期末复习资料（九）·数学广角专项——找次品（专项训练）-2025-2026学年人教版五年级数学下册

**基本信息** 以三分法为核心，通过基础与深度题梯度训练，系统构建找次品的最优策略与称量次数规律，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法总结|/|三分法（均分/差1分组）、称量次数规律（3ⁿ范围）、最不利情况分析|操作策略→规律归纳（3ⁿ关系）→数量拓展应用| |基础题|10题（含3/5/9个物品等）|运用三分法解决2-27个物品问题|从具体分组到初步规律应用| |深度题|10题（含28/100个物品等）|复杂数量分组与规律迁移|规律深化（3⁴-3⁵范围）与综合应用| |总结表|数量-次数关系表|3ⁿ公式化规律提炼|形成知识网络，强化模型意识|

人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项——找次品 人教版五年级数学下册期末复习 数学广角专项——找次品 适用学期：2025-2026学年第二学期 适用年级：五年级 教材版本：人教版 资料类型：专项训练/思维拓展题 建议使用时间：考前5天 总题量：20题（基础题10题 + 深度题10题） 第一部分：解题核心方法 【找次品的最优策略】 三分法：把待测物品分成3份，能够平均分的就平均分成3份；不能平均分的，应让多的一份与少的一份只相差1。这样称的次数最少。 称量次数规律： 2-3个物品 → 称1次 4-9个物品 → 称2次 10-27个物品 → 称3次 28-81个物品 → 称4次 82-243个物品 → 称5次 保证与至少：“至少称几次能保证找出次品”是指考虑最不利的情况（运气最差时），也能保证找到次品的最少次数。 第二部分：基础题（10题） 【例题】有3个乒乓球，其中1个是次品（比正品轻一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 【答案】1 【解析】把3个球分成3份（1，1，1）。天平两边各放1个，如果平衡，则剩下的那个是次品；如果不平衡，则轻的那边是次品。所以1次就能保证找出次品。 第1题：有5个零件，其中1个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 第2题：有8个零件，其中1个是次品（次品重一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 第3题：有9个零件，其中1个是次品（次品重一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 第4题：有10瓶钙片，其中1瓶少了3片（次品轻一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这瓶次品。 第5题：有12个零件，其中1个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 第6题：有15个零件，其中1个是次品（次品重一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 第7题：有17瓶矿泉水，其中1瓶是次品（次品轻一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 第8题：有27个乒乓球，其中1个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 第9题：有6袋饼干，其中1袋有奖品（比其他的重一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这袋饼干。 第10题：有4颗玻璃珠，其中1颗是次品（质量轻一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 第三部分：深度题（10题） 【例题】有81个零件，其中1个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 【答案】4 【解析】平均分成3份（27，27，27）。每称1次可以将范围缩小到原来的，所以需要4次。 第11题：有28个乒乓球，其中1个是次品（比正品重一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 第12题：有100个手机芯片，其中1个不合格（质量稍轻），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这个次品。 第13题：有13个兵乓球，其中12个质量相同，另有一个较轻一些，用天平称，至少称（ ）次能保证找出这个兵乓球。 第14题：有25个鸡蛋，其中24个同样重，另有一个比其他的略轻一些，用天平称，至少称（ ）次能保证找到这个鸡蛋。 第15题：有20瓶牛奶，其中一瓶略重一些，用天平称，至少称（ ）次就一定能找到这瓶牛奶。 第16题：有34个零件，其中一个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称（ ）次才能保证找出次品。 第17题：有19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，用天平至少称（ ）次能保证找到这个不合格的零件。 第18题：有100个手机芯片，用天平找次品的方法，至少称（ ）次保证找到这块芯片。 第19题：有26颗珍珠，其中1颗是假的（比真的轻一些），至少要称（ ）次才能找到假珍珠。 第20题：有35个零件，其中一个是次品（次品重一些），用天平称，至少称（ ）次才能保证找出次品。 第四部分：参考答案与解析 基础题参考答案与解析 第1题：2 【解析】把5个分成3份（2，2，1）。先称2个和2个：如果平衡，则剩下的1个是次品；如果不平衡，则轻的一边的2个中有次品，再称这2个，轻的是次品。所以至少需要2次。 第2题：2 【解析】把8个分成3份（3，3，2）。先称3个和3个：如果平衡，则次品在剩下的2个中，再称1次即可；如果不平衡，则重的一边的3个中有次品，从3个中取2个称，平衡则剩下的是次品，不平衡则重的是次品。所以至少需要2次。 第3题：2 【解析】把9个平均分成3份（3，3，3）。先称3个和3个：如果平衡，则次品在剩下的3个中；如果不平衡，则重的一边的3个中有次品。再从3个中称1次即可找出。所以至少需要2次。 第4题：3 【解析】把10瓶分成3份（3，3，4）。先称3个和3个：如果平衡，则次品在4瓶中，4瓶分成（2，2）再称1次确定在哪2瓶中，再称1次找出；如果不平衡，则轻的一边的3瓶中有次品，3瓶再称1次即可。所以至少需要3次。 第5题：3 【解析】把12个平均分成3份（4，4，4）。先称4个和4个：如果平衡，则次品在剩下的4个中；如果不平衡，则轻的一边的4个中有次品。4个再分成（2，2）称1次，再分成（1，1）称1次。所以至少需要3次。 第6题：3 【解析】把15个分成3份（5，5，5）。先称5个和5个：如果平衡，则次品在剩下的5个中；如果不平衡，则重的一边的5个中有次品。5个再分成（2，2，1）称1次确定在哪2个或直接找出，最后再称1次。所以至少需要3次。 第7题：3 【解析】把17瓶分成3份（6，6，5）。先称6个和6个：如果平衡，则次品在5瓶中，5瓶需要2次，总共3次；如果不平衡，则轻的一边的6瓶中有次品，6瓶分成（2，2，2）再称2次。所以至少需要3次。 第8题：3 【解析】把27个平均分成3份（9，9，9）。先称9个和9个：如果平衡，则次品在剩下的9个中；如果不平衡，则轻的一边的9个中有次品。9个需要2次，所以至少需要3次。 第9题：2 【解析】把6袋分成3份（2，2，2）。先称2袋和2袋：如果平衡，则次品在剩下的2袋中，再称1次；如果不平衡，则重的一边的2袋中有次品，再称1次即可。所以至少需要2次。 第10题：2 【解析】把4颗分成3份（1，1，2）。先称1颗和1颗：如果平衡，则次品在剩下的2颗中，再称1次即可；如果不平衡，则轻的那颗就是次品，一次成功（但考虑最不利情况，第一次平衡时需再称1次）。所以至少需要2次。 深度题参考答案与解析 第11题：4 【解析】28个在27-81之间。分成（10，9，9）。先称9和9：如果平衡，则次品在10个中，10个需要3次，总共4次；如果不平衡，则重的一边的9个中有次品，9个需要2次，总共3次。考虑最不利情况，需要4次。 第12题：5 【解析】100在81-243之间，3⁴=81，3⁵=243，81个需要4次，100个大于81，所以需要5次。 第13题：3 【解析】把13个分成3份（4，4，5）。先称4和4：如果平衡，则次品在5个中，5个需要2次，总共3次；如果不平衡，则轻的一边的4个中有次品，4个需要2次，总共3次。所以至少需要3次。 第14题：3 【解析】把25个分成3份（8，8，9）。先称8和8：如果平衡，则次品在9个中，9个需要2次，总共3次；如果不平衡，则轻的一边的8个中有次品，8个需要2次，总共3次。所以至少需要3次。 第15题：3 【解析】把20个分成3份（7，7，6）。先称7和7：如果平衡，则次品在6个中，6个需要2次，总共3次；如果不平衡，则重的一边的7个中有次品，7个需要2次，总共3次。所以至少需要3次。 第16题：4 【解析】把34个分成3份（11，11，12）。先称11和11：如果平衡，则次品在12个中，12个需要3次，总共4次；如果不平衡，则轻的一边的11个中有次品，11个需要3次，总共4次。所以至少需要4次。 第17题：3 【解析】把19个分成3份（6，6，7）。先称6和6：如果平衡，则次品在7个中，7个需要2次，总共3次；如果不平衡，则轻的一边的6个中有次品，6个需要2次，总共3次。所以至少需要3次。 第18题：5 【解析】100在81-243之间，3⁴=81，3⁵=243，所以需要5次。 第19题：3 【解析】把26个分成3份（9，9，8）。先称9和9：如果平衡，则次品在8个中，8个需要2次，总共3次；如果不平衡，则轻的一边的9个中有次品，9个需要2次，总共3次。所以至少需要3次。 第20题：4 【解析】35个分成3份（12，12，11）。先称12和12：如果平衡，则次品在11个中，11个需要3次，总共4次；如果不平衡，则重的一边的12个中有次品，12个需要3次，总共4次。所以至少需要4次。 第五部分：题型分类总结表 物品数量 至少称的次数 分组策略 规律 2-3个 1次 分成（1,1,1）或（1,1） 3⁰+1～3¹ 4-9个 2次 尽量平均分成3份 3¹+1～3² 10-27个 3次 尽量平均分成3份 3²+1～3³ 28-81个 4次 尽量平均分成3份 3³+1～3⁴ 82-243个 5次 尽量平均分成3份 3⁴+1～3⁵ 规律：称n次最多可以从3ⁿ个物品中找出次品。 第六部分：使用建议 难度分级建议： 基础题（第1-10题）：全体学生必做，掌握三分法基本应用 深度题（第11-20题）：目标95分以上学生选做，掌握较大数量物品的分组策略 建议每日安排： 基础题和深度题各用1天完成，共2天完成本专项训练。 —　2　— 学科网（北京）股份有限公司 $人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 人教版五年级数学下册期末复习 数学广角专项找次品 适用学期：2025-2026学年第二学期 适用年级：五年级 教材版本：人教版 资料类型：专项训练/思维拓展题 建议使用时间：考前5天 总题量：20题（基础题10题+深度题10题） 1 人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 第一部分：解题核心方法 【找次品的最优策略】 三分法：把待测物品分成3份，能够平均分的就平均分成3份；不能 平均分的，应让多的一份与少的一份只相差1。这样称的次数最少。 称量次数规律： 2-3个物品→称1次 4-9个物品→称2次 10-27个物品→称3次 28-81个物品→称4次 82-243个物品→称5次 保证与至少：“至少称几次能保证找出次品”是指考虑最不利的情况（运 气最差时)，也能保证找到次品的最少次数。 2 人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 第二部分：基础题(10题) 【例题】有3个乒乓球，其中1个是次品（比正品轻一些），用天平称， 至少称()次就一定能找出这个次品。 【答案】1 【解析】把3个球分成3份(1,1,1)。天平两边各放1个，如果平 衡，则剩下的那个是次品；如果不平衡，则轻的那边是次品。所以1次就 能保证找出次品。 第1题：有5个零件，其中1个是次品（次品轻一些），用天平称，至 少称()次就一定能找出这个次品。 第2题：有8个零件，其中1个是次品（次品重一些），用天平称，至 少称()次就一定能找出这个次品。 第3题：有9个零件，其中1个是次品（次品重一些），用天平称，至 少称()次就一定能找出这个次品。 第4题：有10瓶钙片，其中1瓶少了3片（次品轻一些），用天平称， 至少称()次就一定能找出这瓶次品。 第5题：有12个零件，其中1个是次品（次品轻一些），用天平称， 至少称()次就一定能找出这个次品。 第6题：有15个零件，其中1个是次品（次品重一些），用天平称， 至少称()次就一定能找出这个次品。 一3 人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 第7题：有17瓶矿泉水，其中1瓶是次品（次品轻一些），用天平称， 至少称()次就一定能找出这个次品。 第8题：有27个乒乓球，其中1个是次品（次品轻一些），用天平称， 至少称()次就一定能找出这个次品。 第9题：有6袋饼干，其中1袋有奖品（比其他的重一些），用天平称， 至少称()次就一定能找出这袋饼干。 第10题：有4颗玻璃珠，其中1颗是次品（质量轻一些），用天平称， 至少称()次就一定能找出这个次品。 一4— 人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 第三部分：深度题(10题) 【例题】有81个零件，其中1个是次品（次品轻一些），用天平称， 至少称()次就一定能找出这个次品。 【答案】4 【解析】平均分成3份(27,27,27)。每称1次可以将范围缩小到原 来的，所以需要4次。 第11题：有28个乒乓球，其中1个是次品（比正品重一些），用天平 称，至少称()次就一定能找出这个次品。 第12题：有100个手机芯片，其中1个不合格（质量稍轻），用天平 称，至少称()次就一定能找出这个次品。 第13题：有13个兵乓球，其中12个质量相同，另有一个较轻一些， 用天平称，至少称()次能保证找出这个兵乓球。 第14题：有25个鸡蛋，其中24个同样重，另有一个比其他的略轻 些，用天平称，至少称()次能保证找到这个鸡蛋。 第15题：有20瓶牛奶，其中一瓶略重一些，用天平称，至少称() 次就一定能找到这瓶牛奶。 第16题：有34个零件，其中一个是次品（次品轻一些），用天平称， 至少称()次才能保证找出次品。 第17题：有19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些， -5 人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 用天平至少称()次能保证找到这个不合格的零件。 第18题：有100个手机芯片，用天平找次品的方法，至少称() 次保证找到这块芯片。 第19题：有26颗珍珠，其中1颗是假的（比真的轻一些），至少要称 ()次才能找到假珍珠。 第20题：有35个零件，其中一个是次品（次品重一些)，用天平称， 至少称()次才能保证找出次品。 —6— 人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 第四部分：参考答案与解析 基础题参考答案与解析 第1题：2 【解析】把5个分成3份(2,2,1)。先称2个和2个：如果平衡， 则剩下的1个是次品；如果不平衡，则轻的一边的2个中有次品，再称这2 个，轻的是次品。所以至少需要2次。 第2题：2 【解析】把8个分成3份(3,3,2)。先称3个和3个：如果平衡， 则次品在剩下的2个中，再称1次即可：如果不平衡，则重的一边的3个 中有次品，从3个中取2个称，平衡则剩下的是次品，不平衡则重的是次 品。所以至少需要2次。 第3题：2 【解析】把9个平均分成3份(3,3,3)。先称3个和3个：如果平 衡，则次品在剩下的3个中；如果不平衡，则重的一边的3个中有次品。 再从3个中称1次即可找出。所以至少需要2次。 第4题：3 【解析】把10瓶分成3份(3,3,4)。先称3个和3个：如果平衡， 则次品在4瓶中，4瓶分成(2,2)再称1次确定在哪2瓶中，再称1次找 出；如果不平衡，则轻的一边的3瓶中有次品，3瓶再称1次即可。所以至 少需要3次。 第5题：3 【解析】把12个平均分成3份(4,4,4)。先称4个和4个：如果平 -7 人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 衡，则次品在剩下的4个中；如果不平衡，则轻的一边的4个中有次品。4 个再分成(2,2)称1次，再分成(1,1)称1次。所以至少需要3次。 第6题：3 【解析】把15个分成3份(5,5,5)。先称5个和5个：如果平衡， 则次品在剩下的5个中：如果不平衡，则重的一边的5个中有次品。5个再 分成(2,2,1)称1次确定在哪2个或直接找出，最后再称1次。所以至 少需要3次。 第7题：3 【解析】把17瓶分成3份(6,6,5)。先称6个和6个：如果平衡， 则次品在5瓶中，5瓶需要2次，总共3次；如果不平衡，则轻的一边的6 瓶中有次品，6瓶分成(2,2,2)再称2次。所以至少需要3次。 第8题：3 【解析】把27个平均分成3份(9,9,9)。先称9个和9个：如果平 衡，则次品在剩下的9个中；如果不平衡，则轻的一边的9个中有次品。9 个需要2次，所以至少需要3次。 第9题：2 【解析】把6袋分成3份(2,2,2)。先称2袋和2袋：如果平衡， 则次品在剩下的2袋中，再称1次；如果不平衡，则重的一边的2袋中有 次品，再称1次即可。所以至少需要2次。 第10题：2 【解析】把4颗分成3份(1,1,2)。先称1颗和1颗：如果平衡， 则次品在剩下的2颗中，再称1次即可；如果不平衡，则轻的那颗就是次 —8 人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 品，一次成功（但考虑最不利情况，第一次平衡时需再称1次）。所以至少 需要2次。 深度题参考答案与解析 第11题：4 【解析】28个在27-81之间。分成(10,9,9)。先称9和9：如果平 衡，则次品在10个中，10个需要3次，总共4次；如果不平衡，则重的一 边的9个中有次品，9个需要2次，总共3次。考虑最不利情况，需要4次。 第12题：5 【解析】100在81-243之间，34=81,35=243,81个需要4次，100 个大于81，所以需要5次。 第13题：3 【解析】把13个分成3份(4,4,5)。先称4和4：如果平衡，则次 品在5个中，5个需要2次，总共3次；如果不平衡，则轻的一边的4个中 有次品，4个需要2次，总共3次。所以至少需要3次。 第14题：3 【解析】把25个分成3份(8,8,9)。先称8和8：如果平衡，则次 品在9个中，9个需要2次，总共3次；如果不平衡，则轻的一边的8个中 有次品，8个需要2次，总共3次。所以至少需要3次。 第15题：3 【解析】把20个分成3份(7,7,6)。先称7和7：如果平衡，则次 品在6个中，6个需要2次，总共3次；如果不平衡，则重的一边的7个中 有次品，7个需要2次，总共3次。所以至少需要3次。 9 人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 第16题：4 【解析】把34个分成3份(11,11,12)。先称11和11：如果平衡， 则次品在12个中，12个需要3次，总共4次；如果不平衡，则轻的一边的 11个中有次品，11个需要3次，总共4次。所以至少需要4次。 第17题：3 【解析】把19个分成3份(6,6,7)。先称6和6：如果平衡，则次 品在7个中，7个需要2次，总共3次；如果不平衡，则轻的一边的6个中 有次品，6个需要2次，总共3次。所以至少需要3次。 第18题：5 【解析】100在81-243之间，34=81,35=243，所以需要5次。 第19题：3 【解析】把26个分成3份(9,9,8)。先称9和9：如果平衡，则次 品在8个中，8个需要2次，总共3次；如果不平衡，则轻的一边的9个中 有次品，9个需要2次，总共3次。所以至少需要3次。 第20题：4 【解析】35个分成3份(12,12,11)。先称12和12：如果平衡，则 次品在11个中，11个需要3次，总共4次；如果不平衡，则重的一边的 12个中有次品，12个需要3次，总共4次。所以至少需要4次。 —10 人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 第五部分：题型分类总结表 物品数量 至少称的次数 分组策略 规律 分成(1,1,1)或 2-3个 1次 3+1~3 (1,1) 4-9个 2次 尽量平均分成3份 31+1~32 10-27个 3次 尽量平均分成3份 32+1~33 28-81个 4次 尽量平均分成3份 33+1~34 82-243个 5次 尽量平均分成3份 34+1~35 规律：称n次最多可以从3n个物品中找出次品。 —11 人教版五年级数学下册期末复习资料（九）·数学广角专项一一找次品 第六部分：使用建议 难度分级建议： 基础题（第1-10题）：全体学生必做，掌握三分法基本应用 深度题（第11-20题）：目标95分以上学生选做，掌握较大数量物品 的分组策略 建议每日安排： 基础题和深度题各用1天完成，共2天完成本专项训练。 —12