专题02 平面直角坐标系全章12大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题02 平面直角坐标系（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 判断点所在的象限 题型四 已知点所在的象限求参数 题型五 点坐标规律探索 题型六 实际问题中用坐标表示位置 题型七 已知两点坐标求两点距离 题型八 坐标系中的动点问题(不含函数) 题型九 由平移方式确定点的坐标 题型十 坐标系中的对称: 题型十一 坐标与图形变化——轴对称 题型十二 求关于原点对称的点的坐标 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 坐标、象限与点到坐标轴的距离 掌握点坐标读写、象限符号判断； 会用点到坐标轴的距离求坐标； 明确坐标轴上点的坐标特征 选择填空必考，侧重基础计算，常以象限 + 距离组合命题 两点间距离与坐标平移、对称 会计算两点间距离；熟练运用坐标平移规则； 掌握关于坐标轴、原点对称的坐标变化 基础高频考点，常与图形变换结合考查 坐标规律、实际应用与动点问题 能探索坐标变化规律； 会用坐标表示实际位置； 会用参数分析动点与面积、距离问题 以中档题为主，可出压轴小问，常结合几何图形综合考查 知识点1.平面直角坐标系 1.有序数对 定义：有顺序的两个实数 和 组成的数对，叫作有序数对. 记作 .常用于表示平面内点的位置. 注意 (1) 两个数之间用逗号隔开. (2) “有序”指两个数的位置不能交换.如 与 表示不同的含义，对应的位置也不同. 2.平面直角坐标系 1.概念 (1) 平面直角坐标系：平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴，确定了一个直角坐标系.记作平面直角坐标系 ，如图所示. (2) 两轴：这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为 轴与 轴.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴.水平方向的坐标轴称为横轴，记作 轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作 轴，正方向向上. (3) 原点：两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为 . 原点 y轴 x轴 原点 纵轴 横轴 x轴正方向 y轴正方向 2. 给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的 3. 建立平面直角坐标系的基本步骤 (1) 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点. (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 轴和 轴. (3) 定坐标系：确定 轴和 轴的正方向和单位长度，并分别标上 . [特别提醒]如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 3.点的坐标 1. 点的坐标 (1) 点的坐标的概念 在平面直角坐标系 中，点 所对应的有序数对 叫作点 的坐标，记作“”，其中 叫作横坐标， 叫作纵坐标. (2) 点的坐标的几何意义 平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为纵坐标的绝对值，到 轴的距离为横坐标的绝对值，即点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 .如 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 . 2. 象限 建立了平面直角坐标系后，两个坐标轴将平面（除了坐标轴）按照横坐标与纵坐标的符号分成四个部分：(正、正)、(负、正)、(负、负)、(正、负)，每个部分称为一个象限，依次记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限 位置 坐标 横坐标 纵坐标 象限 第一象限 ＋ ＋ 第二象限 － ＋ 第三象限 － － 第四象限 ＋ － 【特别提醒】点在坐标轴上，不属于任何象限. 3. 确定点的坐标 (1) 由点找坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示.如图，过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是；过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是.所以点 的坐标是 . (2) 由坐标描点 若点 的坐标为 ，则先从横轴找到数 对应的点 ，并过该点画 轴的垂线，再从纵轴找到数 对应的点，并过该点画 轴的垂线，两垂线的交点即为点 的位置. 【总结】 确定点的坐标的方法 (1) 向 轴作垂线确定横坐标. (2) 向 轴作垂线确定纵坐标. 4.简单图形坐标表示 1. 坐标轴上点的坐标的特点 点 在 轴上，纵坐标为 ，即 ，可记为 ； 点 在 轴上，横坐标为 ，即 ，记为 ； 原点既在 轴上，又在 轴上，原点记为 . 2. 坐标轴的表示 (1) 在 轴上的点的纵坐标为 ；反之，纵坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . (2) 在 轴上的点的横坐标为 ；反之，横坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . 3. 平行于坐标轴的直线的表示 (1) 纵坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . (2) 横坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . 总结 (1) 平行于 轴的直线上的各点的纵坐标相同. (2) 平行于 轴的直线上的各点的横坐标相同. 4. 图形的坐标表达 在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 5. 建立合适的直角坐标系 对于平面上的图形，有时需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来表式图形.建立的平面直角坐标系不同，同一个图形的顶点坐标也可能不同，应根据具体情况建立合适的平面直角坐标系. 知识点2.两点间的距离 1. 坐标轴上两点之间的距离 轴上点 、，两点之间的距离 . 轴上点 、，两点之间的距离 . 2. 平行于坐标轴的直线上两点之间的距离 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 3. 坐标系内任意两点之间的距离 两点间的距离公式：对于平面直角坐标系中的两点 、，其距离为 提示 (1) 如果点 、 同在 轴或平行于 轴的直线上，公式仍适用： 当 时，，与平行于 轴的距离公式一致. 同理，两点同在 轴或平行于 轴的直线上时，公式也适用. (2) 特别地，点 到原点 的距离 . 1.像这种“北偏东 ”的角称为方位角，其中“偏”字前的方向选南、北方向，“偏”字后的方向选东、西方向，且要求这两个方向的夹角为锐角. 2. 在航海和地理测绘中，经常用方位角和距离表示物体的相对位置. 注意： (1) 用方位角和距离表示物体的位置和地图上的方向一样，按“上北下南，左西右东”划分. (2) 选择的参照点不同，描述的目标物体的方位角和距离一般不同. 知识点3.用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 知识巧记：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.（或者：上加下减，左减右加） 【特别提醒】(1)图形的平移，归根结底是点的平移，通过点的坐标变化来实现图形的平移.(2)平移只改变图形的位置和各点的坐标，不改变图形的形状和大小. 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明： (1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 知识点4.平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. 巧记：关于（或轴）对称，横（或）坐标不变，另一坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 【方法总结】 在平面直角坐标系中画与一个图形关于坐标轴对称的图形的步骤 1. 计算——计算对称点的坐标. 2. 描点——根据对称点的坐标描点. 3. 连线——依次连接所描各点得到对称图形. 3.关于原点对称 (1) 点关于原点对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标为 . 即关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. (2) 图形关于原点对称 在给定的平面直角坐标系中，如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于原点对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 解｜题｜技｜巧 1.过点分别作坐标轴垂线，对应横轴数值为横坐标，纵轴数值为纵坐标。 2.牢记象限符号规律:一正正、二负正、三负负、四正负，快速判断坐标正负。 3.坐标轴上的点，在哪个轴上，对应另一坐标数值为0。 4.结合图形边长、线段长度，可推导点到坐标轴距离，进而写出坐标。 【典例1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为1，到轴的距离为2，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负； ∴点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值； ∵点M到x轴的距离为1， ∴； ∵点M到y轴的距离为2， ∴； ∵点M在第四象限，横坐标为正、纵坐标为负， ∴， ∴点M的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果第二象限的点C到x轴的距离为，到y轴的距离为，那么点C的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点的坐标的几何意义和第二象限点的坐标特征求解，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正． 【详解】解：∵点在第二象限 ∴点的横坐标小于，纵坐标大于 由题意可知，点到轴距离为，到轴距离为 ∵点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值 ∴点的横坐标绝对值为，纵坐标绝对值为 结合横纵坐标的符号可得，点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为． 【变式3】（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知点，点在轴上且线段的长度是4，那么点的坐标为______． 【答案】或/或 【分析】根据坐标特点可知点与点都在轴上，再结合线段的长度是4，分两种情况：当点在点上方时，当点在点下方时，分析求解，即可解题． 【详解】解：点，点在轴上且线段的长度是4， 当点在点上方时，点的坐标为， 当点在点下方时，点的坐标为， 点的坐标为或． 【变式4】（25-26八年级下·上海崇明·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，规定以下两种变化： ①．如；②． 根据以上规定：______． 【答案】 【分析】根据所给规定进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴． 题型二 求点到坐标轴的距离 解｜题｜技｜巧 1.点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值。 2.点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。 3.已知距离求坐标时，结合象限符号规律，确定坐标正负。 4.可结合图形边长、几何性质，辅助求解点到坐标轴的距离。 【典例2】（25-26八年级下·上海闵行·期中）在直角坐标平面内，点的坐标是，则点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点的坐标为，直角坐标系中，点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）点P在第二象限，它到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是______． 【答案】 【分析】根据第二象限点的符号，点到直线的距离进行判定即可求解． 【详解】解：设点， ∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4， ∴， ∵点P在第二象限， ∴， ∴点P的坐标是． 【变式2】（25-26八年级下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知、、、 (1)判断四边形的形状并求出面积； (2)点在四边形的内部（不包括边），直接写出，的取值范围． 【答案】(1)四边形是矩形，面积为18 (2)， 【分析】（1）根据点的坐标判定图形的形状，根据点的坐标求出线段的长度； （2）根据点的坐标确定点的坐标的取值范围． 【详解】（1）解：由、、、得， 点的横坐标相同，点的横坐标相同，点的纵坐标相同，点的纵坐标相同， ∴轴，轴，轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； （2）解：∵点在四边形的内部（不包括边）， ∴由（1）可得，． 【变式3】（25-26八年级下·上海虹口·期中）点是平面直角坐标系中不在坐标轴上的点，过点向轴、轴作垂线段，垂足分别为．如果，那么点称为“好点”．例如：点，因为，所以点是“好点”． (1)在点、、中，“好点”是__________． (2)如果是“好点”，求的值． 【答案】(1)A和B (2) 【分析】（1）根据“好点”的定义，计算每个点横纵坐标的绝对值之和，判断是否等于5即可得到结果； （2）根据“好点”的定义列出关于的含绝对值的方程，分和两种情况去掉绝对值符号，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】（1）解：点是“好点”，因为其坐标满足； 点是“好点”，因为其坐标满足； 点不是“好点”，因为， 因此“好点”是和； （2）解：∵是“好点”，且点不在坐标轴上， ∴，且， 分两种情况讨论： ①当时，原式化简为，即， 解得； ②当时，原式化简为，即， 解得； 综上，． 题型三 判断点所在的象限 解｜题｜技｜巧 1.熟记象限符号规律:第一象限(+，+)、第二象限(-，+)、第三象限(-，-)、第四象限(+，-)。 2.根据横、纵坐标的正负，直接快速判定点的所在象限。 3.坐标轴上的点不属于任何象限，可直接排除象限范围。 4.可结合点到坐标轴的距离，反向推导坐标符号判断象限。 【典例3】（25-26八年级下·上海·期中）已知、均为正数，则点在平面直角坐标系中的哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据已知条件判断出点的横、纵坐标的正负性，再根据各象限内点的坐标特征来确定该点所在的象限． 【详解】∵a、b均为正数， ∴，即，， ∵点的横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特征， ∴点在第二象限． 【变式1】（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知点在第三象限，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据点所在象限得到、的符号，再推导点横纵坐标的符号，即可求解． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴点在第二象限． 【变式2】（25-26八年级下·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标为、、，试求的面积． 【答案】 【分析】利用、纵坐标相同的特点，直接求出三角形的底和高，再用三角形面积公式计算． 【详解】解：，，和的纵坐标相等，均为， 轴，的长度为，所在直线为， 点到直线的垂直距离为， ． 题型四 已知点所在的象限求参数 解｜题｜技｜巧 1.根据象限坐标正负规律，列出参数对应的不等式组。 2.分别求解横、纵坐标的取值范围，取公共解集即为参数范围。 3.坐标轴上的点无象限属性，可作为特殊条件单独分析。 4.多象限问题分类讨论，结合题意筛选有效参数取值。 【典例4】（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果点在轴上，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴上点的坐标特征，轴上的点横坐标为0，先求出的值，再计算得到点的纵坐标，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上 ∴点的横坐标为，即 ， 解得 ， ∴， ∴点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心、适当的长度为半径画弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于第二象限内的点P．如果点P的坐标为，那么a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本作图，得射线平分，又点P在第二象限，点P的横坐标，纵坐标互为相反数，求解即可； 【详解】解：根据基本作图，得射线平分， 又点P在第二象限， 故满足横坐标为负，纵坐标为正，且绝对值相等，即横坐标，纵坐标互为相反数， 故即； 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解点P的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 点在第二象限， ， 点到轴的距离为个单位长度，到轴的距离为个单位长度， ， ∴， 点的坐标为． 【变式3】（25-26八年级下·上海金山·期中）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围是__________ 【答案】 【详解】∵点在第二象限， , ∴解得：． 【变式4】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）已知点，如果点的坐标为，且直线轴，那么点的坐标是___________ 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征，可得点与点横坐标相等，列方程求出的值，再代入计算得到点的纵坐标即可． 【详解】解：轴， 点和点的横坐标相等， ， 解得， 将代入得 ， 点的坐标为． 题型五 点坐标规律探索 解｜题｜技｜巧 1.列举前几组点的坐标，观察横、纵坐标各自的数字变化规律。 2.区分奇偶项、循环周期、等差变化，归纳通用坐标公式。 3.结合象限分布、运动方向，判断点的位置与变化趋势。 【典例5】（25-26八年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的变换规律，解题关键是先根据“伴随点”的定义计算前几个点的坐标，找到变换的周期性，再通过求余数确定所求点在周期中的位置，得到对应坐标。 【详解】∵ 点的伴随点为，且 ∴ 依次计算得： 的坐标为 的坐标为 的坐标为 的坐标为，与坐标相同 ∴ 伴随点的坐标每4次变换为一个周期循环 ∵ ∴ 的坐标与周期中第2个点的坐标相同，为 【变式1】（25-26八年级下·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，对于平面任一点，若规定以下三种变换： ①，如：； ②，如：； ③，如：． 按照以下变换有：，那么__________． 【答案】 【分析】根据，，先计算，再计算外面的变换可得答案． 【详解】解：． 【变式2】（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 【答案】 【分析】（1）直接根据图象作答即可； （2）根据题意得到每经过6次回到起点，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为； （2）如图， 第1次碰到长方形边上的点的坐标为； 第2次碰到长方形边上的点的坐标为； 第3次碰到长方形边上的点的坐标为； 第4次碰到长方形边上的点的坐标为； 第5次碰到长方形边上的点的坐标为； 第6次碰到长方形边上的点的坐标为； 第7次碰到长方形边上的点的坐标为； 故每经过6次为一个循环， ∵， ∴第2021次碰到长方形边上的坐标为． 题型六 实际问题中用坐标表示位置 解｜题｜技｜巧 1.先确定原点、正方向和单位长度，建立规范平面直角坐标系。 2.找准目标位置，向坐标轴作垂线，对应读出横、纵坐标。 3.结合生活场景方位，配合坐标精准表示物体具体位置。 4.统一单位长度，保证全程刻度标准一致，方便点位对照。 【典例6】（25-26八年级下·上海金山·期中）北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小明将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：平面直角坐标系如图， ∴表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小海将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为______． 【答案】 【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）小华家在延安初级中学向西走米，再向北走米处，如果以学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴正方向，以米为单位长度建立平面直角坐标系，那么小华家的位置的坐标是________． 【答案】 【分析】根据给定的平面直角坐标系的原点，正方向和单位长度，分别确定横纵坐标的符号与数值，即可得到小华家的坐标． 【详解】解：由题意得，以学校所在位置为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，以米为单位长度建立平面直角坐标系， 小华家在学校向西米，向西为轴负方向，则横坐标为， 小华家再向北走米，向北为轴正方向，则纵坐标为， 故小华家位置的坐标为． 题型七 已知两点坐标求两点距离 解｜题｜技｜巧 1.横坐标相同的两点，距离为纵坐标差值的绝对值，竖直距离直接求。 2.纵坐标相同的两点，距离为横坐标差值的绝对值，水平距离直接求。 3.横纵坐标均不同时，构造直角三角形，利用勾股定理求解斜向距离。 4.熟记平面两点距离公式，代入坐标即可快速计算线段长度。 【典例7】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出的长度，根据作图可知，结合点在轴正半轴的位置即可得到点的坐标． 【详解】解：原点坐标为，点坐标为， ， 以点为圆心长为半径画弧，交轴的正半轴于点， ， 点坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，，那么P、Q两点间距离为______． 【答案】5 【分析】根据两点间距离公式代入坐标计算即可． 【详解】解： 和， ． 26．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）已知直角坐标平面上点和，则______． 【答案】 【分析】根据两点间距离公式代入坐标计算即可． 【详解】解：和， ． 【变式2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，那么是___________三角形．（填“等腰”或“直角”或“等腰直角”） 【答案】等腰 【分析】利用两点间距离公式求出三角形三边长度的平方，根据边的关系先判断是否为等腰三角形，再结合勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，即可得到结论． 【详解】解：，，， ∴， ∴， ∵， ∴不是直角三角形． ∴是等腰三角形． 【变式3】（25-26八年级下·上海·期中）已知三个顶点的坐标分别为、、，则的形状是______． 【答案】等腰三角形 【分析】利用两点间距离公式求出三边的长度，根据边的数量关系判断三角形的形状． 【详解】解：，，， 可得， 即， 因此是等腰三角形． 题型八 坐标系中的动点问题（不含函数） 解｜题｜技｜巧 1.标注动点运动方向、速度和时间，用线段长度表示动点移动距离。 2.结合起点坐标，推导出动点运动后的对应坐标表达式。 3.根据静止、重合、平行等特殊状态，列等式求解参数或时间。 4.分类讨论动点不同运动阶段，结合距离公式、边长关系解题。 【典例8】（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点B与点A对应，点C与点O对应． (1)直接写出点C的坐标：______； (2)连接，在轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据平移的规律解答即可； （2）根据平移的性质可得四边形为平行四边形，从而得到，可得，设点的坐标为，以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标即可． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴点A先向右平移1个单位，再向下平移4个单位到达点B， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在轴上时， ∴设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）如图1，点A，B，C的坐标分别是、、， (1)如图1，过点O作于点D，的值为_______； (2)如图2，点P为线段的延长线上的一动点，当点P在的延长线上向下运动时，作于点M，于点N，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【答案】(1) (2)不变，，理由见解析 【分析】（1）根据给出坐标求出相关线段的长度，利用等面积求解； （2）连接，证明，根据三角形的面积得出，然后即可求解． 【详解】（1）解：∵、， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴由等面积得， ∴； （2）解： 不变，，理由如下： 如图所示，连接， ∵、， ∴， 又∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度． (1)求的值． (2)在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图②，把线段向上平移个单位长度得到线段，连接、、交轴于点，过点作于点，将长方形和长方形同时分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右平移，经过多长时间长方形与长方形重叠的面积为？请你直接写出运动的时间． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)秒或秒 【分析】（1）根据坐标轴上两点间的距离公式建立方程求解即可； （2）先确定出的面积，进而求出的面积，利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论，由重叠面积为，列出方程可求解． 【详解】（1）解：点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度，， ， 解得； （2）解：存在， ，， ， ， ， 当点在轴上时， 设， ， ， ， 或； （3）解：设经过秒后长方形与长方形重叠面积为， 由题意可得，后，点，，， ①当长方形与长方形重叠部分在长方形左侧时， 高必为， 底为， ， ， ②当长方形与长方形重叠部分在长方形右侧时， 高必为， 底为， ， 综上所述：运动时间为或秒． 题型九 由平移方式确定点的坐标 解｜题｜技｜巧 1.熟记平移规律:左右平移变横坐标，上下平移变纵坐标。 2.遵循右加左减、上加下减，快速计算平移后点的坐标。 3.图形平移所有点变化一致，可借助对应点推导整体位置。 4.可逆用平移规律，由前后坐标反推平移方向与距离。 【典例9】（25-26八年级下·上海青浦·期中）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先由点和点的坐标确定平移过程，再求出点的坐标． 【详解】解：∵点由点平移得到， ∴平移过程为：向右个单位长度，向下个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即． 【变式1】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 【答案】 【分析】先根据点的平移规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求解点的坐标． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·上海徐汇·期中）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，若内一点的坐标是，则点在内的对应点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标是，先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点， ∴点的坐标是． 【变式3】（25-26八年级下·上海·期中）如图，平面直角坐标系中有三点、、，平移线段得到线段，点A的对应点为点C，连接． (1)点D的坐标为 ． (2)若在x轴上存在点M，使得是以为腰的等腰三角形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）先确定平移方式，再由平移方式求解点D的坐标； （2）先求出，然后设，再分两种情况讨论，根据两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点、、，平移线段得到线段 ∴点向右平移了2个单位，向上平移了3个单位， ∴点向右平移2个单位，向上平移了3个单位后得到点，即； （2）解：∵， ∴ 设， 则当时，即，则， 解得， ∴或； 当时，即，则， 解得， ∴ 综上：点的坐标为或或． 题型十 坐标系中的对称 解｜题｜技｜巧 1.关于x轴对称:横坐标不变，纵坐标取相反数。 2.关于y轴对称:纵坐标不变，横坐标取相反数。 3.关于原点对称:横、纵坐标全部取相反数。 4.图形对称可转化为关键点对称，批量求解对应点坐标。 【典例10】（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系中点的对称坐标特征，通过分析两点横纵坐标的关系，即可确定对称轴． 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴对称轴为直线，即轴． 【变式1】（25-26八年级下·上海徐汇·期中）与点关于轴对称的点的坐标是__________ 【答案】 【详解】解：与点关于轴对称的点的坐标是． 题型十一 坐标与图形变化——轴对称 解｜题｜技｜巧 1.点关于x轴对称:横坐标不变，纵坐标变号。 2.点关于y轴对称:纵坐标不变，横坐标变号。 3.图形轴对称只需求出关键点对称点，再连线即可构图。 4.可利用轴对称性质，求解对应线段、角度和坐标关系。 【典例11】（25-26八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 即，． 【变式1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_____． 【答案】 【分析】关于轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知点与点关于x轴对称，则点在第______象限． 【答案】三 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，求出和的值，再根据象限内点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴点的坐标为． ∴点在第三象限． 【变式3】（25-26八年级下·上海虹口·期中）已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么点的坐标为__________． 【答案】 【分析】关于轴对称，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变；关于轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为， ∴点Q的坐标为， ∵点Q关于轴的对称点为， ∴点Q的坐标为， ∴点Q的坐标为． 【变式4】（25-26八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)点C的坐标是______； (2)点D在第四象限内，且与全等，在图中画出点D并直接写出点D的坐标是______； (3)在y轴上存在一点E，使得，那么点E的坐标是______． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)或 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解； （2）按要求画出点D，再由图写出点D的坐标； （3）根据题意，可知点E到的距离等于，在y轴上到的距离等于的点有两个，先画出点E，再由图写出点E的坐标． 【详解】（1）解：∵点C与点A关于y轴对称，点A的坐标为， ∴点C的坐标是； （2）解：点D如图所示， ∵，，， ∴； 由图可得，点D的坐标是； （3）解：∵在y轴上存在一点E，使得， ∴点E到的距离等于， 如图，在y轴上到的距离等于的点有两个，点E的坐标是或，即或． 题型十二 求关于原点对称的点的坐标 解｜题｜技｜巧 1.点关于原点对称规律:横、纵坐标同时变为相反数。 2.已知坐标直接变号，即可快速求出原点对称点坐标。 3.图形关于原点对称，只需变换所有关键点坐标再连线构图。 4.可结合原点对称性质，求解对应线段与图形位置关系。 【典例12】（25-26八年级下·上海·期中）点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于原点对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是______． 【答案】 【分析】由平行四边形的中心对称性可知，，关于原点对称，根据对称点的坐标规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点为对称中心且在原点， ∴，关于原点对称， ∵关于原点对称的点的横，纵坐标均互为相反数， 又∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）平行四边形的两条对角线的交点与直角坐标系中的原点重合，且点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标是_______． 【答案】/ 【分析】平行四边形对角线互相平分，对角线的交点为坐标原点，因此点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的坐标规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵平行四边形的两条对角线交点与直角坐标系原点重合，平行四边形对角线互相平分， ∴原点为线段的中点，即点与点关于原点对称． ∵关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，点的坐标为 ∴点的坐标为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，过点且垂直于y轴的直线是______． 【答案】 【分析】垂直于轴的直线上所有点的纵坐标相等，根据已知点的坐标即可确定直线方程． 【详解】解：在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线上所有点的纵坐标相同. 因为直线过点，该点纵坐标为， 所以该直线可表示为． 2．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点与点，则长度为___________． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中点和点的距离为，据此求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点， ∴． 3．（25-26八年级下·上海·期中）已知点关于轴对称，则___________． 【答案】9 【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】解：点关于轴对称， ，， 解得， ． 4．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上．若点C的坐标为，则点A的坐标为__________． 【答案】 【分析】延长至点，勾股定理求出的长 ，根据菱形的性质，进行求解即可． 【详解】解：延长至点， ∵菱形， ∴， ∴轴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点沿轴翻折后与点重合， ∴点的坐标为． 6．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，点、、，判断的形状． 【答案】是直角三角形 【分析】利用勾股定理以及逆定理解答即可． 【详解】解：∵点、、， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系，然后求解即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， ∴点B关于x轴对称的点为，向左平移1个单位长度后的坐标为 同理可得，第2次变换后的坐标为， 第3次变换后的坐标为， 第4次变换后的坐标为， …… ∴当为奇数时，第n次变换后的坐标为；当为偶数时，第n次变换后的坐标为， ∴连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为． 2．（25-26八年级下·上海·期中）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后到达点那么点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，向左平移横坐标减平移单位长度，向下平移纵坐标减平移单位长度，依次计算即可得到点的坐标． 【详解】解：将点向左平移个单位长度，横坐标减，得到点的坐标为，即，再将点向下平移个单位长度，纵坐标减，得到点，即． 3．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）某游乐园的游览简图如图所示，以图中某个方格的顶点为原点，分别以网格横线向右、纵线向上为轴、轴正方向建立平面直角坐标系． (1)如果原点是“冒险屋”，单位长度是每个小方格的边长，那么“藏宝林”的坐标是___________，“幻方桥”的坐标是___________ (2)如果“幻方桥”的坐标是，“寒暑院”的坐标是，在图中画出符合要求的平面直角坐标系． 【答案】(1)，； (2)见解析 【详解】（1）建立如图平面直角坐标系，由题意可知，“藏宝林”的坐标是，“幻方桥”的坐标是； （2）根据题意，建立如图平面直角坐标系，经检验，“幻方桥”的坐标和“寒暑院”的坐标符合题意． 4．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且． (1)求点的坐标． (2)是平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_________（直接写出答案）； (3)若，请描述点相对于点的位置． (4)平面内有一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3)点在点下偏右距离个单位处； (4)或 【分析】（1）过点作轴于点，根据，得，由此依据“”判定和全等得，，进而得，据此即可得出点的坐标； （2）设，根据平行四边形的性质及中点坐标计算即可； （3）根据勾股定理求出，连接，作轴交x轴于点E，根据三角形内角和及等边对等角求出，进而得到，即可求出点相对于点的位置； （4）根据勾股定理求出，进而求出，判断出C、D均在直线上，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示： ， 点的坐标是，点的坐标是， ，， 在中，， ，且， ， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标是； （2）解：设， ①如图，当为对角线时， ∴，， ∴，， ∴； ②如图，当为对角线时， ∴，， ∴，， ∴； ③如图，当为对角线时， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标是或或； （3）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， 如图，连接，作轴交x轴于点E， ∵且， ∴， ∵ ∴， ∴点在点下偏右距离个单位处； （4）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴C、D均在直线上， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 5．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，四边形的面积为12 (2)存在，点E坐标为或 【分析】（1）利用平移方式求出点、的坐标，根据平移的性质可得四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式求解面积即可； （2）根据的面积是面积的3倍求出，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据平移方式可得，点的坐标为即，点的坐标为即， ， 点，的坐标分别是，， ， 由平移的性质知，四边形是平行四边形， 四边形的面积为； （2）解：由题知， ，． 因为的面积是面积的3倍， 所以， 则． 因为点B坐标为， 则， 所以点E坐标为或． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，试判断的形状． 【答案】 是等腰直角三角形 【分析】利用两点间的距离公式求出的长，可得，是直角三角形，据此可得结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴是等腰直角三角形． 2．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系内，有一点，将点先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点． (1)写出点，点的坐标； (2)如果点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移与等腰三角形的性质，解题的关键是利用点的平移规律求出点的坐标，再结合等腰三角形“等角对等边”的性质列方程求解点的坐标． （1）先从坐标系中读出点的坐标，再根据平移规律“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”求出点的坐标； （2）根据，得，设点的坐标为，利用两点间距离公式列方程求解． 【详解】（1）解： 由图可知，点的坐标为， 根据平移规律，点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， 则点的横坐标为：， 纵坐标为：， 故点的坐标为． （2）解： 设点的坐标为， ， 由两点间距离公式， ， ， ， 两边平方得：， ， ， 当时，（与点重合，舍去）； 当时，． 点的坐标为． 3．（25-26八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、．若、满足． (1)求点、、的坐标； (2)点为坐标平面内一点； ①若的面积大于，求的取值范围； ②若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)、、 (2)；点的坐标为或 【分析】（1）根据算术平方根和完全平方数的非负性得到，的值，即可得解； （2）根据三角形面积公式表示出，然后根据题意列不等式求解即可得解；分情况讨论：当点在轴上方时，当点在轴下方时，当点在轴时，根据三角形面积公式表示出和求解，根据面积关系列等式求解即可． 【详解】（1）解：、满足，，， ，， ，， 、、， 、、； （2）解：， 的面积大于， ，解得； ， 点在直线上， ， 设直线与轴的交点为， 当点在轴上方时， ， ， ，解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时， ， ， ，解得， 点的坐标为； 当点在轴时，此时，故此情况不存在； 综上，点的坐标为或 2 / 43 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面直角坐标系（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 判断点所在的象限 题型四 已知点所在的象限求参数 题型五 点坐标规律探索 题型六 实际问题中用坐标表示位置 题型七 已知两点坐标求两点距离 题型八 坐标系中的动点问题(不含函数) 题型九 由平移方式确定点的坐标 题型十 坐标系中的对称: 题型十一 坐标与图形变化——轴对称 题型十二 求关于原点对称的点的坐标 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 坐标、象限与点到坐标轴的距离 掌握点坐标读写、象限符号判断； 会用点到坐标轴的距离求坐标； 明确坐标轴上点的坐标特征 选择填空必考，侧重基础计算，常以象限 + 距离组合命题 两点间距离与坐标平移、对称 会计算两点间距离；熟练运用坐标平移规则； 掌握关于坐标轴、原点对称的坐标变化 基础高频考点，常与图形变换结合考查 坐标规律、实际应用与动点问题 能探索坐标变化规律； 会用坐标表示实际位置； 会用参数分析动点与面积、距离问题 以中档题为主，可出压轴小问，常结合几何图形综合考查 知识点1.平面直角坐标系 1.有序数对 定义：有顺序的两个实数 和 组成的数对，叫作有序数对. 记作 .常用于表示平面内点的位置. 注意 (1) 两个数之间用逗号隔开. (2) “有序”指两个数的位置不能交换.如 与 表示不同的含义，对应的位置也不同. 2.平面直角坐标系 1.概念 (1) 平面直角坐标系：平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴，确定了一个直角坐标系.记作平面直角坐标系 ，如图所示. (2) 两轴：这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为 轴与 轴.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴.水平方向的坐标轴称为横轴，记作 轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作 轴，正方向向上. (3) 原点：两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为 . 原点 y轴 x轴 原点 纵轴 横轴 x轴正方向 y轴正方向 2. 给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的 3. 建立平面直角坐标系的基本步骤 (1) 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点. (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 轴和 轴. (3) 定坐标系：确定 轴和 轴的正方向和单位长度，并分别标上 . [特别提醒]如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 3.点的坐标 1. 点的坐标 (1) 点的坐标的概念 在平面直角坐标系 中，点 所对应的有序数对 叫作点 的坐标，记作“”，其中 叫作横坐标， 叫作纵坐标. (2) 点的坐标的几何意义 平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为纵坐标的绝对值，到 轴的距离为横坐标的绝对值，即点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 .如 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 . 2. 象限 建立了平面直角坐标系后，两个坐标轴将平面（除了坐标轴）按照横坐标与纵坐标的符号分成四个部分：(正、正)、(负、正)、(负、负)、(正、负)，每个部分称为一个象限，依次记为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限 位置 坐标 横坐标 纵坐标 象限 第一象限 ＋ ＋ 第二象限 － ＋ 第三象限 － － 第四象限 ＋ － 【特别提醒】点在坐标轴上，不属于任何象限. 3. 确定点的坐标 (1) 由点找坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示.如图，过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是；过点 作 轴的垂线，垂足在 轴上所对应的数是.所以点 的坐标是 . (2) 由坐标描点 若点 的坐标为 ，则先从横轴找到数 对应的点 ，并过该点画 轴的垂线，再从纵轴找到数 对应的点，并过该点画 轴的垂线，两垂线的交点即为点 的位置. 【总结】 确定点的坐标的方法 (1) 向 轴作垂线确定横坐标. (2) 向 轴作垂线确定纵坐标. 4.简单图形坐标表示 1. 坐标轴上点的坐标的特点 点 在 轴上，纵坐标为 ，即 ，可记为 ； 点 在 轴上，横坐标为 ，即 ，记为 ； 原点既在 轴上，又在 轴上，原点记为 . 2. 坐标轴的表示 (1) 在 轴上的点的纵坐标为 ；反之，纵坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . (2) 在 轴上的点的横坐标为 ；反之，横坐标为 的点一定在 轴上.因此，可以把 轴记为直线 . 3. 平行于坐标轴的直线的表示 (1) 纵坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . (2) 横坐标等于 的点的全体是经过点 且平行于 轴的直线，它可记为直线 . 总结 (1) 平行于 轴的直线上的各点的纵坐标相同. (2) 平行于 轴的直线上的各点的横坐标相同. 4. 图形的坐标表达 在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 5. 建立合适的直角坐标系 对于平面上的图形，有时需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来表式图形.建立的平面直角坐标系不同，同一个图形的顶点坐标也可能不同，应根据具体情况建立合适的平面直角坐标系. 知识点2.两点间的距离 1. 坐标轴上两点之间的距离 轴上点 、，两点之间的距离 . 轴上点 、，两点之间的距离 . 2. 平行于坐标轴的直线上两点之间的距离 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 平行于 轴的直线 上点 、，两点之间的距离 . 3. 坐标系内任意两点之间的距离 两点间的距离公式：对于平面直角坐标系中的两点 、，其距离为 提示 (1) 如果点 、 同在 轴或平行于 轴的直线上，公式仍适用： 当 时，，与平行于 轴的距离公式一致. 同理，两点同在 轴或平行于 轴的直线上时，公式也适用. (2) 特别地，点 到原点 的距离 . 1.像这种“北偏东 ”的角称为方位角，其中“偏”字前的方向选南、北方向，“偏”字后的方向选东、西方向，且要求这两个方向的夹角为锐角. 2. 在航海和地理测绘中，经常用方位角和距离表示物体的相对位置. 注意： (1) 用方位角和距离表示物体的位置和地图上的方向一样，按“上北下南，左西右东”划分. (2) 选择的参照点不同，描述的目标物体的方位角和距离一般不同. 知识点3.用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 知识巧记：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.（或者：上加下减，左减右加） 【特别提醒】(1)图形的平移，归根结底是点的平移，通过点的坐标变化来实现图形的平移.(2)平移只改变图形的位置和各点的坐标，不改变图形的形状和大小. 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明： (1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 知识点4.平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. 巧记：关于（或轴）对称，横（或）坐标不变，另一坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 【方法总结】 在平面直角坐标系中画与一个图形关于坐标轴对称的图形的步骤 1. 计算——计算对称点的坐标. 2. 描点——根据对称点的坐标描点. 3. 连线——依次连接所描各点得到对称图形. 3.关于原点对称 (1) 点关于原点对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标为 . 即关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. (2) 图形关于原点对称 在给定的平面直角坐标系中，如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于原点对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 解｜题｜技｜巧 1.过点分别作坐标轴垂线，对应横轴数值为横坐标，纵轴数值为纵坐标。 2.牢记象限符号规律:一正正、二负正、三负负、四正负，快速判断坐标正负。 3.坐标轴上的点，在哪个轴上，对应另一坐标数值为0。 4.结合图形边长、线段长度，可推导点到坐标轴距离，进而写出坐标。 【典例1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为1，到轴的距离为2，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果第二象限的点C到x轴的距离为，到y轴的距离为，那么点C的坐标（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知点，点在轴上且线段的长度是4，那么点的坐标为______． 【变式4】（25-26八年级下·上海崇明·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，规定以下两种变化： ①．如；②． 根据以上规定：______． 题型二 求点到坐标轴的距离 解｜题｜技｜巧 1.点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值。 2.点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。 3.已知距离求坐标时，结合象限符号规律，确定坐标正负。 4.可结合图形边长、几何性质，辅助求解点到坐标轴的距离。 【典例2】（25-26八年级下·上海闵行·期中）在直角坐标平面内，点的坐标是，则点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）点P在第二象限，它到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是______． 【变式2】（25-26八年级下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知、、、 (1)判断四边形的形状并求出面积； (2)点在四边形的内部（不包括边），直接写出，的取值范围． 【变式3】（25-26八年级下·上海虹口·期中）点是平面直角坐标系中不在坐标轴上的点，过点向轴、轴作垂线段，垂足分别为．如果，那么点称为“好点”．例如：点，因为，所以点是“好点”． (1)在点、、中，“好点”是__________． (2)如果是“好点”，求的值． 题型三 判断点所在的象限 解｜题｜技｜巧 1.熟记象限符号规律:第一象限(+，+)、第二象限(-，+)、第三象限(-，-)、第四象限(+，-)。 2.根据横、纵坐标的正负，直接快速判定点的所在象限。 3.坐标轴上的点不属于任何象限，可直接排除象限范围。 4.可结合点到坐标轴的距离，反向推导坐标符号判断象限。 【典例3】（25-26八年级下·上海·期中）已知、均为正数，则点在平面直角坐标系中的哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知点在第三象限，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26八年级下·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标为、、，试求的面积． 题型四 已知点所在的象限求参数 解｜题｜技｜巧 1.根据象限坐标正负规律，列出参数对应的不等式组。 2.分别求解横、纵坐标的取值范围，取公共解集即为参数范围。 3.坐标轴上的点无象限属性，可作为特殊条件单独分析。 4.多象限问题分类讨论，结合题意筛选有效参数取值。 【典例4】（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果点在轴上，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心、适当的长度为半径画弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于第二象限内的点P．如果点P的坐标为，那么a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·上海金山·期中）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围是__________ 【变式4】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）已知点，如果点的坐标为，且直线轴，那么点的坐标是___________ 题型五 点坐标规律探索 解｜题｜技｜巧 1.列举前几组点的坐标，观察横、纵坐标各自的数字变化规律。 2.区分奇偶项、循环周期、等差变化，归纳通用坐标公式。 3.结合象限分布、运动方向，判断点的位置与变化趋势。 【典例5】（25-26八年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，对于平面任一点，若规定以下三种变换： ①，如：； ②，如：； ③，如：． 按照以下变换有：，那么__________． 【变式2】（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 题型六 实际问题中用坐标表示位置 解｜题｜技｜巧 1.先确定原点、正方向和单位长度，建立规范平面直角坐标系。 2.找准目标位置，向坐标轴作垂线，对应读出横、纵坐标。 3.结合生活场景方位，配合坐标精准表示物体具体位置。 4.统一单位长度，保证全程刻度标准一致，方便点位对照。 【典例6】（25-26八年级下·上海金山·期中）北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小明将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小海将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为______． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）小华家在延安初级中学向西走米，再向北走米处，如果以学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴正方向，以米为单位长度建立平面直角坐标系，那么小华家的位置的坐标是________． 题型七 已知两点坐标求两点距离 解｜题｜技｜巧 1.横坐标相同的两点，距离为纵坐标差值的绝对值，竖直距离直接求。 2.纵坐标相同的两点，距离为横坐标差值的绝对值，水平距离直接求。 3.横纵坐标均不同时，构造直角三角形，利用勾股定理求解斜向距离。 4.熟记平面两点距离公式，代入坐标即可快速计算线段长度。 【典例7】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，，那么P、Q两点间距离为______． 26．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）已知直角坐标平面上点和，则______． 【变式2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，那么是___________三角形．（填“等腰”或“直角”或“等腰直角”） 【变式3】（25-26八年级下·上海·期中）已知三个顶点的坐标分别为、、，则的形状是______． 题型八 坐标系中的动点问题（不含函数） 解｜题｜技｜巧 1.标注动点运动方向、速度和时间，用线段长度表示动点移动距离。 2.结合起点坐标，推导出动点运动后的对应坐标表达式。 3.根据静止、重合、平行等特殊状态，列等式求解参数或时间。 4.分类讨论动点不同运动阶段，结合距离公式、边长关系解题。 【典例8】（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点B与点A对应，点C与点O对应． (1)直接写出点C的坐标：______； (2)连接，在轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）如图1，点A，B，C的坐标分别是、、， (1)如图1，过点O作于点D，的值为_______； (2)如图2，点P为线段的延长线上的一动点，当点P在的延长线上向下运动时，作于点M，于点N，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【变式2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度． (1)求的值． (2)在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图②，把线段向上平移个单位长度得到线段，连接、、交轴于点，过点作于点，将长方形和长方形同时分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右平移，经过多长时间长方形与长方形重叠的面积为？请你直接写出运动的时间． 题型九 由平移方式确定点的坐标 解｜题｜技｜巧 1.熟记平移规律:左右平移变横坐标，上下平移变纵坐标。 2.遵循右加左减、上加下减，快速计算平移后点的坐标。 3.图形平移所有点变化一致，可借助对应点推导整体位置。 4.可逆用平移规律，由前后坐标反推平移方向与距离。 【典例9】（25-26八年级下·上海青浦·期中）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标是_____． 【变式1】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 【变式2】（25-26八年级下·上海徐汇·期中）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，若内一点的坐标是，则点在内的对应点的坐标是__________． 【变式3】（25-26八年级下·上海·期中）如图，平面直角坐标系中有三点、、，平移线段得到线段，点A的对应点为点C，连接． (1)点D的坐标为 ． (2)若在x轴上存在点M，使得是以为腰的等腰三角形，求点M的坐标． 题型十 坐标系中的对称 解｜题｜技｜巧 1.关于x轴对称:横坐标不变，纵坐标取相反数。 2.关于y轴对称:纵坐标不变，横坐标取相反数。 3.关于原点对称:横、纵坐标全部取相反数。 4.图形对称可转化为关键点对称，批量求解对应点坐标。 【典例10】（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【变式1】（25-26八年级下·上海徐汇·期中）与点关于轴对称的点的坐标是__________ 题型十一 坐标与图形变化——轴对称 解｜题｜技｜巧 1.点关于x轴对称:横坐标不变，纵坐标变号。 2.点关于y轴对称:纵坐标不变，横坐标变号。 3.图形轴对称只需求出关键点对称点，再连线即可构图。 4.可利用轴对称性质，求解对应线段、角度和坐标关系。 【典例11】（25-26八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_____． 【变式2】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知点与点关于x轴对称，则点在第______象限． 【变式3】（25-26八年级下·上海虹口·期中）已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么点的坐标为__________． 【变式4】（25-26八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)点C的坐标是______； (2)点D在第四象限内，且与全等，在图中画出点D并直接写出点D的坐标是______； (3)在y轴上存在一点E，使得，那么点E的坐标是______． 题型十二 求关于原点对称的点的坐标 解｜题｜技｜巧 1.点关于原点对称规律:横、纵坐标同时变为相反数。 2.已知坐标直接变号，即可快速求出原点对称点坐标。 3.图形关于原点对称，只需变换所有关键点坐标再连线构图。 4.可结合原点对称性质，求解对应线段与图形位置关系。 【典例12】（25-26八年级下·上海·期中）点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是______． 【变式2】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）平行四边形的两条对角线的交点与直角坐标系中的原点重合，且点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标是_______． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，过点且垂直于y轴的直线是______． 2．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点与点，则长度为___________． 3．（25-26八年级下·上海·期中）已知点关于轴对称，则___________． 4．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上．若点C的坐标为，则点A的坐标为__________． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 6．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，点、、，判断的形状． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海·期中）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后到达点那么点的坐标为_______． 3．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）某游乐园的游览简图如图所示，以图中某个方格的顶点为原点，分别以网格横线向右、纵线向上为轴、轴正方向建立平面直角坐标系． (1)如果原点是“冒险屋”，单位长度是每个小方格的边长，那么“藏宝林”的坐标是___________，“幻方桥”的坐标是___________ (2)如果“幻方桥”的坐标是，“寒暑院”的坐标是，在图中画出符合要求的平面直角坐标系． 4．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且． (1)求点的坐标． (2)是平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_________（直接写出答案）； (3)若，请描述点相对于点的位置． (4)平面内有一点，且，求点的坐标． 5．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，试判断的形状． 2．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系内，有一点，将点先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点． (1)写出点，点的坐标； (2)如果点在轴上，且，求点的坐标． 3．（25-26八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、．若、满足． (1)求点、、的坐标； (2)点为坐标平面内一点； ①若的面积大于，求的取值范围； ②若点在直线上，且满足，求点的坐标． 2 / 43 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $