专题06变量与函数及正比例函数期末复习讲义(15大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题06变量与函数及正比例函数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.分清常量与变量，理解自变量、因变量、函数的基本含义 2.掌握函数三种表示方法：解析式法、列表法、图像法 3.会确定函数自变量的取值范围，读懂函数图像信息 4.熟记正比例函数定义、解析式、图像形状与基本性质 5.掌握正比例函数系数取值对图像增减、位置的影响规律 1.能实际情境中辨别变量与常量，判断两个量是否构成函数关系 2.依据条件列简单函数关系式，准确求解自变量取值范围 3.熟练绘制正比例函数图像，根据图像分析函数变化趋势 4.运用正比例函数性质计算、求值，解决简单实际应用问题 5.建立数形结合思维，实现解析式与函数图像相互转化 1.轻松拿下概念辨析类选择填空题，杜绝基础失分 2.规范列出函数表达式，正确限定自变量取值范围 3.熟练运用正比例函数性质解题，计算准确无误 4.看懂函数图像题意，顺利解答图像分析与实际应用题 题型01.函数的概念 题型02.用表格表示变量间的关系 题型03.用关系式表示变量间的关系. 题型04.用图象表示变量间的关系 题型05.求自变量的取值范围 题型06.求自变量的值或函数值 题型07.函数解析式 题型08.函数图象识别 题型09.从函数图象获取信息 题型10.函数的三种表示方法 题型11.正比例函数的定义 题型12.正比例函数自变量的取值范围 题型13.正比例函数的图象 题型14.用描点法画函数图象 题型15.正比例函数的性质 知识点01:常量与变量 常量：在一个变化过程中，数值始终保持不变的量。 变量：在一个变化过程中，数值可以发生变化的量。 函数：一个自变量x取任意确定值，因变量y都有唯一对应值，y就是x的函数 区分关键：看数量在问题情境中是否会随条件改变而变化。 知识点02:自变量与因变量 自变量：主动发生变化、自主改变的量。 因变量：随着自变量的变化而随之变化的量。 关系：因变量依赖自变量而变化，二者成对出现。 知识点03:函数的概念 1.定义：在某个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，对于 x 在允许取值范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 y 是 x 的函数。 2.核心判定要点： 有两个相关联的变量； 自变量每取一个确定值，函数值只能有唯一一个。 知识点04:函数的三种表示方法 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 关键：三种方法可相互转化，根据题目需求灵活选用。 知识点05:自变量的取值范围（必考） 整式型（如y=2x+1）：全体实数 分式型（如y=）：分母≠0 二次根式型（如y=，）：被开方数≥0 组合型（如y=）：取各条件的公共解（交集） 实际问题：符合实际意义（如时间、数量≥0） 知识点06:函数值 定义：当自变量取一个确定数值时，代入关系式计算得到的对应y的值，叫做函数值。 求法：将自变量的值代入函数解析式，通过计算求出结果。 知识点07:正比例函数的概念 一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成y=kx（k是常数，且k0）的形式，这个函数叫做正比例函数。 关键特征：自变量x的次数为 1，不含常数项，不含分式、二次根式等复杂形式；比例系数k不能为 0。 取值范围：若无特殊说明，自变量x取值为全体实数 知识点08:正比例函数的图像 正比例函数y=kx(k0)的图像是经过坐标原点(0,0)的一条直线。 图像绘制方法：两点作图法，选取原点(0,0)和点(1,k)，连接两点并延伸，即可画出函数直线。 左图一次函数 右图正比例函数 一句话区分：正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数 知识点09:正比例函数的图像性质 当k＞0时：函数图像经过第一、第三象限；y的值随x的增大而增大。 当k＜0时：函数图像经过第二、第四象限；y的值随x的增大而减小。 知识点10:正比例函数解析式求解 方法：待定系数法，为本节核心考点。 解题步骤： 1 设出正比例函数解析式y=kx(k0)； ② 将已知图像上点的坐标代入解析式； ③ 解方程求出比例系数k的值； ④ 带回式子，写出完整函数解析式。 知识点11:函数图象的画法（三步） 1.描点法作图 从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 题型01.函数的概念 1．下列图象中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，解题的关键是理解“对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应”，并利用垂直于轴的直线检验法判断．根据函数定义，用垂直于轴的直线去截各选项的图象，若直线与图象最多只有一个交点，则是的函数，反之则不是． 【详解】解：根据函数的定义，对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，用垂直于轴的直线检验． A：任意垂直于轴的直线与图象最多只有一个交点，是的函数，此选项符合题意； B：存在垂直于轴的直线与图象有两个交点，不是的函数，此选项不符合题意； C：存在垂直于轴的直线与图象有两个交点，不是的函数，此选项不符合题意； D：存在垂直于轴的直线与图象有无数个交点，不是的函数，此选项不符合题意． 2．下列各式中，①；②；③；④；⑤；y是x的函数的有________．（只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了函数的定义“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数”，熟记函数的定义是解题关键．根据函数的定义求解即可得． 【详解】解：是的函数的有①，②，④， ③中，当时，，不满足是的函数的定义， ⑤中，当时，，不满足是的函数的定义， 故答案为：①②④． 3．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（  ） A．圆的面积公式 中，是的函数 B．同一物质，物体的体积是质量的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式 中是的函数 【答案】D 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，据此即可判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、圆的面积公式 中，是的函数，该选项正确，不合题意； 、同一物质，物体的体积是质量的函数，该选项正确，不合题意； 、光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数，该选项正确，不合题意； 、表达式 中，给定一个的值，有两个的值与之对应，所以不是的函数，该选项错误，符合题意； 故选：． 题型02.用表格表示变量间的关系 4．如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在加油的过程中，下列说法正确的是（    ） 金额/元 303.89 加油量/L 36.79 单价/元 8.26 A．金额是常量 B．加油量是常量 C．单价是常量 D．单价是变量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的定义，熟练掌握常量和变量的定义是解题关键．根据加油过程中各量的变化情况进行判断即可． 【详解】解：∵在加油过程中，单价固定不变，金额随加油量的增加而变化，加油量也持续变化， ∴单价是常量，金额和加油量是变量， 故选：C． 5．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表： 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … 则放水时，水池中有水______． 【答案】36 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，掌握表格中两个变量的变化规律是解决问题的关键．根据表格中“放水时间”与“水池中水量”之间的变化规律可得答案． 【详解】解：由题意可知，蓄水池原有水，放水速度为， 所以当放水时间为时，水池中水量为： ． 故答案为：36． 6．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用表格表示函数关系，根据表格可知，指距每增加身高就增加，据此列式计算即可求出答案． 【详解】解：根据表格可知，指距每增加身高就增加， ， 即世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为， 故选：B． 7．已知二元一次方程． x … 0 1 2 … y … … (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图象上有一点，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3) 【分析】（1）根据表格描点连线即可； （2）根据表格作答即可； （3）把代入求解即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：根据表格可知，当时，， 当时，， ∴二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为、； （3）解：把代入得， 解得：． 题型03.用关系式表示变量间的关系 8．要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为长方形的面积；变量为长，宽 B．常量为长方形的面积、宽为，变量为长 C．常量为长方形的面积、长为，变量为 D．常量为长、宽，变量为长方形的面积 【答案】A 【分析】在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量，根据定义判断即可． 【详解】解：∵长方形的面积固定为，在变化过程中数值保持不变， ∴长方形的面积是常量， ∵长和宽的数值可以发生变化，满足， ∴和是变量． 9．如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】先分析单个圆环、两个圆环扣在一起时的长度，找出每增加一个圆环长度的变化规律，再据此列出个圆环扣紧时总长度与的关系式． 【详解】解：∵单个圆环的外圆直径为，环宽为， ∴每增加一个圆环，长度增加， ∵个圆环扣在一起时，第一个圆环长度为，后面还有个圆环， ∴总长度， ∵， ∴． 10．张叔叔从批发商手里批发甲、乙两种蔬菜，然后拿到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价（元/千克） 4.8 4 零售价（元/千克） 7.2 5.6 (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共40千克花180元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？ (2)若他用m元批发甲、乙两种蔬菜共80千克，设批发甲种蔬菜n千克，求m与n的关系式： (3)一天若他批发甲、乙两种蔬菜各40千克，由于行情原因，他想将两种蔬菜在零售价的基础上都打折出售，其中甲种蔬菜以八五折出售，要想卖完全部蔬菜后保证利润率不低于，求乙种蔬菜至少可打几折（结果精确到0.01）． 【答案】(1)甲蔬菜，乙蔬菜 (2) (3)折 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共，用去了元钱，列方程求解； （2）根据总价等于单价×数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为m，即可得出m与n的函数关系； （3）设乙种蔬菜打折，根据利润、售价、成本之间的关系建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜， 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜， （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 答：m与n的函数关系为：， （3）解：设乙种蔬菜打折， 由题意得， 解得：， 答：乙种蔬菜至少可打折． 题型04.用图象表示变量间的关系 11．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道（1）这是一次 ________ 米赛跑；（2）甲、乙谁跑得快 _____ ；（3）乙在这次赛跑中的速度为 _____ 米/秒． 【答案】 100 甲 8 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，横坐标得出时间是解题关键． （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案； （2）根据函数图象的横坐标，谁用时短谁跑得快，可得答案； （3）根据“速度路程时间”，即乙的路程除以乙的时间，可得答案． 【详解】解：（1）由纵坐标看出，这是一次100米赛跑； 故答案为：100； （2）由横坐标看出，甲的用时短，先到达终点的是甲； 故答案为：甲； （3）由纵坐标看出，乙行驶的路程是100米，由横坐标看出乙用了12.5秒， 乙在这次赛跑中的速度为（米/秒）， 故答案为：8． 12．为了研究某种降糖药物，实验人员将药物注射到血糖较高的实验鼠中观察其血糖的变化．如图是某只实验鼠一段时间内的血糖浓度与时间之间的关系，下列说法错误的是（   ） A．时间是自变量，血糖浓度是因变量 B．该实验鼠在9时—10时血糖浓度下降 C．该实验鼠在9时—13时的血糖浓度在4.2 mmol/L有5个时刻 D．在9时，该实验鼠血糖浓度达到最大 【答案】C 【分析】本题考查了由函数图像获取信息，理解函数图像的信息是解题的关键； 根据图像的信息逐个判断选项即可. 【详解】解：A、由图可知，时间是自变量，血糖浓度是因变量，故A选项说法正确，不符合题意； B、该实验鼠在9时—10时血糖浓度在下降，故B选项说法正确，不符合题意； C、该实验鼠在9时—13时的血糖浓度在4.2 mmol/L的时刻有4个，故C选项说法错误，符合题意； D、在9时，该实验鼠血糖浓度达到最大，故D选项说法正确，不符合题意． 故选：C. 13．星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)该情境中的自变量和因变量分别是______，______； (2)游泳馆距离小刚家______米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了______米； (3)为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间． 【答案】(1)时间，离家的距离； (2)2000，4000 (3)14分钟 【分析】本题考查了函数的图象，函数的常量与变量，解题的关键是熟练掌握函数的图象，函数的常量与变量的定义． （1）根据函数的定义可得自变量与因变量； （2）从图象获取信息，直接得到游泳馆距家距离为2000米．计算先骑行、折返、再前往游泳馆的路程和，得出总行程4000米． （3）从图象得最初骑行1000米用时4分钟，算出最初速度．求出拿装备后速度，用游泳馆距家距离除以拿装备后速度，得重新出发后用时，加上之前的时间，得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，小刚骑车的时间自己变，带动离家距离变化， 所以自变量是时间，因变量是离家的距离． 故答案为：时间，离家的距离； （2）由图象可知，游泳馆距离小刚家米． 行程：先骑1000米，返回1000米，再从家到游泳馆2000米，一共骑行米． 故答案为：2000；4000 （3）解：由图象可知： 最初速度：（米/分钟）， ∵小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆， ∴拿装备后速度为（米/分钟）． ∴从家重新出发到游泳馆用时：（分钟）． ∴（分钟）． 题型05.求自变量的取值范围 14．将一个温度计从一杯热水中取出之后，立即放入一杯凉水中，下面是用表格表示的温度计的读数与时间之间的关系． 时间/s 5 10 15 20 25 30 读数 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0 (1)上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？ (2)根据表格中的数据，大致估计时温度计的读数． 【答案】(1)温度计的读数和时间在发生变化．自变量和因变量分别是时间、温度计的读数 (2)可取 【详解】1．解：（1）温度计的读数和时间在发生变化．自变量和因变量分别是时间、温度计的读数． （2）由表格可看出：随着时间的增加，温度计的读数越来越小，因此时温度计的读数应小于；每隔，温度差分别为，即温度差越来越小，因此时的温度应大于，所以时温度计的读数应大于且小于，时的温度可取这个范围内的任意值，比如可取等． 15．渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】(1)是 (2)①4；② 【分析】本题主要考查了函数的图象、函数的概念及函数值，熟知函数的定义及正确识别所给函数图象是解题的关键． （1）根据所给函数图象，结合函数的定义进行判断即可； （2）①观察图象时多对应的h值即可解答；②利用所给函数图象即可解决问题． 【详解】（1）解：由图象可知，对于每一个变化的t，h都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h是关于t的函数． （2）解：①由图象可知：当时，， ②由图象可知：时，h随t的增大而增大． 16．已知某函数图象如图所示，请回答下列问题： (1)自变量的取值范围是 (2)函数值的取值范围是 (3)当为 时，函数值最大；当为 时，函数值最小 (4)当随的增大而增大时，的取值范围是 【答案】(1)-4≤x≤3 (2)-2≤y≤4 (3)1；-2 (4)-2≤x≤1 【分析】根据自变量的定义，函数值的定义以及函数的最值和增减性，观察函数图象分别写出即可． 【详解】（1）根据图像观察可得：自变量x的取值范围是-4≤x≤3； （2）根据图像观察可得：函数y的取值范围是-2≤y≤4； （3）根据图像观察可得：当x为1时，函数值最大；当x为-2时，函数值最小； （4）根据图像观察可得：当y随x的增大而增大时，x的取值范围是-2≤x≤1． 【点睛】本题考查了函数的性质、函数图象，熟练掌握函数自变量的定义，函数值的定义以及函数的增减性并准确识图是解题的关键． 题型06.求自变量的值或函数值 17．已知函数，当时，函数值________． 【答案】3 【分析】把代入函数解析式计算即可． 【详解】解：当时， ． 18．同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 【答案】15 【分析】将的数值代入函数关系式，解关于的方程即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将代入得， 解得， 因此它的摄氏度数是． 19．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为5时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用已知运算公式得出b的值，进而代入求出时对应的值． 【详解】解：∵输入的x的值为5时，输出的y的值为7， ∴， 解得：， 若输入x的值是2，则输出的y的值是：． 20．快递员小张某天9时离开公司去送快递，时回到公司，他离开公司的路程s与时间t的变化情况如图所示． (1)图象表示了哪两个变量之间的关系？ (2)时和时，他分别离公司多远？ (3)他可能在什么时间内休息，什么时间内吃午餐？ 【答案】(1)图象表示时间与快递员小张离开公司的路程之间的关系； (2)时他离公司；时他离公司； (3)可能在内休息；内吃午餐． 【分析】（1）根据图象的x轴和y轴即可确定表示了哪两个变量的关系； （2）由函数图像可以看出时他离公司，时他离公司； （3）如果休息，那么距离没有增加，由此就可以确定在哪段时间内休息，并吃午餐． 【详解】（1）解：图像表示了快递员小张离开公司的路程与时间这两个变量之间的关系．其中时间是自变量，离开公司的路程是因变量； （2）解：由函数图像可以看出时他离公司，时他离公司； （3）解：由图象看出和时距离没变且时间较长， 可能在内休息，内吃午餐． 题型07.函数解析式 21．大连市出租车收费标准是这样规定的：早晨5点到晚上22点，这个期间乘车不超过3千米，付车费10元，超过3千米后，按每千米2元收费，已知李老师在上午8点至9点期间，乘出租车行驶了千米，付车费y元，则y与x之间的函数表达式为________． 【答案】/ 【详解】解：由题意，得， 即y与x之间的函数表达式为． 22．如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为元，后来的结账金额为元，则与的关系式不可能为下列何者？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式的应用，分类讨论思想，根据题意，需要对第一次买的蛋糕进行讨论，和后来添加的黑樱桃蛋糕的价格进行对比，再进行解答． 【详解】解：阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，后来多买了一个50元的黑樱桃蛋糕，优惠方式为：价格最低的蛋糕免费． ①若原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格等于50元或高于50元，最后买的黑樱桃蛋糕是最便宜的，免费， ∴此时原本结账金额等于后来结账的金额，即； ②如果原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格低于50元，则这个最便宜的蛋糕就变成免费，改以黑樱桃蛋糕计费，价格发生变化． 如果原本四个蛋糕中最便宜的是40元（伯爵茶蛋糕），买了黑樱桃蛋糕后，伯爵茶蛋糕变成免费，需要付黑樱桃蛋糕，多付10元， 此时，； ③如果原本四个蛋糕中最便宜的是45元，买了黑樱桃蛋糕后，多付5元， 此时，． 故选：D． 23．李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元） 零售价/（元） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克；（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜 (2) (3)至少批发甲种蔬菜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、函数关系式、一元一次不等式的应用，熟练掌握方程组和不等式的应用是解题关键． （1）设批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设批发甲种蔬菜，则批发乙种蔬菜，根据批发甲、乙两种蔬菜共花元列出化简即可得； （3）根据全部卖完蔬菜后利润不低于元建立一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：设批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜， 由题意得：， 解得， 答：批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，则批发乙种蔬菜， ∵批发甲、乙两种蔬菜共花元， ∴， ∴． （3）解：由题意得：， 解得， 答：至少批发甲种蔬菜． 题型08.函数图象识别 24．下列图象中，表示是的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应．在图象上，这表现为作垂直于轴的直线，该直线与图象最多只能有一个交点． 【详解】解：A．作垂直于轴的直线，与图象可能有两个交点，即对于同一个值，有两个值与之对应，故不是的函数； B．作垂直于轴的直线，与图象可能有两个交点，即对于同一个值，有两个值与之对应，故不是的函数； C．作垂直于轴的直线，与图象可能有两个交点，即对于同一个值，有两个值与之对应，故不是的函数； D．对于每一个值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数． 25．下面的三个问题中都有两个变量： ①往水池中匀速注水，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，直至放完；水池中水的体积与所用时间； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园，随即从香苑公园匀速原路返回；小明离家的路程与行走时间； 在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是__________．（填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据变量与变量之间的关系结合函数图象逐项进行判断即可． 【详解】解：①往水池中匀速注水，水池中水的体积随时间均匀增大，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，水池中水的体积随时间均匀减小，直至放完，可以用图中的图象表示； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，设绳子的长度为a，则矩形的面积与一边长的关系式为：，所以此函数图象不能表示变量与变量之间的函数关系； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园时，小明离家的路程与行走时间均匀增大，从香苑公园匀速原路返回时，小明离家的路程与行走时间均匀减小，所以此函数图象能表示变量与变量之间的函数关系； 综上分析可知，在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了用图象表示函数关系，解题的关键是理解题意，弄清楚两个变量之间的关系． 26．如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先看图可知，游泳池的下部分比上部分的体积小，由此判断进水的快慢，再作出选择． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 题型09.从函数图象获取信息 27．小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图．若返回时上坡，下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是___________． 【答案】/15分钟 【分析】根据图表可计算出上坡的速度以及下坡的速度．又已知返回途中的上下坡的路程正好相反，故可计算返程总时间． 【详解】解：由图可得，上坡路程，用时， 上坡速度：， 下坡阶段：下坡路程，用时， 下坡速度：， 由题意得，从学校回家时，原来的下坡路变成上坡路，原来的上坡路变成下坡路： ∴新的上坡路程（原下坡路）：，速度为， 用时：； 新的下坡路程（原上坡路）：，速度为， 用时：， ∴返程总时间为． 28．如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示，给出以下结论：其中正确的个数是（   ） ①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟；②小亮打羽毛球的时间是30分钟； ③羽毛球馆与报亭的距离是400米；④小亮从报亭返家的速度是4千米/时． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故①正确， 羽毛球馆与报亭的距离（千米）， 千米米， 即羽毛球馆与报亭的距离是600米，故③错误， 小亮打羽毛球的时间是（分钟），故②正确； 小亮从报亭返家的速度是（千米/时），故④正确； 综上，①②④正确，共3个． 29．甲驾驶汽车和乙骑摩托车同时出发沿相同的路线由A地到B地，已知A，B两地相距90千米，如图表示甲、乙行驶的路程s（千米）与经过的时间t（分钟）之间的关系，甲在行驶途中因车辆故障停下检修，修好后，按原速度继续行驶，请根据图象回答下列问题． (1)由图象可知，汽车因故障检修用了__________分钟，在正常行驶的情况下，汽车的速度为__________千米/分钟，摩托车的速度为___________千米/分钟； (2)求甲比乙提前多久到达B地； (3)汽车检修完毕后，当甲追上乙时，求乙距离B地的路程． 【答案】(1)20；1.5；1 (2)甲比乙提前10分钟到达B地 (3)汽车检修完毕后，当甲追上乙时，乙距离B地的路程为30千米 【分析】（1）根据函数图象可直接进行求解； （2）由（1）可求出乙到达B地的时间，然后问题可求解； （3）当汽车检修完毕后，设甲用了x分钟追上了乙，由题意，得：，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可知： 汽车因故障检修用了分钟，在正常行驶的情况下，汽车的速度为千米/分钟；摩托车的速度为千米/分钟； （2）解：甲总共花费的时间：（分钟）， 乙总共花费的时间：（分钟）， （分钟）． 答：甲比乙提前10分钟到达B地； （3）解：当汽车检修完毕后，设甲用了x分钟追上了乙，由题意，得： ， 解得：， （千米）． 答：汽车检修完毕后，当甲追上乙时，乙距离B地的路程为30千米． 题型10.函数的三种表示方法 30．近期，郑渝高铁开通，中国高铁建设又迎来了一个高光时刻，若某列高铁的行驶时间（h）与行驶路程（km）的关系如表： 时间（h） 1.5 2 2.5 3 3.5 …… 行驶路程（km） 450 600 750 900 1050 …… 根据表格中两者的对应关系，若时间为4.5h，则行驶路程为 _____km． 【答案】1350 【分析】根据表中的数据求出速度，再求时间为4.5h行驶的路程. 【详解】解：高铁的行驶的速度为600÷2＝300（km/h）， 所以当时间为4.5h时，行驶的路程为300×4.5＝1350（km）． 故答案为：1350． 【点睛】本题考查了时间、速度、路程的关系，关键是理解表格中的数据. 31．某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的表示方法，“当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用”是解题的关键． 由图表可知，当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用，即可求出答案． 【详解】解：由图表可知，当行李的质量超过20千克时，每千克需要支付的费用为（元）， 则（元）． 故选：B． 32．鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； (2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； (3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】(1)11 (2)21，27 (3) 【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （2）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （3）根据表格数据和函数图象观察即可得解． 【详解】（1）解：由图可知当第11天之后，， （2）由图可知，蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性； （3）由图可知，当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，大约当第21天时，n的最大值约为， 题型11.正比例函数的定义 33．已知函数是正比例函数，则k的值为______． 【答案】1 【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴． 34．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 35．记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算，正比例函数的定义，根据为正比例函数，设，由令中即可，进一步即可得出，则，代入计算即可． 【详解】解：∵为正比例函数， ∴设， ∵， ∴只需令中即可， 即， ∴， ∴， ∴要求中，令，代入得 ∴， 故选：A． 36．若函数是关于的正比例函数，求的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴，， ∴． 题型12.正比例函数自变量的取值范围 37．函数中，自变量的取值范围是____． 【答案】且 【详解】解：根据题意，得且， 解得且． 38．函数自变量x的取值范围在数轴上表示为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件、一元一次不等式组的解集在数轴上的表示．利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件即可求得，把解集在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 把在数轴上表示为：   ， 故选：A． 39．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查建立函数的模型解决实际问题的能力．要读懂题意并根据题意列出函数关系式．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解，并会根据实际意义求函数值和自变量的取值范围． （1）根据等腰三角形周长公式即可求得y关于x的函数关系式； （2）利用三角形边长为正数和三边关系求自变量的范围； 【详解】（1）解：根据三角形周长公式可知：， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， 解得：． 题型13.正比例函数的图象 40．在平面直角坐标系中，与点在同一个正比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，关键是先求出过已知点的正比例函数解析式，再将选项中的点代入解析式验证是否满足． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， ∵点在该函数图象上， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为． 选项A：将代入，得，故点不在该函数图象上； 选项B：将代入，得，故点不在该函数图象上； 选项C：将代入，得，故点不在该函数图象上； 选项D：将代入，得，与点的纵坐标一致，故点在该函数图象上； 故选：D． 41．如图，已知正比例函数经过点P，若，则y的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质已经函数增减性的判断，属于基础题． 先根据正比例函数的性质求出函数表达式，再结合的取值范围求出的取值范围． 【详解】解：正比例函数的表达式为， 因为正比例函数经过点， 将点代入中，可得：， 解得， 所以，正比例函数的表达式为， 已知，因为， 所以随的增大而减小． 当时，； 当时，． 所以当时，． 故答案为：． 42．如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点的坐标是解题关键．先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，顶点的坐标为， ∴， 又∵直角三角形的两直角边与轴平行，且， ∴， 设这个正比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得， 则这个正比例函数的表达式为， 故选：A． 题型14.用描点法画函数图象 43．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 44．变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可． 【详解】解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为， 把x＝﹣5代入得，． 故选择：B． 【点睛】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题关键． 45．描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．小桥用该方法对函数的图象与性质进行了探究．下面是小桥的探究过程，请补充完成： (1)函数的自变量的取值范围是______． (2)下表为与的几组对应值： 1 2 3 4 5 … 0 1 1.41 1.73 2 … 在所给的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)已知点是函数图象上的点，当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象利用数形结合求解是解答此题的关键． （1）根据二次根式的性质即可得出结论； （2）在坐标系内描出各点，再用平滑的曲线顺次连接即可； （3）根据函数图象上的点与函数解析式的关系即可得出结论． 【详解】（1）解：根据函数可知， ， 故答案为：； （2）解：根据描点法画出函数图像，如图： （3）点是函数图象上的点， 当， 根据函数， ， ， ， 故的取值范围为． 题型15.正比例函数的性质 46．已知正比例函数的图象经过第二、四象限，写出一个符合条件的k的整数值：______． 【答案】（答案不唯一，k的值为负整数即可） 【详解】解：已知正比例函数的图象经过第二、四象限， ， 则k的整数值为（答案不唯一，k的值为负整数即可）． 47．我们把弹簧所受的拉力与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：作出辅助线，如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，值越大， ∴观察图象，弹性系数最大的是甲． 48．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为______（用“”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，由正比例函数的图象可得，，，，据此即可求解，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数经过二四象限，正比例函数③经过一三象限， ∴，，， ∵正比例函数比正比例函数更接近轴， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06变量与函数及正比例函数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.分清常量与变量，理解自变量、因变量、函数的基本含义 2.掌握函数三种表示方法：解析式法、列表法、图像法 3.会确定函数自变量的取值范围，读懂函数图像信息 4.熟记正比例函数定义、解析式、图像形状与基本性质 5.掌握正比例函数系数取值对图像增减、位置的影响规律 1.能实际情境中辨别变量与常量，判断两个量是否构成函数关系 2.依据条件列简单函数关系式，准确求解自变量取值范围 3.熟练绘制正比例函数图像，根据图像分析函数变化趋势 4.运用正比例函数性质计算、求值，解决简单实际应用问题 5.建立数形结合思维，实现解析式与函数图像相互转化 1.轻松拿下概念辨析类选择填空题，杜绝基础失分 2.规范列出函数表达式，正确限定自变量取值范围 3.熟练运用正比例函数性质解题，计算准确无误 4.看懂函数图像题意，顺利解答图像分析与实际应用题 题型01.函数的概念 题型02.用表格表示变量间的关系 题型03.用关系式表示变量间的关系. 题型04.用图象表示变量间的关系 题型05.求自变量的取值范围 题型06.求自变量的值或函数值 题型07.函数解析式 题型08.函数图象识别 题型09.从函数图象获取信息 题型10.函数的三种表示方法 题型11.正比例函数的定义 题型12.正比例函数自变量的取值范围 题型13.正比例函数的图象 题型14.用描点法画函数图象 题型15.正比例函数的性质 知识点01:常量与变量 常量：在一个变化过程中，数值始终保持不变的量。 变量：在一个变化过程中，数值可以发生变化的量。 函数：一个自变量x取任意确定值，因变量y都有唯一对应值，y就是x的函数 区分关键：看数量在问题情境中是否会随条件改变而变化。 知识点02:自变量与因变量 自变量：主动发生变化、自主改变的量。 因变量：随着自变量的变化而随之变化的量。 关系：因变量依赖自变量而变化，二者成对出现。 知识点03:函数的概念 1.定义：在某个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，对于 x 在允许取值范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 y 是 x 的函数。 2.核心判定要点： 有两个相关联的变量； 自变量每取一个确定值，函数值只能有唯一一个。 知识点04:函数的三种表示方法 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 关键：三种方法可相互转化，根据题目需求灵活选用。 知识点05:自变量的取值范围（必考） 整式型（如y=2x+1）：全体实数 分式型（如y=）：分母≠0 二次根式型（如y=，）：被开方数≥0 组合型（如y=）：取各条件的公共解（交集） 实际问题：符合实际意义（如时间、数量≥0） 知识点06:函数值 定义：当自变量取一个确定数值时，代入关系式计算得到的对应y的值，叫做函数值。 求法：将自变量的值代入函数解析式，通过计算求出结果。 知识点07:正比例函数的概念 一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成y=kx（k是常数，且k0）的形式，这个函数叫做正比例函数。 关键特征：自变量x的次数为 1，不含常数项，不含分式、二次根式等复杂形式；比例系数k不能为 0。 取值范围：若无特殊说明，自变量x取值为全体实数 知识点08:正比例函数的图像 正比例函数y=kx(k0)的图像是经过坐标原点(0,0)的一条直线。 图像绘制方法：两点作图法，选取原点(0,0)和点(1,k)，连接两点并延伸，即可画出函数直线。 左图一次函数 右图正比例函数 一句话区分：正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数 知识点09:正比例函数的图像性质 当k＞0时：函数图像经过第一、第三象限；y的值随x的增大而增大。 当k＜0时：函数图像经过第二、第四象限；y的值随x的增大而减小。 知识点10:正比例函数解析式求解 方法：待定系数法，为本节核心考点。 解题步骤： 1 设出正比例函数解析式y=kx(k0)； ② 将已知图像上点的坐标代入解析式； ③ 解方程求出比例系数k的值； ④ 带回式子，写出完整函数解析式。 知识点11:函数图象的画法（三步） 1.描点法作图 从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 题型01.函数的概念 1．下列图象中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，①；②；③；④；⑤；y是x的函数的有________．（只填序号） 3．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（  ） A．圆的面积公式 中，是的函数 B．同一物质，物体的体积是质量的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式 中是的函数 题型02.用表格表示变量间的关系 4．如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在加油的过程中，下列说法正确的是（    ） 金额/元 303.89 加油量/L 36.79 单价/元 8.26 A．金额是常量 B．加油量是常量 C．单价是常量 D．单价是变量 5．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表： 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … 则放水时，水池中有水______． 6．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 7．已知二元一次方程． x … 0 1 2 … y … … (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图象上有一点，求m的值． 题型03.用关系式表示变量间的关系 8．要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为长方形的面积；变量为长，宽 B．常量为长方形的面积、宽为，变量为长 C．常量为长方形的面积、长为，变量为 D．常量为长、宽，变量为长方形的面积 9．如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 10．张叔叔从批发商手里批发甲、乙两种蔬菜，然后拿到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价（元/千克） 4.8 4 零售价（元/千克） 7.2 5.6 (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共40千克花180元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？ (2)若他用m元批发甲、乙两种蔬菜共80千克，设批发甲种蔬菜n千克，求m与n的关系式： (3)一天若他批发甲、乙两种蔬菜各40千克，由于行情原因，他想将两种蔬菜在零售价的基础上都打折出售，其中甲种蔬菜以八五折出售，要想卖完全部蔬菜后保证利润率不低于，求乙种蔬菜至少可打几折（结果精确到0.01）． 题型04.用图象表示变量间的关系 11．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道（1）这是一次 ________ 米赛跑；（2）甲、乙谁跑得快 _____ ；（3）乙在这次赛跑中的速度为 _____ 米/秒． 12．为了研究某种降糖药物，实验人员将药物注射到血糖较高的实验鼠中观察其血糖的变化．如图是某只实验鼠一段时间内的血糖浓度与时间之间的关系，下列说法错误的是（   ） A．时间是自变量，血糖浓度是因变量 B．该实验鼠在9时—10时血糖浓度下降 C．该实验鼠在9时—13时的血糖浓度在4.2 mmol/L有5个时刻 D．在9时，该实验鼠血糖浓度达到最大 13．星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)该情境中的自变量和因变量分别是______，______； (2)游泳馆距离小刚家______米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了______米； (3)为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间． 题型05.求自变量的取值范围 14．将一个温度计从一杯热水中取出之后，立即放入一杯凉水中，下面是用表格表示的温度计的读数与时间之间的关系． 时间/s 5 10 15 20 25 30 读数 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0 (1)上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？ (2)根据表格中的数据，大致估计时温度计的读数． 15．渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 16．已知某函数图象如图所示，请回答下列问题： (1)自变量的取值范围是 (2)函数值的取值范围是 (3)当为 时，函数值最大；当为 时，函数值最小 (4)当随的增大而增大时，的取值范围是 题型06.求自变量的值或函数值 17．已知函数，当时，函数值________． 18．同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 19．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为5时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（    ） A．0 B． C． D． 20．快递员小张某天9时离开公司去送快递，时回到公司，他离开公司的路程s与时间t的变化情况如图所示． (1)图象表示了哪两个变量之间的关系？ (2)时和时，他分别离公司多远？ (3)他可能在什么时间内休息，什么时间内吃午餐？ 题型07.函数解析式 21．大连市出租车收费标准是这样规定的：早晨5点到晚上22点，这个期间乘车不超过3千米，付车费10元，超过3千米后，按每千米2元收费，已知李老师在上午8点至9点期间，乘出租车行驶了千米，付车费y元，则y与x之间的函数表达式为________． 22．如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为元，后来的结账金额为元，则与的关系式不可能为下列何者？（　　） A． B． C． D． 23．李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元） 零售价/（元） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克；（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 题型08.函数图象识别 24．下列图象中，表示是的函数的是（） A． B． C． D． 25．下面的三个问题中都有两个变量： ①往水池中匀速注水，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，直至放完；水池中水的体积与所用时间； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园，随即从香苑公园匀速原路返回；小明离家的路程与行走时间； 在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是__________．（填写序号） 26．如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（ ） A． B． C． D． 题型09.从函数图象获取信息 27．小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图．若返回时上坡，下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是___________． 28．如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示，给出以下结论：其中正确的个数是（   ） ①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟；②小亮打羽毛球的时间是30分钟； ③羽毛球馆与报亭的距离是400米；④小亮从报亭返家的速度是4千米/时． A．1 B．2 C．3 D．4 29．甲驾驶汽车和乙骑摩托车同时出发沿相同的路线由A地到B地，已知A，B两地相距90千米，如图表示甲、乙行驶的路程s（千米）与经过的时间t（分钟）之间的关系，甲在行驶途中因车辆故障停下检修，修好后，按原速度继续行驶，请根据图象回答下列问题． (1)由图象可知，汽车因故障检修用了__________分钟，在正常行驶的情况下，汽车的速度为__________千米/分钟，摩托车的速度为___________千米/分钟； (2)求甲比乙提前多久到达B地； (3)汽车检修完毕后，当甲追上乙时，求乙距离B地的路程． 题型10.函数的三种表示方法 30．近期，郑渝高铁开通，中国高铁建设又迎来了一个高光时刻，若某列高铁的行驶时间（h）与行驶路程（km）的关系如表： 时间（h） 1.5 2 2.5 3 3.5 …… 行驶路程（km） 450 600 750 900 1050 …… 根据表格中两者的对应关系，若时间为4.5h，则行驶路程为 _____km． 31．某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 32．鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； (2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； (3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 题型11.正比例函数的定义 33．已知函数是正比例函数，则k的值为______． 34．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 35．记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 36．若函数是关于的正比例函数，求的值． 题型12.正比例函数自变量的取值范围 37．函数中，自变量的取值范围是____． 38．函数自变量x的取值范围在数轴上表示为（   ） A．   B．   C．   D．   39．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 题型13.正比例函数的图象 40．在平面直角坐标系中，与点在同一个正比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 41．如图，已知正比例函数经过点P，若，则y的取值范围是_________． 42．如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 题型14.用描点法画函数图象 43．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 44．变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 45．描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．小桥用该方法对函数的图象与性质进行了探究．下面是小桥的探究过程，请补充完成： (1)函数的自变量的取值范围是______． (2)下表为与的几组对应值： 1 2 3 4 5 … 0 1 1.41 1.73 2 … 在所给的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)已知点是函数图象上的点，当时，求的取值范围． 题型15.正比例函数的性质 46．已知正比例函数的图象经过第二、四象限，写出一个符合条件的k的整数值：______． 47．我们把弹簧所受的拉力与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 48．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为______（用“”符号连接） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $