精品解析：宁夏中卫市第一中学2025-2026学年度第二学期第1次过程性质量检测高二数学

中卫市第一中学2025-2026学年度第二学期第1次过程性质量检测 高二数学 一、单选题:（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 函数从到的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义直接进行计算即可求解. 【详解】由题得所求平均变化率为. 故选：C. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求函数的导数，根据函数的单调性和导数的关系，即可求解. 【详解】，， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 3. 函数在点处的切线斜率为2，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，求出，即可得解. 【详解】，， 故选：B. 4. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题目给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 5. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导判断导函数在内是否大于等于0恒成立即可. 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 6. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象，利用导数与函数单调性间的关系，得和时，的取值范围，即可求解. 【详解】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 7. 定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，再求解不等式即得. 【详解】令函数，求导得，而， 则，函数在上单调递增，又，则， 不等式，解得， 所以所求解集为. 故选：D 8. 奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【详解】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 二、多选题:（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的运算法则计算并判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 10. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据前项和求，利用通项公式判断A，求出判断B，利用裂项相消法求和判断C，利用分组求和判断D. 【详解】数列的前项和， 当时，， 而满足上式，因此. 对于A，，A正确； 对于B，，， 则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，， 数列的前项和为，C正确； 对于D，， 则数列前2025项的和为，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数与的图象如图所示，则（ ） A. 在区间上是单调递增的 B. 在区间上是单调递减的 C. 在区间上是单调递减的 D. 在区间单调递减的 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据函数的定义域，排除选项，再求函数的导数，根据图象，判断导数的正负，得到函数的单调性，即可判断选项. 【详解】当或时，，则函数的定义域为，排除选项BD； ，由图易得当时，，即，所以函数在上是单调递增的，故选项A正确； 又由图易得当时，， 即，所以函数在上是单调递减的，故选C正确； 故选：AC 12. 已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】将问题等价于在有两个不同的实数根，进一步转化为在有唯一不为1的根，构造函数，求导得单调性即可求解. 【详解】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则， 即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根， 令，则，故当 单调递增， 当 单调递减，且 即， 故选：BD 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 已知，则______. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】由解析式求出，代入即可求解. 【详解】因， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知数列通项公式，则数列的前9项和为______. 【答案】 【解析】 【分析】由通项公式可得，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，利用分组求和求解. 【详解】， 数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列． 则，． 则数列的前9项和 ． 故答案为：． 15. 若函数的导函数为．，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先算出导函数，再将代入求解即可． 【详解】由于，所以， 令，则， ． 故答案为：． 16. 若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】曲线与曲线存在公切线等价于导函数相等有解，求导后列出方程求解即可. 【详解】由，则，设切点为，切线斜率为， 所以，切线为，即， 由，则，设切点为，切线斜率为， 所以，切线为，即， 根据题设，若它们切线为公切线，则有，即， 又，即且，即， 由上关系式并消去并整理得在上有解， 令，则， 当，则，即，此时递增； 当，则或，即或，此时递减； 又，， 所以，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设切点并写出两曲线对应的切线方程，根据公切线列方程组，注意切点横坐标及参数a范围，进而转化为方程在某区内有解问题. 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列是等差数列，且，.求： （1）数列的通项公式； （2）设，求数列前5项和为. 【答案】（1） （2）682 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求得首项和公差，可得答案； （2）由（1）的结论可得的表达式，根据等比数列的前n项和，即可求得答案. 【小问1详解】 等差数列{an}中，设公差为d, 由，，可得， 解得：，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 由，可得， 则数列是首项为2，公比为4的等比数列， 所以. 18. 设 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处切线与曲线也相切，求的值； 【答案】（1）递减区间为(0,2)，递增区间为； （2）； 【解析】 【分析】（1）对求导，根据导数在区间内的符号判断单调区间； （2）利用导数的几何意义求切线方程，再由切线重合得到相关方程求参数值. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以，令， 所以函数递减区间为(0,2)，递增区间为． 【小问2详解】 由，则曲线在点处的切线的方程为， 设直线与曲线相切于点，且，结合切点在上， 所以，且. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）原问题即在区间上恒成立，分离参数，得在上恒成立，求解不等式得出答案. 【小问1详解】 由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立，所以，又，所以， 即取值范围为. 20. 设函数曲线通过点，且 在点处的切线垂直于y轴. （Ⅰ）用a分别表示b和c； （Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数的单调区间. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的单调递减区间为和；单调递增区间为. 【解析】 【分析】（Ⅰ）把代入到的解析式中得到c与a的解析式,解出c;求出,因为在点处的切线垂直于y轴,得到切线的斜率为0,即,代入导函数得到b与a的关系式,解出b即可； （Ⅱ）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数,根据二次函数求最值的方法出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值,代入中得到函数的解析式,根据求导法则求出的导函数,利用x的值分区间讨论的正负即可得到的增减区间. 【详解】(Ⅰ)因为 又因为曲线通过点, 故，而从而， 又曲线在处的切线垂直于y轴，故 即,因此. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 故当时，取得最小值. 此时有， 从而 所以 令，解得 当时，，故在上为减函数； 当时，故在上为减函数； 当时，故在上为减函数, 由此可见，函数的单调递减区间为和；单调递增区间为. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数研究函数的单调性,解题的关键是函数的导函数的求解,属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 21. 已知点在圆上运动，过点作轴，垂足为，点在线段上，且满足. （1）求点的轨迹方程； （2）若斜率为的直线经过点与曲线交于、两点，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题设，令，的位置及数量关系知，又在圆上，代入圆的方程即可得的轨迹方程； （2）由题意得直线为，联立曲线，整理得，应用韦达定理求弦及O到直线的距离d，而即可求面积. 【详解】（1）由题意，令，圆上任意一点，则， ∵点在圆上， ∴，即，又， ∴，故点不能与点重合， ∴，即点的轨迹方程是. （2）由已知，得直线的方程为，即， 由，可得，若设，，则，， 而O到直线的距离，又， ∴. 【点睛】关键点点睛： （1）根据点之间的位置及数量关系，用动点坐标表示已知曲线上的点坐标，代入曲线方程即可求动点轨迹； （2）由直线与椭圆的位置关系求交点弦所在三角形的面积，综合应用韦达定理求弦长，点线距离公式求高，进而求面积. 22. 设函数（a为非零常数） （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）1； （2）分类讨论，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线方程，再代入计算作答. （2）求出函数定义域，利用导数结合分类讨论求解单调区间作答. 【小问1详解】 函数，求导得：，则有，而， 因此曲线在点处的切线方程为，则有， 即，而，则， 所以实数的值为1. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增， 当时，由解得，， 当，即时，当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递增，在上单调递减， 当，即时，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，递减区间是，递增区间是； 当时，递增区间，，递减区间是； 当时，递增区间是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫市第一中学2025-2026学年度第二学期第1次过程性质量检测 高二数学 一、单选题:（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 函数从到的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A B. C. D. 3. 函数在点处的切线斜率为2，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A B. C. D. 二、多选题:（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C D. 10. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为 11. 已知函数与的图象如图所示，则（ ） A. 在区间上是单调递增 B. 在区间上是单调递减的 C. 在区间上是单调递减 D. 在区间单调递减的 12. 已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 已知，则______. 14. 已知数列通项公式，则数列的前9项和为______. 15. 若函数的导函数为．，且满足，则______． 16. 若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为__________． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列是等差数列，且，.求： （1）数列的通项公式； （2）设，求数列前5项和为. 18. 设 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 20. 设函数曲线通过点，且 在点处的切线垂直于y轴. （Ⅰ）用a分别表示b和c； （Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数的单调区间. 21. 已知点在圆上运动，过点作轴，垂足为，点在线段上，且满足. （1）求点的轨迹方程； （2）若斜率为的直线经过点与曲线交于、两点，求的面积. 22. 设函数（a为非零常数） （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）讨论函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $