解答题专训07 立体几何中的探索与翻折（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦立体几何翻折与探索问题，构建"方法提炼-题型通法-分层训练"体系，强化空间观念与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1模块|翻折问题两大关键：①确定变与不变量（折痕同侧关系不变）②定位关键点位置|从平面到空间转化原理切入，建立翻折问题认知框架| |翻折中位置关系证明|例1+2变式|线面垂直/平行判定，利用折痕两侧不变量转化|以折叠前后垂直关系为核心，衔接平面几何与立体几何推理| |翻折中计算问题|例2+2变式|二面角、线面角计算，空间坐标系构建|从位置关系到量化计算，强化几何直观与运算能力| |立体几何探索问题|例3+2变式|存在性问题假设-推理-验证，中点/比例线段转化|结合翻折背景，提升开放性问题的逻辑论证能力|

解答题专训07 立体几何中的探索与翻折 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 翻折中位置关系证明 1 题型2 翻折中计算问题 3 题型3 立体几何中的探索问题 6 重难专题分层过关练 10 巩固过关 10 创新提升 26 解题方法及技巧提炼 1.立体几何中的翻折问题是指将平面图形沿着平面图形中的某条或几条线段将平面图形翻折，使之变成空间几何体，以此为载体，考查空间中点、线、面之间的相互关系，或角度与距离关系，解决翻折问题时，首先要根据题目的要求正确画出由平面图形折成的空间图形，即由平面图形转化成空间图形，在解题过程中，往往根据问题的需要再把空间图形还原成平面图形，对比平面图形和空间图形，找准翻折的起点与翻折的程度，弄清翻折过程中的变与不变的量进行求解，这是处理翻折问题的关键， 2.解决有关翻折问题的两大关键(1)确定翻折前后变与不变的关系.画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化;对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决，(2)确定翻折后关键点的位置.所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点，因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算. 题型通法及变式提升 题型1 翻折中位置关系证明 1 【例1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【解】（1）依题意，，平面，平面， 故平面. （2）在四边形中，，为中点，则， 得到四边形为平行四边形，，而，则， 在图②中，，而平面， 所以平面. 【变式1】（25-26高三·北京·二轮复习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【变式2】（24-25高三下·北京平谷·期末）四棱锥，平面，底面ABCD为菱形， (1)求证：平面； (2)试判断在PD上是否存在点F，使得平面，说明理由． 【解】（1）因为平面，平面，所以， 又底面ABCD为菱形，所以，平面， 所以平面 （2）存在，点为的中点，理由如下： 由为的中点，为的中点，所以， 由平面，平面，所以平面， 所以点为的中点得证. 题型2 翻折中计算问题 5 【例2】（2026·北京门头沟·模拟）如图，直角梯形中，为的中点，以为折痕把折起，使点到点的位置，且． (1)设平面与平面的交线为，证明：； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 【解】（1）由，，得四边形为平行四边形，则， 而平面，平面，则平面， 又平面平面平面，所以. （2）由，得，即得， 由四边形是正方形，得，则， 而平面，所以平面. （3）由（2）得，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量，则，取，得， 设平面的一个法向量，则，取，得， 因此，由图形知二面角的大小为钝角， 所以二面角的余弦值为. 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解】（1） 在矩形中，，，为的中点， 所以，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以． （2）取的中点，的中点，连接，则，所以平面， 由题可得，所以，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得，， 所以．设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【变式2】（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，点在上，点在上，，将沿翻折至，使得二面角的大小为.    (1)若为的中点，点在上，，证明：平面； (2)求平面与平面所成的二面角的正弦值. 【解】（1）如图，取的中点，连接   ，，且. 分别为的中点，，且， 又由题可知，，且， 因此，且， 因此四边形为平行四边形，因此有， 又因为平面，平面， 因此平面； （2）由可知，由（1）可知， 故，因此， 由折叠关系可知，又因为平面平面， 平面，平面，则即为二面角的平面角， 因此， 不妨设，则， ，解得， 又因为，故. 因为，，平面， 故平面，又因为平面，故， 又因为，平面， 因此平面.    过点作垂直于平面的直线，易证两两互相垂直， 因此可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 因为平面，因此为平面的法向量； 设平面的法向量为， 则有，即，取，则， 即. 设平面与平面所成的二面角的大小为， 则， 又因为，故，则， 即平面与平面所成的二面角的正弦值为. 题型3 立体几何中的探索问题 9 【例3】（25-26高三下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）在直角三角形中， ∵，∴，∴． 又三角形的面积 由（1）知，平面， 所以三棱锥的高为． 所以. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 【变式1】（25-26高三上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解】（1）连接,连接， 四边形为正方形，为中点，为BC的中点，， 平面，平面，平面； （2）取的中点，的中点，连接，， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设， ，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 则点到平面的距离为， 解得，或（舍）， 在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，为AD的中点，，，，，. (1)求二面角的余弦值； (2)在线段PE上是否存在点，使得平面PBC？存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【解】（1）因为平面平面ABCD，平面平面， ，平面，所以平面， 在平面内，过点作，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， ， 由图可知，二面角的余弦值为. （2）因为，设 则， 由（2）知平面的法向量为 若平面，则有，解得， 所以线段上存在点，使得平面，点即中点. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. 2．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在矩形中，，点分别是边的中点，点分别在线段上移动（不含端点），且，将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为.求证：平面. 【解】过点作，交线段于，如图： 因为平面，平面，所以平面. 由平行线性质可得：， 且，，则， 即，则，且，则， 又因为平面，平面，所以平面， 且，平面，则平面平面， 又平面，则平面. 3．（24-25高二上·北京平谷·期末）已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解】（1）在图（1）中，因，折起后，， 因，则平面， 又平面，故平面平面. （2）由（1）已得，平面，连接，则即在平面上的射影， 故即直线与平面所成角. 在图（1）中，， 在图（2）中，，则， 在中，，故， 即直线与平面所成角的正弦值为. 4.（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【解】（1）在矩形中，，，点，分别是，的中点， 所以四边形和是全等的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面； （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，， 因为， 所以，， 则， ， 所以线段的长为； （3）因为，所以当时，线段最短， 此时，分别为线段，的中点，，， 则， 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知，为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．（23-24高三下·北京·阶段检测）已知和都是直角三角形，，E，F分别是边AB，AD的中点，现将沿BD边折起到的位置，如图所示，使平面平面BCD． (1)求证：平面BCD； (2)求证：平面平面； (3)请你判断，与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由． 【解】（1）因为E、F分别是边AB、AD的中点， 所以 因为平面BCD，平面BCD， 所以平面BCD． （2）因为平面平面BCD， 平面平面， 平面BCD，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3）结论：与BD不可能垂直． 理由如下： 假设， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以与矛盾，故与BD不可能垂直． 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，四棱锥中，平面，，．为的中点，点在上，且． (1)求点到平面的距离； (2)在棱上，是否存在点，使得四点共面?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． (3)设平面与平面的交线为，求直线与直线所成角大小． 【解】（1）过作的垂线交于点， 因为平面，所以， 如图建立空间直角坐标系，则， 因为为的中点，所以，所以， 所以， 设平面的法向量为，则，， 令，则，于是， 易知向量为，设点到平面的距离为， 所以． 所以点到平面的距离为， （2）设，所以． 因为四点共面， 所以， 所以，从而． 所以在棱上，存在点，使得四点共面，此时． （3），轴垂直平面，可得平面的一个法向量， 设直线的方向向量为， 平面与平面的交线为， 所以， 令得： 直线l的一个方向向量为， 因为， 所以异面直线与成角为. 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，E是的中点． (1)求证：； (2)若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）证明：取中点F，连接， ，，E是的中点，， 则以E为原点，以、、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，， ，，，， ，， ， ，即． （2）由（1）可得，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为，则 令，则，，， 依题意平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图知，为锐角， ， 即二面角的余弦值为． （3）在线段上不存在点Q，使得平面， 理由如下： 假设存在点Q，使得平面，设，， ， 由（2）可知，平面的一个法向量为， 则，解得， 故在线段上不存在点Q，使得平面． 8．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，N为棱BC的中点． (1)求证：； (2)在棱AM上是否存在一点E，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1），N为棱BC的中点，， 又因为平面平面ABCD，平面平面ABCD平面， 所以平面ABCD，平面， （2）在直角梯形中，取的中点为， 易知，，， 则四边形是正方形，故. 在中，. 在中，，，. 又因为平面平面，且平面平面， 平面，故平面， 连接，， 则，故平面， 故可以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因，则，，，， 于是， 易知平面的一个法向量为. 假设在棱上存在一点E，使得二面角的大小为. 不妨设（），则， 设为平面的一个法向量， 则 ，. 从而， 解得或（舍去） 由题知二面角为锐二面角. 所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为，此时. 9．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，四边形是正方形，平面，，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使平面与平面所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【解】（1）证明：因为分别为的中点，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面，且，所以平面， 因为四边形为正方形，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 由图可得， 由为的中点，则，由为的中点，则， 得，，设，其中. 在平面内，取，，设该平面的法向量， 则，即，令，解得， 所以平面的一个法向量，即为平面的一个法向量. 在平面内，取，， 设该平面的法向量，则， 即，令，解得， 所以平面的一个法向量. 可得，， ， 由题意可得， 化简得，因式分解得，解得或， 故存在坐标为或，使得平面与平面所成角为. 所以的长为或 10．（25-26高三上·重庆·期中）如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 【解】（1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，     则，，，，； 为中点，故；为中点，故． ∴，∴， 设平面的法向量，则， 令得，则，∴， 又∵平面，∴平面. （2）∵ 由（1）知平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： ． ∴． （3）不存在这样的点，理由如下 设（），则， 若平面，则为平面的法向量 ∵，，则，解之得． 故不满足，所以线段上不存在点，使得平面． 11．（24-25高三上·北京·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1） 如图，在图1中，连接,交于点, 因为边长是的正方形，则, 在图2中，则有,, 又，则,即, 因,故平面, 又平面,故平面平面； （2） 如图，由（1）已得平面，且， 则可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题意，, 假设在棱上存在点，满足,使得二面角的余弦值为， 则,又, 设平面的法向量为， 则故可取， 又平面的法向量可取为， ，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为. 12．（24-25高三上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【解】（1）因为平面平面， 所以， 又因为， 所以，而平面， 所以平面； （2）因为平面平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ； （3）设，设， 于是有， ，由（2）可知平面的法向量为， 假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去， 即. 13．（2026·北京朝阳·一模）如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且. (1)求证：⊥； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为四边形为正方形，所以⊥， 因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； （2）因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 又，故，，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 则， ， 设直线与平面所成角的大小为， 则； （3）设，即， 当时，与重合，此时与平面不平行， 当时，设，则， 解得，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 则，解得， 故线段BD上存在点M，使得直线平面AFM，此时. 创新提升 14．（25-26高三上·北京·期中）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以， 又，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有 又平面，所以平面， 由题意，易知，所以四边形是平行四边形， 故，所以平面. （2）因为平面，平面，则有， 由（1）知，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为； （3）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 15.（25-26高三下·江苏南京·阶段检测）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）    取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）    ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的余弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意， 设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 解得，即. 16．（25-26高三上·北京·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别为，的中点.从条件①，条件②，条件③，这三个条件中选择两个作为已知， (1)求与平面所成角的正弦值； (2)线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，， 因为，所以. 若选择①②：因为，所以，即， 因为，所以为等边三角形，即， 所以，即， 以A为原点，AB、AC、AD为轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 设平面BEF的法向量， 则，即， 令，则，所以， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值. 若选择②③：因为，，，平面ACD， 所以平面ACD， 因为平面ACD， 所以， 因为， 所以. 以A为原点，AB、AC、AD为轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 设平面BEF的法向量， 则，即， 令，则，所以， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值. 若选择①③，因为，，，平面ACD， 所以平面ACD， 因为平面ACD， 所以， 以A为原点，AB、AC、AD为轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 设平面BEF的法向量， 则，即， 令，则，所以， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值. （2）假设存在点M，设，则， 所以,， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，即， 所以， 整理得，解得或， 所以或（舍）， 所以存在点M使得平面与平面夹角的余弦值为，且. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训07 立体几何中的探索与翻折 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 翻折中位置关系证明 1 题型2 翻折中计算问题 2 题型3 立体几何中的探索问题 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 1.立体几何中的翻折问题是指将平面图形沿着平面图形中的某条或几条线段将平面图形翻折，使之变成空间几何体，以此为载体，考查空间中点、线、面之间的相互关系，或角度与距离关系，解决翻折问题时，首先要根据题目的要求正确画出由平面图形折成的空间图形，即由平面图形转化成空间图形，在解题过程中，往往根据问题的需要再把空间图形还原成平面图形，对比平面图形和空间图形，找准翻折的起点与翻折的程度，弄清翻折过程中的变与不变的量进行求解，这是处理翻折问题的关键， 2.解决有关翻折问题的两大关键(1)确定翻折前后变与不变的关系.画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化;对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决，(2)确定翻折后关键点的位置.所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点，因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算. 题型通法及变式提升 题型1 翻折中位置关系证明 【例1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【变式1】（25-26高三·北京·二轮复习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【变式2】（24-25高三下·北京平谷·期末）四棱锥，平面，底面ABCD为菱形， (1)求证：平面； (2)试判断在PD上是否存在点F，使得平面，说明理由． 题型2 翻折中计算问题 【例2】（2026·北京门头沟·模拟）如图，直角梯形中，为的中点，以为折痕把折起，使点到点的位置，且． (1)设平面与平面的交线为，证明：； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式2】（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，点在上，点在上，，将沿翻折至，使得二面角的大小为.    (1)若为的中点，点在上，，证明：平面； (2)求平面与平面所成的二面角的正弦值. 题型3 立体几何中的探索问题 【例3】（25-26高三下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26高三上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，为AD的中点，，，，，. (1)求二面角的余弦值； (2)在线段PE上是否存在点，使得平面PBC？存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 2．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在矩形中，，点分别是边的中点，点分别在线段上移动（不含端点），且，将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为.求证：平面. 3．（24-25高二上·北京平谷·期末）已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4.（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 5．（23-24高三下·北京·阶段检测）已知和都是直角三角形，，E，F分别是边AB，AD的中点，现将沿BD边折起到的位置，如图所示，使平面平面BCD． (1)求证：平面BCD； (2)求证：平面平面； (3)请你判断，与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由． 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，四棱锥中，平面，，．为的中点，点在上，且． (1)求点到平面的距离； (2)在棱上，是否存在点，使得四点共面?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． (3)设平面与平面的交线为，求直线与直线所成角大小． 7．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，E是的中点． (1)求证：； (2)若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 8．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，N为棱BC的中点． (1)求证：； (2)在棱AM上是否存在一点E，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，四边形是正方形，平面，，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使平面与平面所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 10．（25-26高三上·重庆·期中）如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 11．（24-25高三上·北京·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 12．（24-25高三上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 13．（2026·北京朝阳·一模）如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且. (1)求证：⊥； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 创新提升 14．（25-26高三上·北京·期中）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 15.（25-26高三下·江苏南京·阶段检测）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16．（25-26高三上·北京·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别为，的中点.从条件①，条件②，条件③，这三个条件中选择两个作为已知， (1)求与平面所成角的正弦值； (2)线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $