湖南株洲市南方中学2026届高三5月考前全真模拟考试数学试题

**基本信息** 高三数学模拟卷聚焦核心素养，以AI算力、四叶草曲线等科技与几何情境为载体，通过分层设问考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配高考实战需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|数列、双曲线、立体几何、函数导数、概率|19题乒乓球比赛规则结合概率考查应用意识，17题立体几何三问递进培养空间观念| |填空题|3/15|排列组合、向量投影、球的表面积|14题正方体嵌套球系列问题创新考查空间想象与极限思维| |多选题|3/18|统计概率、函数性质、解三角形|9题结合二项分布与正态分布深化数据意识，11题锐角三角形与四边形面积综合考查推理能力|

2026届三模数学参考答案及评分标准 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C C C B A A 8.【详解】显然点为抛物线的焦点，分别记，的横坐标为，， 如下图，过，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，， 过作直线的垂线，垂足为，依题意，，， 由，得，， 因此，即，所以的斜率为， 所以直线的方程为，联立， 得，解得， 结合图形可知. 联立，得，解得， 结合图形可知， 所以线段的中点横坐标为， 即线段的中点到轴的距离为. 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABD AD ABD 三、填空题 12．16 13．2 14． 14.【详解】如图，过棱作正方体的截面，由对称性知，这些球的球心都在线段上，与底面ABCD的切点都在线段AC上. 设第i（1，2，…）个球的球心为，半径为，与底面ABCD切于， 作于P，由∽，得， 解得，同理可得，对于任意，， 又由于＝1，所以，其表面积， 所以，注意到当时， ，此时， 且，故M的最小值为 4、 解答题 15. 【详解】（1）当时，；-----------------------1分 当时， . ----------4分 当时，上式亦成立.所以，. ------------6分 （2）由题意，所以 .----10分 所以 ------------------13分 16. 【详解】（1）由实轴长为2可得，即；---------------1分 再由离心率为可得，即，----------------2分 所以，可得双曲线的标准方程为；---------------4分 （2）如下图所示：联立，整理可得， 显然，且，解得且；----------------6分 设，可得 ---------------------------7分 所以 ， ------------------------------------------12分 即，解得，不满足且，不合题意； 因此不存在满足 ------------------------------------15分 17.详解】（1）由题知， 由余弦定理得， ∴，∴，∴，----------------------2分 又，平面，，---------------4分 ∴平面；--------------------------------------------------------5分 （2）如图，过作的垂线，垂足为，则， ∵四边形为等腰梯形，∴. 由（1）知，平面， ∴，又，平面，， ∴平面，∴，∴两两互相垂直，----------7分 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， ∴， 设平面的法向量为， 由得， 令，得，------------------9分 ， 故与平面夹角的正弦值为；-----------------10分 （3）存在. 假设存在，设， 则， 设平面的法向量为， 由得， 令，得，-------------------------12分 ∴， 由题知，解得.-------------------14分 综上，存在点符合，且----------------------------15分 18.【详解】（1）由得，---------1分 令，得，故函数在区间上单调递增，----------------------2分 令，得，故函数在区间上单调递减，------------------------3分 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减;---------------------------4分 （2）当时，不等式可化为， 变形为即--------------------6分 同构函数，求导得， 所以在上是增函数. 所以原不等式可化为， 根据单调性可得:------------------------------------------------8分 再构造，则 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的，--------------------------------10分 所以的最小值为;-----------------------------------------------11分 （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得: ----------------------------------13分 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有，-------------------------14分 故，又由且可得，---------------------------------------------15分 而 令， 则， 因为所以，即， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围.-----------------17分 19.【详解】（1）由题意，．当时，． 规则一中表示甲在五局三胜制中获胜的概率． 若甲以3∶0获胜，概率为；若甲以3∶1获胜，则前3球中甲赢2球、乙赢1球，最后一球甲赢，概率为 ；若甲以3∶2获胜，则前4球中甲赢2球、乙赢2球，最后一球甲赢，概率为． 所以．------------------------------2分 规则二中表示若一方赢得至少3球且领先2球就获胜，否则先赢4球者获胜时甲获胜的概率． 甲可能以3∶0，3∶1，4∶2，4∶3获胜．其中，3∶0的概率为；3∶1的概率为 ；4∶2必须先打成2∶2，再由甲连赢两球，概率为；4∶3必须先打成2∶2，再经过一胜一负，最后甲赢，概率为． 所以．-------------------------5分 （2）当 时，规则二为：若一方赢得至少2球且领先对手至少2球则获胜，否则先赢 球的一方获胜． 若比赛在2球结束，则比分只能是2∶0或0∶2，不属于事件；若比赛在15球结束，则比分只能是8∶7或7∶8，也不属于事件．-----------------------------------------------------------------------------------6分 因此，在事件发生时，比赛过程必为：先打成1∶1，之后经过若干次“每两球双方各胜一球”，最后由某一方连胜两球结束．------------------------------------------------------------------------------------------7分 设“每两球双方各胜一球”的次数为，则 ．每一次双方各胜一球的概率为．若最后甲连胜两球，则甲获胜；若最后乙连胜两球，则乙获胜． 于是，．----------------------------------------8分 因为，，所以． 代入，得 ．----------10分 （3）设甲、乙持续比赛，不因规则停止，令随机变量表示前球中甲赢得的球数，则． 由规则一可知，．按前球中甲赢球数分类，得 ． ----------------------------------11分 再看．此时规则二为：若一方赢得至少球且领先球则获胜，否则先赢球的一方获胜． 若 ，则甲在前球中至少赢球且至少领先球，甲获胜； 若 ，则前球比分为 ， 此后甲获胜有两类情况： 一是甲连赢两球，概率为； 二是接下来的两球双方各胜一球，再由甲赢下一球，概率为 ． 所以．--------------------------------------------13分 因此． 又，且， 所以． 因为，且，所以 ，即．---------------------------------14分 下面证明． 由规则一可知，． 仍按前球中甲赢球数分类：若 ，则甲必然满足 ； 若 ，则后三球中甲至少赢1球即可，概率为； 若 ，则后三球中甲至少赢2球即可，概率为 ； 若 ，则后三球必须甲全胜，概率为． 所以． 另一方面，由上面对的分析，． 两式相减，得． 又，，且， 所以 ．因此． 综上，.------------------------------------------------------------------------------------17分 2026年5月检测卷·数学参考答案及评分标准 第4页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市南方中学2026届高三5月第三次全真模拟考试 高三 数学 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足z·(1－i)2＝(1＋i)3，则＝ A．1＋i B．－1＋i C．1－i D．－1－i 2．已知A＝{x∈Z|4－x2≥0}，B＝{x|y＝}，A∩B＝ A．[－2，1] B．(－∞，－2] C．{0,1} D．{－2,－1，0，1} 3.若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5.已知，则（   ） A． B． C． D． 6.若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列为“等差数列．已知为“等差数列，且，则（   ） A．91 B．111 C．121 D．133 7.已知圆台的上、下底面半径之比为3：4，母线(侧棱)长为，该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，若球O的表面积为100π，则该圆台的体积为（ ） A． B．12π C． D．13π 8.如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，曲线是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的曲线，且这四条抛物线的焦点共圆.若开口向右的抛物线方程为，过点的直线与曲线相交，记第一、四象限的四个交点由下至上依次为，，，，且，则线段的中点到轴的距离为（   ） A. B． C． D． 2. 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列结论正确的是（     ） A．随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3 B．相关系数 r 的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好 D．随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则 10.已知函数f(x)＝，则（ ） A wtyro :uId: wtyro .x＝1是f(x)的极小值点 B.当1＜x＜2时，f(x)＜f(x2) C.人.当0＜x＜1时f(x)＜f(2x) D.当－1＜x＜0时，f(x)＞f(4－x) 11.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA＝sinB，且(acosB＋bcosA)＝2csinC，点D是△ABC外一点且B、D在直线AC异侧，DC＝2，DA＝6，则下列说法正确的是( ) A．△ABC是等边三角形 B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积的最小值为10－12 D. 四边形ABCD面积的最大值为10＋12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校运动会需要5名同学(含甲、乙、丙等)排成一列参加入场式，其中甲不能站在队列两端，乙和丙之间恰好间隔2名同学，则不同的队列排法共有 . 13.已知向量a,b满足|a|＝|a－b|，且a－b在b上的投影向量为单位向量，则|b|＝ . 14.在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______ . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求 16.（本小题满分15分）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17.（本小题满分15分） 如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． (1)求证：平面； (2)求与平面夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. （本小题满分17分） 已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围 19.（本小题满分17分）.甲和乙进行乒乓球比赛，每一球甲赢的概率为，乙赢的概率为，每球的比赛结果相互独立，现从两套规则中选一套：规则一．双方进行球比赛，先赢得球的一方获胜：规则二，若一方赢得至少球且必须领先对手至少2球则获胜，否则先赢得球的一方获胜．设选择规则一时甲获胜的概率为，选择规则二时甲获胜的概率为．（为正整数） (1)若，求； (2)若选择规则二且，，，设随机变量表示一方获胜时进行的总球数，事件表示甲获胜，事件表示，求； (3)若，证明：. 2026届高三5月第三次全真模拟卷·数学 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $株洲市南方中学2026届高三5月第三次 全真模拟考试（数学）答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．__________ 13．_____________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $