专题03 数列求和的综合问题11个题型归纳（期末复习专项训练）高二数学下学期北师大版

**基本信息** 系统整合数列求和11类核心方法，从基础技巧到综合应用层层递进，突出重点难点突破与数学思维培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倒序相加法|5题|利用函数对称性配对求和|从函数性质到数列求和的转化| |错位相减法|5题|等差×等比型数列求和固定步骤|等比数列求和公式的延伸应用| |裂项相消法|15题（分式/指数/根式）|通项分解为差式实现相消|不同结构通项的裂项技巧迁移| |分组求和法|5题|等差与等比数列分组分别求和|数列分解与整合的数学思想| |综合应用|21题（奇偶分段/插项并项/放缩/不等式/实际应用）|分类讨论/构造新数列/放缩技巧|从单一求和到复杂情境的综合建模|

专题03 数列求和的综合问题 题型1 倒序相加法 题型7 奇偶项分段求和（难点） 题型2 错位相减法（重点） 题型8 数列求和与不等式恒成立问题（重点） 题型3 分式型裂项相消法（重点） 题型9 数列的插项并项求和（难点） 题型4 指数型裂项相消法（重点） 题型10 数列的求和与放缩（难点） 题型5 根式型裂项相消法 题型11 数列求和的实际应用 题型6 分组求和法（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 倒序相加法 1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 4．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 5．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二 错位相减法 6．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知数列满足，， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和． 7．（2026·江西·三模）已知正项等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 8．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 9．（2026·重庆江北·模拟预测）已知满足，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 10．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 题型三 分式型裂项相消法 11．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·广西桂林·期中）已知正项数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 13．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 14．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，． (1)求与； (2)若，求的前项和． 15．（25-26高二下·江西南昌·期中）已知数列的前项和为，若，且． (1)求的通项公式； (2)令 ，求数列的前项和为. 题型四 指数型裂项相消法 16．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和． 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 18．（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列的前项和为，且． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)已知，求数列的前项和，并证明：． 19．（25-26高二下·山东德州·期中）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 20．（2026·浙江·三模）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 题型五 根式型裂项相消法 21．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 22．（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 题型六 分组求和法 23．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 24．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 25．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和 26．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）数列的前n项和为，满足 ，若. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和. 27．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设为的前项和，求． 题型七 奇偶分段求和法 28．（2026·安徽合肥·模拟预测）数列满足，，令． (1)求证：数列，是等比数列； (2)求数列的前项和． 29．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知数列满足，，设，的前项和分别为，． (1)试求，的值并探究与的关系； (2)当时，试求的通项公式； (3)试求的值． 30．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 31．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和； 32．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． (1)求和； (2)求． 33．（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为120 34．（2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知数列满足设，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 题型八 数列求和与不等式恒成立问题 35．（25-26高二·全国·暑假作业）已知数列的前项和为，且，记数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 36．（黑龙江大庆市2026届高三年级第三次教学质量检测数学试题）数列满足，，则________；若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为________. 37．（25-26高二上·福建三明·期末）已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为_____. 38．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，，且满足，则________；若存在实数，使不等式对任意恒成立，则的取值范围为________. 39．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，，设数列满足，且数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围是______． 题型九 数列的插项并项求和 40．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和，设数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2026项和. 41．（25-26高二下·广东江门·期中）已知等差数列的前项和记为，满足. (1)求等差数列的公差； (2)若数列为单调递减数列，求的取值范围； (3)若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 42．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）等差数列的前项和为，，，数列满足 . (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 43．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 44．（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 题型十 数列求和与放缩 45．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 46．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求证：数列为等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 题型十一 数列求和的实际应用 47．（24-25高二下·河南南阳·阶段检测）如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则__________. 48．（23-24高二下·河南南阳·期中）我国古代典籍《庄子·天下》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭．其含义是：一尺长的棍棒，每日截取它的一半，则永远也截不完．这体现了古人的智慧—无限分割的思想．现运用此思想操作如下：取长度为1的线段，将其三等分（如图①，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为；再将线段三等分（如图②，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为．则__________． 49．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和______. 50．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. (1)若a=3，b=4，求S₆的值; (2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 51．（24-25高三上·云南昆明·期末）在密码学领域，著名的欧拉函数应用在数据加密算法中，设是两个正整数，若的最大公约数是1，则称互素，对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记为，如：. (1)求的值； (2)设是两个素数，试用表示，并证明：； (3)数列的通项公式为，设该数列的前项的和为，是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. $专题03 数列求和的综合问题 题型1 倒序相加法 题型7 奇偶项分段求和（难点） 题型2 错位相减法（重点） 题型8 数列求和与不等式恒成立问题（重点） 题型3 分式型裂项相消法（重点） 题型9 数列的插项并项求和（难点） 题型4 指数型裂项相消法（重点） 题型10 数列的求和与放缩（难点） 题型5 根式型裂项相消法 题型11 数列求和的实际应用 题型6 分组求和法（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 倒序相加法 1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的表达式求出，从而得到函数的图象关于点成中心对称，再利用倒序相加法求出数列的通项公式，最后将不等式有解问题转化为函数最值问题，进而求出的取值范围. 【详解】，； ，即的图象关于点成中心对称. ，， ； ； . ，，整理得； ，； 根据题意，该不等式有解，等价于不小于函数在 上的最小值. 令，则对勾函数在上单调递减，在上单调递增； ，且； 当时，；当时，； ，，即； ，即的取值范围是. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求数列的通项公式，再根据公式，求解数列的递推关系式，通过构造求数列的通项公式； （2）首先利用倒序相加法求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. （2）因为，所以. 又， 两式相加，得 . 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. 3．（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 【答案】4046 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故，， 故，即有. 由，则当时，有， 故， 故所求和为. 故. 4．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 5．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 题型二 错位相减法 6．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知数列满足，， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知递推式变形可得，当时，，进而推出，进而得出数列的通项公式； （2）由和推出是2为首项，2为公比的等比数列，求出，进而求出，再利用错位相减法计算求出． 【详解】（1）已知， 故， 时，，故， ． （2），， 由可得，故， 是2为首项，2为公比的等比数列， ，，， ， 令，设数列的前项和为，则， ①， ②， 由①减②得： ， ， ． 7．（2026·江西·三模）已知正项等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项建立关于公比的方程，解方程即可得公比，再根据通项公式求解即可； （2）结合（1）得，进而根据分组求和与错位相减法求和求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为． 因为成等差数列，所以． 因为，所以，整理得， 解得或． 因为，所以， 故的通项公式为． （2）由（1）知． 记数列的前项和为，则． 因为， 所以两式相减得， 所以． 因为数列的前项和为， 所以． 8．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) （） (2) 【分析】（1）变形递推式构造新数列，通过累加法结合裂项相消求新数列通项，进而得到的通项； （2）利用错位相减法以及等比数列公式求和即可. 【详解】（1）将递推式两边同除以， 得 ， 令，则，且， 当时，由累加法得 ，所以 ， 因此，经检验时满足上式，故. （2）由（1）得， 其前项和， 则， 两式相减可得 ， 即. 9．（2026·重庆江北·模拟预测）已知满足，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）用等差数列通项公式求解；利用等比数列通项公式列方程求解，再得到的通项公式； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由对任意正整数成立，可知是首项、公差的等差数列，由等差数列通项公式得：； 设等比数列公比为，已知，故，代入得： 等比数列公比，两边同除以，可得， 即，解得，因此. （2）由题意得， ① ② ②①得： . 10．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的概念和等比数列的基本性质，列出方程组，求出公比，写出等比数列通项公式即可； （2）根据等差数列的性质求出，进而求出数列的通项公式，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）设数列公比为，由题意可得，， 可得，解得， 所以， 化简得，解得或， 因为数列为递增数列，所以，则. （2）由题意可得，则， 设数列的前n项和为， 则， 即， 两式作差得， . 题型三 分式型裂项相消法 11．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是首项为1，公差为2的等差数列， ， ， ， 数列的前3项和为： ． 12．（25-26高二下·广西桂林·期中）已知正项数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系，利用作差法得到，结合等差数列的定义求解即可. （2）求出，采用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由，可得，， 两式相减得，. 因为是正项数列，所以， 所以，即，. 由，解得或（舍去）， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，则. 满足上式，因此. （2）由（1）得， 所以 . 13．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 【答案】(1)，. (2) 【分析】(1)根据等差数列与等比数列的基本量运算即可求得数列的通项公式； (2)利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 于是 ； 则， 故的通项公式为，的通项公式为. （2）由题可知 数列的前项和为 . 14．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，． (1)求与； (2)若，求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于首项、公差的方程组，再利用等差数列通项公式及前项和公式求解. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）设的公差为，由，得，解得， 所以， . （2）由（1）得，， 则， 所以 . 15．（25-26高二下·江西南昌·期中）已知数列的前项和为，若，且． (1)求的通项公式； (2)令 ，求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过前项和的递推式作差得到相邻两项和的关系，推导得奇数项、偶数项均为公差为4的等差数列，合并得到通项； （2）化简得，用裂项相消法求和. 【详解】（1）当 时，代入递推式得 ，已知 ，故 ，. 当 时，有 ①； 当 时， ②； ①-②得 ， 验证 时 ，故 对所有 成立. 将①中替换为 得 ③； ③-①得 ④； ④减去 ，得 ()，即数列奇数项、偶数项均为公差为 4 的等差数列： 当为正奇数时，设 ()，； 当为正偶数时，设 ()，。 综上， (). （2）将 代入得： ， 故 . 数列的前项和为：，其中 ， 因此： 题型四 指数型裂项相消法 16．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用得到与的递推关系，再根据等比数列的定义得证； （2）结合（1）得，进而得，再根据裂项求和法即得. 【详解】（1）证明：由，得， 则， 所以， 因为，所以， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可知，，所以． ， 故． 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再由与间的关系，即可求解； （2）利用裂项相消法得到，再由数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，所以， 则，当时，， 整理得到，则，所以数列是常数列， 又，则，所以． （2）由题意知， 所以， 又， 所以是递增数列， 又，， 所以使得成立的最小正整数的值为． 18．（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列的前项和为，且． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)已知，求数列的前项和，并证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)，证明见解析. 【分析】（1）利用前项和与第项的关系变形，再利用等比数列定义推理证明，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和，并借助单调性推理得证. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 当时，，即，解得，， 因此是以为首项，以为公比的等比数列，， 所以. （2）由（1）知，， 因此， 则 ，对，， 又数列单调递减，则数列单调递增，因此， 所以. 19．（25-26高二下·山东德州·期中）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）对递推关系变形，构造数列，得到通项公式； （2）对进行放缩，得利用裂项相消法证不等式； （3）用错位相减法求，将恒成立问题转化为求数列最大值，得到的取值范围. 【详解】（1）由， 两边同除以得， 即， 又，故，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 解得，所以. （2） ， 所以 ，即命题得证. （3）由（1）知 ， 故数列的前项和为： ， 将代入不等式，得， 即， 因为，所以，两边同乘得 令，分析其单调性： ， 故在上单调递减，因此， 要使对恒成立，只需，即， 所以，实数的取值范围为. 20．（2026·浙江·三模）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知写出的表达式，与作差可得到与的关系，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可求出的通项公式，再由与的关系求出的通项公式，代入得，利用裂项相消即可求解. 【详解】（1）证明：当时，，解得， 当时， ， 与作差可得：， 数列是正项数列，， ，即， ，即， 所以数列是等差数列． （2）由（1）知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， ，， ， 则. 题型五 根式型裂项相消法 21．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列，设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． 22．（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用前项和与通项关系式，可化简得到，从而可利用等差数列通项公式即可求解； （2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可. 【详解】（1）当时，，因为正项数列，所以， 由，得， 两式相减得，即， 因为，所以， 故是一个以1为公差的等差数列， 即． （2）由题意，则， 所以， 即． 题型六 分组求和法 23．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助等比中项性质求出等差数列公差以确定通项公式. （2）通过分组求和法分别计算对应等比、等差数列的前项和，合并得到最终结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 可得，，. 由，，成等比数列， 可得， 代入得 ， 展开整理得， 解得. 因此，. （2）由（1）得， 数列为等比数列，其前项和为， 数列为等差数列，其前项和为， 因此. 24．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 25．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）由求出的通项公式，再由 和的等比中项可求出的通项公式； （2）利用裂项相消法和分组求和法求前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 可得，所以，解得， 所以， 则， 是和的等比中项，可得，所以， 设等比数列的公比为，则，解得， 所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为． （2）． 又因为， 所以的前项和． 记的前项和为， 当为偶数时，； 当为奇数时，， 综上： 26．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）数列的前n项和为，满足 ，若. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据求出，再根据等比数列的定义可证明数列为等比数列； （2）利用分组求和可取. 【详解】（1）因为，故， 而， 故， 整理得，即， 故，所以，故数列为等比数列； （2）由（1）可得， 故 . 27．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设为的前项和，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)设等比数列的公比为,由变形得,解得；结合求得,故.由是公差为1的等差数列及,得,进而得. (2)化简：奇数项,偶数项；将拆分为奇偶项和,奇数项用裂项相消法、偶数项按等比数列求和,最终得. 【详解】（1）等比数列的公比设为，前项和为， 数列是公差为的等差数列，设 即有，即， 由，，，得， 又，所以， 即为，即，代入解得， 可得；． （2）即为 ． 题型七 奇偶分段求和法 28．（2026·安徽合肥·模拟预测）数列满足，，令． (1)求证：数列，是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)答案见详解; (2). 【分析】（1）要证明数列，是等比数列，需根据已知条件推导出与，与的关系，再结合等比数列的定义进行判断； （2）求数列的前项和，可将其拆分为奇数项和偶数项分别求和，再将结果相加. 【详解】（1）对任意正整数，为奇数，为偶数， 当时：为奇数，为偶数，命题成立， 假设当时命题成立，即为奇数，为偶数， 当时： 因为为偶数，所以为奇数， 又因为为奇数，所以为偶数， 由数学归纳法，对任意 ，为奇数，为偶数， 因为，则， 因为为偶数，根据递推公式，可得， 又因为为奇数，所以，那么， 所以， 因为，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因为已知，则， 因为为奇数，所以，又， 则，即， ， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，数列，是等比数列，得证. （2）由(1)得：，， 令,错位相减： ， ： ， 故， 又,因此：. 29．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知数列满足，，设，的前项和分别为，． (1)试求，的值并探究与的关系； (2)当时，试求的通项公式； (3)试求的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3) 【分析】（1）根据题目条件得到，并得到当为奇数时，，求出与的关系； （2）推导出是等比数列，从而求出的通项公式； （3）求出的通项公式，从而得到，结合（1）求出答案 【详解】（1），， 故，， 当为奇数时，， 故 ； （2）当时，因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 则，所以； （3）时，因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以的前项中偶数项的和为 故． 30．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列通项公式与前项和建立方程组，求出首项与公差，进而得到通项； （2）按奇偶分类写出的具体表达式，再分别对为偶数和奇数情况求和，得到分段形式的； （3）计算的分段表达式，转化为关于的最小值问题，由此求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，，解得：， ； （2）由（1）知， 当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， 所以 （3）当为偶数时，得 当时，有最小值，所以 当为奇数时，，所以 因为单调递增，单调递减，单调递减，单调递增， 则单调递增， 所以当时，有最小值，所以． 综上，实数的取值范围是 31．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和； 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证，进而求解； （2）由（1）得，进而得，即可求，又得，进而求，利用分组求和即可求解. 【详解】（1）由题意得： ， 又，所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以； （2）由（1）有，所以， 所以， 又，所以 所以 ， 所以 . 32．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． (1)求和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意设等差数列的公差为，列出方程组，解得，得到数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式即可求出， （2）由（1）知，得到，结合等差数列的前项和公式即可求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得， 所以 . （2）由（1）知， ， . 33．（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为120 【答案】AB 【分析】根据递推关系，代入数据，整理变形，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 则 ，故C错误； 对于D，数列的前20项的和为， 所以 ，故D错误． 34．（2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知数列满足设，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】BC 【详解】依题意，，故A错误； 因为，， 所以是以6为首项，2为公比的等比数列，故正确； 所以，所以， 所以，故C正确； ，故D错误． 题型八 数列求和与不等式恒成立问题 35．（25-26高二·全国·暑假作业）已知数列的前项和为，且，记数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意可得是首项为2，公比为2的等比数列，进而可得 ，  利用裂项相消法可得，进而得出结果. 【详解】依题意， 当时，， 由，， 两式相减并化简得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 即． ， 所以， 所以实数的取值范围是． 36．（黑龙江大庆市2026届高三年级第三次教学质量检测数学试题）数列满足，，则________；若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】由数列满足，，得到数列是等比数列，从而解得，再根据对于任意的，恒成立，转化为对于任意的，恒成立，由求解. 【详解】因为数列满足，， 所以，又， 所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 所以，则， 因为对于任意的，恒成立， 所以对于任意的，恒成立， 所以对于任意的，恒成立， 令， ， 所以数列 是递增数列，则 ， 所以 ，解得 ， 故答案为：，. 37．（25-26高二上·福建三明·期末）已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为_____. 【答案】 【分析】根据数列前项和与通项之间的关系，以及等差数列的定义，求出数列通项公式，进而化简不等式，根据不等式恒成立，列出不等式组，求出参数范围即可. 【详解】由题意可得当时，，解得， 当时，可得，作差得， 化简得，变形得， 因为，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列， 可得，解得， 已知不等式，代入得，化简得， 要使不等式成立，即成立， 设，当不等式成立时，即， 即，得，解得， 因为，所以，可得， 可知成立，只需成立，解得， 即实数的范围为. 故答案为：. 38．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，，且满足，则________；若存在实数，使不等式对任意恒成立，则的取值范围为________. 【答案】 ； 【分析】，利用等差数列的通项公式即可求解,存在实数，使不等式对任意恒成立，将问题转化为，结合单调性即可求解. 【详解】因为，所以. 因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以， 所以（也满足）. 因为，所以，即. 令，， ， 所以在时单调递增，所以，故. 故答案为：；. 39．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，，设数列满足，且数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据等比数列定义和通项公式得，进而求得，，当为偶数时，由得，求得；当为奇数时，对恒有成立，即可得解． 【详解】由题意得在数列中，，， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以得． 又因为，所以， 可知． 当为偶数时， ， 即对取任意正偶数都成立，所以． 同理当为奇数时， ， 对时，恒成立， 综上，． 故答案为： 题型九 数列的插项并项求和 40．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和，设数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2026项和. 【答案】(1)， (2) (3)2646 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）计算可得到的项数，则可得时，共有项，则最后10项都为，再借助分组求和法与等差数列求和公式计算即可得前2026项和. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，符合上式，故； 由，则， 则时，有， 故，即； 当时，，符合上式，故； （2）， 则； （3）：，1，，，，，3，3，3，，…，，…， 从到共有项， 所以，当时，， . 41．（25-26高二下·广东江门·期中）已知等差数列的前项和记为，满足. (1)求等差数列的公差； (2)若数列为单调递减数列，求的取值范围； (3)若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得； （2）根据（1）求出，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围； （3）由（1）得，对数列进行分组分析，即可知其前项的构成部分，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由于， 所以，解得. （2）由（1）可得， 若数列为单调递减数列，则对于恒成立， 所以在上恒成立， 则，所以，又数列为递增数列，所以，即， 故的取值范围为； （3）若，则， 根据题意数列为： 第一组为：1，； 第二组为：，，； 第三组为：，，，； …… 第组为：，，，，…，； 则前组一共有项，当时，项数为. 故相当于是前组的和再加上这三项，即： 设，则可看成是数列的前项和 所以. 42．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）等差数列的前项和为，，，数列满足 . (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)， (2)3421 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则； 因 ，① 当时，，② 得，，即， 当时， ，解得，满足上式， 则 ， 综上所述，数列的通项公式为 ， 数列的通项公式为 . （2）由（1）可得，数列是递增数列，且，， 又因为，，，，，，，， 经验证数列中的，，均在中的前50项， 从而数列中需要取47项， 所以数列的前50项和. 43．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) (3)2116 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的基本概念，以及等差数列前项和公式，求出数列通项公式的基本参数，写出通项公式即可； （2）根据数列的通项公式，利用裂项相消法和分组求和发可求； （3）根据等比数列的项和公式，判定数列的前2026项的组成，进而求出前2026项和. 【详解】（1）设等差数列公差为，所以， 因为，解得，则， 所以， 所以，解得， 因为，所以数列公比，则. （2）由（1）可知， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 数列的前2n项中有个奇数项，个偶数项， 所以， 可得， 即. （3）数列的项为， 在之前有数列的项个，有个1， 则之前有项， 当时，即之前有项，之后有个， 即数列的前2026项有数列的前项，和个， 所以数列的前2026项的和为. 44．（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【答案】(1) (2)1176 【分析】（1）根据等差中项的性质以及和的关系即可求解； （2）首先求出的通项公式，然后令，可得所有的都在中，最后根据去掉的项利用分组求和即可求解. 【详解】（1）由等差数列性质得： ①， 当时，，解得， 当时，有： ②， ①-②得：， 整理得： ， 因此是首项为，公比为2的等比数列， 故. （2）设，代入得： ， 因此，是首项为，公差为的等差数列， 令，即，得，为正整数， 故所有的都在中（小于，不在中）， 要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足， 去掉的项为，共个（，故不在的前35项中）， 故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和， 前35项和：， 去掉的5个的和：， 因此. 题型十 数列求和与放缩 45．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列得到数列的通项公式，再累加求出数列的通项公式即可. （2）根据（1）以及裂项相消法求解即可. 【详解】（1）， 所以 ， 当时满足以上通项公式， 综上所述：的通项公式为； （2）， 当时，， 当时，， 综上所述：. 46．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求证：数列为等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）对条件式变形可得，根据等差数列的定义证明求解； （2）先证明，可得，所以，利用裂项相消法求和得证. 【详解】（1）由，，得， 所以数列是以1为首项1为公差的等差数列， 即，化简得. （2）因为，所以，所以， 可得，即， 所以， 因为， 所以, 所以. 题型十一 数列求和的实际应用 47．（24-25高二下·河南南阳·阶段检测）如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则__________. 【答案】 【分析】由题意可得的边长，结合图形求得周长，计算并化简，求得即得. 【详解】由， 可得，，，， 所以， 所以， 所以前项和， 所以. 故答案为：. 48．（23-24高二下·河南南阳·期中）我国古代典籍《庄子·天下》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭．其含义是：一尺长的棍棒，每日截取它的一半，则永远也截不完．这体现了古人的智慧—无限分割的思想．现运用此思想操作如下：取长度为1的线段，将其三等分（如图①，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为；再将线段三等分（如图②，去掉中间线段，记剩下线段的长度之和为．则__________． 【答案】 【分析】根据题意及求和表示出，读懂，然后利用分组求和，错位相减法进行求和即可． 【详解】由题意得： ； 所以 ． 令①， 则②， 由①②得 ， 所以 ， 所以， 故答案为：． 49．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和______. 【答案】 【分析】根据题意得到，从而有，再利用错位相减法，即可求出结果. 【详解】由欧拉函数的定义知：若为素数，则， 若为素数，，则， 所以，得到， 所以①， ②， ①②得到， 即，整理得到. 故答案为：. 50．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. (1)若a=3，b=4，求S₆的值; (2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用“隙积术”， 代入公式直接计算. （2）用表示，再利用公式建立方程并求出正整数解即可. （3）求出第所放物体数，再将各层物体数乘以2，利用“隙积术”求解即可. 【详解】（1）依题意，，则， 所以. （2）依愿意，， 由给出的公式，得， 即，整理得， 而为正整数，又，则， 而，则是30的正约数，因此或， 或，所以. （3）依题意，第所放物体个数为， 从上往下n层三角垛，将每层所放物体数乘以2， 从上往下各层物体数依次为：，物体总数为， 此时，项数为， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：正确理解“隙积术”的意义，确定公式中的各量是求解的关键. 51．（24-25高三上·云南昆明·期末）在密码学领域，著名的欧拉函数应用在数据加密算法中，设是两个正整数，若的最大公约数是1，则称互素，对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记为，如：. (1)求的值； (2)设是两个素数，试用表示，并证明：； (3)数列的通项公式为，设该数列的前项的和为，是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)存在，最小值为8. 【分析】（1）利用欧拉函数的定义求得结果. （2）利用欧拉函数的定义，结合素数的性质求出并推理证明. （3）由（2）的结论，求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）不超过且与互素的正整数有1，5，所以， 不超过且与互素的正整数有，所以. （2）在不大于的正整数中，只有的倍数不与互素，而的倍数有个， 则， 由是两个素数，得， 在不大于的正整数中，的倍数有个，的倍数有个， 因此， 所以. （3）由（2）得， ，则 两式相减得：， 因此，而，， 所以存在整数，使对任意正整数都成立，且的最小值为8. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. $