专题2.2 一元二次方程的解法（举一反三讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法（基础降次）、配方法（完全平方转化）、根的判别式与公式法（代数推理）、因式分解法（因式降次）等核心知识点，构建从基础到综合应用的学习支架。 该资料题型分层设计，例题结合变式题实现举一反三，通过配方法求最值、根的判别式参数取值等培养数学思维中的推理能力和运算能力，课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习查漏补缺。

专题2.2 一元二次方程的解法（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 可化为】 2 【题型2 可化为】 3 【题型3 配方】 3 【题型4 用配方法解方程】 3 【题型5 配方法的应用】 4 【题型6 判断根的情况】 6 【题型7 求参数的值或取值范围】 6 【题型8 用公式法解方程】 6 【题型9 用因式分解法解方程】 7 【题型10 换元法解方程】 8 【题型11 解含绝对值的一元二次方程】 8 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为．考点1 配方法 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【题型1 可化为】 【例1】（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【变式1-1】（25-26九年级上·北京·期末）方程的解是______． 【变式1-2】（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【变式1-3】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）已知关于的方程没有实数根，那么k的取值范围是__________. 【题型2 可化为】 【例2】（25-26九年级上·福建福州·期中）若一元二次方程（x﹣3）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣3＝4，则另一个一元一次方程是 ___． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程的两边同时开平方， 得________， 即________或________， 所以________， ________． 【变式2-3】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）已知方程的两个根为，，且，则________． 【题型3 配方】 【例3】（25-26九年级上·山东青岛·单元测试）配方：________________． 【变式3-1】（25-26九年级上·海南·月考）配方：______=（______）；（______）． 【变式3-2】（2025·广东东莞·一模）方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=_____． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏盐城·月考）关于x的代数式中，当______时，代数式为完全平方式． 【题型4 用配方法解方程】 【例4】（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 【变式4-1】（25-26九年级上·山西朔州·月考）佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 【变式4-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【变式4-3】（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（    ） A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5 C．（x－p）2＝7 D．（x－p）2＝5 【题型5 配方法的应用】 【例5】（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【变式5-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【变式5-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知，则的取值范围是___． 【变式5-3】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：分解因式 ； （2）把写成后，求出的值； （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 知识点3 一元二次方程根的判别式考点2 公式法 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型6 判断根的情况】 【例6】（25-26八年级下·广西百色·期中）问题“解方程”：小李说“其中一个解是”；小珍说“，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，判断下列结论正确的是（    ） A．小李说得对 B．小珍说得对 C．小邓说得对 D．三名同学说法都不对 【变式6-1】（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【变式6-2】不解方程，判断方程的根的情况． 【变式6-3】定义运算：．例如：．则方程的根的情况为______． 【题型7 求参数的值或取值范围】 【例7】已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 【变式7-1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【变式7-2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知等腰中，，，是关于的一元二次方程（是常数）的两实数根，则的值为_____． 【变式7-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 用公式法解方程】 【例8】（25-26七年级上·广东中山·月考）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）一元二次方程的根是___________． 【变式8-2】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【变式8-3】关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解． 知识点5 因式分解法解一元二次方程考点3 因式分解法 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型9 用因式分解法解方程】 【例9】用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（       ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知关于x的方程x2+kx－2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为_____． 【变式9-2】（25-26九年级上·吉林白城·月考）用因式分解方法解方程：． 【变式9-3】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 【题型10 换元法解方程】 【例10】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【变式10-1】若x、y为实数，且，则_____ 【变式10-2】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【变式10-3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【题型11 解含绝对值的一元二次方程】 【例11】（24-25九年级上·河南信阳·月考）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【变式11-1】（24-25九年级上·河南安阳·期中）解方程：． 【变式11-2】解方程． 【变式11-3】（25-26九年级上·重庆万州·月考）解下列方程： (1) ； (2)． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一元二次方程的解法（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 可化为】 2 【题型2 可化为】 4 【题型3 配方】 5 【题型4 用配方法解方程】 6 【题型5 配方法的应用】 9 【题型6 判断根的情况】 12 【题型7 求参数的值或取值范围】 13 【题型8 用公式法解方程】 16 【题型9 用因式分解法解方程】 19 【题型10 换元法解方程】 20 【题型11 解含绝对值的一元二次方程】 23 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为．考点1 配方法 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【题型1 可化为】 【例1】（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 【变式1-1】（25-26九年级上·北京·期末）方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程.根据解一元二次方程的直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解： 移项得：， 两边同时除以得：， 开平方得：， 故答案为：，． 【变式1-2】（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）已知关于的方程没有实数根，那么k的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意可知， 解得： 故答案为. 【点睛】此题考查的是完全平方的非负性和一元二次方程无实数根的关系. 【题型2 可化为】 【例2】（25-26九年级上·福建福州·期中）若一元二次方程（x﹣3）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣3＝4，则另一个一元一次方程是 ___． 【答案】x-3＝−4 【分析】把方程（x﹣3）2＝16两边开方即可得到答案． 【详解】解：∵（x﹣3）2＝16， ∴x-3＝4或x-3＝−4． 故答案为x-3＝−4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2＝p或（nx＋m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程的两边同时开平方， 得________， 即________或________， 所以________， ________． 【答案】 ±3 3 －3 2 －1 【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可 【详解】∵ ∴±3 ∴3，-3 ∴2，-1 【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键 【变式2-3】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）已知方程的两个根为，，且，则________． 【答案】． 【分析】运用直接开平方法求出，，从而求出． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，， ∴． 【题型3 配方】 【例3】（25-26九年级上·山东青岛·单元测试）配方：________________． 【答案】 【分析】由于二次项的系数为1，所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半的平方． 【详解】所给代数式的二次项系数为，一次项系数为，等号右边正好是一个完全平方式， 常数项为， ． 故答案为：； 【点睛】本题考查了完全平方公式在配方法中的应用：若二次项的系数为1，常数项是一次项系数一半的平方． 【变式3-1】（25-26九年级上·海南·月考）配方：______=（______）；（______）． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式． 根据完全平方公式进行配方即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，，． 【变式3-2】（2025·广东东莞·一模）方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=_____． 【答案】1 【详解】试题解析：x2+2x-1=0， x2+2x=1， x2+2x+1=2， （x+1）2=2， 则m=1； 故答案为1． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏盐城·月考）关于x的代数式中，当______时，代数式为完全平方式． 【答案】或 【分析】根据完全平方公式的特点可得关于m的一元二次方程，解方程即可；注意完全平方式有两个，所以一次项系数有两个． 【详解】解：由已知，关于x的代数式完全平方式， ∴配方得，， 当时，原式为完全平方式， 解得，， 故答案为：或 【点睛】本题是完全平方公式的应用和一元二次方程的解法，解答关键是根据通过配方法得到一元二次方程求解． 【题型4 用配方法解方程】 【例4】（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法把一元二次方程的左边化成完全平方式. 根据一元二次方程配方法的步骤解题. （1）移项：先化把常数项移到右边； （2）再化二次项系数为1； （3）配方：左右两边加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式即可得到答案. 【详解】解：（1）对，移项得：， 方程两边同除3，得：， 配方，得：即. 故答案为：. （2）对，移项得：， 方程两边同除5，得：， 配方，得：即. 故答案为： ． 【变式4-1】（25-26九年级上·山西朔州·月考）佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法解，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． （1）观察解答过程可得答案； （2）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； （2）解：移项得：， 配方得：，即， 开平方，得． 解得，． 【变式4-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（    ） A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5 C．（x－p）2＝7 D．（x－p）2＝5 【答案】A 【分析】根据完全平方公式展开，求出p的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程x26x+q=0配方后是（xp）2=7， ∴x22px+p2=7， ∴6=2p， 解得：p=3， 即（x3）2=7， ∴x26x+97=0， ∴q=2， 即（x+3）2=7， 即（x+p）2=7， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 【题型5 配方法的应用】 【例5】（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 【变式5-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 【变式5-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知，则的取值范围是___． 【答案】大于等于6 【分析】本题考查完全平方公式，配方法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知得，代入，即可求出，的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ， ∴ 的取值范围是：大于等于． 故答案为：大于等于． 【变式5-3】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：分解因式 ； （2）把写成后，求出的值； （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）直接利用完全平方公式变形得出答案； （2）通过配方后，化为的形式，再=，即可得出答案； （3）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出a，b，c的关系，进而得出△ABC的形状． 【详解】解：（1）4a2-4a+1=（2a-1）2； 故答案为：； （2）解： ， ， ， ， （3）解： ， ， ， ，，， 即． 为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键． 知识点3 一元二次方程根的判别式考点2 公式法 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型6 判断根的情况】 【例6】（25-26八年级下·广西百色·期中）问题“解方程”：小李说“其中一个解是”；小珍说“，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，判断下列结论正确的是（    ） A．小李说得对 B．小珍说得对 C．小邓说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】B 【详解】解：对于一元二次方程， ，，， ， 方程无实数根， 小李的说法错误，小邓说方程有两个实数根的说法也错误，只有小珍说得对． 【变式6-1】（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式6-2】不解方程，判断方程的根的情况． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】先求一元二次方程的判别式，由与0的大小关系来判断方程根的情况． 【详解】解：∵，， ∴ ∴原方程有两个不相等的实数根． 【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 【变式6-3】定义运算：．例如：．则方程的根的情况为______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可. 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴ ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根 故答案为：有两个不相等的实数根 【题型7 求参数的值或取值范围】 【例7】已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题需分类讨论方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况，分别根据方程有实数根的条件确定的取值范围，综合后即可解答． 【详解】解：当，即时，原方程可化为，该一元一次方程有实数根，因此符合题意； 当时，该方程为一元二次方程，方程有实数根，则根的判别式大于等于，即， 整理得， 解得． 综上，的取值范围是． 【变式7-1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题需要同时满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个实数根要求根的判别式，求解两个不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，即， 又∵方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， 综上，的取值范围是且． 【变式7-2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知等腰中，，，是关于的一元二次方程（是常数）的两实数根，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义、根的判别式以及三角形三边关系．分两种情况讨论，为等腰的腰，为等腰的底，结合一元二次方程根的定义、根的判别式以及三角形三边关系，即可求出的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为等腰的腰时， 则或， ，是一元二次方程的两实数根， 将代入方程得： ， 解得， 此时原方程为， 解得，， 三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； ②当为等腰的底时， 则，即一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式， 即， 解得， 此时方程的两根相等，均为，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意， 综上，的值为或． 【变式7-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先根据相等的实数根的性质得到判别式为，结合已知条件整理得到，，的关系，再判断选项． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， 将代入得 ， 整理得，即， ∴， 将代入得 ， ∴，即，故C正确． ∴，，，故A错误、B错误、D错误． 【题型8 用公式法解方程】 【例8】（25-26七年级上·广东中山·月考）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数a、b、c的值，从而匹配对应方程 【详解】解：一元二次方程， ， ， ，即；，即； ， ， 故方程为 ， 故选：A 【变式8-1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）一元二次方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；对于一元二次方程，由于无法直接因式分解，采用求根公式求解，先计算判别式，再代入公式求解即可． 【详解】解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式8-2】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 【变式8-3】关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，令且解不等式即可得出答案； （2）根据方程有两个相等的实数根，令，求出的值，代入原方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， 且，即且， 解得且， k的取值范围为且； （2）解：方程有两个相等的实数根， ， ， 代入方程得，， 解得． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况关系是解题的关键． 知识点5 因式分解法解一元二次方程考点3 因式分解法 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型9 用因式分解法解方程】 【例9】用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由x(x−3)=x−3，x(x−3)−(x−3)=0，(x−3）(x−1)=0，故选B. 【变式9-1】已知关于x的方程x2+kx－2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为_____． 【答案】 【分析】把代入原方程求，再解方程求另一根即可． 【详解】解：把代入原方程： 方程的另一根是 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的含义及解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 【变式9-2】（25-26九年级上·吉林白城·月考）用因式分解方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解： 解：， ∴或， ∴，． 【变式9-3】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及其应用． （1）因式分解法解方程，从而可得到两个因式的积为0，从而可求解； （2）由（1）求出方程的两个根为，，然后分类进行讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 解得，， ∴无论k为何值，此方程总有一个根是定值5； （2）解：若斜边为，则另两直角边分别为5和k， ∴， 解得， ∵边长， ∴； 若斜边为k，则另两直角边分别为5和， ∴， ∴解得， ∵边长， ∴； 综上：或． 【题型10 换元法解方程】 【例10】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【答案】A 【分析】本题把看作整体，将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解，再根据平方的非负性舍去不合理的解，最后代入计算即可. 【详解】解：∵， 令，由平方数的非负性得， 原方程可化为， 因式分解得， ∴或， 解得或， ∵， ∴不符合题意舍去，得， ∴． 【变式10-1】若x、y为实数，且，则_____ 【答案】4 【分析】令，代入得到关于的方程，利用因式分解法解方程，再根据，即可得解． 【详解】解：令，代入得， 整理得：， ， 或， 或， ，， ， ，即． 【变式10-2】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【答案】， 【分析】令，再利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则关于的方程可化为， ∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，，即，． 【变式10-3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【答案】（1）原方程的解为，，，； （2）四个连续自然数是2，3，4，5． 【分析】本题考查了换元法的思想应用及一元二次方程的解法． （1）利用换元法解方程即可； （2）通过设第一个数，将乘积式转化为方程，再用换元法简化计算即可． 【详解】解：（1）设， 原方程可变为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴原方程的解为，，，； （2）解：设四个连续自然数为n，，，， 由题意得， 整理得，即， 设，则方程化为， 即， 因式分解得， （舍去），， 当时，，即， 因式分解得，， ∴，（舍去）， ∴四个连续自然数是2，3，4，5． 【题型11 解含绝对值的一元二次方程】 【例11】（24-25九年级上·河南信阳·月考）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【答案】，（舍去）；，；， 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， ， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ， ①当时，即时，原方程化为： ∴ ， 或 解得，（舍去）； ②当时，即时，原方程化为 ， ， ， ， ， 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 【变式11-1】（24-25九年级上·河南安阳·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 本题先分类讨论，将绝对值方程化为一元二次方程，进而求解一元二次方程，舍弃不符合条件的答案，即可得到本题的答案； 【详解】解：分两种情况讨论 （1）当时，原方程可化为， 解得：，（舍去）； （2）当时，原方程可化为， 解得：，（舍去）； ∴综上所述，原方程的根是，． 【变式11-2】解方程． 【答案】 【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当，即时，原方程化为，解得； ②当，即时，原方程化为，解得（舍去），（舍去）． 综上所述，原方程的解是． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 【变式11-3】（25-26九年级上·重庆万州·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可； （2）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或； （2）解：当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，原方程的解为或 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $