专题05平面直角坐标系期末复习讲义(22大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题05平面直角坐标系期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握平面直角坐标系构成，理解横轴、纵轴、原点、象限基本概念 2.熟记点的坐标表示方法，明确各象限、坐标轴上点的坐标符号特征 3.掌握点关于坐标轴、原点对称的坐标变化规律 4.牢记点平移后的坐标变换规则，理解点到坐标轴、两点间距离公式 1.能根据坐标描点、由点写出坐标，精准判断点所在位置 2.熟练求解对称点、平移后点的坐标，快速计算线段长度 3.结合坐标求图形面积，能用坐标分析简单几何图形特征 4.建立数形结合思维，实现坐标与图形位置相互转化 1.基础坐标题型零差错，快速完成选择填空考点题 2.规范解答坐标平移、对称、距离计算类常规考题 3.熟练利用坐标求解多边形面积，掌握割补解题方法 4.灵活结合几何知识，应对坐标与图形综合类考题 题型01.用有序数对表示位置与路线 题型02.写出直角坐标系中点的坐标 题型03.求点到坐标轴的距离 题型04.判断点所在象限 题型05.已知点所在象限求参数 题型06.坐标系中描点 题型07.中点坐标 题型08.点坐标规律探索 题型09.实际问题用坐标表示位置 题型10.两点坐标求两点距离 移项11.坐标系中的平移 题型12.用方向角和距离确定物体位置 题型13.坐标系中的动点问题 题型14.求点沿x轴y轴平移后坐标 题型15.由平移方式确定点坐标 题型16.点平移前后坐标判断平移方式 题型17.图形的平移.求点的坐标 题型18.坐标系中的对称 题型19.坐标与图形变化--轴对称 题型20.求关于原点对称的点的坐标 题型21.已知两点关于原点对称求参数 题型22.判断两个点是否关于原点对称 知识点01:平面直角坐标系的构成 定义：在平面内画两条互相垂直、有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系 坐标轴： x 轴（横轴）：水平数轴，向右为正方向。 y 轴（纵轴）：竖直数轴，向上为正方向。 原点 O：两轴交点，坐标为 (0, 0)。 单位长度：两轴单位长度必须统一。 知识点02:点的坐标 对于平面内任意一点 P，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线， 垂足在 x 轴上对应的数为横坐标 x， 垂足在 y 轴上对应的数为纵坐标 y， 有序数对 (x,y) 叫做点 P 的坐标，记作 P(x,y)。 书写规范：先横后纵，中间逗号，外加括号。 知识点03:象限与坐标符号 坐标轴将平面分为四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 知识点04:点的坐标与特征 1.有序数对：点 P 的坐标记作 P(x, y)，横坐标 x 在前，纵坐标 y 在后，顺序不可颠倒。(x, y) 和 (y, x) 表示平面内不同的点 2.一一对应：坐标平面内的点与有序实数对 (x, y) 一一对应。 3.特殊位置点的坐标： x 轴上：y = 0，如 (5, 0)、(-3, 0)。 y 轴上：x = 0，如 (0, 4)、(0, -1)。 原点：(0, 0)。 4.点到坐标轴的距离： 点 P (x, y) 到x 轴的距离 = |y|。 点 P (x, y) 到y 轴的距离 = |x|。 到 原点 的距离：（勾股定理） 知识点05:平移 1.定义：平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离的图形变换，简称平移。 要素：方向、距离。 特征：只改变位置，形状、大小不变（全等变换）。 2.坐标规律（平面直角坐标系） 知识点06:轴对称 1.定义 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合的图形，这条直线叫对称轴。 两个图形成轴对称：一个图形沿直线折叠后能与另一个图形重合，直线为对称轴重合点为对称点。 2.坐标规律（平面直角坐标系） 题型01.用有序数对表示位置与路线 1．以水平数轴的原点为圆心过的正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转，，，⋯，得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系．若点，的坐标分别表示为，，则点的坐标表示为________． 【答案】 【详解】解：根据题意得，点的坐标表示为． 2．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【答案】C 【分析】用有序实数对表示位置，依次找到不同的走法． 【详解】解：用数对表示位置，街数记为，巷数记为，街巷记为， 则家的位置为，校的位置为， 从家到校的走法有： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； 因此共有10种不同走法． 3．象棋在中国有近三千年的历史，中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一部分，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”由所在的位置可以直接走到点A，B处． (1)如果“马”位于点，“相”位于点，则“帅”所在的点的坐标为_________，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________． (2)在（1）的条件下，若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，写出一种你认为合理的行走路线（用坐标表示）． 【答案】(1)；； (2)→→→→（答案不唯一） 【分析】（1）根据“马”、“相”所在点的坐标，即可确定“帅”以及的坐标； （2）根据“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，每个“日”字有8个可能的落点，找到一种合理的“马”从C点到D点的路线即可． 【详解】（1）解：如图，根据题意建立平面直角坐标系， 则“帅”所在点的坐标为； 点C的坐标为； 点D的坐标为； （2）若“马”的位置在点C处，为了到达D点，则所走路线可以为 →→→→（答案不唯一）． 4．如图，点用表示，点用表示．若用表示由点到点的一种走法，并规定从点到点只能向上或向右走，用上述表示法再写出另外两种走法，并判断这几种走法的路程是否相等． 【答案】（合理即可），这三种走法的路程是相等的 【分析】本题考查有序数对的应用，根据题意结合图形，找出由A到B的路线，再用坐标表示各个顶点的坐标，用“→”连接即可．观察几种走法有什么相同之处，由此分析它们的路程是否相等．注意：走法的答案不唯一． 【详解】解：走法一：， 走法二：， 这三种走法的路程是相等的． 题型02.写出直角坐标系中点的坐标 5．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，，则表示棋子“馬”的点的坐标______． 【答案】 【分析】根据棋子“炮”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 棋子“馬”的点的坐标为：． 6．在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全等三角形的性质得出对应边相等，结合点A坐标求出线段、的长，进而求出、的长及点C的坐标． 【详解】解：由图可知轴，轴， ∵点的坐标是， ，， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴，点在轴负半轴， ∴， ∴点的坐标是， ∵轴，，点在第二象限， ∴点的坐标是． 7．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）根据要求描点，连线，进而确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式 进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，描点，连接线段，如下图， 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：①与中点重合时， ， 此时 ②与中点重合时， ， 此时 ③与中点重合时， ， ， 此时 综上所述，点的坐标为或或． 题型03.求点到坐标轴的距离 8．在平面直角坐标系中，若点在y轴上，且点P到x轴的距离为2，则的值为_______． 【答案】或/或 【分析】根据点在轴上的坐标特征得到横坐标为，可求出的值． 根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，可求出的所有可能值，再代入计算得到的值． 【详解】解：点 在轴上， ， 解得． 点到轴的距离为， ， 即或， 解得或． 当，时，； 当，时，． 综上可知，的值为或． 9．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则________． 【答案】或3/3或 【分析】平行于轴的直线上点的纵坐标相等，两点间距离等于横坐标差的绝对值，根据轴求出的值，再根据求出的所有可能值，最后计算即可． 【详解】解：轴，点，点 点与点的纵坐标相等 解得 整理得 或 解得或 当，时， 当，时， 综上可知，或3 10．如图，将一等腰放置在直角坐标系中，直角顶点的坐标为，另两顶点、分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作轴于点D，过点C作轴于点E，根据题意得出，，证明，推出，再根据，求出，进而求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点C作轴于点E， ∵， ∴，， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：___，__； (2)在第一象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴的负半轴上存在点N，使得三角形的面积与四边形的面积相等，求出点N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性求解即可； （2）利用四边形的面积等于两个三角形的面积和可得答案； （3）利用的面积与四边形的面积相等建立方程求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，. （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为. （3）解：∵， ∴四边形的面积为， ∵三角形的面积与四边形的面积相等， ∴三角形的面积为， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴． 题型04.判断点所在象限 12．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，即可判断得到答案． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，第四象限内点的坐标特征为：横坐标大于0，纵坐标小于0，即， 选项A中，横坐标，纵坐标，符合第四象限点的特征； 选项B中横坐标小于0，纵坐标大于0，位于第二象限，不符合要求； 选项C中横纵坐标都小于0，位于第三象限，不符合要求； 选项D中横纵坐标都大于0，位于第一象限，不符合要求； ∴ 点位于第四象限． 13．已知，则点在第______象限． 【答案】一 【分析】首先利用算术平方根和绝对值的非负性得到，，然后得到点P的坐标判断即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴点在第一象限． 14．已知关于x，y的二元一次方程组，则在第（  ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：， 得， 解得：； 把代入①，得：， 解得：； ∴在第一象限． 15．已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“新奇点”． (1)判断点是否为“新奇点”，并说明理由； (2)若点是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由． 【答案】(1)点是“新奇点”，理由见解析 (2)点M在第三象限，理由见解析 【分析】（1）根据“新奇点”的定义判定即可； （2）根据“新奇点”的定义，得方程．求解得出m的值，从而求出点M的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：点是“新奇点”， 理由如下：已知点，因为， 所以． 所以点是“新奇点”． （2）解：点M在第三象限．理由如下： 因为点是“新奇点”，所以． 解得． 所以，． 所以点M在第三象限． 【点睛】本题考查新定义，根据点的坐标确定点所在的象限．解题关键是理解新定义，掌握平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 题型05.已知点所在象限求参数 16．已知点在轴上，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵点在轴上， ∴ ∴． 17．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据第四象限内点的坐标符号特征：横坐标为正，纵坐标为负，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴纵坐标满足， 移项得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 18．已知点在第三象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第三象限内点的坐标特征，横坐标和纵坐标均小于0，建立不等式组求解． 本题考查了坐标与象限，解不等式组，熟练掌握坐标与象限的关系，建立正确的 【详解】点A在第三象限，则其横坐标，纵坐标， 解得，， 故不等式组的解集为， 故选：B． 19．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)在同一平面直角坐标系中，点的坐标为，且轴，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，进行求解即可； （2）根据二四象限上的点的横纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：由题意，得， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 题型06.坐标系中描点 20．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点，A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，除原点外其中有两个点的横坐标相同，有两个点的纵坐标相同，则原点是_______点． 【答案】B 【详解】由网格的特点可得，点A和点C的纵坐标相同，点C与点D的横坐标相同， ∴点B为原点． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了与x轴、y轴平行的直线上点的坐标特点，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法是解题的关键． 21．下列选项中各坐标对应的点，落在如图所示平面直角坐标系阴影区域内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别描出四个选项中点的坐标在坐标系中的位置，然后判断即可． 【详解】解：如图所示，点A（1，2），点B（2，0），点C（0，3），点D（-1，-1）， ∴落在阴影区域内的点只有点A（1，2）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了在坐标系中描点，解题的关键在于能够熟练掌握平面直角坐标系的相关知识． 22．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 题型07.中点坐标 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出，，据此求解即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴点的纵坐标为， 过点作，交轴于点，交于点，则：，    ∵ ∴， ∴，， ∴的面积为． 故选：C． 24．在平面直角坐标系中，以点为顶点构造平行四边形，则平行四边形的第四个顶点的坐标可以是___________（写出一个即可）． 【答案】（或或） 【分析】本题考查平行四边形的性质和平面直角坐标系中点的坐标计算，利用平行四边形对角线互相平分的性质，分类讨论即可求出第四个顶点的坐标. 【详解】解：设第四个顶点坐标为，根据平行四边形对角线互相平分，对角线中点重合，结合中点坐标公式分三种情况讨论： （1）以为对角线时，可得， 解得，，即第四个顶点为. （2）以为对角线时，可得， 解得，，即第四个顶点为. （3） 以为对角线时，可得， 解得，，即第四个顶点为. 25．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． (1)画出； (2)已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 【答案】(1)图见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了画旋转图形，中心对称的性质，中点坐标公式等知识点，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质以及画旋转图形的方法是解题的关键． （1）按照画旋转图形的方法画出即可； （2）由题意得，点与点关于点中心对称，结合中心对称的性质可得，，求出、的值即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：点随着绕点M旋转得到， 点与点关于点中心对称， ，， ，， 故答案为：，． 题型08.点坐标规律探索 26．如图，光标起始时位于处，沿图中所示的方向移动，光标的运动轨迹如图所示，光标第1次改变方向时，光标的位置是，那么光标第2025次改变方向时，光标的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点坐标规律的探索，掌握移动的规律是解题的关键．由题知光标移动5次又回到点处，结合即可求解． 【详解】根据题意，光标移动5次又回到点处， ， 光标第2025次改变方向时，光标的位置是． 故选：D． 27．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则点的坐标为________________． 【答案】 【分析】根据图中信息以及点的分布情况，得每一象限一类，周期为4，则点在第四象限，再结合点，，，且这些点的横坐标都是下标与1的和除以4得到的，纵坐标与横坐标互为相反数，所以的横坐标为，纵坐标为，即可作答． 【详解】解：根据点的特征，把这些点分为4类，每一象限一类，周期为4， 则， 点在第四象限． 点，，，且这些点的横坐标都是下标与1的和除以4得到的，纵坐标与横坐标互为相反数， 点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 28．探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，求一个数的算术平方根，找到纵坐标是横坐标的平方，是解题的关键； （1）根据规律直接写出点的坐标； （2）根据纵坐标是横坐标的平方写出点的坐标； （3）根据到轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：点，，，， ∴ （2）解：依题意，点的坐标为 （3）解：由（2）可得 ∴． 又∵为正整数， ∴ 题型09.实际问题用坐标表示位置 29．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，则“技”的坐标为________．    【答案】 【分析】本题考查坐标确定位置，根据题目条件建立相应的平面直角坐标系是解题关键． 根据“创”“新”的坐标可以建立相应的平面直角坐标系，然后写出“技”的坐标即可． 【详解】解：根据“创”“新”的坐标分别为， 可得如图的坐标系：    则“技”的坐标为． 故答案为：． 30．如图为路桥区域局部示意图（各地点用点表示），中央山公园位于汽车南站的北偏东45°方向的4个单位长度处．若以汽车南站为原点建立平面直角坐标系；则中央山公园所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了写出点的坐标，勾股定理；过点作轴于，利用等腰直角三角形得出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴于， 由题意可知，，， ， ∴ 故选：C． 31．在一次“寻宝”游戏中“寻宝”人找到了如图所示的标志点，，“宝藏”所在地点为点，根据题意完成下列各题． (1)根据、两点建立适当的直角坐标系； (2)直接写出宝藏点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点C的坐标为 【分析】题目主要考查建立直角坐标系，读出点的坐标，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据点的坐标建立直角坐标系即可； （2）根据（1）中坐标系读出点的坐标即可． 【详解】（1）解：建立直角坐标系如图所示： （2）由（1）得点C的坐标为 ． 题型10.两点坐标求两点距离 32．如果点与点的距离等于，那么的值等于___． 【答案】0或 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，掌握已知，则是解题的关键． 根据两点间距离公式列出方程，平方后化简求解即可． 【详解】由点和点的距离为， 得， 两边平方，得， 展开并整理：， ， ， ， 解得或，经检验均符合题意． 故答案为：或． 33．如图，平面直角坐标系中，有矩形，点B的坐标是，则的长是（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】连接，    ，根据两点间距离公式，，利用矩形的性质，得到求解即可； 【详解】解：如图，连接，    ，且点B的坐标是， 故， 因为矩形， 故 34．【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． (1)【类比应用】若点，，则轴，的长度为______； (2)【联系拓展】已知点，， ①若线段与y轴交于点C，点C把线段分成的两部分时，求m的值； ②若点，，求的长． 【答案】(1)4 (2)①或；② 【分析】（1）由轴得到的长度为求解； （2）①首先求出轴，，然后根据题意分两种情况讨论求解； ②设，求出，，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵点，，则轴， ∴的长度为； （2）解：①∵，， ∴轴，， ∵线段与y轴交于点C， ∴，， ∵点C把线段分成的两部分， ∴或． 又∵， 当时，则； 当时，则； 又，， ∴或， ∴或； ②如图，取， ∵，， ∴轴，轴，即 ∴， ∴． 移项11.坐标系中的平移 35．若点与点的连线平行于轴，则a的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的应用．根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵轴， ∴点和点的纵坐标相同， 即， ∴， 故答案为：． 36．如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键．本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，由B，C的坐标求出线段的长度，再利用平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，， ， B，C的纵坐标相等， 轴， ， 轴， 又顶点A的坐标是，， ∴顶点D的坐标为， 故选C． 37．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，且． (1)求点B的坐标； (2)若把一直角三角板的直角顶点放在上点E处，三角板的另两边分别交，于点M，N． ①求证：； ②若，求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，平移思想解答即可； （2）①过E作，利用平行线的性质，等量代换证明即可； ②利用余角的性质，等量代换解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，且． ∴， ∴将点向右平移6个单位长度即可得到， 故点． （2）①过点E作过E作， ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴．   ②∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平移性质，余角性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 题型12.用方向角和距离确定物体位置 38．一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置_______． . 【答案】南偏西， 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，遇险船相对于救生船的位置为南偏西，， 故答案为：南偏西，． 39．小明和小红约定见面交换阅读书籍．出发前，他们打电话了解彼此的位置后，发现有一条道路是最合适的． 小明说：“在我们保持各自速度不变的情况下，如果我向南骑行300米，再向东骑行100米；小红你向北走100米，再向西走100米，我们刚好会相遇．” 小红说：“如果我们互换出发位置，在保持各自速度和道路不变的情况下，此时我们相遇的地点在原来相遇点什么方向？” （   ） A．正东方向 B．东南方向 C．正西方向 D．西北方向 【答案】D 【分析】本题主要考查了用方向角和距离确定位置，根据小明的说法可得米，米，米，交换位置后由于速度和道路不变，那么交换位置后小红从点A出发沿直线走到点N，小明从点D出发沿折线走到点N，据此求出的长，进而得到点N相对于点M的位置即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 小明的初始位置为A，小红的初始位置为D， 根据小明的说法可知，米，米，米， ∵， ∴小明的速度是小红的速度的2倍， ∵米， ∴交换位置后小明要走400米，小红要走200米， ∵保持道路不变， ∴交换位置后小红从点A出发沿直线走到点N，小明从点D出发沿折线走到点N， ∴米， ∴米， ∴， ∴从点M向西走100米，向北走100米可到达点N， ∴点N在点M的西北方向， ∴新相遇点在原来相遇点的西北方向， 故选：D． 40．看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【答案】(1)正南， (2)北偏西60° (3)见解析 【分析】本题考查了根据方向和距离确定物体的位置，掌握方向角的定义是解题的关键． （1）根据图形及方向角的定义解答即可； （2）根据图形及方向角的定义解答即可； （3）根据方向及距离标出超市位置即可； 【详解】（1）解：小明家在学校的正南方向上，估一估小明家距离学校约米， 故答案为∶正南，； （2）解：书店在学校北偏西方向上， 故答案为∶北偏西； （3）解：由题意知超市在学校北偏东方向米处，则超市位置如图所示： 题型13.坐标系中的动点问题 41．如图，在平行四边形在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，，，，是平行四边形边上的一个动点，连接，若为直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】或 【分析】分情况讨论，由平行四边形的性质，直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：当P在边上时，，只有，作于点，如图： ， ， ，， ， ， ∴P的坐标是， 当P在边上时，，只有，如图： ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴P的坐标是； 当P在CD上时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 是钝角三角形． ∴P的坐标是或． 42．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标规律探索，坐标系中的动点问题（不含函数），写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出这个粒子运动到，，，，所用时间，则归纳类推出这个粒子运动到所用时间，再观察运动规律可得在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，然后根据，，可得第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，由此即可得． 【详解】解：由题意得：这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 归纳类推得：这个粒子运动到所用时间为秒（其中为正整数）， 观察运动规律可知，在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动， ∵，，，且44为偶数， ∴第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，此时这个粒子所处位置为，即， 故选：A． 43．如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为，点B的坐标为，且a，b满足，点C的坐标为． (1)______；______；点B的坐标为______； (2)在x轴上存在点D，使得的面积是12，求出点D的坐标； (3)如图2，动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒），解答下列问题： ①当垂直平分线段时，求出t的值； ②当t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出t的值． 【答案】(1)12，8， (2)或 (3)①；②或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，二次根式有意义的条件，得出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标； （2）设点D的坐标为，然后确定底和高，根据三角形面积公式列出方程，解绝对值方程即可得出结论； （3）①若垂直平分线段，可得，；根据即可求解；②分类讨论当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：， ． ， ． （2）解：∵在x轴上存在点D，使得的面积是12， ∴设点D的坐标为，以为底，高为点B到x轴的距离8． 根据三角形面积公式： 代入，得： 化简得， 或， 解得或 ∴点D的坐标为或． （3）解：①∵点A的坐标为， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， 此时， ∴时，垂直平分线段； ②当点P在线段上时，，， 当，且时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 当点P在线段的延长线上时，，， 当，且时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 题型14.求点沿x轴y轴平移后坐标 44．将点向右平移4个单位长度得到点，则的值是__________． 【答案】4 【分析】根据点的平移规则：左减右加，上加下减，求解即可． 【详解】解：由点坐标的平移可知：， 解得：， 纵坐标保持不变， ∴， ∴． 45．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么平移后对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用横坐标右移加左移减，纵坐标上移加下移减计算平移后的坐标即可． 【详解】解：点的坐标为向右平移个单位长度后，横坐标为， 再向下平移个单位长度后，纵坐标为， 因此平移后点的坐标为． 46．如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为_________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和中点坐标公式求出点坐标，然后根据轴对称与平移坐标变换特征总结出点坐标变换规律：第次变换后点的对应点的坐标为：当为奇数时，，当为偶数时，，根据规律求解即可． 【详解】解：正方形，顶点，，， 对角线交点坐标为． 根据翻折与平移的性质， 第次变换后点的对应点的坐标为，即； 第次变换后点的对应点的坐标为，即； 第次变换后点的对应点的坐标为，即； 第次变换后点的对应点的坐标为： 当为奇数时，点的坐标为； 当为偶数时，点的坐标为， 连续经过次变换后， 点的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查坐标的变换，解题的关键是根据题意找到变换的规律进行求解． 47．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． (1)画出向右平移5格后的图形； (2)画出关于原点中心对称的图形． 【答案】(1)如图所示； (2)如图所示． 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用平移的性质和格点的特征分别画出点、、 的对应点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出的对应点、、然后描点即可． 【详解】（1）如图，△为所作， （2）如图，△为所作； 题型15.由平移方式确定点坐标 48．若将点向上平移个单位长度后，得到点，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据平移规律写出平移后的点坐标，对比得出结果． 【详解】解：点向上平移个单位长度后，点的坐标为， ∴，即． 49．在平面直角坐标系中，点先向上平移个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坐标平移的规律，牢记规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可计算得出结果． 【详解】解：∵点向上平移个单位长度， ∴点的纵坐标为； 再向右平移个单位长度， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 50．如图，在第一象限内有两点，，将线段平移，使点、同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 【答案】或 【分析】设平移后点的对应点分别是，分两种情况进行讨论：在轴上，在轴上；在轴上，在轴上． 【详解】解：设平移后点的对应点分别是， 分两种情况： 在轴上，在轴上，则横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴， ∴点平移后的对应点的坐标是； 在轴上，在轴上，则纵坐标为，横坐标为， ∵， ∴， ∴点平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点平移后的对应点的坐标是或． 题型16.点平移前后坐标判断平移方式 51．每逢节假日，岳阳南湖后浪公园的大型无人机光影秀惊艳夜空、人气爆棚．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】理解平移的概念是解题的关键． 【详解】解：点平移后的对应点为， 点A先向左平移了三个单位，再向下平移了四个单位， 又，， 点先向左平移了三个单位，再向下平移了四个单位后的对应点为． 52．如图，在平面直角坐标系中，已知点，若以、为邻边作，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得，，线段可以看作由线段平移得到的线段，根据、点的坐标确定平移方式，再由点，根据平移方式得出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴线段可以看作由线段平移得到的线段， ∵， ∴线段向右平移一个单位，向上平移三个单位得到线段， ∵， ∴，即． 53．如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积求解即可． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和， ∴可知将线段向右平移7个单位，向上平移6个单位得到的位置， ∴，， ∴与坐标分别是和， ∴与轴平行， ∴， ∴线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积， 故选：D． 题型17.图形的平移.求点的坐标 54．将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为（    ）． A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据左减上加，确定平移后坐标，解答即可，本题考查了平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】∵点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴平移后坐标为， ∵与点重合， ∴， 解得 故， 故选B． 55．如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是______．    【答案】或． 【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 设平移后点P、Q的对应点分别是．分两种情况进行讨论：①在y轴上，在x轴上；②在x轴上，在y轴上． 【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是． 分两种情况： ①在y轴上，在x轴上， 则横坐标为0，纵坐标为0， ∴， ∴点P平移后的对应点的坐标是； ②在x轴上，在y轴上， 则纵坐标为0，横坐标为0， ∴， ∴点P平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点P平移后的对应点的坐标是或． 故答案为：或． 56．如图，在坐标系中放置一菱形，已知，点B在y轴上，．将菱形沿x轴的正方向无滑动依次翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、点坐标规律探索、平移的性质，根据题意画出翻转后的图形找出规律是解题的关键．由题意得，菱形的边长为1，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，结合图形可知每翻转6次，图形向右平移4个单位，据此即可求解． 【详解】解：∵菱形， ∴，即菱形的边长为1， ∴； 画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示： 由图可知：每翻转6次，图形向右平移4个单位， ∵，， ∴点向右平移1348个单位得到， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：D． 题型18.坐标系中的对称 57．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，根据关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数的性质求解即可． 【详解】∵关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵已知点的坐标为 ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴该点关于y轴对称的点坐标是． 故选：D． 58．已知点，若线段轴，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标与图形的性质，解一元一次方程，熟练掌握平行于x轴的点的纵坐标相等是解题的关键． 根据题意可知坐标A，B纵坐标相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵点，，线段轴， ∴， 解得：； 故答案为：． 59．在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用点关于坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于y轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为3， ∴， ∵关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为， ∴， 故选：A． 60．已知在平面直角坐标系中，点，，若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，坐标系中的对称，掌握坐标系中的对称规律是解题的关键．如果两个点关于轴对称，那么这两个点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．据此回答即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得，， ． 题型19.坐标与图形变化--轴对称 61．灯笼是一种传统工艺品，如图，将一个轴对称灯笼放在平面直角坐标系中，图案关于y轴对称，如果点A的坐标为，其对称点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：如果点A的坐标为，则其关于y轴对称的点B的坐标为． 62．如图，已知菱形的顶点，．作菱形关于轴的对称图形，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的特点，关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解． 【详解】解：由题可得，点的坐标为， 故点的对应点的坐标是， 故选：A． 63．如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出点，，，，的坐标，可推出从点开始，每6次变换为一个循环，求出2025除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于直线的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ， 以此类推，可知，从点开始，每6次变换为一个循环，变换后的点的坐标依次为，，，，， ∴， ∴点的坐标为． 64．在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，． (1)①直接写出B的坐标：___________； ②连接．求证：； (2)若，对角线，利用（1）的结论判断平行四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点是线段上的动点，试在上确定一点，使得的值最小时，求此时的长． 【答案】(1)①； (2)平行四边形是矩形，理由见解析 (3)． 【分析】（1）①利用平行四边形的性质直接得到； ②利用两点之间的距离公式，分别计算和，据此即可证明； （2）利用两点之间的距离公式，再由（1）的结论求得，即可得到平行四边形是矩形； （3）作点关于的对称点，连接，与的交点即为，此时最小；据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形，，， ∴； 证明：②∵，，， ∴， ， ，，， ∴， ， ∴； （2）解：∵，对角线， ∴，， 由（1）的结论得， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； （3）解：由（2）得四边形是矩形，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 作点关于的对称点，则点的坐标为， 连接，与的交点即为，此时最小； ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． 题型20.求关于原点对称的点的坐标 65．如图，在平面直角坐标系中，的对角线与的交点是原点O，已知点A的坐标是，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则点A与点C关于原点对称，从而根据点A坐标可求点C坐标． 【详解】解：四边形是平行四边形，且平行四边形是中心对称图形， 当其对角线的交点为原点时，则点A与点C关于原点对称， 点A的坐标是， 点C的坐标为． 66．若点关于原点的对称点在第二象限，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的性质、点所在象限的符号特征及不等式组的解法，解决问题的关键是确定出P点所在象限．点关于原点的对称点坐标是原坐标的相反数，第二象限的点横坐标小于，纵坐标大于，据此列出不等式求解的范围，再结合选项判断． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为，且该点在第二象限， ∴， 解得， ∴． 选项A、B、D均不满足范围，只有C的值满足， 故选：C． 67．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别． (1)若和关于原点成中心对称，则的坐标为_______． (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． (3)已知点，请在轴上找一点，使，则点的坐标为_______．（直接写答案） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，关于原点成中心对称的点的坐标特征，以及坐标系中两点距离公式等知识． （1）根据关于原点成中心对称的点的坐标特征：横纵坐标都互为相反数求解即可． （2）根据旋转的性质画出图形即可. （3）设，根据坐标系中两点距离公式表示出，，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵和关于原点成中心对称， ∴点的坐标． （2）解：如图：即为所求； （3）解：设， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为 题型21.已知两点关于原点对称求参数 68．在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵和点关于原点对称， ∴两个点的横纵坐标互为相反数， 故． 69．若点关于原点的对称点是，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的点，它们的横纵坐标互为相反数，由此得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴． 70．已知点与点关于原点成中心对称，则________． 【答案】3 【分析】此题考查了关于原点对称点的性质：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，解二元一次方程组．直接利用关于原点对称点的性质建立关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，代入计算得出答案． 【详解】解：点与点关于原点成中心对称， ，即， 解得：， ． 71．在平面直角坐标系中，点，点． (1)若点A和点B关于x轴对称，求的值； (2)若点A和点B关于原点对称，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得方程组，根据解方程组，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】（1）解：∵点A和点B关于x轴对称， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点A和点B关于原点对称， ∴， 解得， ∴． 题型22.判断两个点是否关于原点对称 72．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据这两点的坐标特点，即可判定． 【详解】解：点和点的横纵坐标都互为相反数， A、两点关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 73．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 74．已知函数：y，则下列关于此函数的图象与性质描述正确的是（    ） A．图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点 B．图象关于原点中心对称 C．图象不经过第一象限 D．x＞0时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据函数的自变量取值范围及函数取值范围依次进行判断即可得出结果． 【详解】解：A、因为x≠0，所以与y轴无交点，故A不符合题意； B、y≤0，不可能关于原点中心对称，故B不符合题意； C、由y≤0，可知图象不经过第一、二象限，故C符合题意； D、当0＜x≤1时，函数无意义；原说法错误，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数式的意义，中心对称的定义，坐标系与函数图象等，理解题意，根据函数解析式确定函数自变量与函数值对应点的坐标的位置关系是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平面直角坐标系期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握平面直角坐标系构成，理解横轴、纵轴、原点、象限基本概念 2.熟记点的坐标表示方法，明确各象限、坐标轴上点的坐标符号特征 3.掌握点关于坐标轴、原点对称的坐标变化规律 4.牢记点平移后的坐标变换规则，理解点到坐标轴、两点间距离公式 1.能根据坐标描点、由点写出坐标，精准判断点所在位置 2.熟练求解对称点、平移后点的坐标，快速计算线段长度 3.结合坐标求图形面积，能用坐标分析简单几何图形特征 4.建立数形结合思维，实现坐标与图形位置相互转化 1.基础坐标题型零差错，快速完成选择填空考点题 2.规范解答坐标平移、对称、距离计算类常规考题 3.熟练利用坐标求解多边形面积，掌握割补解题方法 4.灵活结合几何知识，应对坐标与图形综合类考题 题型01.用有序数对表示位置与路线 题型02.写出直角坐标系中点的坐标 题型03.求点到坐标轴的距离 题型04.判断点所在象限 题型05.已知点所在象限求参数 题型06.坐标系中描点 题型07.中点坐标 题型08.点坐标规律探索 题型09.实际问题用坐标表示位置 题型10.两点坐标求两点距离 移项11.坐标系中的平移 题型12.用方向角和距离确定物体位置 题型13.坐标系中的动点问题 题型14.求点沿x轴y轴平移后坐标 题型15.由平移方式确定点坐标 题型16.点平移前后坐标判断平移方式 题型17.图形的平移.求点的坐标 题型18.坐标系中的对称 题型19.坐标与图形变化--轴对称 题型20.求关于原点对称的点的坐标 题型21.已知两点关于原点对称求参数 题型22.判断两个点是否关于原点对称 知识点01:平面直角坐标系的构成 定义：在平面内画两条互相垂直、有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系 坐标轴： x 轴（横轴）：水平数轴，向右为正方向。 y 轴（纵轴）：竖直数轴，向上为正方向。 原点 O：两轴交点，坐标为 (0, 0)。 单位长度：两轴单位长度必须统一。 知识点02:点的坐标 对于平面内任意一点 P，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线， 垂足在 x 轴上对应的数为横坐标 x， 垂足在 y 轴上对应的数为纵坐标 y， 有序数对 (x,y) 叫做点 P 的坐标，记作 P(x,y)。 书写规范：先横后纵，中间逗号，外加括号。 知识点03:象限与坐标符号 坐标轴将平面分为四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 知识点04:点的坐标与特征 1.有序数对：点 P 的坐标记作 P(x, y)，横坐标 x 在前，纵坐标 y 在后，顺序不可颠倒。(x, y) 和 (y, x) 表示平面内不同的点 2.一一对应：坐标平面内的点与有序实数对 (x, y) 一一对应。 3.特殊位置点的坐标： x 轴上：y = 0，如 (5, 0)、(-3, 0)。 y 轴上：x = 0，如 (0, 4)、(0, -1)。 原点：(0, 0)。 4.点到坐标轴的距离： 点 P (x, y) 到x 轴的距离 = |y|。 点 P (x, y) 到y 轴的距离 = |x|。 到 原点 的距离：（勾股定理） 知识点05:平移 1.定义：平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离的图形变换，简称平移。 要素：方向、距离。 特征：只改变位置，形状、大小不变（全等变换）。 2.坐标规律（平面直角坐标系） 知识点06:轴对称 1.定义 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合的图形，这条直线叫对称轴。 两个图形成轴对称：一个图形沿直线折叠后能与另一个图形重合，直线为对称轴重合点为对称点。 2.坐标规律（平面直角坐标系） 题型01.用有序数对表示位置与路线 1．以水平数轴的原点为圆心过的正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转，，，⋯，得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系．若点，的坐标分别表示为，，则点的坐标表示为________． 2．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 3．象棋在中国有近三千年的历史，中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一部分，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”由所在的位置可以直接走到点A，B处． (1)如果“马”位于点，“相”位于点，则“帅”所在的点的坐标为_________，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________． (2)在（1）的条件下，若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，写出一种你认为合理的行走路线（用坐标表示）． 4．如图，点用表示，点用表示．若用表示由点到点的一种走法，并规定从点到点只能向上或向右走，用上述表示法再写出另外两种走法，并判断这几种走法的路程是否相等． 题型02.写出直角坐标系中点的坐标 5．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，，则表示棋子“馬”的点的坐标______． 6．在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 题型03.求点到坐标轴的距离 8．在平面直角坐标系中，若点在y轴上，且点P到x轴的距离为2，则的值为_______． 9．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则________． 10．如图，将一等腰放置在直角坐标系中，直角顶点的坐标为，另两顶点、分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：___，__； (2)在第一象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴的负半轴上存在点N，使得三角形的面积与四边形的面积相等，求出点N的坐标． 题型04.判断点所在象限 12．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 13．已知，则点在第______象限． 14．已知关于x，y的二元一次方程组，则在第（  ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“新奇点”． (1)判断点是否为“新奇点”，并说明理由； (2)若点是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由． 题型05.已知点所在象限求参数 16．已知点在轴上，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则的取值范围是_____． 18．已知点在第三象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)在同一平面直角坐标系中，点的坐标为，且轴，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 题型06.坐标系中描点 20．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点，A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，除原点外其中有两个点的横坐标相同，有两个点的纵坐标相同，则原点是_______点． 21．下列选项中各坐标对应的点，落在如图所示平面直角坐标系阴影区域内的是（    ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 题型07.中点坐标 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 24．在平面直角坐标系中，以点为顶点构造平行四边形，则平行四边形的第四个顶点的坐标可以是___________（写出一个即可）． 25．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M四个点的坐标分别为，，，．将绕点M旋转得到． (1)画出； (2)已知点为内一点，点P随着绕点M旋转得到，则__________，__________． 题型08.点坐标规律探索 26．如图，光标起始时位于处，沿图中所示的方向移动，光标的运动轨迹如图所示，光标第1次改变方向时，光标的位置是，那么光标第2025次改变方向时，光标的位置是（    ） A． B． C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则点的坐标为________________． 28．探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 题型09.实际问题用坐标表示位置 29．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，则“技”的坐标为________．    30．如图为路桥区域局部示意图（各地点用点表示），中央山公园位于汽车南站的北偏东45°方向的4个单位长度处．若以汽车南站为原点建立平面直角坐标系；则中央山公园所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．在一次“寻宝”游戏中“寻宝”人找到了如图所示的标志点，，“宝藏”所在地点为点，根据题意完成下列各题． (1)根据、两点建立适当的直角坐标系； (2)直接写出宝藏点的坐标． 题型10.两点坐标求两点距离 32．如果点与点的距离等于，那么的值等于___． 33．如图，平面直角坐标系中，有矩形，点B的坐标是，则的长是（    ） A． B．3 C． D．4 34．【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． (1)【类比应用】若点，，则轴，的长度为______； (2)【联系拓展】已知点，， ①若线段与y轴交于点C，点C把线段分成的两部分时，求m的值； ②若点，，求的长． 移项11.坐标系中的平移 35．若点与点的连线平行于轴，则a的值为____． 36．如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 37．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，且． (1)求点B的坐标； (2)若把一直角三角板的直角顶点放在上点E处，三角板的另两边分别交，于点M，N． ①求证：； ②若，求证：． 题型12.用方向角和距离确定物体位置 38．一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置_______． . 39．小明和小红约定见面交换阅读书籍．出发前，他们打电话了解彼此的位置后，发现有一条道路是最合适的． 小明说：“在我们保持各自速度不变的情况下，如果我向南骑行300米，再向东骑行100米；小红你向北走100米，再向西走100米，我们刚好会相遇．” 小红说：“如果我们互换出发位置，在保持各自速度和道路不变的情况下，此时我们相遇的地点在原来相遇点什么方向？” （   ） A．正东方向 B．东南方向 C．正西方向 D．西北方向 40．看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 题型13.坐标系中的动点问题 41．如图，在平行四边形在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，，，，是平行四边形边上的一个动点，连接，若为直角三角形，则点的坐标是______． 42．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 43．如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为，点B的坐标为，且a，b满足，点C的坐标为． (1)______；______；点B的坐标为______； (2)在x轴上存在点D，使得的面积是12，求出点D的坐标； (3)如图2，动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒），解答下列问题： ①当垂直平分线段时，求出t的值； ②当t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出t的值． 题型14.求点沿x轴y轴平移后坐标 44．将点向右平移4个单位长度得到点，则的值是__________． 45．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么平移后对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 46．如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为_________． 47．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． (1)画出向右平移5格后的图形； (2)画出关于原点中心对称的图形． 题型15.由平移方式确定点坐标 48．若将点向上平移个单位长度后，得到点，则的值为_____． 49．在平面直角坐标系中，点先向上平移个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 50．如图，在第一象限内有两点，，将线段平移，使点、同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 题型16.点平移前后坐标判断平移方式 51．每逢节假日，岳阳南湖后浪公园的大型无人机光影秀惊艳夜空、人气爆棚．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 52．如图，在平面直角坐标系中，已知点，若以、为邻边作，则点的坐标为___________． 53．如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 题型17.图形的平移.求点的坐标 54．将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为（    ）． A．0 B． C． D． 55．如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是______．    56．如图，在坐标系中放置一菱形，已知，点B在y轴上，．将菱形沿x轴的正方向无滑动依次翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型18.坐标系中的对称 57．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（   ） A． B． C． D． 58．已知点，若线段轴，则的值为______． 59．在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 60．已知在平面直角坐标系中，点，，若点与点关于轴对称，求的值． 题型19.坐标与图形变化--轴对称 61．灯笼是一种传统工艺品，如图，将一个轴对称灯笼放在平面直角坐标系中，图案关于y轴对称，如果点A的坐标为，其对称点B的坐标为______． 62．如图，已知菱形的顶点，．作菱形关于轴的对称图形，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 63．如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为____________． 64．在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，． (1)①直接写出B的坐标：___________； ②连接．求证：； (2)若，对角线，利用（1）的结论判断平行四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点是线段上的动点，试在上确定一点，使得的值最小时，求此时的长． 题型20.求关于原点对称的点的坐标 65．如图，在平面直角坐标系中，的对角线与的交点是原点O，已知点A的坐标是，则点C的坐标是_____． 66．若点关于原点的对称点在第二象限，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 67．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别． (1)若和关于原点成中心对称，则的坐标为_______． (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． (3)已知点，请在轴上找一点，使，则点的坐标为_______．（直接写答案） 题型21.已知两点关于原点对称求参数 68．在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为________． 69．若点关于原点的对称点是，则的值是（   ）． A． B． C． D． 70．已知点与点关于原点成中心对称，则________． 71．在平面直角坐标系中，点，点． (1)若点A和点B关于x轴对称，求的值； (2)若点A和点B关于原点对称，求的值． 题型22.判断两个点是否关于原点对称 72．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 73．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 74．已知函数：y，则下列关于此函数的图象与性质描述正确的是（    ） A．图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点 B．图象关于原点中心对称 C．图象不经过第一象限 D．x＞0时，y随x的增大而减小 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $