黑龙江大庆市大庆中学2026届高三适应性考试数学试题

**基本信息** 高三数学适应性试卷，以黎锦织造技艺、无人驾驶大赛等真实情境为载体，覆盖函数、立体几何等核心知识，梯度设计考查数学抽象、逻辑推理与数据应用能力，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、向量、三角函数|注重概念辨析，夯实数学眼光基础| |多选题|3/18|统计分位数、数列、椭圆|结合数据情境，考查推理与数据分析| |填空题|3/15|抛物线、二项式定理、排列组合|无人驾驶志愿者选派体现应用意识| |解答题|5/69|三角、立体几何、双曲线、概率、函数导数|黎锦概率题融合文化传承，函数导数题考查逻辑推理与创新意识|

:高三年级适应性考试数学 【答案】 1.D 2.B3.B 4.A 5.A 6.A7.C 8.C 9.ACD 10.ABD 11.ACD 12.(4,0) 13.28 14.36 15.解：(1)解：acosB+bcosA=2 ccosC, 利用正弦定理：sinAcosB+cosAsinB=2 sinCcosC, 整理得：sin(A+B)=sinC=2 sinCcosC, 由于sinC≠0， 所以cosC=3因为0<C<m,所以C= (2)C=Fa=2b,c=V3, “c2=a2+b2-2abc0sC,即3=4b2+b2-2×2b×b×=3b2, 解得b=1(负值己舍去)，则a=2, 5.ABc=absinC-=x1×2×9= 2 16.解：(1)已知PA1底面ABCD,且AEC底面ABCD, 所以PA1AE,因为∠BAD=120°，AB/CD,所以∠ADC=60°， 又AD=CD=2,可得△ADC为等边三角形， 又E为CD的中点，所以AE⊥CD,又AB/CD,所以AE⊥AB, 又PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以AE⊥平面PAB. (2)在Rt△ACB中，∠BAC=60°，AC=2,所以AB=4, 由(1)知AE,AB,AP两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 第1页，共10页 ZA D E DC=2,AE=√3，PA=V6,则A(0,0,0),P(0,0,V6),C(V3,1,0),D(V3,-1,0),B(0,4,0), 因为PA⊥底面ABCD,且BCC底面ABCD,所以PA⊥BC, 由∠ACB=90°，可得BC1AC,又PAnAC=A,PA,ACC平面PAC, 所以BC1平面PAC,可知BC=(√3，-3,0)是平面PCA的一个法向量， 又DC=(0,2,0),PC=(3,1,-V6), 设平白cD的法到量为i=ab),则1利慨：月0 (P元.元=0 即0bV6c=0a=.预=(W2a 设平面PcD与平面PcA的夹角为9，a∈[o,月引， 所以cos9=lkos(BC,= Bc6= BC1H-2W3√万61 所以平面PGD与平面PCA夹角的余弦值为。 17.解：(Q因为双曲线C:号-三=1a>0,6>0的一条新近线方程为2x+y=0,其顶点到箭近线的距 离为2 (他=2 所以3 解得a=V5 2a则=2 (b=2V5 V5 所以双曲线c的方程为污-茶=1· (2)由题知F(-5,0),且直线的斜率不为0， 设直线的方程为x=my-5,A(x1y1),B(x2y2), (x=my-5 联立方程 -6=1 消x得(4m2-1)y2-40my+80=0(4m2-1≠0)， 第2页，共10页 4=1600m2-4×80×(4m2-1)=320(m2+1)>0, 80 40m 所以y2=4m2y+y2=4m2= 设0到l的距离为d,则d= 5 Vm2+1 |AB|=Vm2+1. 4×80_8V5(m2+1) 4m2-1 14m2-11 所以Sa0AB=AB1·d= 8V5(m2+ 5 20V10 2 14m2-1 2×了m2+1 3 解得m=±1， 所以直线的方程为x+y+5=0或x-y+5=0. 18.解：(1)因为甲、乙、丙通过纺线设计环节的概率依次为营寻、子 所以甲、乙、丙不通过纺线设计环节的概率依次为1-专=专1-}=是1-号号 所以甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节的概率为P=专××兮+××+××号 2=品-易 60 (2②)甲成为成品的概率为×子=手乙成为成品的概率为×号=克丙成为成品的概率为号×号 X的可能取值为0,1,2,3， Px=0)=(1-3×1-月x1-月=号x×号=： Px=)3x1-分xa-3+a-3×2xa-3+a是xa-习×写 3 -xx号+号×x号+号x×结2-品- 30 P-2)3xx-3+x1-2×写+1-3××写 11 -××号+××+号×对x对02=品 30 30 PX=3)=是××品 随机变量X的分布列如下所示： 1 3 2 11 1 15 5 30 10 E0=0x+1×号+2×+3×0-号++=49- 30 Γ30 第3页，共10页 19.解：(1)当a=0时，f)= f'()=*1=x- x2 x2 在点(1,9处，切线斜率k=f'(①)=4卫=0. 12 由点斜式方程得切线方程为y-e=0·(x-1),即y=e. (2)由题意得，函数f(x)的定义域为(0，+o),f()=-a(x-ln). 求导得f=-1-)=-四， x2 情况1：当a≤0时，因为x>0,所以ex-ax>0, 则f'(x)的符号由x-1决定： 当0<x<1时，x-1<0,f'(x)<0; 当x>1时，x-1>0,f'(x)>0. 故f(x)在x=1处取极小值（最小值），f(1)=e-a. 因为a≤0，所以f(1)=e-a≥e>0,即f(x)≥0. 情况2：当0<a≤e时令g(x)=ex-ax,则g(x)=ex-a,令g'(x)=0得x=lna. g(x)在(0，lna)递减，在na,+o)递增，最小值glna)=a(1-lna). 因为0<a≤e,所以na≤1,1-na≥0，故g(x)≥0（当且仅当a=e且x=1时等号成立）. 此时f'(x)符号仍由x-1决定，同情况1，f(x)在x=1处取最小值f(1)=e-a≥0. 综上，当a≤e时，f(x)≥0. (3)要使f)有两个极小值点，需f'(x=-C-a有两个变号零点. x2 由(2)知，当a>e时，g(x)=ex-ax有两个零点t1<t2(t1∈(0,1)，t2∈(1，+oo),此时f(x)的极小值点为 X1=t1,X2=t2,Hexi=ax1'ex2=ax2. 两式相除得ex2-x=2, x1 令k=号k>1小则=，代入得e-=k,故x兰x=尝 于是2x1+x2=+2k>1), k-1 设F()=2,来导得F()-t2 k(k-1)2 令G(k)=k2+k-2-3knk,分析可知G(k)在(2,3)内存在零点k1,使得F(k)在(1，k1)递减，在(k1,+o)递 第4页，共10页 增，故F(k)的最小值在k∈(2,3)时取得， 计算得F(2)≈2.772，F(3)≈2.746，故2x1+x2的最小值约为2.746，则整数m的最大值为2. 【解析】 1.【分析】 本题考查了补集及其运算，属于基础题， 根据补集的定义直接求解即可， 【解答】 解：全集U={0,1,2,3,4 集合A={x∈UI川x-2引<1}， .CwA={x∈U|lx-2|≥1)={x∈U川x≤1或x≥3}={0,1,3,4. 故选D 2.【分析】 本题考查了复数的运算法则，属于基础题， 直接计算即可. 【解答】 解：原式=2-1+3i=1+3i. 故选：B. 3.【分析】 本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题， 直接利用向量的数量积的求法，化简求解即可. 【解答】 解：向量与b的夹角为45°，d=v2,b1=2, 则a·a-2而=2-2a.万=2-2×√2×2×巨=-2. 2 故选B. 4.【分析】 本题主要考查了诱导公式的简单应用，属于基础题. 由已知结合诱导公式进行化简即可求解。 【解答】 解：因为cosξ+a)=- 第5页，共10页 则sin(号+)）=sin(吃n+若+a)=cos(ξ+网=-号 故选：A. 5.设等比数列{an的公比为q.因为3S3=8a2+5a1,所以3(a1+a2+a3)=8a2+5a1,所以3a3=5a2+ 2a1,所以3a192=5a19+2a1又因为an>0,所以3g2=5q+2,解得q=2或q=-(舍)，故选A. 6.【分析】 本题考查三棱锥的外接球的表面积，属于基础题. 突破口在三棱锥是长方体的一个角，扩展的长方体与三棱锥有相同的外接球. 【解答】 解：三棱锥S一ABC中，共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，V6,3, 又三棱锥的四个顶点同在一个球面上，则三棱锥是长方体的一个角，可扩展为长、宽、高分别为3、√6、1的 长方体， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径， 所以球的直径为，12+（√62+32=4，半径为2， 外接球的表面积为4π×22=16π. 故选：A. 7.【分析】 首先利用题的条件，结合正方体的特征，对选项逐一分析，判断对应的命题是否正确，从而选出正确的结 果 【解答】 解：对于A,因为正方体中AC⊥BD,AC⊥D1D,BDC平面BB1DD,D1DC平面BB1D1D, BD∩D1D=D,所以AC⊥平面BB1D1D,BEC平面BB1D1D,所以AC1BE,所以A对； 对于B,因为三棱锥A一BEF的底面△BEF面积不变，A点到底面距离不变，即A点到平面BB,D,D的距 离，所以体积为定值，所以B对： 对于C,过E作EE1//A1B1,交D1A1于E1,作FF1/1A1B1,交D1A1于F1,连接E1A,F1A,如图所示： 第6页，共10页 C B B AB1平面E1AF,所以∠E1AF为二面角F-AB-E的平面角，不是定值，所以C错： 对于D,二面角A-EF-B与二面角A-BD1-B相同，二面角A-B1D1-B大小为定值，所以D对. 故选：C. 8.【分析】 本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象的交点与方程的根的关系，考查数形结合思想，属于较 难题. 由题意求得函数的周期，根据偶函数的性质及当x∈[-2,0]时函数解析式，画出函数y=f(x)(-2<x<6)与 y=10g8(x+2)的图象，根据图象可知两函数在区间(-2,6)上有3个不同的交点，可得结果. 【解答】 解：函数f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R,都有f(2+x)=f(2-x), ·.f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[2-(x+2)]=f(-x)=f(x), 函数f(x)是一个周期函数，且周期T=4. 当xe[-2,0时，f)=-1, 且函数f(x)是定义在R上的偶函数， 则函数y=f(x)(-2<x<6)与y=log8(x+2)的图象如下图所示： -2 根据图象可得y=f(x)与y=log8(x+2)在区间(-2,6)上有3个不同的交点， 第7页，共10页 故在区间(-2,6)内关于x的方程f(x)一l0g8x+2)=0解的个数为3， 故选C. 9.解：将数据从小到大排序得：-4，-2，-1,0,1,3,3. 对于A,3出现两次，其余一次，众数为3，故A正确； 对于B,7×60%=4.2,不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误； 对于C,平均数元=二4-2+1+0-1+33=0， 7 方差s2=号×[(-4)2+(-2)2+(-1)2+02+12+32+32]=9>5，故C正确： 7 对于D,原平均数为0，新数据-2小于0，加入后平均数变为°。2=-0.25<0，确实变小，故D正确。 8 故选ACD. 10.【分析】 本题考查等差数列的性质以及等差数列的前项和，属于基础题. 根据题意，等差数列{an}中，由S14>0可得a7+a8>0,由S15<0可得a8<0,进而分析可得前7项为正数， 从第8项开始为负数，则a1>0,d<0,据此分析选项即可得答案， 【解答】 解：根据题意，等差数列{an的前n项和是Sm,且S14>0,S1s<0, 则S14=14xa+a型=7a1+a4)=7a,+a8)>0,即a7+8>0, 2 S15=15xa+1=15a8<0,即a8<0,则a,>0, 2 故等差数列{a的前7项为正数，从第8项开始为负数， 则a1>0,d<0,则有S7为Sn的最大值， 故A,B,D正确， 故选：ABD, YA 11.解：由题意可得a=4,b=2√3，c=2, 所以F(-2,0),F2(2,0),IPF|+IPF引=2a=8, 在A选项中，△PFF的周长为PF|+IPF2|+IEF|=8+4=12,A正确， F2 在B选项中，P在短轴端点时∠FPE2最大， 此时IPF|=1PF2引=EF2|=4,△PEE为等边三角形， 最大角为号<受，不存在满足条件的P,B错误， 在C选项中，设P(x,y),PF·PF=(-2-x)(2-x)+y2=x2+y2-4, 第8页，共10页 代入椭圆y2=12-买，得P丽·P历=号+8， 又x∈[-4,4纠，x2最大值为16，代入得最大值为华+8=12，C正确， 在D选项中，过F作直线PF的垂线，垂足记为H, 当H与F不重合时，△FF2H为直角三角形，IEH川<IEE2引=4， 当H与E重合时，E到PF2距离等于|EE2引=4，D正确， 故选：ACD 由椭圆方程得出基本参数α，b,c,进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析∠FPF2最大值情况判断B选 项，分析x取值及相关距离情况判断C、D选项. 本题主要考查了椭圆性质，椭圆与平面向量及椭圆定理的综合应用，属于中档题. 12.【分析】 本题考查抛物线的焦点坐标，属于基础题， 形如y2=2px,p≠0)的抛物线的焦点坐标为（号，0）， 由此即可得解。 【解答】 解：由题意抛物线的标准方程为y2=16x,所以其焦点坐标为(4,0)， 故答案为：(4,0). 13.【分析】 本题主要考查了二项式展开式的特定项问题，属于基础题. 根据二项式的展开式的通项公式进行计算，然后令x的指数为0即可得到r的值，代入r的值即可算出常数项. 【解答】 解：由题意可知： 此二项式的展开式的通项为： T+1=Cg(2)8-r(-3)=Cg28-T·(-8”·x8-r·()”=Cg·(-1)r28-4r,x8-4r, 当8-4=0，即r=2时，T+1为常数项. 此时73=C8·(-1)2.28-4×2=28. 故答案为：28. 14.【分析】 本题考查分类计数原理的应用，考查带有限制条件的元素的排列问题，考查利用排列组合知识解决实际问 题的能力. 第9页，共10页 若小张或小赵其中一人入选，则有选法C2C2A,若小张、小赵都入选，则有选法AA号，根据分类计数原理 知共有选法24+12种. 【解答】 解：由题意知本题需要分类， 若小张或小赵只有一人入选，则有选法C2C2A=24: 若小张、小赵都入选，则有选法AA号=12， 根据分类计数原理知共有选法24+12=36种 故答案为：36. 15.(1)利用正弦定理，结合恒等变形可得c0sC=子进而得到C即可； (2)利用余弦定理解出b,进而得到α，再根据面积公式计算即可. 16.详细解答和解析过程见【答案】 17.(1)根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程以及顶点坐标和点到直线的距离公式列出方程组，解方程组 后代入双曲线标准方程即可： (2)设出直线，联立直线和双曲线的方程，根据弦长公式得到三角形的底，再根据点到直线的距离公式得到 三角形的高，列出关于面积的方程，求解后代入直线即可. 本题考查双曲线方程的应用，属于中档题， 18.(1)先根据相互独立事件的概率公式，依次求出甲、乙、丙三幅作品通过纺线设计环节的概率，再由并 事件的加法公式求解即可； (2)先分别求出甲、乙、丙分别成为成品的概率，再结合相互独立事件的概率公式求出每个X的取值所对应 的概率，即可得分布列，然后由数学期望的计算公式求解即可. 本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，还涉及相互独立事件的概率公式，条件概率公式等，考查 逻辑推理能力和运算能力，属于中档题 19.详细解答和解析过程见【答案】 第10页，共10页 高三年级适应性考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集，集合，则(    ) A. B. C. D. 2.(    ) A. B. C. D. 3.已知向量与的夹角为，，，则(    ) A. B. C. D. 4.若，那么的值为(    ) A. B. C. D. 5.设正项等比数列的前项和为，若，则数列的公比是     A. B. 或 C. D. 或 6.一个三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且长度分别为，，，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(    ) A. B. C. D. 7.已知正方体的边长为，为边上两动点，且，则下列结论中错误的是(    ) A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 二面角的大小为定值 D. 二面角的大小为定值 8.设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则在区间内关于的方程解的个数为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.年是“十四五”环境治理规划的关键验收年某市生态环境局为评估辅助预测模型的准确性，记录了某月连续天的预测误差预测误差实际浓度预测浓度，单位：如下表： 日期 预测误差 下列关于这天预测误差的描述中，正确的有(    ) A. 这组数据的众数是 B. 这组数据的分位数是 C. 这组数据的方差大于 D. 若第天该模型预测误差为，则加入第天数据后，新数据组的平均数将变小 10.设等差数列的前项和是，已知，，则下列选项正确的有(    ) A. ， B. C. 与均为的最大值 D. 11.椭圆的左、右焦点为，，为上的动点，下列说法正确的是(    ) A. 的周长为 B. 存在点，使 C. 的最大值为 D. 到的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知抛物线，则焦点坐标为           13.的展开式中的常数项为          ． 14.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有          种 四、解答题：本题共5小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，角所对的边分别为，且． 求； 若，求的面积． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，，为的中点，已知，，． 求证： 平面 若，求平面与平面夹角的余弦值． 17.本小题分 已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为． 求的方程 过的直线与交于，两点，为坐标原点若的面积为，求直线的方程． 18.本小题分 黎锦织造技艺是海南国家级非物质文化遗产， 一幅黎锦作品的完成需经过“纺线设计”和“织锦制作”两大独立环节， 只有纺线设计通过后才能进行织锦制作， 且只有同时通过两个环节才能成为成品某黎锦工坊准备制作甲、乙、丙三幅不同的黎锦作品， 已知甲、乙、丙通过纺线设计环节的概率依次为、、通过织锦制作环节的概率依次为、、． 求甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节的概率 经过纺线设计和织锦制作两个环节后，甲、乙、丙三幅作品成为成品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望． 19.本小题分 已知函数 当时，求曲线在点处的切线方程 当时，证明 若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，，都有恒成立，求符合条件的整数的最大值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $