数学-2026年黑龙江省高三一模考试

高三考试 数学 参考答案及解析 数学 一、选择题 1.A【解析】由x2<1→-1<x<1,可得A=-1<x<1),由1>1→0<x<1,可得B={x0<x<1}, 故A∩B=(0,1) 2.D【解析】设z=a+bi(a,b∈R),由2z-z=2-3i,得2(a+bi-(a-bi)=2-3i, 即a+3bi=2-3i,得a=2,b=-1,所以z在复平面内对应的点为(2，-1)，位于第四象限. 3.c【群折1设D是AC的中点，则M=2MD,则BW-号D-行C-丽4cC号4， 因为丽=证+衣，所以A=号：号得+2水=0. 4.B【解析】因为y=logx在(0，+m)上单调递增，所以1ogg2<log33=1,可得a<1, 根据c=81-(2)1=23,且y=x3在(0，+w)上单调递增，可得33>23，即b>c, 由y=8"在R上单调递增，可得c=81>8=1,结合a<1,可得b>c>a. 5.D【解析】由题知，4=5，a4=5q4,a5=240=a+(15-5)d=4+10d,即240=5q+10d, 所以q+2d=48,因为q,d均为正整数，当q=1时，d=23.5EN,当q=2时，d=16∈N,满足：当 g23时，d=48,4gN,所以g=2,d=16,4=5g+5d=160,此时月球被太阳照亮部分占满月的 160_2 2403 6.B【解析】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有AA种，再2名女生插空有AA?种；第二类： 先排3名男生，甲在中间的排序有A?种，再2名女生插空有A?种，故男生甲不站在两端，且2名女生不 相邻的不同站法有AAAA+AA?=48(种). /4a2 b=4a? a 2’b=1时 4a= a 取等号. 答案第1页共8页 高三考试 数学 8.B【解析】由a1-31=-2(4.-3”),由于4-3≠0，可得数列{a-3”}是首项为4-3，公比为-2的 等比数列，则a=3”+(4-3)·(2)”-1，因为数列{a}是递增数列，可得4H>a,即 3*+a-3列(-2>3+a-3)-(2少对任意的正整数n都成立.当n为偶数时，4>3号) 43 恒成立， 恒成立， =3 单道可符3号”≥3+5，则4<5，则4的取足 (0,3)U(3,5) 二、选择题 9.BC【解析】数据x,x,3,x4,x的大小不确定，所以第80百分位数不能确定，故A错误： 数据1，书2,3，x4,的极差为4，即xx-xn=4.由y=2x+1,可知ymx=2xx+1, ym=2xin+1.∴.yax一yin=2(xma-xn)=8,故B正确；由数据x1,x2,为3，x4,x的平均数为3， 方差为2，=2x+1,得数据4，，，y4,的平均数为2×3+1=7，故C正确：得数据片，y, 3,y4,y的方差为2×22=8，故D错误. 10.ACD【解析】令x=y=2,则有f(②)+f(2)+g(②)-g(2)=2f2)=2,所以f2)=1,故A正确：因 为f(w)+f(y)+g(w-g(y)=x-3y,所以f(x)+g(x)-x=g)-fy)-3y对任意x,y∈R均成立，当 x取任意值，y取固定值时，f(x)+g(x)-x3为常数，当y取任意值，x取固定值时，g(y)-f(y)-3y为 常数，所以f(x)+g(x)-x3与g(y)-fy)-3y等于同一个常数，设f(x)+g(x)-x=g(y)-f(y)-3y=a, f)=r3-3x 令y=x,则 f(x)+8(x)-x=a 解得 2 8()-f(x)-3x=a g()=+3x+2a 故B错误：由g的=已+3x+24,得 2 2 gw=3+3≥3 2 片所以)在R上单调递增，故C正确；因为()=)，所 fy=3x3,令f)-3,得x=0,又0=0，所以直线3x+2y=0是曲线y=f)在(0，f(0)处 的切线，故D正确. 11.ABD【解析】·△ABR周长为A+B+AB≤A+B+A引+B=8,当且仅当直线AB过乃 第2页（共8页） 高三考试 数学 时取等号，故A正确；当1=1或2时，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1)+1,联 [y=k(x-1)+1 号1 ，得(3+4h)x-(82-8k)x+4-8趾-8=0，设A,),B3,), 8k2-8k +3464h一8-8.2，P2B,+52,+2.翻 3+4k2 得k=-,此时直线4B的方程为3x+4y-7=0,故B正确：：入=2，心AP=2PB,书+2x,3 书=3-2x,x+=3-5=3+42’解得书4+849 3+4k2 5=3-25=3-8+16k+184W2-16k-9, 3+4k2 ，计二秋16欧-9秋+8+9收一8-化简得 3+423+4k2 3+42 366+64+19-0,显然k=音不是方程的根，故C错误：设4(，W,8为)，Q00亚-丽， A0=-QB,. 3+x3=1+元 飞-=m0-》,两式相乘可得-=m0-2),同理可得-巧=n0-), 则-，产一m》,0:功，-得学0件背：又4，B在猫 4 3 4 3 3 3 因于+号=-1上，1-2-Q-代+？，又根据题意可知2≠1，华兮1，动点Q的轨迹方程 43 43 为3m+4n-12=0,即3x+4y-12=0,故D正确. 三、填空题 12.5【解折1由腿意可得2a-仙，即a=20,又c2-d+6,可解得c=励，所以e=￡--5 2 a 2b 2 13.号【解析】函数f)=sm++sim=2nx+孕os号图象关于直线x牙对称，所以 孕+号+keZ,即0-及+2流，ke乙，因为0c0<元，所以9-于，所以)=5mx+孕，又 422 2 J(0)-v2 所以n0+7-分所以m20=0月-2m0+争-1=日 2 14.子【解折】正三校柱ABCc-A么C的外接球的球心0为上下底面的外接圈圆心的连线Q4的中点， 连接AO,AO,OD,OE,设外接球的半径为R,下底面外接圆的半径为r,r=AO,=2,则R=2+3=7, 在△ODE中，OD=OE=2,DE=√6，作OF⊥DE于F,则过DF的平面垂直OF时截面圆的面积最小， 53W2 =OD:Dr2-6=截面圆的半径为NR-0r中2，，所以截面圆 小值为元(35)？-9π」 2 2 四、解答题 15.解：（1)因为a+c=26sm(C+爱， 第3页（共8页） 高三考试 数学 由正弦定理可得sinA+sinC=√3 sin B sinC+sin BcosC, 2分 在△ABC中，simA=sin(B+C)=sin BcosC+cos BsinC, 代入整理可得cos Bsin C+sinC=√3 sin Bsin C, 又Ce0孕，则血c0,可得V5mA-caB-l,即mB-?= 5分 又B∈(O,,则B-元∈(2)，则B-匹-刀可得B= 7分 6 6’31 66 3 （2)自余弦定理可得“-2沙_4-2+c2-0-白+2-2-g-1. 11分 c2 c2 所以当？-1即a=c时，即ABC为等边三角形时，口-2办 取得最大值-1. 13分 16.解：（(1)零假设为H。:对航天工程的关注情况与学历无关， 7=-200x80X40-60x20=200≈9524>6635. 100×100×140×6021 依据小概率值=0.01的独立性检验，推断H。不成立，即认为对航天工程的关注情况与学历有关.5分 (2)()记甲能进入第二关答题为事件A,即3道题至少答对2道题， 所以风0=c+-器 7分 ()若确定不挑战第3道题，获得奖金为X,则X的分布列为 X 0 400 1-p2 p 所以E(9=400p； 9分 若确定挑战第3道题，获得奖金为Y,则Y的分布列为 0 200 800 p 1-p2 p p1-p) 所以E()=-600p+800p2 12分 令E()-E()=600p3-400p2=200p(3p-2), 故当0<p<专时，80<BQ),建议挑战第3道题： 当p号时，(0=80们，挑战和不挑战第3道腿都可以： 当，<p<1时，E(X)>EY),建议不挑战第3道题 15分 17.(1)解：设动圆圆心为C(x,y),1CE=V(x-2)2+y2, 第4项（共8页） 高三考试 数学 C到y轴距离为x,动圆被y轴截得的半弦长为2，则(x-2)2+y2xP+22, 化简得y2=4x,所以动圆圆心C的轨迹方程为y2=4x. 4分 (2)(i)解：设直线AB的方程为x=y+2,A(3,),B(x3,y), 联立Xm+2,消去x整理得y-4-8=0,4=16r+32>0,则以+头=4m,=-8,6分 y2=4x 则△40B的面积为S=o4,-为=-=6+32=4m+2≥45，当且仅当m=0时取等号。 所以△AOB面积的最小值为4√5. 9分 ()证明：由题得B(5,-),则直线AB的方程为y+头，=二4K-名)，10分 X2-1 根据抛物线的对称性可知定点必定在x轴上， 令y=0,得x=为×之-+，=业+4=当@+2列+y+2） 12分 -y3-乃 为+ y +v2 -204+20+2-16m+8=-2,÷直线AB必过定点D-2,0). 15分 片+ 4 18.(1)证明：因为PO垂直于圆锥的底面ABD,所以POLAD, 当CD=CO时，CD=OC=AC,所以AD⊥OD, 又OD∩PO=O,OD,OPc平面POD,所以AD⊥平面POD, 4分 又ADC平面PAD,所以平面PAD⊥平面POD. 6分 (2)解：以O为坐标原点，以OB为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为BC=3CA,所以C(0,-2,0),P(0,0,4),B(0,4,0),A(0,-4,0), B 设D(x,y,0),则点D的轨迹方程为x+(y-1)2=9, 8分 由(1)可知，AD⊥OD,所以点D也在以OA为直径的圆上， 则点D的轨迹方程为x2+(y+2)=4, 10分 ,4W2 x= 联立 [x2+(y+2)2=4 r+0-1y=9,可 3, y=3 4 因为两交点关于y轴对称，不妨取DW54 330, 12分 P0,44,而=280，BP=044 i.AP=4y+4z=0 设平面PAD的法向量为i=(x,y,z),则 元aD=42x+8,0,取i=(2,-1, 14分 3x+y=0 3 第5页（共8页） 高三考试 数学 设PB与平面PAD所成的角为6，则sin0=cos(BP,n= 14+4| √2 17分 V16+16×√2+1+12 19.(1)解：当1时，f(x)=2sinx-x,x∈[0，，则f(x)=2cosx-1, 令f)>0,期as号m<管令fwa,则ca 1,即L<x<元. 3 所以f)在(0，宁上单调递增，在（兮，0上单调递减， 又fo=0,f9=5-牙f=-, 所以)的值域为r,5-孕， 4分 (2)解：由f(x)≥xcOSx,得2sinx-xCOSx-a>0, 设h)=2sinx-COSx--m,x∈[0，，则h0=0,h)=2cosx-cosx+xsinx-a=cosx+xsinx-a, 设g)=cosx+xsm-a,则g()=xcsx,所以当x∈[0，时，g'(x)20. 所以h)在[0，上单调递增， 所以1-a=hon9-于-a 6分 ①当a≥匹时，M)<0,h)在[0,5上单调递减，则h(x)<0,不满足题意： 7分 ②当1<a<严时，∈(0，，使得()=0，且0<x<6时，h()<0,h)在(0，)上单调递减， 2 则h(x)≤h(O)=0,不满足题意： 8分 ③当a<1时，()20，)在[0，受上单调递增，则≥0=0，满足题意 综上可得a<1,即实数a的取值范围是(-w,1]. 9分 (3)证明：由(2)得，当a=1时，任意r∈(0,5,2six-xcO5x--x>0恒成立，即tam sinx、x 2 1+cosx2 1 1 1 所以tan 11 +1(+1>+10+2n+1n+20∈N, 所似m子+子m是 +m刘分好好点点后 1 n+1n+22n+22n+4: 12分 令m0学则pe-是过 存在∈0，孕，使得p'()0. 则当xe(0,)时，p(>0:当x∈（孕时p'()<0, 第6页（共8页） 高三考试 数学 于是以对在Q)上净时道路，在（母上竿适减，而Po)(日0， 所以p()>0,即当0<x<亚时， 4xztanx. 15分 4 m 以四*g+181人8 1 1 1 +2n+12n+3=元32n+33元 < 综1达，”gmm时+m京…my是aeN 1 (n+1)23元 17分 第7页（共8页） 高三考试 数学 数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 1 单选题 5 集合的交集 易 2 单选题 6 复数的运算、复数的几何意义 易 3 单选题 6 平面向量 易 4 单选题 6 比较大小 易 单选题 因 数学文化、等比数列基本量的计算 中 6 单选题 6 排列组合 中 单选题 6 基本不等式 中 单选题 6 数列的单调性 中 9 多选题 6 样本数据的数字特征 易 10 多选题 6 抽象函数的性质 中 11 多选题 6 直线与椭圆的位置关系 中难 12 填空题 5 双曲线的离心率 易 13 填空题 5 三角函数的图象与性质 中 14 填空题 棱柱外接球的相关计算 中 15 解答题 13 解三角形 易 16 解答题 15 独立性检验、分布列与期望 易 17 解答题 15 直线与抛物线的位置关系 中 18 解答题 17 面面垂直的证明、线面角的求解 中 19 解答题 17 导数的综合应用 难 第8页（共8页）数学 满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡 规定的位置上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应 的区域内，写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.设集合A=x2<1,B={z>1,则AnB= A.(0,1) B.（-∞，1) C.(-1,1) D.(-∞，-1) 2.复数之满足2之一之=2一3，则在复平面内，复数之对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知点M是△ABC的重心，若BM=λAB+μAC,则λ+2μ= A.-1 &日 C.0 D.1 4.若a=log32,b=3.3,c=81,则 A.c>b>a B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b 5.古巴比伦泥板（大英博物馆藏K90泥板）上记录的月相变化数列，是人类早期对天文现象进行数 学描述的重要例证.该数列将满月等分为240份，记数列{am}为第n天月球被太阳照亮部分占满 月的份数（其中1≤n≤15且n∈N),第1天月球被太阳照亮部分占满月的48，即a1=5;第15 天为满月，即a1s=240.若在数列{am}中，前5项构成公比为q的等比数列，第5项到第15项构 成公差为d的等差数列，且q,d均为正整数，则第10天可见部分占满月的 A是 R专 c.号 D. 2 6.3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有 A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 数学第1页（共4页) 几若a,b>0则g十。+b的最小值为 A.2 B.2√2 C.4 D.3√2 8.已知数列{an}的首项a1≠3，am+1十2an=5X3"(n∈N*),若数列{an}是递增数列，则a1的取值 范围为 A.(0,3) B.(0,3)U(3,5) C.(1,3) D.(-∞，3)U(3,5) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.一组数据x1,x2,x3,x4,x5的极差为4，平均数为3，方差为2，若y:=2x:十1(i=1,2,3,4,5),则 A.y1,y2,y3,y4,y5的第80百分位数为y4B.y1,y2,y3,y4,y5的极差为8 C.y1,y2,y3,y4y5的平均数为7 D.y1y2y3y4,y5的方差为4 10.对任意x,y∈R,函数f(x),g(x)都满足f(x)十f(y)十g(x)-g(y)=x3一3y,则 A.f(2)=1 B.g(x)=2+3x 2 C.g(x)在R上单调递增 D.直线3x+2y=0与曲线y=f(x)相切 Π椭圆C:+3=1的左右焦点分别为F1,F2,过点P,D的直线与椭圆C交于 点，且满足AP=λPB,则下列结论正确的是 A.△ABF1周长的最大值为8 B.若λ=1，则直线AB方程为3x+4y一7=0 C.若λ=2，则直线AB方程为4x十3y一7=0 D.若动点Q满足AQ=一λQB,则点Q的轨迹方程为3x+4y一12=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 着双曲线C:一=1口>0,6>0)的实轴长是虚轴长的2倍，则双曲线C的离心率为 13.已知函数f(x)=sin(x十p)十sinx(0<p<x),若f(x)的图象关于直线x=对称，f(0)= ,则sin20的值为 √2 14.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2√3，D,E分别为棱AB,AA1的中点，经过DE作 该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为 数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a十c=2bsin(C+). (1)求B; (2)求026 c2的最大值. 16.(15分)中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调 查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ (2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都 答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励 400元，答错前2道奖励减半，答题结束 已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为：，第二关答题的前2道 题每道题答对的概率均为p,第3道题答对的概率为1一饣，p∈(0,1)，各题答对与否相互 独立. (ⅰ)求甲能进入第二关答题的概率； (ⅱ)已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金 更多 参考公式及参考数据：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d):n=a+b+c+d. a 0.05 0.01 3.841 6.635 数学第3页（共4页） 17.(15分)已知动圆过定点E(2,0),且被y轴截得的弦长为4. (1)求动圆圆心C的轨迹方程； (2)已知过点E的直线1与圆心C的轨迹交于A,B两点，点B关于x轴的对称点为B'. (ⅰ)求△AOB(O坐标原点)面积的最小值； (ⅱ)证明：直线AB'必过定点D. 18.(17分)如图，线段AB为圆锥PO底面⊙O的直径，点C为线段AO的中点，点D是以BC为 直径的圆上除B,C外的一个动点，AO=OP=4,且CD=CO. (1)证明：平面PAD⊥平面POD; (2)求PB与平面PAD所成角的正弦值， 出 A长5 19.(17分)已知函数f(x)=2sinx-ax. (1)当a=1时，求函数f(x)在[0，π]上的值域； (2)若对任意x∈[0，]，都有fx)≥0s,求实数a的取值范围； 1 1 1 8 3)证明27朵吧2+an+…十a十v3∈N 数学第4页（共4页）