黑龙江省齐齐哈尔市讷河市第一中学2025届高三下学期一模数学试题

高三数学 考生注意: 1.本试卷分远择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟. 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水荟宇笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时,请将答素答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑:非选择题赤用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区战内 作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范园:高考范图。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A=(x|(x+1)(2-x)>0},B=(0,4),则A∩B= A(-1,4) B.(0.2) C.(2.4) D.(-1,2) 2某中学有初中生600名,高中生200名,为保障学生的身心健康,学校举办了“校园安全知识”竞赛.现 按比例分配的分层随机抽样的方法,分别抽取初中生m名,高中生n名,经统计:m十名学生的平均 成绩为74分,其中m名初中生的平均成绩为72分,n名高中生的平均成绩为x分,则x= A74 B.76 C.78 D.80 3.已知向量a=(2m,1),b=(m,一1),若a一b与b垂直,则|a十b= A.32 B.2√2 C.√2 D.2 4经研究发现追鱼的游速可以表示为函数v=之og总品(单位:m/),0表示遑鱼的耗氧量的单位数某 条湟鱼想把游速提高2m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的 A.2倍 B.4倍 C.9倍 D.81倍 5.已知z(-子o).sin十cosz=最则sx十cosx A-23 3 B23 3 c-9 吗 6,将函数f(x)=si血(2x十号)的图象向右平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,设h(x)=g(z)+之x,则h(x)在(一元,x)内的极大值点为 A号 B等 c晋 D.- 【高三2月质量检测 数学第1页(共4页)】 G 7.设抛物线C:x2=16y的焦点为F,斜率不为0的直线l过点A(3,4),过F作1的垂线,垂足为P,Q是 C上的一个动点,则|FQ+|PQ|的最小值为 A号 B.6 c号 D.7 8.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC=2,∠ABC=60 ,E为CD的中点,沿AE将 DAE翻折至 PAE的位置得到四棱锥P-ABCE,且PB=2.若F为棱PB的中点,则点F到平面PCE的距离为 A 2 c D. 3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知复数,2(4≠0)在复平面内对应的向量分别为0元,0元(其中0为原点),则下列命题正确 的是 A若0Z10Z,则1十|=|1-2 B.若引OZ|=5,则|一2引的最小值为3 C.若(OZ+0Z)⊥(oZ-0Z),则= D.若1OZ|>10Z1,则x>z2 10.已知曲线E:x-y-2x2+1=0,则 AE不是封闭图形 B.E有4条对称轴 C.E与坐标轴有4个交点 D.E与直线y=202z有4个交点 1l.已知函数f(x)=e一ax2(a∈R),则下列结论正确的是 A若)有2个零点,则a=号 8当a=2时,f(x)是增函数 C.当a=1时,f(x)≥0恒成立 D当a=2时,若x是fx)的零点,则一1<x<-司 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知直线e"x一y(e”+1)2+1=0(m∈R)的斜率为k,则k的最大值为 13.现有两个抽奖箱M,N,其中M中装有3个红球和2个白球,N中装有4个红球和3个白球.每次抽 奖时,先从两个箱子中随机选取一个,然后再从选中的箱子中随机抽取一个球,则抽到红球的概率为 14.设函数f(x)=(x-1)(e-e),g(x)=x-lnx+a,若Vx∈(0,+∞),3x∈R,使得f(x)≤ g(x2),则实数a的取值范围是 【高三2月质量检测 数学第2页(共4页)】 G 可 扫描全能王创建 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在 ABC中,内角A.B.C所对的边分别为a,b,c,已知csin A=acos C. (1)求C: (2)若c=2.求 ABC的面积的最大值. 16.(本小题满分15分) 已知函数fx)=7e2-(a+2)c+2ax+1,其中a∈R (1)若f(x)的图象在(0,f(0)处的切线经过点(合0小,求a的值: (2)讨论∫(x)的单调性. 17.(本小题满分15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,CB=CD=CP=2AB=2AD=2AP=2√5,AC∩BD=O. (I)求证:平面ABCD⊥平面PBD: (2)若AC=5,PB=2W2,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 【高三2月质量检测 数学第3页(共4页)】 18.(本小题满分17分) 如图所示,由椭圆G:荐+芳-1( >6>0)和抛物线G:y-2pz(p>0)组合成曲线r若C与 C,存在共同焦点,由图形特点,它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫,这里称曲线P为“七星赢虫曲 线”.特别地,若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列,则称其为“等差树圆” 意 意慈 (1)求“等差椭圆”的离心率; (2)在“七星瓢虫曲线”"T中,若C是“等差椭圆”,且a=5. (1)求与C1和C2都相切的直线的方程: (I)直线l:y=kx十m(km=2),且L与C1相交所得弦的中点为M,与C2相交所得弦的中点为 N,证明:直线OM,ON(O为原点)的斜率之积koukov为定值. 19.(本小题满分17分) 已知数列{an》,(b.}满足bn=a,十pa+1+(p一1)a+2十(p-2)a+3十…十2at-1十a+p,其中p ∈N' (1)若p=1,bn=2n,求a1m一a10: (2)若p=2a,=,求数列修)的前n项和: (3若a=2,证明是< 【高三2月质量检测 数学第4页(共4页)】 G 扫描全能王创建 1.答案: 【答案】 因为B=(0,4),A={x|(x+1)(2-x)>0}=(-1,2), 所以A∩B=(0,2): 故选:B 解析 先求解集合A,再根据交集的定义求出集合A与集合B的交集, 点评 本题主要考查交集的运算,属于基础题」 2.答案: 【答案】 m+n名学生的平均成绩为74分,其中m名初中生的平均成绩为72分,n名高中生的平均成绩为x分, 光=600 n-200 得 可得72x3+2=74,解得x=80, 72m+nc=74, 3+1 m+n 故选:D 解析 根据分层随机抽样的特点求出m与n的关系,再利用平均数的计算公式列出关于x的方程,进而求解x的值. 点评 本题主要考查分层抽样的定义,属于基础题, 3.答案: 【答案】 向量a=(2m,1),b=(m,-1), 得d-6=m,2列: 由d-6与6垂直,得(d-).6=0,即m2-2=0,可得m2=2 因为a+b=(3m,0), 所以a+b1=V9m2=3√2 故选:A 解析 由d-6与6垂直求出m2,再求出d+6的坐标,利用坐标的模长公式可得答案 点评 本题主要考查向量垂直的性质,以及向量模公式,属于基础题, 4.答案: 【答案】 设原来和现在的耗氧量的单位数分别为01,02, 92=1o931001 gog8 2 01+2, 所a品-8品=4 日2 2二4, 所以l09301 所以号=30=81, 第5页共15页 所以耗氧量的单位数是原来的81倍. 故选:D 解析 根据所给等式,利用对数的运算法则来求解原来和现在耗氧量单位数的关系 点评 本题主要考查了对数的运算性质,属于基础题, 5.答案: 【答案】 sina cos'=(sin'a+cos2a)2-2sin2xcos2=1-2sin"acos2=17 81 所以sin2xcos2x=36' 1 又x∈(-牙) 所以cosx>-sinx>0, 则sinxc0sx= 1 6 所以sinz+o8z=Vm+c0oa=V1+2 sinzco=V1+2x(-君)=写 故选:D 解析 先根据已知条件求出sin2x cos2x的值,再结合x的取值范围判断sinx与cosx的正负及大小关系,进而求出sinx+ cosx的值 点评 本题考查了平方和公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用,属于基础题 6.答案: 【答案】 函数f网=sin(2x+写)的图象向右平移石个单位长度,得函数y=sin2(z-君)+罗】=sin2x的图象, 再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=six的图象, 所以h()=9()+受=sin+受 则ha)=co8E十方,z∈( ,列令N(回)=0,得2=-受,或=F。 当∈( 元,-)时,N回)<0,A回)单调递减, 当E(-,乏)时,W(回)>0.h(回)单调递增, 当z∈(三对列时,N()<0,h(回)单调递减, 所以h(x)在(-元,)内的极大值点为2 3 故选:A 解析 根据平移规律求出g(x),h(x),再利用导数求出极值点即可, 点评 本题考查了三角函数的性质,属于基础题, 7.答案: 【答案】 第6页共15页 抛物线C:x2=16y的焦点为F, R 则F(0,4), 过F作的垂线,垂足为P,Q是C上的一个动点, 因为FP⊥l,垂足为P, 所以点P的轨迹是以FA为直径的圆(不包括F,A两点), 半径=号FA-多圆心为B(号到, 又因为Q在抛物线C:x2=16y上, 其准线为直线y=-4, 过点Q作准线的垂线,垂足为R, 则FQ+PQ=QR+IPQ≥PR, 当B,P,Q,R四点共线且P在B点下方时取等号, 则(FQ+|PQI=|BR-r=8-是-号 故选:C 解析 分析点P的轨迹,作出图形,结合抛物线定义可得 点评 本题考查了抛物线的性质,重点考查了抛物线的定义,属中档题 8.答案: 【答案】 在四边形ABCD中,连接BE,由题意可知 DAE是边长为1的等边三角形, 则∠AED=胥∠BCE=智,BC=CE=1,则∠CEB=若可知LAEB=受 3 6 即AE⊥EB,且BE=VAB2-AE=V3,由PB=2,PE=1,BE=V5, 则PE2+BE2=PB2,可知PE⊥EB, 由AE∩PE=E,AE,PEC平面PAE: 可得EB⊥平面PAE,又因为EBC平面ABCE, 所以平面PAE⊥平面ABCE. 取AE中点O,AB中点H,连PO,OH, 则P0=S,OH∥BE,可得OH1AE, 2 因为 PAE为等边三角形,则PO⊥AE,平面PAE平面ABCE=AE, POC平面PAE,所以PO⊥平面ABCE. 以O为原点,OA,OH,OP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 第7页共15页 则P0.0.),(-号0.0),B(-V8,0), -子,9,9)C(-1,9,0可得PG=(1.9,-9)P店=(安0,-受)P =(9-) 设平面PCE的法向量n=(x,y,), , n⊥PC .PC =+9-9=0 2 则 则 元PE 、 (.PE=-号x 22=0 令x=3,则y=1,z=-1, 可得元=(3,1,-1), 由点F为线段PB的中点,知点F到平面PCE的距离是点B到平面PCE的距离的号 平面PCB的一个法向量元=(3.1,-1),CB=(分,9,0), 点B到平面PCE的距离 d'= |n CBL -西 n V5 5 所以点F到平面PCE的距离为Y5 10 故选:B 解析 先根据已知条件推导面面垂直关系,再建立空间直角坐标系确定各点坐标,最后通过向量垂直的条件求解平面法 向量,再用点到面的距离公式计算即可. 点评 本题考查向量法的应用,属于中档题, 9.答案: 【答案】 对于A,若OZ1⊥OZ2,则复平面内以有向线段OZ1和OZ2为邻边的平行四边形是矩形, 根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知21十2=21一2,故A正确: 对于B,若OZ1=5,则点Z1的轨迹是以O为圆心,以5为半径的圆, 设z1=5cos0+5isin0,0∈[0,2 ), 则z1-2=V√(5cos0-2)2+(5s2n0)2=V29-20c0s0, 因为-1≤cos0≤1,所以3≤|21-2≤7,则z1-2的最小值为3,故B正确: 对于C,因为(OZ1+OZ2)⊥(OZ1-OZ2), 第8页共15页 2 2 所以(0Z1+0Z2)(0Z1-0Z2)=0,所以0Z1-0Z2=0, 所以z1=22l,取z1=i,22=1,显然|21=z2,但z1卡22,故C错误: 对于D,两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小,故D错误。 故选:AB 解析 根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断A;设z1=5cos0+5isin0,0∈[0,2 ),则z1-2= √29-20c0s0,再根据cos的范围可判断B;根据(OZ1+OZ2)L(OZ1-OZ2)可得|z1=z2,再举反例 可判断C;两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小可判断D. 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题 10.答案: 【答案】 由于x4-y4-2x2+1=(x2-1)2-y4=(x2-y2-1)(x2+y2-1)=0, 因此x2+y2=1或x2-y2=1, 因此E是由单位圆M和实轴长为2,焦点为(-√2,0),(√2,0)的等轴双曲线C构成,所以选项A正确: 根据A项分析知,E只关于x轴,y轴对称,所以E只有两条对称轴,所以选项B错误: 根据A项分析可知, 曲线E与坐标轴的交点为(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),所以选项C正确: 由于C的一条渐近线方程为y=x且0<2025 1 , 1 根据双曲线的性质可知,y=2025x与C有2个交点, 又因为y=2025 x与圆M有2个交点,故直线y= 2025x与E有4个交点,故D正确. 1 故选:ACD. 解析 根据曲线化简得出单位圆及双曲线判断A; 根据图象特征得出对称轴判断B: 根据曲线与坐标轴交点判断C: 结合双曲线特征判断交点个数判断D, 点评 本题考查曲线与方程,属于中档题. 11.答案: 【答案】 显然fo≠0.由f(a回=e2-a2=0.得a=景 所以直线划=a与函数g@)=三的图象有2个交点,又g)= e(x-2) 所以当x<0或x>2时,g(x)>0:当0<x<2时,g(x)<0, 所以g(x)在(-0∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减, 第9页共15页 从而g()在x=2处取得极小值 4 又x +∞时,g(x) 十00:当x -0∞时,g(x) 0:当x 0时,g(x) +o, 在同一直角坐标系中作出g(x)的图象以及直线y=a, y=g(x) y-a 4 0 2 由图可见,当且仅当a=时,直线划=a与g②)的图象有两个公共点,故A正确: 4 当a-时,f)=e2-2,则f'a)=e2-z 令h(x)=e-x,则h'(x)=ex-1. 当x<0时,h'()<0,h(x)=f'(x)单调递减: 当x>0时,h'(x)>0,h(x)=f'(x)单调递增。 所以f'(x)≥f'(0)=1>0, 即f'(x)>0恒成立,所以f(c)是增函数,故B正确: 当a=1时,f()=e2-x2,f(-1)=e-1-(-1)2=合-1<0, 所以f(x)≥0不恒成立,故C错误: 当a=时,f@到=e2-号2,f-1)=e1-分x(-12-合-员<0.f-》=e-员 (-》2 e8>0 因为f()是增函数,且f(-1) f(-)<0 所以由零点存在定理可知,f(e)的零点2满足-1<20<-一号,故D正确 故选:ABD 解析 方程f回=。-a2二0的根的问远,通过变形转化为直线划=a与函数g(-号图多交点句题:对于函数 (x)的单调性问题,通过求一阶导数f'(x),再对f'(x)求导研究单调性,进而确定f(x)的单调性 点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系,考查运算求解能力,属于中档题 12.答案: 【答案】 直线emx-y(em+1)2+1=0(m∈R)的斜率k= em 1 1 (em+12=em+a+2 ≤ 2yem +2 当且仅当m=0时取等号,所以的最大值为号 故答案为:4 解析 先求出直线的斜率k= em 1 (em+1)2, 化简可得k= 再利用基本不等式即可求得k的最大值, em++2 点评 本题主要考查直线的斜率,属于基础题 13.答案: 第10页共15页 【答案】 设事件C=“抽到红球”,事件A=“选到抽奖箱M', 事件A为“选到抽奖箱N, 从选中的箱子中随机抽取一个球, P(A)=P(A)=2 则P(C4=房PCA)=号, Pq=PPC-P(A)PCA)= 是+ 号= 70 故答案为: 41 70 解析 先分别求从抽奖箱M中抽到红球以及从抽奖箱N中抽到红球的概率,再利用全概率公式进一步求得摸到红球的概 率 点评 本题主要考查全概率公式,属于基础题! 14.答案: 【答案】 若Va2∈(0,+o∞),3x1∈R,使得f(x1)≤g(x2): 则f(z)min≤g(z)min,当x<1时,x-1<0,e2-e<0,所以f(a)>0: 当x≥1时,x-1≥0,ex-e≥0,所以f(x)≥0, 等号仅当x=1时成立,所以f(x)min=0. 所以对∀x∈(0,十o),g(x)≥0,即x-lnx+a≥0,即a≥lnx-x. 今h(回=hE-,则(回)=是-1=1e>0, 当0<x<1时,h'(x)>0;当x>1时,h'(x)<0, 所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, h()max=h(1)=-1,因此a≥-1,即a的取值范围是[-1,+oo), 故答案为:【-1,十o) 解析 将问题转化为f()min≤g()min'求出f(c)min'然后参变分离,构造函数h(z)=血x-x,利用导数求最值即 可 点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值,考查运算求解能力,属于中档题. 15.答案: 【答案】 (1)因为csin A=a cos C,由正弦定理可得sin Csin A=sin Acos C, 在 ABC中,sinA≠0,所以sinC=cosC, 可得tanC=1,C∈(0, ), 即C=牙: (2)由余弦定理,得c2=a2+b-2 ab cos C,而c=2, 知422ab一V2ab,可得ab≤25=22+V2 当且仅当a=b=√4+2√2时等号成立 则Sa4c=bsnC≤号 2x2+V② 2 2=V2+1, 即 ABC的面积的最大值为V2+1. 第11页共15页 解析 先利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,求出角C的大小,再根据余弦定理和基本不等式求出 b的最大值, 进而求出三角形面积的最大值。 点评 本题考查正弦定理,余弦定理的应用,基本不等式的性质的应用,三角形面积公式的应用,属于中档题, 16.答案: 【答案】 (1)f'(e)=e2z-(a+2)e2+2a, 因为f0)=-a- 2,f'(0)=a-1, 1 所以f(国)的图象在0,f0)处的切线方程为g十a十号=a-1)z, 将分0代入得a+号=a-1.解得a=-2, (2)f'(z)=e2x-(a+2)e2+2a=(e-2)(er-a), 当a≤0时,e-a≥0,令f'(x)>0,得x>ln2;令f'(x)<0,得x<ln2, 所以f(x)在(n2,+oo)上单调递增,在(-oo,ln2)上单调递减, 当0<a<2时,令f'(x)>0,得x>ln2或<lna;令f'(x)<0,得lna<x<ln2, 所以f(x)在(-oo,lna),(1n2,+oo)上单调递增,在(1na,ln2)上单调递减 当a=2时,f'(z)=(e2-2)2≥0,所以f(x)在(-o∞,+o∞)上单调递增。 当a>2时,令f'(z)>0,得x>lna或x<ln2;令f'(x)<0,得ln2<x<lna, 所以f(x)在(-oo,ln2),(na,十o)上单调递增,在(ln2,lna)上单调递减 综上,当a≤0时,f(x)在(n2,+o∞)上单调递增,在(-oo,ln2)上单调递减: 当0<a<2时,f(x)在(-oo,lna),(ln2,+oo)上单调递增,在(na,ln2)上单调递减: 当a=2时,f(x)在(-o,+∞)上单调递增; 当a>2时,f(c)在(-∞,n2),(na,+∞)上单调递增,在(n2,lna)上单调递减. 解析 (1)求导求出切线的斜率和切点坐标,由直线的点斜式方程求出切线方程,再代入经过点的坐标可得答案: (2)求导,分a≤0、0<a<2、a=2、a>2讨论,可得答案 点评 本题主要考查导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,考查运算求解能力,属于中档题 17.答案: 【答案】 (1)证明:因为AB=AD,CB=CD,所以A,C均在BD的垂直平分线上, 所以AC⊥BD,BO=OD,因为AB=AP,BC=PC, AC=AC,所以 ABC≌ APC, 所以∠POA=∠BOA=90 , 所以PO⊥OA,即PO⊥AC,又因为AC⊥BD,PO∩BD=O, POC平面PBD,BDC平面PBD, 所以AC⊥平面PBD, 又因为ACC平面ABCD, 所以平面ABCD⊥平面PBD. (2)由(1)可知OB⊥OC,因为AB=√5,BC=2V5,AC=5, 所以AB2+BC2=AC2,则∠ABC=90 , 2SAABC ABXBC =5x2V5=2.AO=V5-4=1. 所以BO=的AC AC 5 由(1)可知OD=OP=OB=2,又因为PB=2√2, 所以PB2=PO2+BO2,所以PO⊥OB.又因为POLAC, 第12页共15页