2026届黑龙江哈尔滨市高考一模（辽宁沈阳市高考二模）数学试卷

2026年哈尔滨市高考第一次模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生 信息条形码粘贴区。 2.答题时请按要求用笔。 使 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区战内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知平面向量a=(-1,2),b=(x,-2),若a⊥b,则x的值为 A.-4 B.-1 C.1 D.4 2.已知全集U=R,集合A={(x+2(x-1)≥0，则CA= A.（-1,0) B.{-1,0} C.o D.（-2,1) 3.若以直线2x士3y=0为渐近线的双曲线经过点(3√2,2)，则该双曲线的方程为 A少 -=1 2_y=1 49 B.9 a号苦 4.已知等差数列{an}的前项和为Sn,若S,=35,$。=120,则a= A.13 B.15 ℃.17 D.19 5.某科技公司要组建一个.3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一 名工程师被选中的选法共有 A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 6已知t加a=2,&e0孕，则na+孕- A.3/10 √10 c._vio D. o 10 B.10 10 5 7.“(ax+1)°的展开式中x2的系数为60”是“a=2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数学试题第1页（共4页） 盈 8.已知函数f()=Asin(@x+p)(A>0,w>0,0<p<龙)的图象满足以下特征：图象经过点 (0,),并且在y轴右侧的第一个零点为号，第一个最低点为径，-2小函数f()在 (各，]上的值城为(-l,2习，则m的取值范围是 A[海] B.() c.[g) D.（g] 發 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数2=二，则下列结论正确的有 2i A.z的虚部是i B.z在复平面对应的点位于第二象限 C.Z=1+i D.2=N5 10.已知函数f()=产，则下列说法正确的是 A.曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=-x B.函数f)的值域是(-®] C.若点P是曲线)y=f(y)上的动点，则点P到直线y=x+1距离的最小值为 2 D.若过点40，©)至少可以作曲线)y=f()的两条切线，则0<a≤专 11.已知正方体ABCD一A,B,CD,的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点， 则下列说法中正确的是() A.当P在线段BC上运动时，四面体D一APE的体积为定值 B.当P在正方体表面上运动时，若AP⊥B,E,则P的轨迹长度为3√2+√5 C当P在线段AB上运动时，直线D,P与AD成角最小值为罕 D.当P在线段A,C上运动时，四面体P-ABC的外接球半径的取值范围为「V2W) 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.在△ABC中，已知A=2B,a=8,b=5,则cosB= 13.已知函数f)=x21n(N2+1+m为奇函数，则a= 14.已知椭圆c:兰+茶1(a>0,b>0的左、右焦点分别为乃，及.P为椭圆C上一点， |P?仁3|PF|.圆I与线段P的延长线和线段PF的延长线分别相切于点A和点B, 与线段R3相切于点M,且陋=巫，1哈为，则椭圆C离心率的取值范围 是 数学试题第2页（共4页） 口 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 15.(13分) 一个车间为了规定工时定额， 需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验， 收集数据如表所示。 零件数x/个 60 70 80 90 100 加工时间ymin 95 104 108 116 122 经计算得之4-沁，-列=60 (1)建立加工时间y关于零件数x的一元线性回归方程； (②)关于加工零件的个数与加工时间，由(1)问你能得出什么结论？ 参考公式：经验回归方程)=x+à中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 2(x-(-刃 6= ,a=-成. 24-对 16.(15分) 在数列{a}中，。 (1)求证数列 是等比数列； 2)设6，=log2 1,记数列{c,}的前n项和为Sa,若2-12S,对于neN”恒 成立，求兄的取值范围。 17.(15分) 如图，三楼柱A8C-4G的所有棱长均为2，且∠4B=号 (I)证明：AB⊥A,C; (②)若三棱柱ABC-AB,C的体积为3，求平面ACC与 平面ACB,所成夹角的余弦值. 数学试题第3页（共4页) 18.(17分) 己知抛物线E:x2=2py(p>0),焦点为F,A为抛物线上一动点.当A的纵坐标为 时，1分 (1)求E的方程； (②)设O为坐标原点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为M,直线AF交E于另一 点B,证明：B、O、M三点共线； (3)若点C，D在E上，且线段CD的中点在直线y=x上，点P与，)， 求△PCD面积 装 的最大值. 19.(17分) 在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量y=f(x)(单位： 千只)与时间x(单位：月)，满足函数f(x)=e*cosx(x>0),其波动呈现“往复波动， 夕 逐渐稳定”的特征， 定义：若函数g(x)在(a,+∞上满足： 1震荡性：g(x)在(a,∞)上无限次正负交替； 2衰减性：任意给定正实数m,存在实数n,使得当x>n时，g(x)<m. 则称g(x)为震荡衰减函数. (1)求f(x)在(0,2x)内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是 否为0（不必证明）？ (2)根据定义判断函数f(x)在(0，+∞)上是否为震荡衰减函数如果是，请给出证明：如 线 果不是，请说明理由 (3)设(x)=f(x+f(xx>0).求证：(x)无最大值. 数学试题第4页（共4页） 参考答案及评分标准 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B C C A B C 9 10 11 BD BCD ACD 13.±1 14 详解： 8.定位“五点”：零点 后0)是五点法中的第三个点(ar+9=元)，最低点（ 18 ,-2)是第五个点 3π (@x+= ),可知A=-2。 求o:第三个点到第五个点的距离为王·即杯不久、T →T-2π30=3. 18964 3 求9：第三个点清足3×。+9=π→0=写， 直接锁定初相。 9 2 5 级f(田=2sn3x+元。函数f在-g 3 ，m上的值城为(-12]时知八3)=-1 f(x)=2时，3x +2知-交+2行今x=交十2kr,当k=0时，X=及 32 183 18 f=-1时，3x420=5+2→x=-2k行，当k=1时，x,赦取不到x= 36 23 6 6 ππ -186) 选C 11.对于A,V-APE=V-AAE,由于P∈BC1,且BC/1AD,则P到平面DAE的距离不变，A正确， D C 对于B,线段B,E在平面ADDA内射影为AD,连AD,则AD⊥AD,且AD⊥DE。又DE∩AD=D, 故AD⊥平面DEBA,则AD⊥BE.B,E在平面ABCD内射影为BZ.取BC中点M,连AM,则 AM⊥BE,且AM⊥BB,又BE∩BB,=B,故AM⊥平面B,BE,则AM⊥B,E,取CC,中点N, P轨迹为四边形AWD.长度为3√2+2√5，B错误 对于C,过P作PH⊥CD于H,连DH,易记PH⊥平面CDDC,则PH⊥DH,则DP与AD成 角为∠DPH,m∠DPH=日，随若P从点A运对到E,DH指大，P阴减小，从而am∠DP阳 PH 第1页共8页 增大，∠DPH增大，因此当点P位于点A时，成角最小为∠DAD=T ，C正确 4 H E D C 对于D,由外接球定义，球心在底面ABC射影为O,过O作平面ABC的垂线，从而则球心在该直线上.又 由于平面PAC⊥平面ABC,从而球心为△PAC外心，记为S,球半径为△APC外接圆半径，由正弦定理 AC 2W2 2R= 而sin∠APC∈ 故R∈[V2,V6),D正确， sin∠APC sin∠APC D 14.解法一：设|FF=2c,因为FM=FE,,所以|FM=2c,|FM=2(1-)c 由圆I与线段PF的延长线和线段PF,的延长线分别相切于点A和点B,与线段FF,相切于点M,所以 PA-PB,F M=FA,F M=FB 因为E3,且2限+医2a,所以PR-a,PR 2 又因为|PA月HPE|+|FA曰|PFI+|FM|,|PBPF,+|F,B曰PF,|+|FM 所议)a+21c=a+20-)c,即a=20-2见c,所以椭圆c的离心率g 21-2) 因为函数f()= 1 21-22) 哈之上单棉，所以写寻 86 23 即椭圆C离心率的取值范围是[ 解法二：切线长定理、向量条件 由椭圆定义求焦半径 根据椭圆定义PF+PF=2a,结合PR3PF,解得： 应用切线长定理设圆I与PF延长线切于A,与PF,延长线切于B,与FF,切于M。 根据切线长定理：|FA-FMF,BFE,M,PA=PB 设FM=,F,M=n。 从P点出发的切线长：PA=PgR=弘+m 从P点出发的切线长：P=PEHE-+n 由PA=PB,得： 第2页共8页 3a +m-a+n→a+m=n 2 2 又M在线段FF,上，故m+n=F,=2c。 n=a+m n=a+m 联立方程： m+n=2c m+n=2c 解得：= 2c-a 2 即122 由FM=1EE,可知FME。 代入lFM=2c,a和1F=2c:2c,a--2c 2 2 整理得：2c-a=42c→a=2c-4c=c2-42· 因此离心率e=C为：e= 1 a 2-4元 86 1 代入e= 2-4λ 解法三：旁切圆性质公式 确定旁切圆切点位置 圆I是△PFF,的一个旁切圆，与边F,相切。 对于三角形的务切圆，其与一边的切点到对应项点的离公式为：-PHPE 代入P-9,P-号KE=2cFM=22 2 结合向量条件 由FM=EE得|FM=·2c。 联立a+2c=21c,整理得：a+2c=47c→a=c(42-2） 2 因此离心率e=C为：e= 1 4九-2 34 知九日，则4-2e。代入e 1 2-42 15.解： （1)）元=60+70+80+90+10=80，万-=95+104+108+116+122=109，…4分 5 (e-寸=(60-80P+(10-80f+80-80f+0-805+10-80y=100.…6分 第3页共8页 6.李--动 660 =0.66,… …8分 x对 1000 à=-b=109-0.66×80=56.2. …9分 所以加工时间y关于零件数x的一元线性回归方程为少=0.66x+56.2.…10分 (2)由回归直线方程可知，斜率6>0，说明加工零件个数x与加工时间y呈正线性相关， 零件数每增加 一个，加工时间平均增加0.66min.…13分 16.解：（1) L2-&-名-1可得 1-1=22-0 an an dn a 1-1 放n=2 1-1 …4分 a 所以 是以2为首政2为公的批数列6粉 C …7分 1111 C.=bb..n(1)nn …9分 =+6+c=1-+1+11=1-1 …11分 223 nn+l n+1 由Sn单调递增， 1>0可知，S,<1… …13分 n+1 22-12(Sn)ms故22-1≥1，解得之1 …15分 17.解： (1)证明：因为三棱柱ABC-ABC,的所有棱长均为2 所以底面△ABC为等边三角形，侧面A,ABB,为菱形且∠AAB= 3 取AB中点为O,连接CO、AO 则CO⊥AB、AO⊥AB… …3分 第4页共8页 又因为COc平面AOC,A,Oc平面AOC,CO∩AO=O, 所以AB⊥平面AOC. …5分 因为A,CC平面AOC, 所以AB⊥AC. 6分 (2)设A到平面ABC的距离为h, 三棱柱ABC-AB,C1的体积V=S4ch=V3h=3,所以h=V3. 因为A0=V3, 所以AO⊥平面ABC.… …7分 以O为坐标原点，OB,OC,OA方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向 建立空间直角坐标系，则A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,V3,0),A(0,0,V5), 所以C4=(0,-5,V5),CC=A4=1,0,V5)，AB=AB=(2,0,0).…8分 设平面ACC1的一个法向量为1=（化，，）， -V3y+V3,=0, 则 x+V32,=0. 取21=1，则%=（←V3,11). 10分 设平面ACB,的一个法向量为n2=(x2,,22), -V3y,+V5z2=0, 则 2x2=0. 取y2=1,则2=(0,1,1). 12分 所以a4,%- 14分 |‖2 5 所以平面4，CC与平面4CB所成角的余弦值为√1 15分 5 18.解： 0)瓶胸线：r-2n3骏点为r0号) 准线为y=- 2 由的成定X刘h子+号行·放州？月 因此，抛物线E的方程为x2=y. …4分 1 (2) 设过焦点P04的直线方程为=+子与抛物线-y联立得-红-}=0。 1 设A(玉，y）,B(乃)，由韦达定理得+x,=,=一4 …5分 1 因为M,寻，所以w=4: x 4x 又5=为=名=名，=4 …7分 x, 第5页共8页 所以km一ko=4 1 -X2= 1+4xx2=0, 4x 即koM=koB,所以B、O、M三点共线… …10分 (3)解法1 设CD的中点为(t,t),C(x),D(x4,y4),则x+=2t,y+y4=2t.11分 结合=x2,4=x2,得x2+x2=21,进而xx=2-1. 弦长cD=2VF(1-t)V1+4r(t∈[0,1]).（无范围11分） …12分 直线CD的方程为2x-y-2t+t=0, 1到直线的距离d= 2r-21+122-2t+1 …13分 V4f2+1 V42+1 面积S=Vt(1-t)(2r2-2t+1） …14分 …15分 求导得S'(u)=-6u2+1,令S'(u)=0,解得u= 6 并且 6 su)在0,6 上单调递增， 在 61 62 上单调递减， …16分 此时Snax= √6 …17分 9 S=Vt1-t)(2r2-2t+1) 法2： -402r-2s- 16分 当且仅当1-35时，取得最大值 …17分 6 解法2：设直线CD的方程为y=x+b,与抛物线联立得x2-x-b=0. 由中点在y=x上，得b=-2 …2分 2 弦长CDl=V1+2)k(2-k)k∈0,2])： 点P到直线的距离d= k2-2h+2K2-2k+2 14分 2Vk2+1 2Vk2+1 面5-2-k-2+2.令1-2-，则5-f+2”e0- 4 4 求导得S0)-2.令S回=0，解相1-6此时8-5 …17分 4 3 9 解 -ecaerem-。(asx1miami 第6页共8页