数学-2026年3月黑龙江省高三开学考试

高三数学试卷 满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡 规定的位置上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应 的区域内，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={xx=2√x},则A∩B= A.{0,4) B.{1,2} C.{1} D.{0} 2.不等式x+2 “2x-1≥1的解集是 Az≤1B{<≤3 C.{x|1≤x<2) D.{x|x>1} 3.已知向量a,b,且a=(2,2),|a一b|=4,则b|的最大值为 A.7 B.8 C.2√2+4 D.10+5 4.已知数列{an}是正项等比数列，且a1=1,2a2十a3=a2a3,则a1o= A.64 B.256 C.512 D.1024 5.若(1-2x2)4=a0十a1x2+a2x4十a3x5十a4x8,则a0-a1十a2-a3十a4= A.0 B.1 C.81 D.729 6.已知曲线上一点P(xy)的坐标可以表示为(asin0,aos9)(a>0),0∈(T,2）,若x,= 5 64且x一-=2，则a= A.2√2 B.3 C./5 D.4 7.已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足||PF1|一|PF2=2,记点P的轨迹为E.直线l:y=x一 2与轨迹E交于P,Q两点，则|PQ|= A.6 B.8 C.10 D.12 8.已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，g(x)是f(x)的导函数(x∈R),且f(x)满足f(4x+1)= f(一4x),则下列结论不正确的是 A.f(2025)=0B.g(x)=g(-x)C.g(x+2)=g(x)D.g(2025)=0 高三数学试卷第1页（共4页） 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知之1=a十i,之2=1十2ai,其中a∈R,则 A.存在a,使得z1=之2 B.存在a,使得z1十z2∈R C.存在a,使得之1·之2∈R D.存在a,使得|z1十之2|=1 10.已知函数f(x)=3cos(wx+S)(w>0)在区间（石，）上单调递减，当w取最大值时，则 A.f(x)的最小正周期为3π B.f()=0 C.f(x)的图象关于x-=2对称 D.f(x)的图象关于点（π，0）对称 11.已知抛物线C:y2=2x,圆M:(x+1)2+y2=1,直线l交C于点A,B,O为坐标原点，则 A.C的准线被圆M截得的弦长为√3 B.若OA·OB=3,则1不过圆M的圆心 C若？过C的焦点且与圆M相切，则直线1方程为y=士5(z-》 若1过点P-1+号，)且与圆M相切，则线段AB的长度为22 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量满足~N(1,2),P(≤0)=0.4，P(≥a)=0.4,正实数，y满足+2- a,则x十2y的最小值为 l3.已知数列{am+1一2am}是以2为首项，2为公比的等比数列，且a1=2,数列{am}的前n项和为 S.,则s0 a10 14.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=6,CE=EC1,P是正四棱柱内（含表面）的 一个动点，且DE⊥BP,则点P的轨迹将四棱柱分成的两部分中，较小部分与较大部分的体积 比为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.13分)犯知函数fx)=(2+)e. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间和极值. 高三数学试卷第2页（共4页） 16.(15分)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+c=5,△ABC的面积为 (25-a2-2b6c). 4 (1)求tanA; (2)求a的取值范围. 17.(15分)某学校教研处给本校全体教师制定了两种教学方法进行课程教学，为了解两种教学方 法的教学效果，教研处人员在学校全体学生中随机抽取84人进行了问卷调查并收集了他们的 平时成绩（平时成绩分优和良两个等级）.其中42人接受方法一，42人接受方法二.经统计发 现，接受方法一的人中有30人平时成绩是优，接受方法二的人中有18人平时成绩是优： (1)以频率估计概率，现随机抽取接受方法一的学生2人，设其中平时成绩为优的人数为X,求 X的分布列和数学期望； (2)列出2×2列联表，并依据α=0.01的独立性检验，是否可以认为学生平时成绩与教学方法 有关？ (3)分别在接受教学方法一、二的学生中按平时成绩的优良比例进行分层抽样，各随机抽取7 人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到的学生平时成绩为良的情况下，第 二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良的概率 附：X2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)n-a+b+c+d. a 0.05 0.01 0.005 0.001 Ia 3.841 6.635 7.879 10.828 高三数学试卷第3页（共4页） 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，AB∥DC,AB⊥AD,AB= AD=2CD=4,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB. (1)若E,F分别为棱PD,BC的中点，求证：EF平面PAB; 《②)若四棱锥P-ABCD的体积为16，点M在棱PD(不含端点)上运动，当为何值时，平面 CMB与平面PAD所成三面角的余弦值为V5 07分)已知椭圆C:。+2(Q>0,b>0)与抛物线E:=4x有公共焦点F,C的离心 ,过点F且斜率存在的直线1与C交于P,Q两点，与E交于M,N两点(M在第一象限)，0 √2 为坐标原点. (1)若直线l的斜率为1，求△POQ的面积； (2)若△OMN的外接圆与E交于点D(D,O在直线MN的异侧). (ⅰ)证明：△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值； (ⅱ)求四边形OMDN的面积的取值范围. 高三数学试卷第4页（共4页) 高三数学 高三 数学 答案第1 页 共7 页 学科网（北京）股份有限公司 一、选择题 1.D【解析】，故. 2.B【解析】即为，即，故，故解集为. 3.C【解析】设，，，则，，即点的轨迹为以（2，2）为圆心，4为半径的圆．故的最大值为. 4.C【解析】设数列的公比为，所以，所以，由，得2q+q2=q3，即，解得或（舍去），所以，所以. 5.C【解析】法一：令，则，所以原式左边为， 原式右边为. 法二：根据二项式定理，得，所以 所以. 6.A【解析】由题意得，因为，则，，即， ，， ， 解得. 7.A【解析】由知，点P的轨迹E是以，为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，，，故轨迹E的方程为，设，，由可得，则则. 8.D【解析】由，则，又函数是奇函数，则，，因此可得，，即函数的周期为2，由，则，，故A正确； 由函数是奇函数，则，故， 又是的导函数，则，故B正确； 由，则，即，故C正确； 由，得为的对称轴，因此在左右附近的单调性发生改变，即为的极值点，故，而，由，，得，则为的对称轴，g(1)的值不一定为0，故D不正确. 二、选择题 9.BC【解析】对于选项：由，则，解得且，无解，故不存在，使得， 故A不正确； 对于B选项：由，得，得，故存在，使得，故B正确； 对于C选项：由，得，得，故存在，使得，故C正确； 对于选项：由，化简得，，方程无解，故不存在，使得，故D错误. 10.AB【解析】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递减，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为，的最小正周期为，A正确；由A知，则，B正确； ，C错误；，D错误. 11.AC【解析】由题意得抛物线：的准线方程为，被圆M:截得的弦长为，故A正确； 设直线的方程为，，，联立得， 所以，，，得， 由，解得或， 所以方程为或，所以可能过圆M的圆心，故B错误； 对于C，若过C的焦点 ，设的方程为，即，则圆心M到直线的距离为，得，得直线方程为，即，故C正确； 对于D，因为，得点P在圆M上，则，则直线l的斜率为，则直线的方程为，即，与联立得，得，得 ，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【解析】因为随机变量满足，，， 由正态分布的对称性可得，即a=2，所以正实数x，y满足， 故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为. 13.【解析】因为是以2为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，即，又，所以是首项为1，公差为的等差数列. 得，所以， 所以，则， 两个等式作差可得 ，故.则. 14.【解析】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，，则 由，则，设，由题意可知，， 则，，由， 则，即 ，故的轨迹为矩形，令得，令得，即矩形顶点为，如图所示，易得所形成的图形将四棱柱分成一个三棱柱和一个四棱柱，三棱柱的体积为，正四棱柱的体积为，则. 四、解答题 15.解：（1）由题意知， （2分） 则，， （4分） 所以曲线在点处的切线方程为，即. （6分） （2） 的定义域为，由（1）知， 令，得或； 令，得或， （8分） 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. （10分） 易知的极大值为，极小值为. （13分） 16.解：（1）由b+c=5,得 （1分） 所以=， （2分） 由余弦定理S△ABC， 得 （5分） （7分） （2）由（1）得又因为A为锐角，所以 所以则 因为△ABC为锐角三角形，即 （9分） 由正弦定理得， 令 则， 因为b+c=5,所以 = 因为所以. （11分） 所以， （13分） 故. （15分） 17.解:（1）依题意得，接受教学方法一且平时成绩是优的学生的概率为， 所以， （2分） 则，，， （3分） 所以的分布列为 X 0 1 2 （4分） 则. （5分） （2）由题意知，列联表如下： 接受教学 方法 平时成绩 合计 良 优 方法一 12 30 42 方法二 24 18 42 合计 36 48 84 零假设：平时成绩与教学方法无关, （7分） 经计算得， （9分） 所以依据的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为平时成绩与教学方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. （10分） （3） 抽取的14人中，接受方法一且平时成绩为良的有（人），接受方法二且平时成绩为良的有（人）， （11分） 记事件表示“第一次抽到的学生平时成绩为良”， 事件表示“第二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良”， 则，， （13分） 所以. （15分） 18.（1）证明：取AD的中点为G，连接EG，GF，因为E，F分别为棱PD，BC的中点，则，.因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面， （3分） 因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面PAB. （6分） （2）解：取AB的中点为O，连接PO，CO，因为，所以， 又因为平面PAB，平面平面ABCD，平面平面， 所以平面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高，得四棱锥体积为 ，得PO=4. （8分） 又因为，，为AB中点，所以，， 又因为，所以四边形OADC为矩形，所以. 故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间 直角坐标系，如图， 则，，，， 所以， 又因为M在棱PD上运动，所以存在，使，所以，（9分） 又因为，所以，所以，又因为， 设平面CMB的法向量，则，则， 取，则，得，所以. （12分） 因为，， 设平面PAD的法向量，则，得， 所以，取，则，所以. （14分） 设平面CMB与平面PAD所成角为，则cos θ= ， （15分） 故，所以或， 又因为，所以或均符合题意，即或. （17分） 19.解（1）由抛物线的焦点为，可得，由椭圆C的离心率为，得， 得，则，则b2=a2-c2=1，所以椭圆C的方程为. （2分） 若直线的斜率为1，设直线，，， 联立，得，则，得， 则， （4分） 由点（0,0）到直线的距离为， 故△POQ的面积为. （5分） （2）（i）法一:设， 因为O，M，D，N四点共圆，设该圆的方程为， 联立，消去，得， （7分） 即，所以即为关于的方程的3个根， 则， （9分） 因为， 由的系数对应相等得，，所以的重心的纵坐标为0. （11分） 法二:设，则， 因为O，M，D，N四点共圆，所以当O，D在直线MN异侧时，， 即， 化简得， 所以的重心的纵坐标为0. （11分） （ii）记的面积分别为，四边形OMDN的面积为S，由已知得直线MN的斜率不为0，设直线，联立，消去，得，所以， 所以， （13分） 由（i）得，，所以，即， 因为，点到直线MN的距离， 所以， 所以， 在第一象限，即根据对称性，取， （15分） 依次连接O，M，D，N构成四边形OMDN，所以，即， 又因为，即，即， 所以，即，即， 所以， （16分） 设，则， 令，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增，所以， 所以S的取值范围为. （17分） 高三数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要知识内容与知识点 难度 1 选择题 5 集合的交集运算 易 2 选择题 5 分式不等式 易 3 选择题 5 平面向量的模 易 4 选择题 5 等比数列的通项公式 易 5 选择题 5 二项式定理 易 6 选择题 5 同角三角函数的基本关系 中 7 选择题 5 动点轨迹中的弦长 中 8 选择题 5 抽象函数及其导函数的性质 难 9 选择题 6 复数的运算 易 10 选择题 6 余弦型三角函数的性质 中 11 选择题 6 抛物线，圆与直线的综合 难 12 填空题 5 正态分布，基本不等式 易 13 填空题 5 等比数列与等差数列的综合 中 14 填空题 5 以正四棱柱为载体的体积的求解 难 15 解答题 13 导数的几何意义，函数的单调区间和极值 易 16 解答题 15 解三角形 易 17 解答题 15 独立性检验，分布列和数学期望 中 18 解答题 17 线面平行的证明，二面角 中 19 解答题 17 直线与椭圆、抛物线的综合 难 $高三 数学 参考答案及解析 高三数学 一、选择题 1.D【解析】B={xx2=4x={0,4},故A∩B={0} 2.B【解析】 导>1即为高0回。-0，时×3，数袋为片 2x-1 2x-1≠0 3.C【解析】设ā=OA,万=0丽，B(x),则A(2,2),位-=Ad=Vc-2+(y-2列=4，即点8的轨 迹为以A(2,2)为圆心，4为半径的圆.故同=o8的最大值为OA+4=2W2+4: 4c【解析】设数列{a,}的公比为g(g>0),所以a,=ag=g1,所以4=g,4=g2,由 2a+43=a·4,得2g叶q=,即q-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去)，所以a,=2-1,所以 40=2=512. 5.C【解析】法一：令x=i,则x2=-1,所以原式左边为(1+2)=34=81， 原式右边为4+4x2+ax+ax+a4x3=4-4+4,-马+a4=81 法二：根据二项式定理，得 1-2x2)=c(-2x2+C4(←2x2+C(2x2+c(2x2+C（2x2j =Cg-C4(2x)+C2x-C2x+C42x),所以 4=C,a4=-2C4a,=4C,a=-8C,a4=16C4, 所以4-a+4,-+a,=C4+2C4+4C+8C+16C(1+2)=3=81 6A【解析】由题意得=asin0,6=acos0,因为0e(牙7，则in6>cos6>0, 所以acos2 .asin6=a 64,即sn8cos0=1 4, 所以(sin0-cos0j-1-2sm0cos0=1-}},所以sm日-c0s0= 22 2 所以x。-%=asin38-acos20=a(sin0-cos0)(1+sin0cos0)=a: 255 24-2 解得a=2√2 7.A【解析】由P-PR引=2<R引知，点P的轨迹E是以耳，B为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为等-。=1(a>0,b>0),因为c-2,2a=2,所以公=c-d-3,故轨迹E的方程为 答案第1页共10页 高三 数学 x-上=1，设P(5,), Q5,),由x-号-1可得2r+4r-7=0,则 +53=-2, 3 3 7则 y=x-2, Pe5s+j-4-xy4- 7 /s6 8.D【解析】由f(4x+1)=f(-4x),则f(x+1)=f(-x),又函数f(x)(x∈R)是奇函数，则 f(-x)=-f(x),f(0)=0,因此可得f(x+1)=-f(x),f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x) 的周期为2，由f(4x+1)=f(-4x),则f(1)=f(0)=0,所以f(2025)=f(2×1012+1)=f0)=0, 故A正确： 由函数f(x)x∈R)是奇函数，则f(x)=-f(-x)故f()=-[-f'(-x]=f(-x), 又g(x)是f(x)的导函数，则g(x)=g(-x),故B正确： 由f(x+2)=f(x),则f(x+2)=f(x),即g(x+2)=g(x),故C正确： 由f(x+1)=f(-),得x=为y=f()的对称轴， 因此y=f(x)在x=。左右附近的单调性发生改 2 变，即x号为)(9)的极监点：放日=1 =0,而g(2025)=g1012×2+1)=g①)，由 g(x+2)=8(x),g()=g(x),得g(x+2)=g(-x),则x=1为y=g(x)的对称轴，g(1)的值不- 定为0，故D不正确. 二、选择题 9.BC【解析】对于A选项：由=2，则a+i=1+2ci,解得a=1且2a=1,无解，故不存在a,使得1=， 故A不正确： 对于B选项：由+=a+1+i+2am∈R,得2a+1=0,得a=- 二，故存在a,使得z,+2,∈R, 故B正确； 对于C选项：由·=(a+i)1-2)=a-2ai+i计2a=3a+(1-2a2)i∈R,得1-2a2=0,得 a=t 2 2,故存在a,使得云∈R,故C正确； 对于D选项：由+=a+1+i-2ai=Va+1+(1-2a)=1,化简得5a-2a+1=0,4<0, 方程无解，故不存在a,使得+=1，故D错误 10.AB【解析】因为)>0，所以当x∈ 6时，ox+∈r π 6 3 3 因为f(x)在区间 6 上单调递减，所以π-π-5sT ≤。，则T≥ 662 3 3 om+L≥0 所以0<⊙≤ 所以 6 63 ,解得0<ω≤ m+s元 百则0的最大值为2/心)的最小正周期为3元A 、3 3 答案第2页共10页 高三 数学 上由A知利-3cme子+号，则/子=3m 2×见+T=0,B正确： 343 2 f =3c0S 323 2 =-3,D错误. 3 1 山AC【解析】由题态得抛物线C:广=2x的准线方程为x=一方被圆M(+)+)=1截得的弦长为 设直线7的方程为=网-，0，)，B叫民，)：联立Y2得y-2-2n=0, x=my+n, 所以4=+8m>0,为为=2m:=2,得4，--(2列：， 4 4 由O.0远=5+%=5+=r-21=,解得1-1或1-3， 4 所以1方程为x=y-1或x=y+3,所以1可能过圆M的圆心(-1,0)，故B错误： 1 对于C,若1过C的焦点（兮，0），设1的方程为x=m+与即2x-2mw-1=0.则圆心M到直线的距 离为d= -2- =1，得m=±5 二(x-),故C V4+4m2 , 得直线1方程为=达5 +2即y=t25- 2 正确； √2 对n为190 2 一=1，则直线1的 2 1,得点P在圆M上，则k= 1+2-( 2 斜率为k=-1,则直线1的方程为y- 即x+y+1-V2=0,与y2=2x联立得 y2+2y+2-2V2=0，得+为=-2，y=2-2V2，得4B=√2×-2)°-42-2W2) 2√2×√2√2-1，故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 122【解析】因为随机变量5满足5~N1,o),P(5≤0)=0.4，P(5≥a)=0.4, 由正态分布的对称性可得a+0=2×1-2,即2，所以正实数x,y满足1+2=2， x y 1+2=2 x y ++2什-+兴}姐微当 2x-2y,即 y x x>0,y>0 答案第3页共10页 高三 数学 3 X= 2时， 等号成立，故x+2y的最小值为 2 y 2 20 13. 【解析】因为{a+1-2a}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a1-2a=2”, 11 越会品-冬-}又导-号1吸是 2 是首项为1，公差为二的等差数列. 得2=1+m-1)×号= ×1_n+1,所以a,=0+1Dx2, 22 所以Sn=22°+3.2+422++(n+1)·2m-1,则2Sn=22+3.22+…+n-2-1+(n+1)2”, 两个等式作差可得-Sn=2+2+.+21-1-(n+1)·2” =2 21-2-0+0-2-m2”,故8=n-2”测_1020=20 1-2 4o11x2911 14.二【解析】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，AB=2,A41=6,则D(0,0,0),B(2,2,0), 8 由CE=EC1,则E(0,2,3),设P(x,y,),由题意可知，0≤x≤2,0≤y≤2,0≤=≤6， D 则DE=(0,2,3),BP=(x-2,y-2,z),由DE⊥BP, A 则DE.BP=2(y-2)+3z=0,即 D 2y+3z-4=0,故P的轨迹为矩形，令x=0,y=0,得2=4，令x=2,y=0,得z=4 'D---- 3 即矩形顶点为B,C,D( 如图所示，易得所形成的图形将四棱柱分 成一个三棱柱ABA'-DCD'和一个四棱柱AABB-D'D,CC,三棱柱ABA'-DCD'的体积为 8 -号2×2-传#ACD-4C的体积为r-22x6-24,则 4 3 3 V-V24-s° 四、解答题 1；D由意知f四-e2+e 2x'+x-1e=c+12x-De, (2分) x x2 x 则f'(1)=2e,f(1)=3e, (4分) 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-3e=2e(x-1),即2ex-y+e=0 (6分) (2)f()的定义域为(-o,0u0+∞），由(1)知f(x)=+1)2r-De, 令f"()>0,得x<-1或> 2 令fu0,得-1k<0或0<分 (8分) 答案第4页共10页 高三 数学 所议()的单调造猫区间为(-m,-)和[行+加单调送减区间为(-10利0兮 (10分) 易知f(x)的极大值为f(-)=。, (13分) 16.解：(1)由b+c=5,得b2+c2+2bc=25, (1分) 所以5(25-a-2o-5(6+c2-. (2分) 4 由余弦定理B+d-d=2 bccosA及S=)besinA, 将92cos4c如 (5分) 因为bc≠0，所以tanA=√3 (7分) (2)由(1)得nA=V5,又因为A为锐角，所以A= 3 所以B+C=2T,则C=2T-B. 3 3 因为△4c为脱角三狗形，m8以0-C=行B号即存B<号 (9分) 6 b c aa 由正弦定理得sin B sinC sinA√3， b a=a.mk. 令sinB sinC-sinA√3 2 则b=ksnB,c=kC,a=5k, 2 因为b+c=5,所以k(sinB+sinC)=5. sB+ci a snsi cox-5m( 2 因为骨8+名所以+骨停刂 (11分) 3 63 6 53 所以a= 2 5 1 sin B+sinC2 sin(B+ (13分) 6 故a∈ 55W3 2’3 (15分) 17,解：(1)依题意得，接受教学方法一且平时成绩是优的学生的概率为30-. 427 所以X~B 5 (2分) 答案第5页共10页 高三 数学 则P(x=0)= 49 (3分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 4 20 25 P 49 49 49 (4分) 则E(X)=2×3-10 77 (5分) (2)由题意知，2×2列联表如下： 接受教学 平时成绩 合计 方法 良 优 方法一 12 30 42 方法二 24 18 42 合计 36 48 84 零假设H。：平时成绩与教学方法无关， (7分) 经计算得x= 84×(12×18-30×24) -=7>6.635=x01’ (9分) 42×42×36×48 所以依据=0.01的独立性检验，我们推断H,不成立， 即可以认为平时成绩与教学方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.01 (10分) (3)抽取的14人中，接受方法一且平时成绩为良的有7 12 42 =2(人)，接受方法二且平时成绩为良的有 7×24=4人， (11分) 42 记事件A表示“第一次抽到的学生平时成绩为良”， 事件B表示“第二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良”， 则P(A= -号Pu CC+CIC 10 Aia 91 (13分) 10 所以P(B|A)= P(AB)_91-10 (15分) P(A)339 18.(1)证明：取AD的中点为G,连接EG,GF,因为E,F分别为棱PD,BC的中 点，则EG∥PA,GF∥AB.因为EG丈平面PAB,FG丈平面PAB,PAc平面PAB, ABc平面PAB,所以EG∥平面PAB,FG∥平面PAB, (3分) 因为EG,FGc平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面PAB,又因为EFc平 面EFG,所以EF∥平面PAB. (6分) (2)解：取AB的中点为O,连接PO,CO,因为PA=PB,所以POLAB, 又因为POC平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB, 答案第6页共10页 高三 数学 所以PO⊥平面ABCD,即PO为四棱锥P-ABCD的高，得四棱锥体积为 rP094D-04号2416，得04 (8分) 2 又因为AB∥CD,AB=2CD=4,O为AB中点，所以CD∥AO,CD=AO, 又因为AB⊥AD,所以四边形OADC为矩形，所以OB⊥OC 故以O为坐标原点，O死为x轴正方向，OC为y轴正方向，OP为=轴正方向建立空间 直角坐标系，如图， 则A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),D(-2,4,0),P(0,0,4) 所以PD=(-2,4,-4), 又因为M在棱PD上运动，所以存在1∈(0,1)，使PM=1PD,所以PM=(-2元，42,42)，(9分) 又因为P(0,0,4),所以M(-22,42,4-42),所以CM=(-2元，4-4,4-4入，又因为CB=(2,-4,0), 设平面CMB的法向量m=(ky),则m.CB=0,则2x-4y=0 m.CM=0-22x+(4元-4)y+(4-42)z=0 取=2，则=1相：天所以m-(2 (12分) 因为AP=(2,0,4),AD=(0,4,0), 设平面PAD的法向量n=(a6.c小，则.D=0,得46=0 iAP=0 2a+4c=0 所以b=0,取a=2,则c=-1,所以n=(2,0,-1) (14分) 设平面CMB与平面PAD所成角为8，则cosB= 1 m.n eos 1- 2W5 1 15 55+-元 (15分) 故1242-176+57=0，所以1=或2= 62 又因为2∈(0,1)，所以1=或=5”均符合题意，即PM_上或PM_57 (17分) 2 62 PD 2 PD 62 19解D由抛物线E:少=4的焦点为P00),可得c=1,由畅圆c的离心率为 ② 2 ,得、 a 2 得a=V2,则a=2,则b-心-c1,所以椭圆C的方程为)+y (2分) 若直线1的斜率为1，设直线1：x=y+1,P(,),Q(x,少)， x 联立2 +少-1，得3y+2y-1=0,则=1成3得x=0减号 x=y+1 则-+-045 (4分) 答案第7页共10页 高三 数学 1 由点(0,0)到直线1：x=y+1的距离为d= √2 故△POQ的面积为S 114W22 233 (5分) (2)(i)法一：设M(1,y),N(x2,),D(x3,y3), 因为O,M,D,N四点共圆，设该圆的方程为x2+y2++y=0, 联立 x+y+dx+ey= y2=4x 0,消去x,得y+(4d+1y+16ey=0, (7分) 即yy+(4d+16y+16e=0,所以%，2，y即为关于y的方程y2+(4d+16)y+16e=0的3个根， 则y3+(4d+16)y+16e=(y-y)(y-y2)(y-), (9分) 因为(y-片)y-)(y-)=y3-(片+3+⅓)y2+(%+2⅓+)y-y⅓， 由y的系数对应相等得，y+乃+为=0，所以ND的重心的纵坐标为0. (11分) 法二设MK,,N6,购.Dk,则w=4k4k0=4km=4 乃+3 y+3 因为O,M,D,N四点共圆，所以当O,D在直线MN异侧时，∠MON+∠MDN=元， 即tan∠MoN+tan∠MDN=0,tan∠MON=,k2y-kar_45-yD 1+kM·kowH乃+16 tan MDN=ko-k 4(3-) 1+k知k@0+为)O+巧)+16化简得+为+马=0 所以MWD的重心的纵坐标为O. (11分) (ii)记ON,MND的面积分别为S,S2,四边形OMDN的面积为S,由已知得直线MN的斜率不为0， x=w+1 设直线MN:x=y+1,联立 =4，消去x,得-4-4=0，所以片+为=4孤为为=4， 所以s=号or4-=?i6m+16=2Wm+1, (13分) 由0得，为0为）-，所以s=-子(4njr=4m,即nm, 因为MW=x+6+2=m(y+)+4=4m+4,点D到直线MN的距离d= 82-1 Vm2 +1 答案第8页共10页 高三 数学 以8r-r+0g-r-4, √m2+1 所以S=g+S,=2Wm2+1+2Vm2+18m2-1=2Wm2+1(1+|8m2-, M在第一象限，即乃>0，y<0,根据对称性，取为=4<0， (15分) 依次连接O,M,D,N构成四边形OMDN,所以为=-（片+y2)<y2,即-片<2乃， 又因为片为=44<2，即5<2，即-2<5<0， m以w=g+折-a=5,即m华即m号 4 8 所以S=2Nm2+11+8m2-)=16m2Vm2+1, (16分) 设1=m+1,则t>3W2, 4 令ft)=16t(t2-1)=16f3-16t,则f(0)=48t2-16, 因为t>35,所以0=48-16>0，所以阳在区间 4,+∞上单调递增，所以f0> 3V2 /3232 4 42 所以S的取值范围为 (17分) 答案第9页共10页 高三 数学 高三数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要知识内容与知识点 难度 1 选择题 5 集合的交集运算 易 选择题 5 分式不等式 易 3 选择题 平面向量的模 易 选择题 5 等比数列的通项公式 易 5 选择题 5 二项式定理 易 6 选择题 5 同角三角函数的基本关系 中 选择题 5 动点轨迹中的弦长 中 8 选择题 5 抽象函数及其导函数的性质 难 9 选择题 6 复数的运算 易 10 选择题 6 余弦型三角函数的性质 中 11 选择题 6 抛物线，圆与直线的综合 难 12 填空题 5 正态分布，基本不等式 易 13 填空题 5 等比数列与等差数列的综合 中 14 填空题 5 以正四棱柱为载体的体积的求解 难 15 解答题 13 导数的几何意义，函数的单调区间和极值 易 16 解答题 15 解三角形 易 17 解答题 15 独立性检验，分布列和数学期望 中 18 解答题 17 线面平行的证明，二面角 中 19 解答题 17 直线与椭圆、抛物线的综合 难」 答案第10页共10页 高 三 数 学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 $