2026年山东青岛中考数学二轮复习解答题-几何证明

**基本信息** 聚焦特殊四边形判定与全等证明，以题链形式构建从平行四边形到菱形、矩形的递进逻辑，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊四边形判定|15题|补充条件证菱形/矩形/正方形|从平行四边形性质出发，通过边、角、对角线关系深化判定| |全等三角形证明|10题|含中点/角平分线/延长线条件的全等|以全等为工具，支撑四边形性质推导，形成“性质-判定-应用”闭环|

解答题专题-几何证明（答案） 1．如图，点E、F分别在▱ABCD的边BC、AD上，连接AE、CF，AE∥CF，连接AC、EF相交于点O，请你从以下三个选项：①AE＝CE；②OA＝OC；③AC⊥EF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形AECF是菱形． （1）你选择的补充条件是 　①（或③）答案不唯一　 ；（填序号） （2）根据你选择的补充条件，写出四边形AECF是菱形的证明过程． 【分析】（1）添加合适的条件即可； （2）证四边形AECF是平行四边形，再由一组临边相等的平行四边形是菱形，或对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【解答】解：（1）补充条件①或③皆可，（答案不唯一）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥CE． ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 补充条件①：∵四边形ABCD是平行四边形，AE＝CE， ∴四边形AECF是菱形． 补充条件③：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 2．如图，平行四边形ABCD，延长CD至E，延长AB至F，使DE＝BF，连接AE、CF． （1）证明：△ADE≌△CBF； （2）若D是CE中点，AD平分∠EAF，则边AB与BC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？证明你的结论． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，可证∠ADE＝∠CBF，然后通过SAS证△ADE≌△CBF即可； （2）证明四边形AECF为平行四边形，根据勾股定理的逆定理进而证得∠AED＝90°，由矩形的判定可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）解：满足BCAB，四边形AECF是矩形． 证明：∵△ADE≌△CBF， ∴DE＝BF， 又∵D为CE的中点， ∴DE＝CD＝AB＝BF， ∴CE＝AF， 又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CE∥AF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵AD平分∠EAF， ∴∠EAD＝∠BAD， 又∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE， ∵四边形ABCD 是平行四边形，BCAB， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∵ADCD，CD＝DE， ∴ADED， ∴AE2+DE2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．如图，矩形ABCD，延长BA至点E，使AE＝AB，EC与AD交于点O，点F、G在直线AD上（F，A，D，G依次排列），连接FC、EG，FC＝EG． （1）求证：AF＝DG； （2）若∠AEF＝30°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形EFCG为矩形？请说明理由． 【分析】（1）先根据矩形的性质证明AE＝CD，∠ADC＝∠EAG＝90°，从而证明Rt△EAG≌Rt△CDF，得到DF＝AG，进而求出答案即可； （2）根据（1）中所证条件证明Rt△AFE≌Rt△DGC，求出∠DCG＝∠AFM＝30°，设AM＝x，则FM＝2x，在Rt△AFM和Rt△AEF中，由勾股定理求出AF，EF，AE，再根据平行线分线段成比例定理求出AB和BC，从而求出答案即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠BAC＝∠ADC＝∠EAG＝90°， ∵AE＝AB， ∴AE＝CD， 在Rt△EAG和Rt△CDF中， ， ∴Rt△EAG≌Rt△CDF（HL）， ∴DF＝AG， ∴DF﹣AD＝AG﹣AD，即AF＝DG； （2）解：由（1）可知：∠BAD＝∠ADC＝90°，AF＝DG， ∴∠FAE＝∠GDC＝90°， 在Rt△AFE和Rt△DGC中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△DGC（SAS）， ∴∠AEF＝∠DCG＝30°， ∵四边形EFCG为矩形， ∴∠FCG＝90°， ∴∠FCD＝∠FCG﹣∠DCG＝90°﹣30°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠AMF＝∠FCD＝60°， ∴∠AFM＝30°， 设AM＝x，则FM＝2x， 在Rt△AFM中，由勾股定理得： ， 在Rt△AEF中， ∵∠AEF＝30°， ∴EF， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：， ∴AB＝AE＝CD＝3x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴， ， ， ∴， ∴，即． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是正确识别图形，熟练应用矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质． 4．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE，CF．请添加一个条件，使四边形AECF为菱形．（不需要说明理由） 【分析】（1）利用平行可知两组对应的内错角相等，即可证明全等； （2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，AO＝CO， ∴∠FAO＝∠ECO，∠AFO＝∠CEO， 在△AOF与△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）； （2）解：如图，添加EF⊥AC， 理由：∵△AOF≌△COE； ∴OF＝OE， ∵AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF为菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定方法是解题关键． 5．如图，AD是△ABC的中线，过点D作AB的平行线交AC于点E，O是AD的中点，连接EO并延长，交AB于点F，连接DF． （1）求证：OE＝OF； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为菱形？写出你的猜想并证明． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADE＝∠DAF，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论； （2）根据平行四边形的判定定理得到四边形AEDF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠FAD＝∠ADE，求得AE＝DE，根据菱形的判定定理得到结论． 【解答】（1）证明：∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠DAF， ∵O是AD的中点， ∴AO＝DO， 在△AOF与△DOE中， ， ∴△AOF≌△DOE（ASA）， ∴OE＝OF； （2）解：当AB＝AC时，四边形AEDF为菱形， 证明：∵AO＝DO，OE＝OF， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AB∥DE， ∴∠FAD＝∠ADE， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴四边形AEDF为菱形． 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AD上，点F在AD延长线上，且BE∥CF． （1）求证：四边形BECF是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由． 【分析】（1）由已知条件，据AAS证得△CFD≌△BED，则可证得CF＝BE，继而证得四边形BECF是平行四边形； （2）由AB＝AC，BD＝CD，得到FE⊥BC，然后根据菱形的判定，可得四边形BECF是菱形． 【解答】（1）证明：在△ABC中，D是BC边的中点， ∴BD＝CD， ∵CF∥BE， ∴∠CFD＝∠BED， 在△CFD和△BED中， ， ∴△CFD≌△BED（AAS）， ∴CF＝BE， ∴四边形BFCE是平行四边形； （2）解：满足条件AB＝AC时四边形BECF为菱形． 理由：若AB＝AC时，△ABC为等腰三角形， ∵AD为中线， ∴AD⊥BC， 即FE⊥BC， ∴平行四边形BECF为菱形． 【点评】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值． 【分析】（1）判定△ABE≌△CDF（AAS），推出AB＝CD，而AB∥CD，即可证明四边形ABCD是平行四边形； （2）判定△AOB是等边三角形，得到AO＝BO，∠BAO＝60°，由平行四边形的性质推出AC＝2AO，BD＝2OB，得到AC＝BD，即可证明四边形ABCD是矩形，由锐角的正切定义得到tan∠BAC． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：当∠ABE等于30度时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵AB＝BO，BE⊥AO， ∴∠ABO＝2∠ABE＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝BO，∠BAO＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴tan∠BAC＝tan60°． 【点评】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形当判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是判定△ABE≌△CDF（AAS），推出AB＝CD；判定△AOB是等边三角形，得到AO＝BO，由平行四边形的性质推出AC＝BD，由锐角的正切得到tan∠BAC． 8．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接EF．若EF＝AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，证出∠BAE＝∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出AE∥FC，GE＝FH，即可证出四边形四边形FGEH是矩形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF， ∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F， ∴∠BAE＝∠DAE∠BAD，∠BCF＝∠DCF∠DCB， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△BAE和△DCF中， ， ∴△BAE≌△DCF（ASA）． （2）证明：∵△BAE≌△DCF， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC， ∴∠AEB＝∠BCF， ∴AE∥CF， ∵点G、H分别为AE、CF的中点， ∴GE∥FH，GE＝FH， ∴四边形FGEH是平行四边形 ∵EF＝AF，G为AE的中点， ∴GF⊥AE， ∴四边形FGEH是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）连接AE，CF，已知 　①　 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论． 条件①：∠ABD＝30°； 条件②：AB＝BC． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【分析】（1）由等式的性质得BF＝DE，由平行线的性质得∠ABF＝∠CDE，从而利用AAS证明△ABF≌△CDE； （2）若选择①，由（1）可说明AF∥CE，则四边形AECF是平行四边形，由直角三角形斜边上中线的性质得AE，利用含30°角的直角三角形的性质得AF，则AE＝AF，从而▱AECF是菱形；若选择②连接AC交BD于点O，同理可得四边形AECF是平行四边形，利用等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即EF⊥AC，从而证明结论． 【解答】（1）证明：∵BE＝FD， ∴BE+EF＝FD+EF， ∴BF＝DE， ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CDE， 在△ABF和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE（AAS）； （2）解：若选择条件①： 四边形AECF是菱形，理由如下： 由（1）得，△ABF≌△CDE， ∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAF＝90°，BE＝EF， ∴AE， ∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°， ∴AF， ∴AE＝AF， ∴▱AECF是菱形； 若选择条件②： 四边形AECF是菱形，理由如下： 连接AC交BD于点O， 由①得：△ABF≌△CDE， ∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AO＝CO， ∵AB＝BC， ∴BO⊥AC， 即EF⊥AC， ∴▱AECF是菱形． 故答案为：①（答案不唯一）． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 10．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可； （2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DFE＝∠CBE， ∵E为CD边的中点， ∴DE＝CE， 在△BCE和△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（AAS）； （2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠AFB＝∠FBC， 由（1）得：△BCE≌△FDE， ∴BC＝FD，BE＝FE， ∴FD＝AD， ∵GD＝DE， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵BF平分∠ABC， ∴∠FBC＝∠ABF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AF＝AB， ∵BE＝FE， ∴AE⊥FE， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFG是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△BCE≌△FDE是解题的关键． 11．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，AD∥BC，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立； （2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形， 理由：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC⊥EF， ∵DE＝BF， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形． 【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG＝CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BEOB，DFOD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC＝2OA，AC＝2AB， ∴AB＝OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG＝90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， 由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∵EG＝AE， ∴EG＝CF， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB＝AF； （2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题； （2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFC＝∠DCG， ∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD， ∴△AGF≌△DGC， ∴AF＝CD， ∴AB＝AF． （2）解：结论：四边形ACDF是矩形． 理由：∵AF＝CD，AF∥CD， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD＝120°， ∴∠FAG＝60°， ∵AB＝AG＝AF， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG＝GF， ∵△AGF≌△DGC， ∴FG＝CG，∵AG＝GD， ∴AD＝CF， ∴四边形ACDF是矩形． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由． 【分析】（1）由菱形的性质得出∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，由已知和三角形中位线定理证出AE＝BE＝DF＝AF，OFDC，OEBC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可； （2）由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO＝90°，四边形AEOF是正方形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD， ∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点， ∴AE＝BE＝DF＝AF，OFDC，OEBC，OE∥BC， 在△BCE和△DCF中，， ∴△BCE≌△DCF（SAS）； （2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下： 由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF， ∴四边形AEOF是菱形， ∵AB⊥BC，OE∥BC， ∴OE⊥AB， ∴∠AEO＝90°， ∴四边形AEOF是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键． 15．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出DE＝BF，得出四边形BEDF是平行四边形，得出OB＝OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵DG＝BG， ∴EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出四边形BEDF是平行四边形是解决问题（2）的关键． 16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 【分析】（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE； （2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC＝DE＝AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB＝DE． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACD， ∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠ACD， ∴∠B＝∠EAC， ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∵CE⊥AE， ∴∠ADC＝∠CEA＝90° 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）AB＝DE，AB∥DE，如图所示， 方法一、∵AD⊥BC，AE∥BC， ∴AD⊥AE， 又∵CE⊥AE， ∴四边形ADCE是矩形， ∴AC＝DE， ∵AB＝AC， ∴AB＝DE． ∵AB＝AC， ∴BD＝DC， ∵四边形ADCE是矩形， ∴AE∥CD，AE＝DC， ∴AE∥BD，AE＝BD， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥DE且AB＝DE． 方法二、∵△ABD≌△CAE， ∴AE＝BD， 又∵AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥DE且AB＝DE． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，难度不大，比较灵活． 17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形． 【分析】（1）根据已知条件证明AE＝CF，从而根据SAS可证明两三角形全等； （2）先证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠DAE＝∠C， ∵点E、F分别是AB、CD的中点， ∴AEAB，CFCD， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CBF中， ∵， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG， ∴四边形AGBD是矩形， ∴∠ADB＝90°， ∵DF∥BE，DF＝BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， 在Rt△ADB中， ∵E为AB的中点， ∴BE＝DE， ∴四边形DEBF是菱形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，难度适中． 18．如图，已知平行四边形ABCD中AB＝3，AC⊥AB，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，与BD交于点G，连接DF． （1）求证：四边形ACDF是矩形． （2）若平行四边形ABCD的面积是18，求CG的长． 【分析】（1）先证明△AEF≌△DEC（ASA），则AF＝CD，可证四边形ACDF是平行四边形，根据∠CAF＝90°，结论得证； （2）如图，由S平行四边形ABCD＝AB×AC＝18，AB＝3，可得AC＝6，则，证明△ABO是等腰直角三角形，则△BDF是等腰直角三角形，即BF＝FD＝AC＝6，CD＝AF＝BF﹣AB＝3，在Rt△ACF中，由勾股定理求CF的值，证明△CDG∽△FBG，则，即，计算求解即可． 【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD， ∴AF∥CD， ∴∠FAE＝∠CDE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ∵， ∴△AEF≌△DEC（ASA）， ∴AF＝CD， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵AC⊥AB， ∴∠CAF＝90°， ∴四边形ACDF是矩形； （2）如图， ∵S平行四边形ABCD＝AB×AC＝18，AB＝3， ∴AC＝6， ∴， ∴△ABO是等腰直角三角形， ∴∠ABO＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴BF＝FD＝AC＝6，CD＝AF＝BF﹣AB＝3， 在Rt△ACF中，由勾股定理得， ∵AF∥CD， ∴∠CDG＝∠FBG，∠DCG＝∠BFG， ∴△CDG∽△FBG， ∴，即， 解得， ∴CG的长为． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 19．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF．连接DE，EF． （1）求证：△DBE≌△ABC； （2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答（若多选，则按第一个解答计分） ①当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？请加以证明； ②当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？请加以证明． 【分析】（1）由“SAS”可证△DBE≌△ABC； （2）①四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数． ②AB＝AC，根据菱形的判定推出即可； 【解答】（1）证明：∵△ABD，△EBC都是等边三角形． ∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC ∠DBA＝∠EBC＝60° ∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA． ∴∠DBE＝∠ABC． 在△DBE与△ABC中， ， ∴△DBE≌△ABC（SAS）． （2）解：①∵△DBE≌△ABC， ∴DE＝AC， 又∵△ACF是等边三角形， ∴AC＝AF， ∴DE＝AF． 同理可得：△ABC≌△FEC，即EF＝AB＝DA． ∵DE＝AF，DA＝EF， ∴四边形ADEF为平行四边形， 若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°， ∵∠DAB＝∠FAC＝60°， ∴∠BAC＝360°﹣∠DAB﹣∠FAC﹣∠DAF＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°， ∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形AFED是矩形； ②当∠BAC≠60°且AB＝AC时，四边形AFED是菱形， ∵此时AB＝AC＝AF＝AD，四边形AFED是平行四边形， ∴四边形AFED是菱形； 【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形． 20．如图，▱ABCD中，E为CD边上一点，F为AB延长线上一点，且DE＝BF．过F作FG∥AE，交CB的延长线于点G． （1）求证：△ADE≌△GBF； （2）当BE＝BC时，判断四边形AGFE的形状，并说明理由． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，进而可得∠AED＝∠GFB，又由对顶角的性质可得∠ABC＝∠GBF，即得到∠D＝∠GBF，利用ASA即可证明△ADE≌△GBF； （2）连接EG，交AF于点O，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形AGFE是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一可证明其对角线互相垂直，即可求证． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠D＝∠ABC，AD＝BC， ∴∠AED＝∠EAF， ∵FG∥AE， ∴∠EAF＝∠GFB， ∴∠AED＝∠GFB， ∵∠ABC＝∠GBF， ∴∠D＝∠GBF， 在△ADE和△GBF中， ， ∴△ADE≌△GBF（ASA）； （2）解：四边形AGFE是菱形，理由如下： 连接EG，交AF于点O， 由（1）△ADE≌△GBF得，AD＝GB，AE＝GF， ∵FG∥AE，AE＝GF， ∴四边形AGFE是平行四边形， ∴OE＝OG， ∵AD＝GB，AD＝BC， ∴GB＝BC， 又∵BE＝BC， ∴BE＝BG， ∴△BEG为等腰三角形， ∵OE＝OG， ∴BO⊥EG， 即AF⊥EG， ∴平行四边形AGFE是菱形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 21．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，M，N分别是AB和CD的中点． （1）判定四边形AMCN的形状并证明； （2）给△ABC补充一个条件，使得四边形AMCN是正方形，并证明． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，求得AM＝BM，AM∥CN，AM＝CN，得到四边形AMCN是平行四边形，得到AM＝BM＝CM，根据菱形的判定定理得到四边形AMCN是菱形； （2）根据等腰三角形的性质得到CM⊥AB，求得∠AMC＝90°，由（1）知，四边形AMCN是菱形，根据正方形的判定定理得到四边形AMCN是正方形， 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵M、N分别是AB和CD的中点， ∴AM＝BM，AM∥CN，AM＝CN， ∴四边形AMCN是平行四边形， 又∵AC⊥BC， ∴AM＝BM＝CM， ∴四边形AMCN是菱形； （2）解：当AC＝BC时，四边形AMCN是正方形， 证明：∵AC＝BC，M是AB的中点， ∴CM⊥AB， ∴∠AMC＝90°， 由（1）知，四边形AMCN是菱形， ∴四边形AMCN是正方形， 【点评】本题考查了正方形的判断，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 22．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD的中点，G，H在对角线AC上，且，连接GF，EH． （1）求证：△AFG≌△CEH； （2）连接GE，FH，当AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形EHFG是矩形？请证明你的结论． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，求得∠FAG＝∠ECH，得到AF＝CE，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，△AFG≌△CEH，根据全等三角形的性质得到FG＝EH，∠AGF＝∠CHE，求得∠FGH＝∠EHG，得到OG＝OH，求得OG＝OH＝AG＝CHAC，推出EF＝GH，于是得到四边形EHFG是矩形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠FAG＝∠ECH， ∵E，F分别是边BC和AD的中点， ∴AF＝CE， 在△AFG和△CEH中， ， ∴△AFG≌△CEH（SAS）； （2）解：当AC＝2AB时，四边形EHFG是矩形， 证明：连接EF交AC于O， 由（1）知，△AFG≌△CEH， ∴FG＝EH，∠AGF＝∠CHE， ∴∠FGH＝∠EHG， ∴FG∥HE， ∴四边形EHFG是平行四边形， ∴OG＝OH， ∵OA＝OC，， ∴OG＝OH＝AG＝CHAC， ∵AO＝OC，CE＝BE， ∴OEAB， ∵ABAC， ∴OEAC， ∴OE＝OG＝OF＝OH， ∴EF＝GH， ∴四边形EHFG是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判断，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H． （1）求证：△AGE≌△CHF； （2）连接DG、BH，若DE＝BE，则四边形BGDH是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BG∥DH，∠BAD＝∠DCB， ∴∠AGE＝∠FHC，∠EAG＝∠FCH， 在△AGE和△CHF中， ， ∴△AGE≌△CHF（AAS）； （2）解：四边形BGDH是菱形． 理由：如图，连接BD交EF于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵ED＝EB， ∴四边形BEDF是菱形， ∴OB＝OD，OE＝OF，BD⊥EF， ∵△AGE≌△CHF， ∴EG＝FH， ∴OG＝OH， ∴四边形BGDH是平行四边形， ∵GH⊥EF， ∴四边形BGDH是菱形． 【点评】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 24．如图，在菱形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于点E，∠ACD的平分线交AD于点F． （1）求证：AF＝CE； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形AECF的形状．请证明你的结论． ①∠BAD＝2∠ABC；②AC＝BC． 选择的条件：　①　 （填写序号）． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【分析】（1）由平行线的性质∠BAC＝∠ACD，由角平分线的性质可得∠CAE＝∠ACF，可得AE∥CF，可证四边形AECF是平行四边形，可得AF＝CE； （2）先证△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得AE⊥BC，可证平行四边形AECF是矩形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD， ∴∠CAE∠BAC，∠ACF∠ACD， ∴∠CAE＝∠ACF， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝CE； （2）解：选①，平行四边形AECF是矩形，理由如下： ∵∠ABC+∠BAD＝180°，∠BAD＝2∠ABC， ∴∠B＝60°， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∵AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC， ∴平行四边形AECF是矩形． 故答案为：①（答案不唯一）． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一动点，过点A作AF∥BE，与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论． 【分析】（1）由D是AC的中点，得AD＝CD，由AF∥BE，得∠AFD＝∠CED，而∠ADF＝∠CDE，即可根据“AAS”证明△ADF≌△CDE，得FD＝ED，则四边形AFCE是平行四边形； （2）由AC＝BC，得∠CAB＝∠B＝30°，则∠ECD＝60°，由CEBCAC，CD＝ADAC，得CE＝CD，则△DCE是等边三角形，所以CD＝ED，因为四边形AFCE是平行四边形，所以ED＝FDEF，可证明AC＝EF，则四边形AFCE是矩形． 【解答】（1）证明：∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∵AF∥BE， ∴∠AFD＝∠CED， 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴FD＝ED， ∴四边形AFCE是平行四边形． （2）解：四边形AFCE是矩形， 证明：∵AC＝BC，∠B＝30°， ∴∠CAB＝∠B＝30°， ∴∠ECD＝∠CAB+∠B＝60°， ∵CEBCAC，CD＝ADAC， ∴CE＝CD， ∴△DCE是等边三角形， ∴CD＝ED， ∵四边形AFCE是平行四边形， ∴ED＝FDEF， ∴ACEF， ∴AC＝EF， ∴四边形AFCE是矩形． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，证明△ADF≌△CDE是解题的关键． 26．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，OB＝OD． （1）求证：BE＝DF； （2）连接DE，BF，当满足△ABC什么条件时，四边形DEBF是菱形，并证明你的结论． 【分析】（1）证明△ABO≌△CDO（AAS），得出OA＝OC，再证明△BOE≌△DOF（SAS），即可推出结论； （2）根据（1）的结论先得出四边形DEBF是平行四边形．再结合菱形的对角线互相垂直可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠DCO＝∠BAO， 又∵∠DOC＝∠BOA，OB＝OD， ∴△ABO≌△CDO（AAS）， ∴OA＝OC， 又∵E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝OF， 又∵∠DOC＝∠BOA，OB＝OD， ∴△BOE≌△DOF（SAS）， ∴BE＝DF； （2）解：如图， 当AB＝BC时四边形DEBF是菱形．理由如下： ∵OE＝OF，OD＝OB， ∴四边形DEBF是平行四边形． 由（1）可知四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形DEBF是菱形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质是解题的关键． 27．如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）当AC与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证明OE＝OF，然后证明四边形DEBF为平行四边形，即可得出结论； （2）由（1）可知，四边形DEBF为平行四边形，AE＝OE＝OF＝CF，则AC＝2EF，再证明EF＝BD，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵点E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝AEOA，OF＝CFOC， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴BE＝DF； （2）解：AC＝2BD，四边形DEBF是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形DEBF为平行四边形，AE＝OE＝OF＝CF， ∴AC＝2EF， ∵AC＝2BD， ∴EF＝BD， ∴平行四边形DEBF是矩形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 28．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD边的中点．M是AB边上一点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）请求出AM为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由． 【分析】（1）易证明四边形AMDN是平行四边形，只要证明DN∥AM，DN＝AM即可； （2）有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA＝90°，所以AMAD＝1时即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴ND∥AM． ∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME ∵点E是AD中点，∴DE＝AE ∵在△NDE和△MAE中， ∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，DE＝AE， ∴△NDE≌△MAE（AAS）． ∴ND＝MA ∴四边形AMDN是平行四边形． （2）当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝2． ∵AMAD＝1， ∴∠ADM＝30° ∵∠DAM＝60°， ∴∠AMD＝90°， ∴平行四边形AMDN是矩形． 【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质． 29．已知：在△ABC中，CB＝CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN于点F． （1）求证：AD＝CF； （2）连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据外角的性质定理得到∠AACM，由角平分线的定义得到∠ACFACM，求得∠A＝∠ACF，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）由已知条件得到△ACB是等腰直角三角形，求得∠BAC＝45°，推出AD∥CF，由（1）知AD＝CF，得到四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD＝CD，求得∠ACD＝∠CAD＝45°，根据正方形的判定定理得到结论． 【解答】（1）证明：∵CB＝CA， ∴∠A＝∠B， ∵∠ACM＝∠A+∠B， ∴∠AACM， ∵CN平分∠ACM， ∴∠ACFACM， ∴∠A＝∠ACF， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（ASA）， ∴AD＝CF； （2）解：当△ABC满足∠ACB＝90°，四边形ADCF是正方形， 证明：连接CD，AF， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴△ACB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， ∵CN平分∠ACM， ∴∠ACFACM＝45°， ∴∠DAC＝∠ACF， ∴AD∥CF， 由（1）知AD＝CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝CD， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴∠DCF＝90°， ∴矩形ADCF是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长． 【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论； （2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案． 【解答】（1）证明：连接OD． ∵AC＝CD， ∴∠A＝∠ADC． ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠BDO． ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∴∠ADC+∠BDO＝90°． ∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°． 又∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°， ∴△ACD是等边三角形． ∴∠ACD＝60°． ∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°． 在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2． ∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B＝30°． ∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°． ∴的长． 【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专题-几何证明 1．如图，点E、F分别在▱ABCD的边BC、AD上，连接AE、CF，AE∥CF，连接AC、EF相交于点O，请你从以下三个选项：①AE＝CE；②OA＝OC；③AC⊥EF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形AECF是菱形． （1）你选择的补充条件是 　 　 ；（填序号） （2）根据你选择的补充条件，写出四边形AECF是菱形的证明过程． 2．如图，平行四边形ABCD，延长CD至E，延长AB至F，使DE＝BF，连接AE、CF． （1）证明：△ADE≌△CBF； （2）若D是CE中点，AD平分∠EAF，则边AB与BC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？证明你的结论． 3．如图，矩形ABCD，延长BA至点E，使AE＝AB，EC与AD交于点O，点F、G在直线AD上（F，A，D，G依次排列），连接FC、EG，FC＝EG． （1）求证：AF＝DG； （2）若∠AEF＝30°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形EFCG为矩形？请说明理由． 4．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE，CF．请添加一个条件，使四边形AECF为菱形．（不需要说明理由） 5．如图，AD是△ABC的中线，过点D作AB的平行线交AC于点E，O是AD的中点，连接EO并延长，交AB于点F，连接DF． （1）求证：OE＝OF； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为菱形？写出你的猜想并证明． 6．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AD上，点F在AD延长线上，且BE∥CF． （1）求证：四边形BECF是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由． 7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值． 8．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接EF．若EF＝AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论． 9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）连接AE，CF，已知 　 　 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论． 条件①：∠ABD＝30°； 条件②：AB＝BC． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 10．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 11．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由． 12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 13．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB＝AF； （2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 14．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由． 15．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由． 16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形． 18．如图，已知平行四边形ABCD中AB＝3，AC⊥AB，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，与BD交于点G，连接DF． （1）求证：四边形ACDF是矩形． （2）若平行四边形ABCD的面积是18，求CG的长． 19．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF．连接DE，EF． （1）求证：△DBE≌△ABC； （2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答（若多选，则按第一个解答计分） ①当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？请加以证明； ②当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？请加以证明． 20．如图，▱ABCD中，E为CD边上一点，F为AB延长线上一点，且DE＝BF．过F作FG∥AE，交CB的延长线于点G． （1）求证：△ADE≌△GBF； （2）当BE＝BC时，判断四边形AGFE的形状，并说明理由． 21．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，M，N分别是AB和CD的中点． （1）判定四边形AMCN的形状并证明； （2）给△ABC补充一个条件，使得四边形AMCN是正方形，并证明． 22．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD的中点，G，H在对角线AC上，且，连接GF，EH． （1）求证：△AFG≌△CEH； （2）连接GE，FH，当AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形EHFG是矩形？请证明你的结论． 23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H． （1）求证：△AGE≌△CHF； （2）连接DG、BH，若DE＝BE，则四边形BGDH是什么特殊四边形？请证明你的结论． 24．如图，在菱形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于点E，∠ACD的平分线交AD于点F． （1）求证：AF＝CE； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形AECF的形状．请证明你的结论． ①∠BAD＝2∠ABC；②AC＝BC． 选择的条件：　 　 （填写序号）． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 25．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一动点，过点A作AF∥BE，与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论． 26．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，OB＝OD． （1）求证：BE＝DF； （2）连接DE，BF，当满足△ABC什么条件时，四边形DEBF是菱形，并证明你的结论． 27．如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）当AC与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 28．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD边的中点．M是AB边上一点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）请求出AM为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由． 29．已知：在△ABC中，CB＝CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN于点F． （1）求证：AD＝CF； （2）连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论． 30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 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