线面角中结构不良问题 【例3】（2026·北京房山·一模）如图，在五面体中，为正方形，为矩形，，． (1)求证：∥平面； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在且唯一确定．求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解】（1）因为四边形为正方形， 所以∥且， 又因为四边形为矩形， 所以∥且， 因此∥且， 所以四边形是平行四边形，故∥， 又因为平面，平面， 所以∥平面. （2）选择条件①： 由，又因为， ，平面，故平面， 因为， 所以以为原点，分别以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，得：，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则：， 令，解得，，得， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式：. 选择条件②：因为 所以以 为原点，为 轴，为 轴，平面的法向量为 轴，建立空间直角坐标系 设，，，，由得 ， 由 得 ，即：， 化简得 ，代入 可得： （），所以，， ，， 设平面 的法向量为，则: ， 令，得，，即， ，设直线与平面所成角为， 由线面角公式可得：. 选择条件③：以为原点，为 轴，为 轴，平面的法向量为 轴，建立空间直角坐标系， 由已知条件可得：，，，， 因为是矩形，所以，， 设，则 ， 是向量 与的夹角， 又因为，为锐角， 故， 由数量积公式可得： ， 将代入方程化简得： ，解得或 ​， 当时，，则， 当时，，则， 所以，， 当时：，五面体不唯一，不合题意. 【变式】（2026·北京石景山·一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形.G，E，F分别是，，的中点.，，，与平面GEF交于点. (1)求证：是BC的中点. (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AC与平面GEF所成角的正弦值. 条件①：平面平面BCD； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【解】（1）在三棱锥中， 因为E，F分别是，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，所以， 因为G是的中点，所以是BC的中点. （2）选条件①：平面平面BCD，连接， 因为为等边三角形，G是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以， 如图建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，，， 所以，，. 设平面的法向量， 则，即， 令，则，于是， 设直线AC与平面GEF所成的角为, 则， 所以直线AC与平面GEF所成角的正弦值为. 选条件②：. 因为，所以， 因为，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，， 因为为等边三角形，G是的中点，所以， 以下同条件①如图建立空间直角坐标系. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三·北京昌平·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【解】（1）连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为1的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）∵，∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 底面，∴为直线与平面所成的角， ∵，∴， ∴直线与平面所成的角等于. 2.如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 3．（2026·北京海淀·二模）如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． (1)求证：； (2)若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【解】（1）在四棱锥中，由平面平面，得平面， 又平面，平面平面，则， 而点为的中点，因此为中点，，又， 所以. （2）由四边形为矩形，得， 由平面，平面平面，平面平面， 得平面，又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由点在线段上，设， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 由直线与平面所成角的正弦值为 得，而，解得， 所以线段的长为. 4．（2026·北京丰台·一模）如图，在多面体中，面是矩形，，． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解】（1）因为四边形是矩形，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 因此，． 设是平面的法向量， 则，即， 令，得，平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 5．（2026·北京门头沟·一模）如图，四边形为正方形，平面平面，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解】（1）设的中点为，连接， 在中，为的中点， 所以且， 因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面平面，平面平面， ，， 所以，平面， 因为四边形为正方形，所以两两互相垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 6．（2026·北京朝阳·一模）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，点是的中点，平面与交于点. (1)求证：； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【解】（1），平面，平面，则有平面， 平面，平面平面，所以. （2），，则为等边三角形， 连接，则，又，有， 中，由余弦定理，得， 有，得，所以， 又平面，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量， 有，设，则，即， 设直线与平面所成角为， 则. 7．（2026·四川成都·二模）如图，在三棱柱中，，. (1)证明：直线平面ABC． (2)设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值． 【解】（1）由题意可知是边长为2的正三角形， 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 所以为直角三角形，且， 所以， 同理可得， 因为平面，， 所以直线平面ABC； （2）取中点，连接，则， 又，所以， 由（1）可知直线平面，， 以为原点，分别以射线，为，轴的正半轴，建立空间坐标系，如图所示： 则，， 所以， 设平面的法向量为， 则有， 令，可得， 又因为， 所以， 所以AC与平面所成角的正弦值为. 8．（2026·北京朝阳·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，M为中点，N为上一点，且满足． (1)设平面平面，求证：； (2)若已知点P到平面的距离为2，且平面平面．求直线与平面所成角的正弦值． 【解】（1）因为底面是菱形，所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. 因为平面，平面平面，所以∥. （2）因为底面是边长为2的菱形，，所以. 连接，记，则为的中点，且. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以两两垂直. 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 因为点P到平面的距离为2，所以. 易得， 因为M为中点，N为上一点，且满足，所以. 所以. 设平面的法向量为， 则， 令，则. 所以平面的法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为． 9．（2026·北京平谷·一模）如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【解】（1）证明：法一：取的中点，连接， 因为分别是的中点，可得，且， 在三棱台中，可得，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面． 法二：在三棱台中，为的中点，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，于是平面． （2）解：因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则． 设平面的法向量为，则， 令，可得．所以． 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角正弦值为． 10．（25-26高三下·北京·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，侧面底面，，为线段的中点，为线段上的动点． (1)若平面，求证：点为线段中点； (2)如果直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【解】（1）连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 又因为为线段的中点， 所以点为线段中点. （2）在中，因为，， 所以，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 连接，在中，，，， 所以， 即， 所以，所以， 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得， 所以. 11．（2026·山东聊城·一模）如图，，是圆柱下底面圆的两条直径，点是该圆柱上底面圆周上一点，的中点为． (1)证明：平面； (2)是该圆柱的母线，若四边形是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线与平面所成角的正弦值． 【解】（1）由已知点为线段的中点，点为线段的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）设圆柱的底面半径为，母线长为， 因为圆柱的侧面积等于其两底面面积之和， 所以，所以， 由已知，，，，， 因为是该圆柱的母线，所以平面， 因为四边形是正方形，所以， 故平面，又平面， 所以，， 又为圆的直径，为圆上异于，的点， 所以， 以点为坐标原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则，故， 取，则，， 故为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 12．（25-26高二上·北京·期末）如图，四棱锥中，平面，四边形是边长为1的正方形，分别为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解】（1）取、的中点、,连接、、,如图所示 因为，,分别为，的中点， 所以,且. 因为，,分别为，的中点， 所以,且. 所以,且, 所以四边形为平行四边形 所以, 又平面，平面， 所以平面． （2）以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DS为y轴，直线DC为z轴建立的空间直角坐标系如图所示: 则, 所以，，． 设平面法向量为， 则,即，取，得， 所以平面法向量为． 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 创新提升 13．（25-26高三上·北京东城·期末）如图，在长方体中，，，是棱上的点.    (1)求证：； (2)设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，是否存在点使得？若存在求的值；若不存在，说明理由. 【解】（1）根据题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 那么. 所以，所以. （2）由题意知，平面的一个法向量是. 设平面的一个法向量为，则有. 则，令，那么，所以. 因为二面角的大小为，由观察可得为锐角， 所以. 因为直线与平面所成的角为，所以. 若存在点使得，则. 那么有，化简得. 解得，即或，由于， 所以，所以，又， 所以，所以. 所以存在点使得，此时.    14．（25-26高三上·北京通州·期末）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：侧面为矩形； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【解】（1）证明：连接，交于，连接， 由三棱柱的定义可知为平行四边形， 所以有为的中点，又因为为的中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. （2）选择条件① 因为为矩形，为矩形，所以. 又因为，所以. 如图建立空间直角坐标系，则. 所以. 设平面的法向量为，则即 令，则.于是. 设直线与平面所成角为，则 选择条件② 因为， 所以. 因为， 所以平面. 所以. 以下同条件①. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $