4.2.1均匀变化（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“均匀变化”核心知识点，涵盖定义、数值与图象特征、变化速率及与一次函数的联系。课堂通过时钟计时、水龙头滴漏、香燃烧等生活情境导入，引导学生从实例观察到数据记录、描点分析，逐步抽象出概念，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例为载体，通过实验探究和数据分析，培养学生数学眼光（观察现实世界变化规律）、数学思维（推理变化速率与函数关系）、数学语言（用表格、图象、关系式表达变量关系）。如水龙头滴漏实验让学生记录数据并建立V=5.5t关系式，香燃烧问题分析均匀递减，结合基础与综合应用题巩固。学生能提升探究与应用能力，教师可借助丰富实例和分层练习优化教学。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 4.2.1均匀变化 第四章 一次函数 北师大版八年级上册4.2.1 均匀变化 练习题 【核心知识点回顾】 1. 均匀变化的定义 在一个变化过程中，自变量每增加（或减少）一个固定的值，因变量随之增加（或减少）一个固定的值，这种变化规律叫做均匀变化。均匀变化是一次函数的核心特征，变化过程匀速、稳定，无快慢波动。 2. 均匀变化的两大特征 （1）数值特征：自变量变化量相等，对应因变量变化量也相等，变化差值恒定；（2）图象特征：均匀变化的变量关系图象是一条直线（或直线上的部分线段）。 3. 变化速率（变化量） 变化速率 = 因变量变化量 ÷ 自变量变化量，均匀变化中，变化速率是固定不变的常数，正数表示递增，负数表示递减。 4. 均匀变化与非均匀变化区别 均匀变化：变化速度恒定，图象为直线；非均匀变化：变化速度忽快忽慢，图象为曲线或折线。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列变化属于均匀变化的是（） A. 自由下落小球的速度变化 B. 匀速行驶汽车的路程变化 C. 水温自然降温 D. 植物生长速度变化 2. 均匀变化的变量关系图象是（） A. 曲线 B. 折线 C. 直线 D. 波浪线 3. 若变量呈均匀变化，则变化速率（） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 固定不变 D. 随机变化 4. 自变量每增加2，因变量固定增加3，则该变化是（） A. 均匀递增 B. 均匀递减 C. 非均匀变化 D. 无法判断 5. 下列数据变化不属于均匀变化的是（） A. 1，3，5，7，9 B. 2，5，8，11，14 C. 1，2，4，7，11 D. 10，8，6，4，2 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 均匀变化的核心特点是________恒定不变。 2. 均匀变化对应的函数图象是________。 3. 自变量均匀增加，因变量均匀减少，属于________变化。 4. 数据2、4、6、8、10中，自变量每增加1，因变量增加________。 5. 均匀变化是________函数的基本特征。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）判断下列两组数据是否为均匀变化，说明理由。 （1）x：1、2、3、4，y：3、6、9、12 （2）x：1、2、3、4，y：2、4、7、11 2.（20分）已知某变量均匀变化，自变量每增加1，因变量减少2，当x=0时，y=5，写出x=1、x=2、x=3对应的y值。 3.（20分）简述均匀变化的数值特征和图象特征，并举例说明生活中的均匀变化现象。 ### 参考答案与解析 选择题答案：1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 填空题答案：1.变化速率 2.直线 3.均匀递减 4.2 5.一次 解答题解析 1. 解：（1）是均匀变化。自变量每增加1，因变量固定增加3，变化量恒定；（2）不是均匀变化。自变量每增加1，因变量变化量依次为2、3、4，变化速率不固定。 2. 解：该变化为均匀递减变化，变化速率为-2。x=1时，y=5-2=3；x=2时，y=3-2=1；x=3时，y=1-2=-1。 3. 解：数值特征：自变量均匀变化，因变量变化量固定，速率恒定；图象特征：变量关系图象为直线。举例：匀速骑行的路程随时间的变化、固定单价商品的总价随数量的变化。 ### 易错知识总结 1. 均匀变化关键看变化量是否恒定，而非数值大小；2. 均匀变化包含均匀递增和均匀递减两种情况；3. 只要图象是直线，一定是均匀变化，曲线一定是非均匀变化；4. 切勿将数值递增直接判定为均匀变化，需验证每次变化差值是否一致。 通过阅读课本，理解一次函数和正比例函数的概念以及它们的联系； 通过对问题的研究，体会建立数学模型的思想；经历利用一次函数解决实际问题的过程 通过一次函数和正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数学是由于人们的需要而产生的，与实际生活密切相关． 情境导入 生活中，我们经常见到各种各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min；旋转两圈，表示时间过了2min,而分针每旋转一圈，表示时间过去了一小时。那么，秒针走过的圈数或分针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？ 一级标题：黑体， 3 知识点1 均匀变化 思考 (1) 将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯.每隔1min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表.在坐标纸上描出(t，V)对应的点.你认为漏水量的变化具有什么规律?请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少? 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL … 知识点1 均匀变化 思考 (2) 下表是小明通过实验得到的数据.请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出(t，V)对应的点，并据此估计：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少?一年呢?够一个人一年使用吗? 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … 知识点1 均匀变化 漏水量V/mL 时间t/min Y 值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.5 11 16.5 22 27.5 33 38.5 44 49.5 55 知识点1 均匀变化 根据表格中的数据易知， 小明实验用的水量大约是5.5×60×24 =7 920(mL)， 一年的漏水量大约是7 920×365 =2 890 800(mL)=2 890.8(L). 城镇一年人均用水量是207×365=75 555(L)， 农村一年人均用水量是100×365 =36 500(L). 因为2 890.8<36 500<75 555，所以不够一个人一年使用. 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … 知识点1 均匀变化 思考 (3) 分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量V与时间t之间的关系式吗? 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … V=5.5t. 分享各组的实验结果，并交流下列问题： (1) 比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处? 知识点1 均匀变化 共同之处是随着时间的增加，实验中的水龙头漏水量也在增加； 不同之处是实验用的水龙头不同，每分钟的漏水量也不同. (2) 引起各组数据不一致的因素有哪些?这些因素的差别对表格、图象和关系式的影响分别体现在哪些方面? 知识点1 均匀变化 引起各组数据不同的因素有很多，比如测量的误差、水龙头的选取等. 这些因素的差别会导致表格中的数据有变化，图象波动变化有差异，函数的表达式也不同. (3) 假如水龙头漏水严重一些，表格、图象和关系式可能会发生什么变化? 知识点1 均匀变化 假如漏水严重一些，会导致表格中每分钟漏水量增加，图象中整体变化趋势更陡一些，表达式中自变量的系数也变大. 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： (1) 根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出(t，l)对应的点. 知识点1 均匀变化 燃烧时间t/min 1 2 3 4 5 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 (1) 在平面直角坐标系中描出(t，l)对应的点,如图. 知识点1 均匀变化 (2) 估计燃烧10min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由. 知识点1 均匀变化 燃烧时间t/min 1 2 3 4 5 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 (2) 17.9cm. 理由如下：由表格中的数据易知每分钟燃烧0.5cm， 燃烧1min后这根香可燃烧部分为22.4 cm， 所以香原长为 22.4+0.5=22.9(cm)， 所以燃烧10min后，可燃烧部分的长度为22.9-0.5×10=17.9(cm). (3) 估计这根香可燃烧的时间，并说明理由. 知识点1 均匀变化 燃烧时间t/min 1 2 3 4 5 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 (3) 45.8min. 理由如下：因为这根香原长22.9cm， 每分钟燃烧0.5cm，所以共可燃烧22.9÷0.5=45.8(min). (4) 试写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t之间的关系式. 知识点1 均匀变化 燃烧时间t/min 1 2 3 4 5 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 (4) l=22.9-0.5t(0≤t≤45.8). 在小颖的实验中，燃烧时间每增加1min，香可燃烧部分的长度就减少0.5cm.也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少.为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢? 知识点1 均匀变化 所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的. 知识点1 均匀变化 因为香的质地和粗细都是相同的，所以在燃烧时间相同的情况下，燃烧掉的部分也是相同的. 知识点“均匀”变化 1. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水已成为全球的共识.据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出60滴水，每滴水约0.05毫升.小康洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头按测试的速度滴水.设小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，则y与x之间的关系式是(　　) A.y＝0.05x　　 B.y＝3x C.y＝60x　　 D.y＝0.05x＋60 返回 B 基础提优题 2.如图是一款上下细中间粗的水杯，水杯中装有一定量的水，然后往水杯中放入大小相同的骰子.随着放入骰子数量的增加，水杯中的水面会升高，这样的升高　　　　(填“是”或“不是”)“均匀”变化的. 返回 不是 基础提优题 3.已知用于爆破工程的炸药包的导火线长100 cm，正常情况下，导火线每秒燃烧4 cm. (1)导火线燃烧时剩余的长度l(单位：cm)与燃烧时间t(单位：s)之间的函数关系式是　　　　　　　　　　； (2)点燃导火线　　s后爆炸，自变量t的取值范围是　　　　　　　　； 返回 l＝100－4t 25 0≤t≤25 基础提优题 (3)填表(注意首尾两点的选取)： 返回 t/s 0 5 10 15 20 25 l/cm             100 80 60 40 20 0 基础提优题 (4)根据上表中的对应值在如图所示的坐标系中画出这个函数的图象； 返回 【解】根据表格中的对应值画出函数图象如图. 基础提优题 (5)由图象可知：点燃导火线12.5 s时，导火线还剩　　　　cm. 返回 50 基础提优题 4.弹簧挂重物后会伸长，弹簧长度(最长为20 cm)y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)的部分对应值如下表： 下列说法不正确的是(　　) A.x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B.所挂物体为6 kg时，弹簧长度为11 cm C.物体每增加1 kg，弹簧长度就增加0.5 cm D.挂30 kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15 cm 返回 x/kg 0 1 2 3 4 … y/cm 8 8.5 9 9.5 10 … D 综合应用题 5. ［2026合肥四十五中期中］数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度v(单位：m/s)和气温t(单位：℃)的变化存在如下的关系： 返回 气温t/℃ －20 －10 0 10 20 30 声音在空气中的 传播速度v/(m/s) 319 325 331 337 343 349 综合应用题 阅读上述材料，回答下列问题： (1)从表中数据可知，气温每升高1 ℃，声音在空气中传播的速度提高了多少？ 返回 气温t/℃ －20 －10 0 10 20 30 声音在空气中的 传播速度v/(m/s) 319 325 331 337 343 349 综合应用题 【解】从题表中数据可知，气温每升高10 ℃，声音在空气中传播的速度提高了6 m/s，所以气温每升高1 ℃，声音在空气中传播的速度提高了0.6 m/s. 返回 气温t/℃ －20 －10 0 10 20 30 声音在空气中的 传播速度v/(m/s) 319 325 331 337 343 349 综合应用题 (2)用含t的代数式表示v. 返回 气温t/℃ －20 －10 0 10 20 30 声音在空气中的 传播速度v/(m/s) 319 325 331 337 343 349 【解】因为气温每升高1 ℃，声音在空气中传播的速度提高了0.6 m/s，且当t＝0时，v＝331，所以v＝331＋0.6t. 综合应用题 (3)某日的气温为15 ℃，小莹同学看到烟花燃放后5 s才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距多远？ 返回 气温t/℃ －20 －10 0 10 20 30 声音在空气中的 传播速度v/(m/s) 319 325 331 337 343 349 【解】当t＝15时，v＝331＋0.6×15＝340，340×5＝1 700(m)， 所以小莹同学与燃放烟花所在地大约相距1 700 m. 综合应用题 均匀变化 一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的 课堂小结 $