专题八空间几何体与点、直线、平面之间的位置关系专项检测-2026届高三数学一轮复习

山东省2026年高考一轮复习成果检测----专题八空间几何体与点、直线、平面之间的位置关系专项检测 一、单选题 1．已知直线和平面，下列表述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 3．棱长为1的正方体中，点在线段上（不与重合），于于，以下结论错误的是（    ） A．平面； B．线段与线段的长度之和为定值； C．线段长度的最小值为； D．面积的最大值为； 4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（    ） A． B． C． D．3 6．在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．在三棱柱中，，点在平面的射影为点，若点在平面上运动，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 8．在直四棱柱中，底面为菱形，．若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（    ） A．异面直线与所成角的大小为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．平面 D．四面体的体积为 10．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上任意两点，且的长为定值.则下列四个值中必为定值的是（    ） A．的面积 B．三棱锥的体积 C．直线与平面所成的角 D．二面角的大小 11．设为两个平面，为两条直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 三、填空题 12．在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 13．圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为________. 14．在直三棱柱中，为的中点，若平面与平面的交线为，则点到直线的距离为_______________． 四、解答题 15．如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且. (1)证明：平面平面； (2)当时，求平面与平面所成角的正弦值. 16．如图，已知在四棱锥中，，，，． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若直线与平面所成角为，点在平面内的正投影是点，求四棱锥的体积． 17．在三棱柱中，点为侧面正方形的中心，平面，且，为的中点，直线与平面所成角的正切值为. (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．如图，在直三棱柱中，为的中点，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为． (1)证明：； (2)已知，，，，求二面角的余弦值． 19．如图.在三棱柱中，是AC的中点，.    (1)证明：平面. (2)已知点到平面的距离为1. ①求三棱柱的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】利用线面平行和垂直的判定定理和面面平行和垂直的判定定理即可求解. 【详解】由，条件中缺少，故A错误； 由，条件中缺少，故B错误； 由，条件中缺少，故C错误； 由，故D正确； 故选：D. 2．A 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 3．D 【分析】对于A，结合图形，利用面面垂直的判定证得平面平面，再用其性质推得平面，得，利用，即可证得结论；对于B ，利用平行线分线段成比例性质可求得和，即可证明；对于D、C ，利用B的结论，借助于基本不等式可求得面积的最大值和的最小值，即可判断. 【详解】 对于A ：如图，在正方体中，平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面， 平面且， 所以平面，又平面，所以， 又， ， 平面，所以平面，故A正确； 对于B：因为平面，平面， 所以，所以，所以，即得； 又由，，所以，所以，所以， 即得， 所以，即为定值1，故B正确； 对于D ，由A知平面，因平面，则有， 所以的面积，当且仅当时等号成立， 即当时，面积的最大值为，故D错误； 对于C，由D知，则，当且仅当时等号成立， 即当时，线段长度的最小值为，故C正确. 故选：D. 4．C 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可． 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 5．A 【分析】由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 所以注水四棱台的上底边长为，体积， 设注水四棱锥的水面高度为，底面边长为，则，所以， 所以注水四棱锥部分的体积， 因为，即，解得， 故选：A. 6．A 【分析】根据给定条件，确定球心的位置，利用球的截面圆性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】在三棱锥中，都是边长为2的正三角形，取中点，连接， 则，，是二面角的平面角， 又，则，即，而， 平面，因此平面，令的外心分别为， 则平面，，同理，四边形是矩形， ，而，则， 所以球的表面积为. 故选：A 7．B 【分析】的最小值即为点到平面的距离h，利用求解. 【详解】依题意，的最小值即为点到平面的距离h， 因为平面，平面，故， 因为，，； 由余弦定理，， 故，所以； 因为平面，平面，所以， 则，， 又，故为等边三角形，则， 故， 而，故． 故选：B. 8．D 【分析】先求出球的半径，再根据直四棱柱的性质，求出圆心到侧面的距离，进而求出截面半径，最后根据弧长公式求解． 【详解】球的表面积， ， 设，底面为菱形， 是等边三角形，则菱形面积， 直四棱柱的体积，解得， 取的中点，连接，是等边三角形， ， 直四棱柱中底面，， 侧面， 侧面，则，即为点到侧面的距离， 球面与平面的交线为圆，设截面半径为，由球的截面的性质可得， 截面圆的圆心为，半径为4，如下图所示， ， 为等边三角形，故， 交线长度，故D正确． 故选：D． 9．ACD 【分析】对于异面直线所成角，因为异面直线所成角可通过找平行线转化为共面直线所成角，所以先找与其中一条直线平行的直线，再计算夹角；对于直线与平面所成角，因为直线与平面所成角是直线与平面中所有直线所成角中最小的，等于直线与它在平面内的射影所成角，所以先找直线在平面内的射影，再计算正弦值；对于线面垂直的判断，因为线面垂直的判定定理是直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线垂直于该平面，所以需验证直线与平面内两条相交直线的垂直关系； 对于四面体体积，因为四面体体积可利用等体积法转换底面，所以选择易计算面积的底面和对应的高来计算体积. 【详解】对于A，正方体中，， 则异面直线与所成角即为与所成角，即（或其补角）， 而为等腰直角三角形，故，故A正确； 对于B，由于平面，故为在平面内的射影， 则直线与平面所成角为， 在中，，故，故B错误； 对于C，设G为的中点，连接，则， 而，故， 则四边形为平行四边形，故； ≌，则， 而，故， 设交于H，则，即， 则；又平面，平面，故， 又平面，故平面，故C正确； 对于D，由于，（h为三棱锥的高，）， 而，则，故D正确. 10．ABD 【分析】根据三角形的面积判断A，根据三棱锥的体积公式判断B，根据线面角的定义判断C，根据二面角的概念判断D. 【详解】对于A，的长为定值，且点到的距离即为两平行直线与之间的距离也为定值， 所以的面积为定值，故A符合题意； 对于B，的面积是定值．(定长，到的距离就是到的距离也为定长，即底和高都是定值）， 再根据平面也就是平面，既然和平面都是固定的， 所以到平面的距离是定值，所以三棱锥的高也是定值，于是体积固定． 三棱锥即三棱锥的体积是定值，故B符合题意； 对于C， 到平面距离是定值（事实上即到平面距离）， 而长度在变化中，所以直线与平面所成的角不是定值，故C不符合题意； 对于D，二面角的平面角即是二面角的平面角， 而二面角的两个半平面均是固定平面，显然为定值，故D符合题意. 故选：ABD. 11．BC 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，利用反例法判断选项A，D；分情况讨论判断选项B；利用线面垂直推出线线垂直判断选项C． 【详解】选项A：设是相邻墙面，交线为墙角线，是底面上平行于的直线，此时与可以垂直，不能推出，故A错误； 选项B：， 当时，；当时，，当时，，故B正确； 选项C：若，则内所有直线，而，则； 若，则内所有直线，而，则，故C正确； 选项D：设与成锐角，且，此时不垂直于，且不垂直于，故D错误 故选：BC． 12．/ 【分析】取的中点，连接，证得平面，得到，利用直角三角形的性质，得到，即为三棱锥的外接球的球心，设三棱锥的外接球的半径为，得到，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为平面，平面，所以， 又因为 是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，在直角中，可得， 所以，即为三棱锥的外接球的球心， 在直角中，，可得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：.    13． 【分析】首先求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为，轴截面为梯形，如图，   ，过作的垂线，垂足为，则， 由勾股定理知，即圆台的高为3， 所以圆台的体积为， 故答案为：. 14．2 【分析】先将三棱柱补成一个四棱柱，进而可得两个平面的交线，并在直棱柱计算相关线段长度，最后在平行四边形中用等面积法可得距离. 【详解】如图：将三棱柱补成四棱柱，设N为棱的中点，连接. 因为在棱柱中，M，N分别是棱的中点，所以， 所以，所以四点共面，四点共面. 所以平面与平面的交线为即为，所以点到直线的距离即点到直线. 在底面四边形中，， 所以，即. 又在直棱柱中有，所以，即. 同理，即. 所以在平行四边形中，，， 所以， 由同角三角函数关系得. 设点到直线的距离为d，根据等面积法， 即，得. 故答案为：2. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面垂直可得出线面垂直，再由线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）因为平面平面，交线为平面， 所以平面，又平面，故. 又因为平面， 所以平面，而平面， 故平面平面. （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，由题设得，， 设是平面的法向量，则 ，即，令，可得. 又是平面的法向量， 设平面与平面所成角为， ，所以， 所以平面与平面所成角的正弦值是. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，由线面平行的判断定理证明； （2）取中点，连接，设，可得，，由线面垂直的判定定理和性质可证； （3）方法一：过作，可证点与重合，即平面，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，根据平面，设，根据，可得，进而得解； 方法二：以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，其他同方法三；同方法一可证平面，取中点，连接，可证点在平面内的正投影必在直线上，过点作，垂足为，则点到平面的距离，利用等体积法求点到平面的距离，从而得解. 【详解】（1）因为，平面， 平面， 所以平面. （2） 取中点，连接，设， 因为， 所以四边形是正方形，所以. 连接，因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以. （3）方法一： 由（2）可知平面，平面，所以平面平面. 过作，垂足为，又因为平面平面平面， 所以平面， 所以在底面的射影在直线上， 所以直线与平面所成角是，所以， 因为正方形中，所以， 又因为，所以， 所以，所以． 所以点与重合，即平面. 以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为点在平面内的正投影是，所以平面． 设， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以点到平面距离为， 方法二： 以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为点在平面内的正投影是，所以平面． 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以点到平面距离为， 方法三：由（2）可知平面，平面， 所以平面平面. 过作，垂足为，因为平面平面，且平面， 所以平面， 所以在底面的射影在直线上， 所以直线与平面所成角是，所以， 因为正方形中，所以， 又因为，所以， 所以，所以． 所以点与重合，即平面. 取中点，连接， 由题意知，则；同理题意知， 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 注意到平面平面， 故点在平面内的正投影必在直线上， 过点作，垂足为，则点到平面的距离， 因为，所以， 即，所以. ，设点到平面的距离， 因为，所以， 即，解得. 17．(1)； (2). 【分析】（1）根据条件直接建立空间直角坐标系，根据线面角的值可得，进而可求四棱锥的体积； （2）直接用向量的方法计算面面所成的角. 【详解】（1）因为点为侧面正方形的中心，所以，即. 又因为平面，平面，所以， 故分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 设，因为，所以， 所以，. 因为为的中点，得， 又平面在坐标平面内，取平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则，由同角的三角函数关系式得. 又由，得，即. 所以四棱锥的体积. （2）设平面的法向量为，，， 由，得，取，则，得. 同理设平面的法向量为，，， 由，得，取，则，得. 设平面与平面夹角为， 所以. 18．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用割补法，结合等体积法及锥体、柱体的体积公式计算得证. （2）由（1）的信息求出，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，为的中点，设， 由直线平面，得点到平面的距离相等， ，， ， 所以. （2）由（1）知，而，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， ，由图形知，二面角的大小为锐角， 所以二面角的余弦值为. 19．(1)证明见解析 (2)①；②. 【分析】(1)通过中位线证明线线平行，进而证得线面平行； (2)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解参数，再分别计算三棱柱体积和两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：设，连接DE，则DE是的中位线， 所以. 因为平面平面， 所以平面 （2）连接.因为为AC的中点，所以.     因为平面， 所以平面 设，则． 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则．     由(1)知.     设平面的法向量为，因为， 所以，令，得 所以点到平面的距离，解得.   ①三棱柱的体积．     ②已知平面的一个法向量为．     设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $