精品解析：黑龙江省龙东高中十校联盟2024-2025学年高三下学期适应性考试数学试题

龙东高中十校联盟高三学年数学学科 本试卷共4页，共19个题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（     ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法，整理复数的标准式，可得答案. 【详解】设，由，则， 整理可得， 可得，解得，则， 所以. 故选：D 2. 为了得到函数图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数伸缩变换法则得到答案. 【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变. 故选：B 3. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】将原不等式转化为或求解. 【详解】由，得或， 解得或空集， 又，所以， 则集合A的子集个数为. 故选：C 4. 已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】判断过点可作与抛物线相切的直线条数，以及与对称轴平行的直线，即可求解. 【详解】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切， 过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点. 所以满足条件的直线有3条， 故选：C. 5. 记双曲余弦函数为，则函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【详解】， 令， 则， 所以， 所以的最小值为0， 故选：A. 6. 已知是等比数列的前n项和，则“依次成等差数列”是“依次成等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，分别考虑充分性和必要性是否满足即得结论. 【详解】设等比数列的公比为， 由依次成等差数列可得，即， 因，可得，解得或. 当时，，不满足，故充分性不成立； 由依次成等差数列，可得，显然， 故有，因，且，化简得：，解得（舍去）或， 当时，，而， 故得，即依次成等差数列.故必要性成立. 综上可得，“依次成等差数列”是“依次成等差数列”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知一条直线与椭圆交于两点，与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点为，易得，设圆的半径为，利用圆的弦长公式可得求解. 【详解】如图所示： 取的中点为，则， 设圆的半径为，则， 设点，圆心，所以， ，时，， 所以的最小值为3. 故选：C 8. 两个项数均为的数列和，称它们对应项差的绝对值之和为数列与的“距离”.设是项数均为4且每项为0或1的个数列，它们中任意两个数列的“距离”不小于2，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列可得数列前三项不同时可以取到的最大值，先验证比此值大的情况，在验证该值为最大值，能构造出满足题意的数列，即可. 【详解】因为数列每项为0或1，前三项至多有种组合， 若，则中必有两个数列前三项相同，不妨设该二者为， 则当第四项也相同时，它俩的“距离”为0； 当第四项相异时，它俩的“距离”为1，都不满足题意，故不成立. 当时，可构造，，，， ，，，满足题意； 还可构造，，，，， ，，满足题意（构造不唯一）， 故的最大值为8． 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 向量与向量垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律以及垂直向量的数量积表示，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，， 所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，这样向量与垂直，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的定义域为，，且不恒为，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. （为的导函数） 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法令可得，可判断A正确，令，可得，因此B正确，令，可判断得出，因此是偶函数，即C错误，对两边同时求导可得，代入计算可判断D正确. 【详解】对于A，令，， 又因为不恒为，则，所以A正确； 对于B，令，可得，因此，所以B正确； 对于C，令，可得，所以； 又因为函数的定义域为，所以是偶函数， 又不恒为0，这样不可能是奇函数，故C错误； 对于D，由B的推导过程知， 两边求导得 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知空间四边形ABCD，下列条件中一定能推出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用特殊图形折叠判断A，应用线面垂直判断B，C，应用空间向量的数量积计算判断D. 【详解】对于A，举反例：将一矩形ABCD沿对角线BD翻折，在翻折过程中，始终满足 ，但不一定成立，所以A错误； 对于B，取中点，连，因为，所以， 且平面，平面，平面，进而，故B正确； 对于C，过A作平面，垂足为，连， ，又，平面， 所以平面，平面，进而； 同理可证：，所以为△的垂心， 这样，又，所以平面，平面，可得：，故C正确； 对于D，由条件知，则 ∴， ，∴，即，所以D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中，含项的系数为________. 【答案】270 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项可得. 【详解】二项式的展开式通项为， 当时，得，即，故含项的系数为270. 故答案为：270 13. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的和角公式以及辅助角公式，整理化简等式，再利用诱导公式以及余弦的二倍角公式，可得答案. 【详解】因为，即， 所以. 故答案为： 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.现抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在次抛掷中，记成功次数为，为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内，估计抛掷的次数的最小值为________. 【答案】400 【解析】 【分析】根据二项分布计算数学期望及方差，最后结合已知新定义计算求解. 【详解】由题意知：成功次数，所以，， 要使，则，即：， 由切比雪夫不等式知：至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内， 则，所以抛掷的次数的最小值为400. 故答案为：400. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且满足 （1）求角的大小； （2）若中线的长为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）依题意可得，将两边平方，结合数量积的定义及基本不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 又因为，所以，所以， 又因，所以； 【小问2详解】 因为为中线，所以， 所以， 所以，即（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 经检验：当时，符合题意；即的最大值为. 16. 某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： （1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； （2）求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； （3）该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 【答案】（1）答案见解析 （2）； （3）答案见解析 【解析】 【分析】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可； (2) 利用公式，先求一次项系数，再利用经过样本中心点，可求出，从而可得回归直线方程； (3)利用一次项系数可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际效果相当，说明具有参考价价. 【小问1详解】 由表可知： 所以= , 因为与的相关系数接近1, 所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系. 【小问2详解】 由题可知： = ， 所以 【小问3详解】 由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时， 预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近， 因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值； 造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少， 或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形且. （1）若平面，，求二面角的正弦值； （2）若平面平面，求四棱锥体积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； （2）过点作直线， 过点作交于点， 过点作交于点，连接， 过点作于点，通过证明平面， 求得最大值即可求解； 【小问1详解】 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 由题可知： 则 设平面的一个法向量为，则， 所以，令，则，所以 设平面的一个法向量为，则， 所以，令，则， 所以 设二面角平面角为，则 所以，即二面角的正弦值为 【小问2详解】 过点作直线， 过点作交于点， 过点作交于点，连接， 过点作于点 因为四边形为矩形，所以，即有 又因为，分别在平面、平面内， 所以即为二面角的平面角 又因为平面平面，所以 又因为且，都在平面内， 所以平面，又在平面内， 所以， 所以， 所以 又因为，所以 又因为，又都在平面内， 所以平面 在直角三角形， 得： 又因为（当且仅当等号成立） 所以 18. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，点是上不与顶点重合的一动点，直线、分别交于另一点、. （1）设， ①当时，求直线斜率的取值范围； ②求证：； （2）为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由. 【答案】（1）①；②证明见解析； （2）为定值. 【解析】 【分析】（1）①根据判断出交双曲线于左右支上，即可得解. ②设，，，由向量关系与双曲线方程得出，与，，坐标之间的关系，，两式加和即可得解. （2）由（1）②可得出点，点的坐标，求出直线的斜率.再写出直线的斜率，计算两者之积，即可得解. 【小问1详解】 （1）①直线交双曲线于左右支上， 因为双曲线：的渐近线的斜率为， 所以直线斜率的取值范围为. ②设，，由双曲线方程知：， ，又 两式相减得： ∴ 由同理 ，又 两式相减得： ∴ 可得：，所以. 【小问2详解】 由（1）②知：且 可得 同理又因为 且 可得 所以直线的斜率 又直线的斜率，所以为定值. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间与极值； （2）若数列满足，记为数列的前项和. 求证： ①当时，； ②当时，. 【答案】（1）增区间，减区间为，极大值，无极小值； （2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域及导数，进而求出单调区间及极值. （2）①结合（1）中信息，利用数学归纳法证明不等式；②构造函数，利用导数探讨单调性证得不等式，求出并借助放缩法及等比数列前项和公式推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得，函数在上递增，在上递减， 当时，函数取得极大值，无极小值， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为0，无极小值. 【小问2详解】 ①用数学归纳法证明如下： （i）当时，，，不等式成立； （ii）假设当时，不等式成立，即成立， 由函数在上递增，得， 而，即成立，则当时，不等式成立， 综合（i）（ii）得：当时，成立. ②令函数，求导得， 函数在上递减，，即成立， 由（i）知，当时，，则， 所以当时，， 当时，成立； 当时， ， 所以当时，成立. 【点睛】关键点点睛：构造函数并用导数证得不等式成立是解决第2问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙东高中十校联盟高三学年数学学科 本试卷共4页，共19个题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（     ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 3. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4. 已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 记双曲余弦函数为，则函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 已知是等比数列的前n项和，则“依次成等差数列”是“依次成等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知一条直线与椭圆交于两点，与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 8. 两个项数均为数列和，称它们对应项差的绝对值之和为数列与的“距离”.设是项数均为4且每项为0或1的个数列，它们中任意两个数列的“距离”不小于2，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 向量与向量垂直 10. 已知函数的定义域为，，且不恒为，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. （为的导函数） 11. 已知空间四边形ABCD，下列条件中一定能推出的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中，含项的系数为________. 13. 已知，则________. 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.现抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在次抛掷中，记成功次数为，为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内，估计抛掷的次数的最小值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且满足 （1）求角大小； （2）若中线的长为，求面积的最大值. 16. 某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 10 1.6 2.0 16.4 并计算得： （1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； （2）求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； （3）该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形且. （1）若平面，，求二面角正弦值； （2）若平面平面，求四棱锥体积的最大值. 18. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，点是上不与顶点重合的一动点，直线、分别交于另一点、. （1）设， ①当时，求直线斜率的取值范围； ②求证：； （2）为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间与极值； （2）若数列满足，记为数列的前项和. 求证： ①当时，； ②当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$