专题02 数列的概念与数列的通项公式15个题型归纳（期末复习专项训练）高二数学下学期北师大版

**基本信息** 聚焦数列通项公式求法，以15类题型构建从基础性质到复杂递推的方法体系，突出重点、易错点的针对性突破，培养数学推理与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列性质|10题|周期性判断、单调性分析|从数列基本属性切入，奠定概念基础| |通项求法|50题|累加/累乘、Sn/Tn关系、递推转化|按“基础方法-综合应用-难点突破”递进，覆盖核心考法| |综合应用|15题|奇偶递推分类、概率模型构建|联结数列与概率，体现数学应用意识|

专题02 数列的概念与数列的通项公式 题型1 数列的周期性 题型9 由求数列通项公式（重点） 题型2 数列的单调性与最值 题型10 由求数列通项公式 题型3 累加法求数列通项公式（常考点） 题型11 由求数列通项公式 题型4 累乘法求数列通项公式（常考点） 题型12 由数列求通项公式 题型5 由前n项和Sn求数列通项公式（易错点） 题型13 由求数列通项公式 题型6 由前n项积Tn求数列通项公式 题型14 求奇偶递推式求数列通项公式（难点） 题型7 由Sn与an的关系求数列通项公式（重点） 题型15 数列递推式在概率中的应用（难点） 题型8 “隐藏型”Sn求数列通项公式 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数列的周期性 1．（25-26高一下·上海·期中）已知数列，若，且（为正整数）， 则数列的第35项为________________． 2．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 3．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）在数列中，，，，则的前100项和为_________. 4．（25-26高二下·江西九江·期中）数列满足，，则等于（   ） A． B． C．2 D． 5．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列满足，，则________． 题型二 数列的单调性与最值 6．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. 7．（2026·湖北·一模）已知数列的首项，且满足，则数列（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 8．（2026·广东茂名·二模）（多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·四川内江·期中）已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．（2026·重庆渝中·模拟预测）在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 累加法求数列通项公式 11．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 13．（2026高三·全国·专题练习）（1）在数列中，，，求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，求数列的通项公式. 14．（25-26高二下·北京·期中）若数列满足，且对于任意的都有，则__________. 15．（25-26高二下·四川内江·期中）在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 题型四 累乘法求数列通项公式 16．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 17．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则________． 18．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 19．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 题型五 由前n项和Sn求数列通项公式 21．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 22．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 23．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 24．（2026高三·全国·专题练习）已知，则______. 25．（25-26高三·全国·一轮复习）若数列的前项和，则的通项公式是________． 题型六 由前n项积求数列通项公式 26．（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 27．（25-26高二上·江苏苏州·期中）记为数列的前项积，且，则（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·山西运城·期中）设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高三上·北京·开学考试）设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 30．（24-25高三下·云南昭通·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则（   ） A． B． C． D． 题型七 由Sn与an的关系求数列通项公式 31．（25-26高二下·广东佛山·期中）记为数列的前项和，已知，则___________. 32．（25-26高二下·四川巴中·期中）已知数列的前项和为，则__________． 33．（2026·重庆渝中·三模）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时， _____. 34．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列的前项和为，且满足，，则______ 35．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）记为数列的前项和，满足，且，则______． 题型八 “隐藏型”Sn求数列通项公式 36．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）设数列满足3．数列的通项公式为________． 37．（25-26高一下·上海·期中）已知数列满足：（为正整数），则______. 38．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 39．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______. 40．（2026·河北邯郸·模拟预测）数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为__________． 题型九 由求数列通项公式 41．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知数列满足递推公式，．设为数列的前项和，则的最小值是_____． 42．（24-25高二上·上海嘉定·期末）无穷数列满足，，则数列的所有项和__________. 43．（23-24高三上·重庆·期中）已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是________. 44．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）根据已知条件，，写出数列的前5项； （2）已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式． 45．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 题型十 由求数列通项公式 46．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 47．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 49．（2021·贵州安顺·模拟预测）在数列中，，，则______． 48.（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）（多选题）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 50．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为______． 题型十一 由求数列通项公式 51．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________． 52．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则______． 53．（23-24高二下·江苏盐城·阶段检测）已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数______. 54．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则____________． 55．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则_________. 题型十二 由数列求通项公式 56．（23-24高三下·广东·阶段检测）在数列中，，且，则的通项公式为_________． 57．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 58．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 59．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 60．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则__________. 题型十三 由求数列通项公式 61．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为______. 62．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 63．（24-25高二上·河南信阳·期末）设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 题型十四 求奇偶递推式求数列通项公式 64．（25-26高二上·新疆和田·期末）已知数列满足，，. (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，求. 65．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）数列满足，，则______．（用含的式子表示） 66．（2026·安徽合肥·模拟预测）数列满足，，令． (1)求证：数列，是等比数列； (2)求数列的前项和． 67．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知数列满足，，设，的前项和分别为，． (1)试求，的值并探究与的关系； (2)当时，试求的通项公式； (3)试求的值． 68．（2026·河南开封·模拟预测）在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 69．（2026·新疆·二模）已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ） A．300 B．270 C．207 D．171 70．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 题型十五 数列递推式在概率中的应用 71．（25-26高二下·山东济宁·期中）2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 72．（24-25高二下·云南·期末）1827年英国植物学家布朗用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现被分子撞击的悬浮微粒做无规则运动，这类运动被称为布朗运动．在如图所示的容器截面图中，，，表示容积相等的三部分区域，每块区域都有大小相同的小孔进行联通．假设某粒子做布朗运动时，会等可能的随机选择一个小孔到达另一区域，已知该粒子的初始位置在区域，且粒子经过次随机选择后到达区域的概率为，则______．    73．（24-25高二下·广东佛山·期中）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行乙同学第2局赢的概率是_____；甲同学第局赢的概率_____． 74．（2025·海南·模拟预测）甲、乙两位同学参加一场答题竞赛，甲同学每次答对问题的概率为0.8，乙同学每次答对的概率为0.6，答题规则是如果该同学此题答对，则继续答题，如果答错则由对方进行答题，已知两位同学答第一题的概率相等，则第n次答题的同学是甲的概率是_______． 75．（2025·河南信阳·模拟预测）甲、乙两人进行射击比赛，每次由其中一人射击，规则如下：若击中则此人继续射击，若未击中则换对方射击．无论之前射击情况如何，甲每次射击的命中率均为，乙每次射击的命中率均，第一次射击的人是甲、乙的概率各为．求第三次射击的人是甲的概率为________． $专题02 数列的概念与数列的通项公式 题型1 数列的周期性 题型9 由求数列通项公式（重点） 题型2 数列的单调性与最值 题型10 由求数列通项公式 题型3 累加法求数列通项公式（常考点） 题型11 由求数列通项公式 题型4 累乘法求数列通项公式（常考点） 题型12 由数列求通项公式 题型5 由前n项和Sn求数列通项公式（易错点） 题型13 由求数列通项公式 题型6 由前n项积Tn求数列通项公式 题型14 求奇偶递推式求数列通项公式（难点） 题型7 由Sn与an的关系求数列通项公式（重点） 题型15 数列递推式在概率中的应用（难点） 题型8 “隐藏型”Sn求数列通项公式 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数列的周期性 1．（25-26高一下·上海·期中）已知数列，若，且（为正整数）， 则数列的第35项为________________． 【答案】 【详解】由条件可知，， 即，则， 所以数列的一个周期为， 所以. 2．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 【答案】D 【详解】因， 则 数列呈周期性：，最小正周期为4， 故的前2026项和为. 3．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）在数列中，，，，则的前100项和为_________. 【答案】235 【分析】先根据已知的首项和递推公式计算数列的前若干项，找出数列的周期规律，再利用周期分组计算该数列前项的和. 【详解】因为，所以，所以，所以是周期为6的数列. 因为，，，， 所以的前100项和为. 4．（25-26高二下·江西九江·期中）数列满足，，则等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，，，，，… 所以数列是周期数列，周期为3， 所以. 5．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列满足，，则________． 【答案】 【分析】根据递推公式求得周期，进而求解. 【详解】由题意得： ， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 题型二 数列的单调性与最值 6．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】分别依据分段函数在上单调递增、正整数集上离散数列单调递增的约束条件，列不等式组求解的取值范围。 【详解】(1)若为上的递增函数，则，化简得， 解得，即的取值范围为. (2)若数列（）为递增数列，则，化简得， 解得，即的取值范围为. 7．（2026·湖北·一模）已知数列的首项，且满足，则数列（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【答案】B 【分析】根据题意，得到，构造等比数列，求出，得出数列的通项公式，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，可得， 根据指数函数单调性可知，可得数列是单调递减数列. 8．（2026·广东茂名·二模）（多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对已知式变形，可得数列是公差为的等差数列，从而求得，判断A,B；并判断数列的单调性，求得其最大项，判断C；求出，判断D. 【详解】由已知得，，， 所以数列是公差为的等差数列. 所以，所以，所以A错误； 所以， 所以，所以B正确； 令，得， 所以当时，数列递增，且各项均为正数；当时，数列递增，且各项均为负数. 所以数列的第7项最大，即，所以C正确； ， 所以D正确. 9．（25-26高二下·四川内江·期中）已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，数列单调递减，， 所以，即，解得. 10．（2026·重庆渝中·模拟预测）在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若命题成立，即，公比. 由等比数列通项， 得， 因为，，所以，即， 所以数列是递增数列，因此能推出，充分性成立； 若数列是递增数列，不一定满足命题. 举反例：取，公比，数列各项为，满足， 确实是递增数列，但不满足且，因此命题不能推出命题，必要性不成立. 综上，命题 是命题 的充分不必要条件. 题型三 累加法求数列通项公式 11．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 【答案】 【分析】先由通过累加法求通项得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】由题意可知，满足，， 当时，， ，以上各式累加得， ， 当时，，也满足上式，，则. ∴数列的前项和为， . 13．（2026高三·全国·专题练习）（1）在数列中，，，求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，求数列的通项公式. 【答案】（1）（2） 【分析】利用累加法求通项公式. 【详解】（1）由题意，得，由累加法可得： 当时， . 也适合上式， 即 （2）由题意知， 当时，由累加法可得： ， 也适合上式， 即. 14．（25-26高二下·北京·期中）若数列满足，且对于任意的都有，则__________. 【答案】253 【分析】用累加法求通项公式. 【详解】由题意可知：，当时， 又因为，所以 . 15．（25-26高二下·四川内江·期中）在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) ． 【分析】（1）根据已知的递推关系，用累加法求通项； （2）将第一问求出的通项代入表达式，化简后使用裂项相消求和. 【详解】（1）因为，， 所以，，， ， 所以， 又，所以， 当时也成立，所以． （2）因为， 所以 ． 题型四 累乘法求数列通项公式 16．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】当时，推导出，然后利用累乘法求解即可. 【详解】数列中，，前项和，且， 当时，，整理可得. 所以，，，，， 将以上个式子的等号两端分别相乘，得到. 又因为，所以. 也满足，故对任意的，. 17．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则________． 【答案】 【分析】由题意得，利用累乘法可求得数列的通项公式，代入通项公式求解即可． 【详解】由题意得， 当时，， 由满足上式，故，所以． 18．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 【答案】/ 【分析】根据累乘法得，再结合裂项求和法求解即可. 【详解】在数列中，，因为当时，， 即，所以，，，…，， 上述等式两边分别相乘， 得， 所以，又也满足， 所以 所以， 所以 故答案为： 19．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 20．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，依题意可得对恒成立，再分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得. 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又 ，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 题型五 由前n项和Sn求数列通项公式 21．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）应用的关系求数列的通项公式；应用等比数列基本量的计算可求得等比数列的通项公式； （2）应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和即可. 【详解】（1）当时，. 当时，，也符合上式，所以. 设正项等比数列的公比为，则，又， 所以，即，解得， 所以. （2）设的前项和为， 所以. . 22．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 【答案】 【分析】通过与作差求出的通项，并在最后讨论该数列是否分段. 【详解】当时，. 当时，. 此时时， 所以. 23．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 24．（2026高三·全国·专题练习）已知，则______. 【答案】 【分析】利用数列通项与前项和的关系，分和两种情况求解，再验证是否满足时的通项表达式. 【详解】根据数列前项和与通项的对应关系求解： 当时，； 当且时，. 经检验，时，不满足时的表达式， 因此 25．（25-26高三·全国·一轮复习）若数列的前项和，则的通项公式是________． 【答案】 【分析】通过，分类讨论可求得通项公式. 【详解】当时，； 当时，，由于不适合此式， 所以. 题型六 由前n项积求数列通项公式 26．（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 【答案】/ 【分析】根据和等差数列定义，结合题设条件可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果. 【详解】当时，，； 当且时，，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 27．（25-26高二上·江苏苏州·期中）记为数列的前项积，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用累加法求得，再由求解即可. 【详解】由题意， 当时，，，， 累加得， 所以 又当时，也满足， 所以. 故选：C. 28．（25-26高三上·山西运城·期中）设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，则可将化为，结合等差数列定义可得是等差数列，求出首项后即可得其通项公式，再利用计算即可得. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则，即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：D. 29．（25-26高三上·北京·开学考试）设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)；； (2)证明见解析，； (3) 【分析】（1）代入，，计算得出； （2）由已知得，由题意得，进而证明数列是等差数列，由等差数列通项公式可得的表达式； （3）由（2）得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）由已知得,且，, 取,由得， 取,， 所以. （2）由已知条件知 ， ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以. （3）由（2）可得，， 当时，, 当时,，显然对于不成立， ∴. 30．（24-25高三下·云南昭通·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到是公差为2的等差数列，进而得到，再求出即可． 【详解】因为，故2），故， 故，所以是公差为2的等差数列， 因为，所以， 所以，所以． 故选：C． 题型七 由Sn与an的关系求数列通项公式 31．（25-26高二下·广东佛山·期中）记为数列的前项和，已知，则___________. 【答案】12 【详解】当时，，所以，又，所以， 当时，由，得， 所以，所以， 所以. 32．（25-26高二下·四川巴中·期中）已知数列的前项和为，则__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件推导出数列的通项公式，再求出，最后根据求出. 【详解】已知，且， 所以，两边同除以， 则，整理得：， 由得，故是首项为，公差为的等差数列， 因此：， 当时，， 所以. 33．（2026·重庆渝中·三模）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时， _____. 【答案】 【分析】由题设中的递推关系可得，据此可求，求出可得. 【详解】因为，故，故， 整理得，当时，有， 故， 而，故，而， 故，故，故， 而，也满足上式，故. 34．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列的前项和为，且满足，，则______ 【答案】1 【分析】利用已知的递推公式，从开始，依次求出、最后得到. 【详解】已知，所以; 当时：，； 当时：，； 当时：. 故答案为：1 35．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）记为数列的前项和，满足，且，则______． 【答案】38 【分析】利用与的关系，代入解方程求解前4项，然后利用与的关系得到，进而由累乘法即可求得. 【详解】因为，且， 所以当时，， 则，结合，即①； 当时，②； 当时，③； 将③代入②可得，结合代入①可得. 即，，，， 因为，所以当时，， 则，即， 可得． 故答案为：38 题型八 “隐藏型”Sn求数列通项公式 36．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）设数列满足3．数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】由可得， 两式相减可得，即可得， 当时可得，所以满足， 因此可得， 即数列的通项公式为. 37．（25-26高一下·上海·期中）已知数列满足：（为正整数），则______. 【答案】 【详解】当时，， ， 当时，， 两式相减得，可得， 代入，得 故时不满足此式， 所以 38．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证； 【详解】由， 当时，， 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 所以， 所以， 由于时，不满足上式， 所以. 故答案为：. 39．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题设条件可得，，再由数列的单调性的定义及不等式恒成立思想，结合参变分离法，计算即可求得所求的范围. 【详解】由题意可知，当时，，即， 当时，由，得， 两式相减得，所以，当时，也满足此式， 故. 所以， 若数列为单调递增数列，则恒成立， 所以，即，对恒成立， 设，则， 当时，，故，当时，数列为递减数列，即， 可得为最大值，且，所以. 所以的取值范围为. 40．（2026·河北邯郸·模拟预测）数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为__________． 【答案】/0.32 【分析】先分别求出，的通项公式，进而求出的通项公式，结合的性质，讨论的单调性，进而求出的最小项． 【详解】数列的前项和为， 当时，， 当时，， ，， ，记为， 当时，， 当时，，即， ， ， ， ， 当时，，故， 当时，，故， 当时，， 在时递减，在时递增，最小值出现在处，， 故答案为：． 题型九 由求数列通项公式 41．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知数列满足递推公式，．设为数列的前项和，则的最小值是_____． 【答案】/4.25 【分析】先通过构造等比数列求出数列的通项公式，再计算前项和，代入目标表达式后化简，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性求最小值． 【详解】 ， ， 数列是首项为，公比为2的等比数列， ，故， ， ， 令，则， 求导得，令，解得或（，舍去）， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，则在处取得极小值， ， ，故只需要比较与的大小， 当时，，， 当时，， 的最小值是． 故答案为：． 42．（24-25高二上·上海嘉定·期末）无穷数列满足，，则数列的所有项和__________. 【答案】 【分析】根据递推公式，得到，结合即可求出数列的各项值，进而得到数列的各项值，由此即可求数列的所有项和. 【详解】因为，所以有：， 因为，由此可得，所以， 所以数列为各项均为的无穷数列， 由此可得：. 故答案为： 43．（23-24高三上·重庆·期中）已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是________. 【答案】 【分析】先通过构造得到数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列，再求的通项公式，代入到不等式可得，利用作差法可判断的最大值，则答案可求. 【详解】由可得，又因为，所以， 即数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列， 所以， 对任意正整数都有，则，即， 设，则， 当时，，当时，， 即，所以， 所以 故答案为：. 44．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）根据已知条件，，写出数列的前5项； （2）已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式． 【答案】（1） （2）， 【分析】（1）将代入即可得出答案； （2）将代入求出前项，根据前项猜想通项公式. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的前5项分别为； （2）因为，， 所以，，， ， 所以数列的前5项分别为， 由数列的前5项猜想， 验证：当时，，满足题意； 当时， ， 所以， 所以成立； 45．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据的递推关系式，构造，得到数列为等比数列，根据等比数列的通项公式得到的通项公式． 【详解】由题意得，而， 故是以1为首项，5为公比的等比数列， 故；故；可得． 题型十 由求数列通项公式 46．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】通过对递推公式变形，构造出等差数列来求解数列的通项公式. 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 47．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据数列的递推式构造等比数列，求出其通项，进而求得的通项公式. 【详解】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 故答案为：. 48．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）（多选题）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 49．（2021·贵州安顺·模拟预测）在数列中，，，则______． 【答案】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 50．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值. 【详解】由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故， 令，则， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以的最小值为6． 故答案为：6 题型十一 由求数列通项公式 51．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________． 【答案】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 52．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则______． 【答案】 【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. 【详解】由 ， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 53．（23-24高二下·江苏盐城·阶段检测）已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数______. 【答案】2024 【分析】将已知条件递推公式,取倒数,变换为,则有是等比数列,从而得,分组求和求出新数列,根据的单调性,即可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 所以数列是等比数列，首项为,公比为， 所以,即， 所以 ， 而当时，单调递增， 又因为,且， 所以满足条件的最大整数. 故答案为：2024. 54．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则____________． 【答案】19 【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得. 【详解】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 55．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则_________. 【答案】 【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得. 【详解】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 题型十二 由数列求通项公式 56．（23-24高三下·广东·阶段检测）在数列中，，且，则的通项公式为_________． 【答案】 【分析】利用待定系数法，设，变形得出，对比题干中的等式，求出、的值，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式. 【详解】因为，设，其中、， 整理可得， 所以，，解得，所以，， 且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，，解得. 故答案为：. 57．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 【答案】 【详解】设，即， 和比较可得，则， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 58．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 59．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 【答案】 【分析】由构造法可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到结果. 【详解】 又 是以2为首项，2为公比的等比数列 ， . 故答案为：. 60．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则__________. 【答案】 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式. 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 题型十三 由求数列通项公式 61．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为______. 【答案】 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【详解】由, 得，且， 故数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 故， 所以， 设，则，又， 所以数列的所有项均为0，即， 所以. 故答案为：. 62．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 【答案】 【分析】由已知可得，令，可得，从而得数列是等比数列，求得，即有，即可得是等比数列，求出其首项和公比，可得，即可得． 【详解】解：因为， 所以， 令， 则， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 即， 所以． 63．（24-25高二上·河南信阳·期末）设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据递推公式代入数据可得结果. （2）（i）根据递推公式及可证明结论. （ii）根据递推公式及可证明结论. （3）设，根据条件求，利用的取值及等比数列的通项公式可得结果. 【详解】（1）由题意得，，，，， ，，. （2）（i） . （ii） . （3）设，对比得，， 解得或. 当时，， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴①， 当时，同理可得②， ②－①得，. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是利用递推公式及数据特征进行凑项计算，逐步推导可证明结论.解决第（3）问的关键是构造等比数列，利用等比数列的通项公式可求结果. 题型十四 求奇偶递推式求数列通项公式 64．（25-26高二上·新疆和田·期末）已知数列满足，，. (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3). 【分析】（1）根据的递推公式求出的递推公式，然后利用构造法可证； （2）利用（1）中结论，结合等比数列通项公式即可求解； （3）利用（2）中结论，结合已知分为奇数和偶数求出数列的通项公式，然后分组求和即可. 【详解】（1）当时，因为为奇数，为偶数， 所以，所以， 又，， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. （3）由（2）可得，又， 所以， 所以 65．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）数列满足，，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】首先根据已知条件求出的值，然后通过分析与的关系，判断数列的类型，进而求出其通项公式. 【详解】因为，为奇数， 根据，可得， 所以（因为为奇数）， 又因为（因为为偶数），所以， 所以，则，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式： 所以：. 66．（2026·安徽合肥·模拟预测）数列满足，，令． (1)求证：数列，是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)答案见详解; (2). 【分析】（1）要证明数列，是等比数列，需根据已知条件推导出与，与的关系，再结合等比数列的定义进行判断； （2）求数列的前项和，可将其拆分为奇数项和偶数项分别求和，再将结果相加. 【详解】（1）对任意正整数，为奇数，为偶数， 当时：为奇数，为偶数，命题成立， 假设当时命题成立，即为奇数，为偶数， 当时： 因为为偶数，所以为奇数， 又因为为奇数，所以为偶数， 由数学归纳法，对任意 ，为奇数，为偶数， 因为，则， 因为为偶数，根据递推公式，可得， 又因为为奇数，所以，那么， 所以， 因为，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因为已知，则， 因为为奇数，所以，又， 则，即， ， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，数列，是等比数列，得证. （2）由(1)得：，， 令,错位相减： ， ： ， 故， 又,因此：. 67．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知数列满足，，设，的前项和分别为，． (1)试求，的值并探究与的关系； (2)当时，试求的通项公式； (3)试求的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3) 【分析】（1）根据题目条件得到，并得到当为奇数时，，求出与的关系； （2）推导出是等比数列，从而求出的通项公式； （3）求出的通项公式，从而得到，结合（1）求出答案 【详解】（1），， 故，， 当为奇数时，， 故 ； （2）当时，因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 则，所以； （3）时，因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以的前项中偶数项的和为 故． 68．（2026·河南开封·模拟预测）在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 【答案】B 【分析】由，得到奇数项之间的递推关系，得到等差数列的通项公式，先求出再根据计算出. 【详解】，， ，即； 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 当时，； . 69．（2026·新疆·二模）已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ） A．300 B．270 C．207 D．171 【答案】D 【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项公式，再利用并项求和法，结合等比数列前n项和公式求解. 【详解】在数列中，由，得， 因此，即，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， ，所以 . 70．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，即. 又①，    则②， 由②-①，得， 所以是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公差的等差数列 所以       题型十五 数列递推式在概率中的应用 71．（25-26高二下·山东济宁·期中）2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 【答案】 【分析】设第n次发出红包的人是乙为事件，，根据全概率公式可得，分析可知数列是以首项为，公比为的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】设第n次发出红包的人是乙为事件，， 则，且， 因为，， 由全概率公式可得， 即，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以， 72．（24-25高二下·云南·期末）1827年英国植物学家布朗用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现被分子撞击的悬浮微粒做无规则运动，这类运动被称为布朗运动．在如图所示的容器截面图中，，，表示容积相等的三部分区域，每块区域都有大小相同的小孔进行联通．假设某粒子做布朗运动时，会等可能的随机选择一个小孔到达另一区域，已知该粒子的初始位置在区域，且粒子经过次随机选择后到达区域的概率为，则______．    【答案】 【分析】记粒子经过次随机选择后到达B区域的概率为，到达C区域的概率为，从而得到方程组，变形得到，故，求出答案. 【详解】记粒子经过次随机选择后到达B区域的概率为， 粒子经过次随机选择后到达C区域的概率为， 则有，可得， 则， 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，即， 故． 故答案为： 73．（24-25高二下·广东佛山·期中）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行乙同学第2局赢的概率是_____；甲同学第局赢的概率_____． 【答案】 【分析】应用全概率公式求乙同学第2局赢的概率，根据题设得，应用构造法及等比数列的定义求通项公式即可. 【详解】记事件“第局甲赢”，则乙同学第2局赢的概率是 ， ，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则， . 故答案为：； 74．（2025·海南·模拟预测）甲、乙两位同学参加一场答题竞赛，甲同学每次答对问题的概率为0.8，乙同学每次答对的概率为0.6，答题规则是如果该同学此题答对，则继续答题，如果答错则由对方进行答题，已知两位同学答第一题的概率相等，则第n次答题的同学是甲的概率是_______． 【答案】 【分析】根据题意写出第此由甲答题的情况，即第次甲答题且答对或者第次乙答题且答错，由此列递推关系求解. 【详解】第n次答题的同学是甲的概率设为，由乙答题的概率为 则第此由甲答题的情况为：第次甲答题且答对或者第次乙答题且答错， 所以，且，代入化简得则递推关系为， 当答题次数无限多时，，所以，解得，构造， 递推关系为，又，所以，即. 故答案为： 75．（2025·河南信阳·模拟预测）甲、乙两人进行射击比赛，每次由其中一人射击，规则如下：若击中则此人继续射击，若未击中则换对方射击．无论之前射击情况如何，甲每次射击的命中率均为，乙每次射击的命中率均，第一次射击的人是甲、乙的概率各为．求第三次射击的人是甲的概率为________． 【答案】 【分析】记“第次射击的人是甲”为事件，“第次射击的人是乙”为事件，设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列，最后代入计算即可. 【详解】记“第次射击的人是甲”为事件，“第次射击的人是乙”为事件， 设，依题可知，， 则， 即， 设，解得，则， 又，则，所以是首项为，公比为的等比数列， 即，． 则第次射击的人是甲的概率为. 当时， 故答案为：. $