精品解析：黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题 考试范围：高考范围；考试时间：120分钟：满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法法则求得，利用可求解. 【详解】，. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可得集合. 【详解】， 对于，则，解得， 故，所以， 故选：D. 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，将角的终边按照顺时针方向旋转后得到角，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据终边的点求出的值，得到，将化为，代入求值. 【详解】因为角终边经过点， 所以，且为第三象限角, 所以， 又将角的终边按照顺时针方向旋转后得到角，所以， 所以 故选：D 4. 若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 5. 将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（ ） A. 26种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个计数原理以及分组分配问题的解法结合组合数的性质求解即可. 【详解】当1号实验室有1人时，即专家，其余4名专家分配到2号和3号实验室， 且每个实验室至少1人，分配方案有种； 当1号实验室有2人时，先从其余4名专家中选1人到1号实验室有种方法， 再将其余3名专家分配到2号和3号实验室且每个实验室至少1人有种方法， 故共有种； 当1号实验室有3人时，分配方案有种； 可得不同的分配方案共有种． 故答案为：50 6. 已知点为椭圆上异于左右顶点的动点，为其左右焦点，若有且只有两个点使得，当时，与椭圆交于另一点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆对称性可知为椭圆上、下顶点时满足题意，再利用椭圆定义以及余弦定理计算可得椭圆离心率. 【详解】依题意由椭圆对称性可知，为椭圆上、下顶点时，有且只有两个点使得， 此时，在中，易知. 当时，易知， 又，所以. 在中，又， 即可得，解得， 因此椭圆的离心率. 故选：D 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求导分析单调性，可得与的大小关系，又，结合余弦函数的单调性，可得与的大小关系． 【详解】令， 则， 令，得， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以， 所以，即， 所以，即， 因为， 所以，即 所以． 故选：C． 8. 已知函数 若方程有三个不相等的实数根，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出的图象，将“方程有三个不相等的实数根”转化为“函数的图象与直线 有三个不同的交点”，求得，由对数的运算性质，易得，所以，由此可得的取值范围. 【详解】令，得，所以. 因为是增函数，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 所以的图象如图所示： 方程 有三个不相等的实数根，且， 则函数的图象与直线 有三个不同的交点，交点横坐标分别为，且. 因为，且，所以 . 当时，令，则； 当时，令，得，所以. 所以. 结合的解析式及图象，知，即，所以，所以. 所以，所以的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的对称轴方程为 C. D. 若关于的方程在上有两个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式，再借助余弦函数的图象性质逐项求解判断. 【详解】观察函数的图象，函数的最小正周期，则， 由，得，而，解得， 因此， 对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得的对称轴方程为，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到， 在上单调递增，函数值从增大到，当且仅当时， 直线与函数在上的图象有两个交点，即在上有两个根，D正确. 故选：ABD 10. 已知向量，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据向量垂直得到方程，求出；B选项，根据得到B正确；C选项，由投影向量的公式得到C正确；D选项，举出反例得到D错误. 【详解】A选项，，若， 则，解得，A错误； B选项，，则，故， 所以，B正确； C选项，， 在上的投影向量为，C正确； D选项，， 故，当时，，D错误. 故选；BC 11. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面ABCD C. 异面直线AE，BF所成的角为定值 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过线面的垂直关系可判A项真假；根据线面平行可判B项真假；根据列举特殊情况可判C项真假;根据三棱锥的体积计算的公式可判D项真假； 【详解】因为， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以，故A项正确； 易知，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故B项正确； 当点E在点处，F为的中点时，由，可得异面直线AE，BF所成的角是， 此时,, 当E为上底面中心时，F在的位置，此时异面直线AE，BF所成的角是， 此时 , ,所以， 所以异面直线AE，BF所成的角不是定值，所以C错误； 如图，连接交于点. 因为平面，平面， 所以，所以 因为平面， 所以A到平面的距离为， 所以为定值，故D项正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出曲线在处的切线，再设切点求出参数的值即可. 【详解】由，得. 因为，，所以曲线在处的切线方程为. 设直线与曲线相切于点，， 所以，解得，所以， 所以. 故答案为： 13. 小龙虾是江汉平原的一种特色美食，它的口味有多种，据调查江汉平原地区喜欢麻辣口味的食客占，喜欢蒜蓉口味的食客占，既喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客占，现从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，则此人喜欢麻辣口味的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算出不喜欢蒜蓉口味的食客的概率，再计算出喜欢麻辣口味但不喜欢蒜蓉口味的食客的概率，最后利用条件概率求解即可. 【详解】记事件：喜欢麻辣口味的食客；记事件：喜欢蒜蓉口味的食客， 则喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客为， 由题意可知， 则不喜欢蒜蓉口味的食客的概率为：， 由喜欢麻辣口味但不喜欢蒜蓉口味的食客的事件为：， 则， 所以从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人， 则此人喜欢麻辣口味的概率为：， 故答案为：. 14. 已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则__________，___________. 【答案】 ①. 171 ②. 【解析】 【分析】先求出，分和，求出通项公式，进而分组求和，得到答案. 【详解】由题知，解得， 当是偶数，是奇数，故， 所以，因为， 故是首项为，公比为2的等比数列， 故，. 所以当时，， 所以 ； . 故答案为：171； 四、解答题 15. 中，角所对的边分别为. （1）若，求； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理可得； （2）利用辅助角公式化简求出，然后利用正、余弦定理，结合三角形面积公式求解可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，由正弦定理得，解得. 【小问2详解】 因为，所以，即， 因为，所以，所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，． （1）证明：； （2）若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 【答案】（1）在中，， 由余弦定理可得：， 则 ，所以有，则 由平面平面，平面 平面， 且， 平面，则 平面 ， 又 平面 ，则. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质，可得 平面 ，据此可得线线垂直； （2）建立如图所示空间直角坐标，根据异面直线所成的角求出点的坐标，再由点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 中点分别为，连接 由为正三角形知， ， 结合（1）中 平面 ，由，可知平面 ，则两两垂直， 如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 可得 设，则，且， 可得 由，解得或（舍去）， 则，且 故点到直线的距离 17. 已知双曲线的右焦点为，点到其渐近线的距离为1，且的离心率为 . （1）求的标准方程； （2）若，直线与双曲线交于两点，且直线的斜率之和为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率并结合题干即可求出； （2）联立直线与双曲线的方程得到，再根据韦达定理得到，最后根据直线的斜率之和为，列式求出的值即可. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为，即， 故点到其渐近线的距离为， 又，， 又的离心率为 ，，即， ，解得， 故的标准方程为. 【小问2详解】 设， 联立，即， 又直线与双曲线交于两点， ，即， ， 又，，， ， 又直线的斜率之和为， ，解得或（舍去）， 故直线的方程为. 18. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种的概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可； （2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可. 【小问1详解】 对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为， 由题意可知，的可能取值有，且， 则，， ，， 则的分布列如下： 则数学期望为； 【小问2详解】 由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为， 由，得， 因为为正整数，所以， 则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； （3）当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论可得函数f（x）的单调性； （2）由题意可得在区间上有两个不相等的实数根，进而利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由（1）知函数单调递增，进而有且对恒成立，利用基本不等式可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时，，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由函数的图象上存在两个点在两点处的切线的斜率都为， 可知，在上有两个不相等的实数根， 即关于x的方程在上有两个不相等的实数根， 上述方程可整理为. 则，解得或， 故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 当时，由（1）可知函数在上单调递增， 不等式可化为， 因恒成立，则可得且对恒成立. 又由 . 当且仅当，即或时取等号， 故实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题 考试范围：高考范围；考试时间：120分钟：满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，将角的终边按照顺时针方向旋转后得到角，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 4. 若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 5. 将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（ ） A. 26种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种 6. 已知点为椭圆上异于左右顶点的动点，为其左右焦点，若有且只有两个点使得，当时，与椭圆交于另一点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 若方程有三个不相等的实数根，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的对称轴方程为 C. D. 若关于的方程在上有两个根，则 10. 已知向量，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为 11. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面ABCD C. 异面直线AE，BF所成的角为定值 D. 三棱锥的体积为定值 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为________． 13. 小龙虾是江汉平原的一种特色美食，它的口味有多种，据调查江汉平原地区喜欢麻辣口味的食客占，喜欢蒜蓉口味的食客占，既喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客占，现从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，则此人喜欢麻辣口味的概率为______. 14. 已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则__________，___________. 四、解答题 15. 中，角所对的边分别为. （1）若，求； （2）若，求的面积. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，． （1）证明：； （2）若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 17. 已知双曲线的右焦点为，点到其渐近线的距离为1，且的离心率为 . （1）求的标准方程； （2）若，直线与双曲线交于两点，且直线的斜率之和为，求直线的方程. 18. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； （3）当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $