精品解析：黑龙江省绥化市2026届高三下学期入学素养测试数学试题

2026届高三入学素养测试 数学试题 2026.3 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整､笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸､试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，进而可求交集. 【详解】因为集合， 且集合，所以. 故选：C. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】，虚部为. 故选：C 3. 已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，分析几何关系，建立关于的不等式，求解即可. 【详解】设交轴于点，则， ， 则，即， 即，结合椭圆离心率， 得， 则离心率的最小值为. 故选：D. 4. 在中，的平分线交于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦定理求出，然后根据正弦定理求出. 【详解】由题意，根据正弦定理得 ，解得，而为三角形内角， 所以，所以. 根据正弦定理，解得. 故选：D. 5. 若函数是上单调递增的奇函数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数是上单调递增的奇函数，确定分段函数界点处函数值的关系，由奇函数的性质确定关系，列出等式，求得的值即可. 【详解】因为函数是上单调递增的奇函数， 所以 当时，则,， 根据奇函数的性质可得：, 所以解得：, 所以， 故选：C 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角的正切公式求出，然后将其次式化简求值即可. 【详解】， 解得或 ， 所以， 故选：A. 7. 已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性解方程组求解可得，然后可得. 【详解】因为函数为偶函数， 则，即①， 又因为函数为奇函数， 则，即②， 联立①②可得，所以． 故选：D． 8. 如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算可得，令可得，利用四点共面和基本不等式可求得的最小值，结合棱锥体积公式可求得结果. 【详解】连接， 由题意知：； 令，则，， 四点共面，（当且仅当时取等号）， ； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又，， ，即的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用四点共面得到的最小值，进而代入体积公式求解. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由众数､平均数､方差､第80百分位数与数据间的线性关系分析判断即可. 【详解】根据两组数据的线性关系， 结合性质可知：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 10. 直线与函数有且仅有三个交点，从左往右依次记作点A，B，C，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 有且仅有2个极大值点 C. 在上单调递增 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件结合正弦函数性质，列不等式可求的范围，判断A；结合极值点的概念，令可得函数此时只有1个极大值点，故B可判断；利用正弦型函数的单调性，结合A中的范围即可判断C；利用正弦函数的图象与性质可得，则D可求. 【详解】对A，当时，， 当或时满足题意， 直线与函数有且仅有三个交点， 因为，所以， 所以，解得，A正确； 对B，结合A选项，令，则， 如图所示： 此时函数只有1个极大值点，故B错误； 对C，当时，， 因为，所以， 所以在上单调递增，故C正确； 对D，由题意知， 所以，则， 解得，故D正确； 故选：ACD. 11. 时，下列不等关系能成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据各选项的不等式构造函数，再依次求出导数并借助函数的单调性推理判断即可. 【详解】对于A，，求导得， 函数在上递减，，即，A正确； 对于B，令，求导得，函数在上递增， ，即；令，求导得， 函数在上递增，，即，因此，B正确； 对于C，令，求导得，函数在上递减， ，则，因此，C错误； 对于D，令，求导得，令， 求导得，令，求导得， 函数在上递增，而，存在， 使得，当时，，当时，， 函数在上递减，此时；在上递增，此时， 即，函数在上递减，，因此，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是________；若与不共线，，，，，则________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】利用数量积定义及运算律可得第一空；设，利用平面向量的线性运算分类讨论结合共线的充要条件确定的值即可. 【详解】要使最小，需模长最大，且与夹角为， 故当同向，且反向时，， 可取得最小值； 设，即，又，，均为单位向量， 若共线，则首尾相连一条线段，则此时与共线，不符题意； 所以不共线，则首尾相连形成一个菱形，即， 因为，， 所以，则， 所以. 故答案为：， 13. 成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有__________种. 【答案】88 【解析】 【分析】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况，由排列组合以及分类加法计数原理即可求解. 【详解】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况： ①甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场， 剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案； ②甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场， 再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场， 剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案. 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的安排方案. 故答案为：88. 14. 已知抛物线的焦点为，直线与交于、两点，点，则的面积的最大值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出抛物线的标准方程，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合导数法可求得的面积的最大值. 【详解】抛物线的标准方程为，其焦点为，则，可得， 所以，抛物线的标准方程为， 设点、，联立可得， ， 由韦达定理可得，，直线交轴于点， 所以， ， 令，其中， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 所以，面积为最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点. （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求解双曲线方程即可； （2）联立直线和双曲线方程，通过判别式大于0，及求解即可. 【小问1详解】 双曲线的中心在原点,焦点在轴上,设双曲线的方程为 由,可得, 由双曲线过点,可得, 解得, 则双曲线的标准方程为; 【小问2详解】 联立直线与双曲线方程， 化简得，则， 假设, 则，解得. 16. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点. （1）若为棱的中点，求证； （2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 如图：取中点，连接， 因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以. 又为正三角形，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以. （2）存在，与点重合 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直证明线线垂直； (2)解法1：设直线与平面所成角为，,到平面的距离是，利用求出，确定的位置. 解法2：建立空间直角坐标系，利用坐标法求直线与平面所成角的正弦值为时点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：延长三棱台侧棱交于点，补成三棱锥， 取中点，中点，连接； 侧面为等腰梯形，故； 侧面底面，交线为，平面， 因此平面； 已知两底面距离为，即； 由相似比，得； 底面为正三角形，，则，； 在中，； 在中，； 设点到平面（即平面 ）的距离， 由，即， ，， 代入得：，解得； 设点到平面的距离， 由相似比，得； 设，点到平面的距离，由相似性：，、 得，其中； 作于，则，，， 由余弦定理：， ， 设直线与平面所成角为，则， 代入得：，化简得， 解得或（舍去），即点与重合, 所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 解法2：设中点为，连接，则， 又侧面底面，侧面底面侧面， 所以底面， 又底面，所以， 又，所以两两垂直， 故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 因为三棱台两底面间的距离为，即， 又三角形为正三角形，且， 则，设， 则， 设平面的法向量为， 则， 可取 设直线与平面所成的角为， 则， 由， 所以，故或（因为，故舍去）， 此时与点重合， 所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 17. 记为数列的前项和，已知，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以数列为等比数列； （3） 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）根据等比数列的定义进行运算证明即可； （3）运用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 也满足上式， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 设数列的前项和为， 所以， ， 两式相减得 . 18. 某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量（数量匹配工作量，避免不足或闲置），保障图书整理效率，对应规则及往期统计数据如下表： 日借阅总量/本 日启用推车数量/辆 4 8 14 20 26 往期统计数据显示，该图书馆日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95． （1）求该图书馆一个工作日的日启用推车数量的期望． （2）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05，如概率降低后，日借阅总量不高于300本的概率为0.10，据此求解以下问题： （i）求未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率．（，结果精确到0.01） （ii）该图书馆拟调整推车启用方案：日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车；日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车．若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由． 【答案】（1）13.4 （2）（i）0.85（ii）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出每一段的概率，再利用期望公式求解； （2）（i）利用二项分布分析求解即可；（ii）分别求出方案中日启用推车数量的数学期望分析比较即可得结论. 【小问1详解】 题意得， ， 故. 【小问2详解】 （i）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后， 日借阅总量不高于600本的概率降低0.05，得， 设未来10个工作日中，日借阅总量不高于600本的天数为，则， 所以， 故未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率约为0.85． （ii）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后， 日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05， 得， ， 此时日启用推车数量的数学期望为： ， 若日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车，日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车， 则此时日启用推车数量的数学期望为： 因为，所以调整方案能降低日均运维成本． 19. 已知函数. （1）若的图象在处的切线方程为，求的值； （2）若，证明：； （3）讨论的零点的个数. 【答案】（1）， （2） 证明：若，则， 所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立； 令，，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即. （3）当或时，仅有一个零点；当或时，有两个零点. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得，求，再利用切点即在曲线上也在切线即可求出； （2）由，令，将问题转化为即可求解； （3）求导利用导函数判断单调性，再结合零点存在性定理判断零点的个数. 【小问1详解】 由题意得， 又的图象在处的切线方程为， 所以，解得， 所以，所以，所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得的定义域为，， 当时，，在上单调递增， 又，所以有且仅有一个零点1； 当时，令，解得， 易知在上，，则在上单调递减， 在上，，则在上单调递增， 又，， 所以在上有一个零点，在上有一个零点1， 所以在，上各有一个零点； 当时，令，解得， 易知在上，，则在上单调递减， 在上，，则在上单调递增， 故的最小值为，故仅有一个零点； 当时，令，解得， 易知在上，，则在上单调递减，且， 所以在上有一个零点1， 在上，，则在上单调递增， 又，， 所以在上有一个零点， 故在，上各有一个零点. 综上，当或时，仅有一个零点； 当或时，有两个零点. 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且， 还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三入学素养测试 数学试题 2026.3 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整､笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸､试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，的平分线交于，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是上单调递增的奇函数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，数据的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 直线与函数有且仅有三个交点，从左往右依次记作点A，B，C，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 有且仅有2个极大值点 C. 在上单调递增 D. 若，则 11. 时，下列不等关系能成立的有（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是________；若与不共线，，，，，则________． 13. 成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有__________种. 14. 已知抛物线的焦点为，直线与交于、两点，点，则的面积的最大值为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点. （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围. 16. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点. （1）若为棱的中点，求证； （2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 17. 记为数列的前项和，已知，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前项和. 18. 某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量（数量匹配工作量，避免不足或闲置），保障图书整理效率，对应规则及往期统计数据如下表： 日借阅总量/本 日启用推车数量/辆 4 8 14 20 26 往期统计数据显示，该图书馆日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95． （1）求该图书馆一个工作日的日启用推车数量的期望． （2）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05，如概率降低后，日借阅总量不高于300本的概率为0.10，据此求解以下问题： （i）求未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率．（，结果精确到0.01） （ii）该图书馆拟调整推车启用方案：日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车；日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车．若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由． 19. 已知函数. （1）若的图象在处的切线方程为，求的值； （2）若，证明：； （3）讨论的零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $