期末复习专题10 外接球、内切球和棱切球【10大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题10 外接球、内切球和棱切球 知识点1、墙角模型（三条棱两两垂直） 公式，即 知识点2、对棱相等模型（补形为长方体） 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 公式 知识点3、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 公式 知识点4、切瓜模型（两个面互相垂直） 知识点5、折叠模型（两个全等三角形或等腰三角形拼在一起） 第一步：将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 知识点6、矩形模型（两直角三角形拼接在一起(斜边相同)模型） 知识点7、斗笠模型（圆锥、顶点的投影为底面的外心(正棱锥)） 知识点8、球的表面积和体积 1．球的表面积公式S＝ 4πR2 (R为球的半径)． 2．球的体积公式V＝ πR3 ． 知识点9、内切球 1、正方体内切球公式r=（棱长a） 2、正四面体内切球：半径: （棱长a） 外接球 3、任意棱锥通用内切球 体积法万能式 知识点10、棱切球（与所有棱相切） 1. 正方体（棱长a） 半径: (直径=面对角线 ) 球心：正方体中心，切点为各棱中点 2. 正四面体（棱长a） 半径: 三球半径比：r（内）: r（棱）: r（外）= 1 :: 3 考点一 两两垂直模型（墙角模型） 考点二 汉堡模型（直棱柱、圆柱、侧棱垂直底面的棱锥） 考点三 斗笠模型（圆锥、正棱锥） 考点四 补图法（对棱相等模型） 考点五 面面垂直模型（切瓜模型） 考点六 矩形模型（两直角三角形拼接在模型） 考点七 台体中的外接球 考点八 面面夹角模型（二面角模型） 考点九 内切球的问题 考点十 棱切球的问题 考点一 两两垂直模型（墙角模型） 1．（2025·四川广安·模拟预测）在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，易得外接球半径，利用正弦定理得到截面的外接圆半径为，从而得到球心到面的距离，结合题意即可得到最大值. 【详解】三棱锥的外接球就是以、、为长、宽、高的长方体的外接球， 其直径为，即， 又，所以， 则，于是由正弦定理，的外接圆半径为， 故球心到面的距离为. 所以点到面距离的最大值是. 故选：C. 2．（2025·山西吕梁·一模）在正三棱锥中，棱两两垂直，若的边，则该正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正三棱锥是正方体的一个角，补成正方体求解. 【详解】由题意知：正三棱锥是正方体的一个角，补成正方体如图所示： 正方体的对角线长是外接球的直径， 因为，所以， 则外接球直径为，所以， 所以外接球的表面积为， 故选：D 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，则三棱锥的外接球的半径为_____；若为线段的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为_____． 【答案】 / 【分析】由于三棱锥三条侧棱两两垂直，所以把三棱锥的外接球问题转化成长方体的外接球问题来处理即可；分析出当截面与垂直时，截面面积最小，再去解由球半径，截面圆半径和球心到截面圆的距离组成的直角三角形即可求出，进而求出截面圆的面积. 【详解】 如图，将三棱锥补形为成长方体， 则三棱锥的外接球的半径即长方体对角线长的一半， 即； 当截面与垂直时，截面面积最小，设截面半径为， 又，所以， 所以截面面积的最小值为. 故答案为：；. 4．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 5．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因，、两两垂直，故三棱锥的外接球，即是以，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：B 6．（25-26高二上·北京·期中）在三棱锥中，，、、两两垂直，则该三棱锥外接球的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补成正方体，可知三棱锥的外接球直径即为正方体的体对角线长，求出的值，结合球体体积公式可求得结果. 【详解】在三棱锥中，，、、两两垂直， 将三棱锥补成正方体， 所以三棱锥的外接球直径即为正方体的体对角线长， 故，可得， 因此该三棱锥外接球的体积为. 故选：B. 考点二 汉堡模型（直棱柱、圆柱、侧棱垂直底面的棱锥） 7．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为，球心为O，一个顶点为A，可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图， 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为， 则球心是的中点， 由正六棱柱底面边长为，侧棱长为， 所以中，， 可得， 因此，该球的体积为. 8．（25-26高一下·湖南株洲·期中）（多选）三棱锥的四个顶点都在球上，且底面，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．球心在三棱锥的内部 C．球心到底面的距离为1 D．球的表面积为 【答案】ACD 【分析】选项A，利用余弦定理计算的长度；选项B，结合底面外接圆圆心和球心关系判断即可；选项C，根据外接球的球心位置规律推导距离；选项D，利用外接球半径公式求出球的半径，再使用球的表面积公式计算. 【详解】底面，，，. 选项A：由余弦定理： ，得，A正确； 选项B：底面中，是钝角，钝角三角形的外心（外接圆圆心）在三角形外部，因此三棱锥外接球的球心在三棱锥外部，B错误； 选项C：侧棱垂直底面，外接球的球心在过底面外心且垂直于底面的直线上， 球心到底面的距离，C正确； 选项D：由正弦定理，底面外接圆半径满足： ， 外接球半径满足， 因此球的表面积：，D正确. 9．（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意三棱锥外接球等价于棱长为1，1，的长方体的外接球，即可求出球半径，求出表面积. 【详解】因为平面，， 可将三棱锥补形为长方体， 则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 则长方体的体对角线即为外接球的直径. 又， 故外接球的表面积为. 10．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 【答案】 【分析】根据条件，利用基本不等式，得到圆柱底面半径和高，进而求出外接球的半径，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，则轴截面周长为，即， 侧面积， 当，即，时等号成立，此时侧面积最大， 设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长， 所以，得到， 所以球的体积. 11．（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解． 【详解】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为， 已知是正三角形，边长， 则其外接圆半径为， 平面， 三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上， 且球心到平面的距离， 外接球半径为：， 由球的表面积公式得． 12．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【详解】由为正四棱柱，且， 所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径， 所以球的表面积为. 考点三 斗笠模型（圆锥、正棱锥） 13．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 【答案】 【分析】根据条件，求出圆锥底面半径r和母线l的值，进而可得圆锥的高，分析可得三棱锥的外接球球心在SO上，根据勾股定理，计算求解，可得外接球半径R，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的高为 因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得， 又轴截面面积为，所以， 解得，则，圆锥的高为， 由题意三棱锥的外接球的球心在SO上，且设为，外接球半径设为R， 连接，则，所以， 在中，，即， 则，解得， 则三棱锥的外接球的体积. 14．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定球心，利用勾股定理求出球的半径，进而求解外接球的体积. 【详解】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高， 因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图， 设圆锥外接球的半径为，在中，， 所以，解得， 所以该圆锥的外接球的体积为. 15．（25-26高一下·新疆·阶段检测）如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作交于点，由勾股定理求得，进而求得表面积； （2）由题，正四棱锥外接球的球心在直线上，由外接球的体积，可求得外接球的，利用球的截面性质求出棱锥高h的值，再根据体积公式求解即可. 【详解】（1）由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以正四棱锥的表面积. （2）设外接球半径为，由外接球体积，可得. 底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 当时，； 当时，. 综上所述，正四棱锥的体积为或. 16．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________． 【答案】 【分析】由题意找出过三点的平面与侧面的交线线段，证明G为靠近C的三等分点，再由已知求解三角形可得正四棱锥的底面边长与侧棱长，然后求解外接球的半径，代入球的体积表面积公式得答案． 【详解】如图，连接并延长交的延长线于H，连接交于G， 因为E为的中点，所以C为的中点， 在平面中，过C作，交于K，则， 所以， 由已知可得，四棱锥为正四棱锥， 在等腰三角形中，由，得， 设，则，，， ， 在中，由余弦定理可得，，解得， 所以正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6， 连接，相交于M，连接，则为正四棱锥的高，则， 设四棱锥外接球的球心为O，连接，则，解得， 所以该四棱锥的外接球的体积为． 17．（25-26高二下·湖南长沙·期中）正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 【答案】 【分析】作出辅助线，找到球心，并设出外接球的半径，利用勾股定理列出方程，求出半径，进而得到外接球体积. 【详解】取的中点，连接，过点作⊥于点， 则⊥平面，且， 由于正三棱锥中，，侧棱， 故，，， 由勾股定理得， 设正三棱锥的外接球球心为，则，故， 由勾股定理得，即，解得， 故正三棱锥的外接球体积为. 18．（2026·辽宁沈阳·三模）（多选）如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为4 C．圆锥SO外接球的表面积为 D．若，为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】AC 【分析】先求母线，利用侧面积公式可判断A，利用体积公式可判断B，利用勾股定理求出球的半径可判断C，利用展开图结合余弦定理可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以,其侧面积为，A正确； 对于B，三棱锥的底面积最大为，所以三棱锥体积的最大值为，B不正确； 对于C，设外接球的球心为，半径为，因为圆锥的外接球球心在高上，所以,因为，所以,解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，C正确； 对于D，因为，，所以，把绕边旋转，使其与共面，如图，连接，交于点，此时取得最小值， 在中，,所以， 所以, 由余弦定理， 所以的最小值为，D不正确. 考点四 补图法（对棱相等模型） 19．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 【答案】D 【详解】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为, 则，所以， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 20．（2026安徽合肥·一模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可. 【详解】过三角形的中心作平面的垂线， 过三角形的中心作平面的垂线， 两垂线交于点，连接， 依据题中条件可知，为四面体的外接球球心， 因为， 所以, 则, 即外接球半径为， 则该球的表面积为， 故选：C. 21．（25-26高一下·甘肃·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】四棱锥可补成长方体，利用长方体的体对角线求外接球的半径，即可得解. 【详解】将四棱锥补全成以为长、宽、高的长方体， 则该四棱锥的外接球即补全后长方体的外接球， 外接球的半径为长方体体对角线一半， 所以外接球表面积为. 故选：C 22．（2026·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取的中点，连接、， 由和都是正三角形，得，，则，则，由勾股定理的逆定理，得. 设球心为，和的中心分别为、. 由球的性质可知：平面，平面， 又，由勾股定理得. 所以外接球半径为. 所以外接球的表面积为. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 23．（25-26高二上·四川乐山·期末）如图，在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球，再求解即可. 【详解】解：因为在三棱锥中，， 所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2， 则体对角线长为，外接球的半径为， 所以外接球的表面积为， 故选：. 24．（2026广东广州·一模）在三棱锥中，，侧面与底面垂直，则三棱锥外接球的表面积是__． 【答案】 【分析】由于与都为正三角形，故过与的中心做两个面的垂线的交点即为三棱锥的外接球球心． 【详解】如图所示，取的中点，连接，．设为的中心，为的中心,为三棱锥外接球的球心． 连接，，． 则为棱锥外接球的半径．为矩形． ． 三棱锥外接球的表面积． 故答案为． 【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积，属于中档题． 考点五 面面垂直模型（切瓜模型） 25．（25-26高二上·广东·阶段检测）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 【答案】B 【分析】令的外心为，取中点，由已知可得四边形是矩形，利用球的截面性质求出球半径即可得解. 【详解】在中，，则，中点为的外心， 于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC， 平面平面，平面，则平面，， 令正的外心为，则为的3等分点，， 又平面，则，而，则四边形是矩形， ，因此球O的半径， 所以球O的表面积为. 故选：B 26．（25-26高一下·陕西宝鸡·期末）将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为（   ） A．4π B．6π C．8π D．12π 【答案】A 【分析】根据给定条件，确定外接球球心，求出球的半径即可. 【详解】令正方形对角线交点为，在四面体中，， 因此四面体的外接球的球心点为，半径为1， 所以四面体的外接球的表面积为. 故选：A 27．（25-26高一下·安徽合肥·期末）在正方形ABCD中，已知是AB的中点，现以DE为折痕将折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，此时三棱锥外接球的体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据条件可知三角形DEC的外心为即为球心，然后表示出半径计算即可. 【详解】由题意，当平面垂直平面时，三棱锥的高有最大值，此时体积最大. 是直角三角形，取斜边DE的中点，则为直角三角形ADE的外心，设等腰三角形DEC的外心为，连接OG，则直线平面， 则，即为三棱锥的外接球的球心， 在中，， 则，得， 由正弦定理可知，外接球半径 则其体积为. 故选：B 28．（2026四川巴中·一模）在三棱锥中，侧面是等边三角形，平面平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出三棱锥外接球的球心一定在过三角形中心（外接圆圆心）的垂线上，也一定在过三角形的外接圆圆心（为直角三角形斜边中点）的垂线上，由此可得外接球圆心、半径，进一步即可求解. 【详解】    因为侧面是等边三角形，所以三棱锥外接球的球心一定在过三角形中心（外接圆圆心）的垂线上， 因为平面平面，作平面，其中为三棱锥外接球的球心， 又因为， 所以三棱锥外接球的球心一定在过三角形的外接圆圆心（为直角三角形斜边中点）的垂线上， 作平面，交于， 由题意知， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C. 29．（25-26高二上·重庆南岸·阶段检测）三棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是以为斜边的直角三角形，平面平面，若，则球的表面积为__________. 【答案】 【分析】取中点，中点，上点，使，由外接圆的性质可得球心，根据平面平面，得球的半径，代入表面积公式即可得答案. 【详解】取中点，底面是直角三角形，所以为底面外接圆圆心， 取中点，连接，在线段上取点，使，是等边三角形，所以为外接圆圆心. 过点，分别作平面和平面的垂线，则两垂线的交点，即为球的球心. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为为中点，为中点，所以，又底面是以为斜边的直角三角形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，所以， 所以四边形为矩形， 所以，， 所以，即球的半径， 球的表面积为. 故答案为: .    30．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用球的截面性质确定的轨迹，再结合圆的性质求解即可. 【详解】 如图，取的外心，过作平面， 则三棱锥的外接球球心一定在上，设外接球半径为， ，，，由，， 过作于点，过作平面于点， ，由，得， 在面内以为圆心，以3为半径的圆弧上（且位于上方）， 设到的距离为，， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是利用球的截面性质得到的轨迹，然后利用锥体体积公式得到函数解析式，再求出所要求的取值范围即可． 考点六 矩形模型（两直角三角形拼接在模型） 31．（25-26高一下·天津·期中）古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为______. 【答案】 【分析】根据补形的方法求得外接球的体积. 【详解】由于平面，，平面，所以，， 由于四边形是矩形，所以，所以，，两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以外接球的半径， 所以外接球的体积为. 32．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补形为长方体，由勾股定理求出长方体的半径即可，得到表面积. 【详解】将三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 如图，的中点即为外接球的球心，为直径， 由勾股定理得， 故半径为，球的表面积为. 故选：B 33．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑 (biēnào). 如图所示，三棱锥 中，平面，则该三棱锥即为鳖臑. 若且三棱锥外接球的体积为，则三棱锥体积的最大值是__________ 【答案】 【分析】构造长方体，根据外接球直径为,建立等式关系，继而求得三棱锥体积，结合基本不等式即可求得最大值. 【详解】设三棱锥的外接球的半径为, 则其体积,解得, 因为平面，, 构造长方体如下图， 由图可知，， 即， 则三棱锥体积 , 当且仅当时，等号成立， 故三棱锥体积的最大值是 故答案为： 34．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据鳖臑的体积为2先求，进而得阳马外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可求解. 【详解】设阳马外接球的半径为， 由题意有：， 又平面，四边形为正方形，所以， 所以， 所以阳马外接球的表面积为：， 故选：B. 35．（2026·江苏·三模）矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为________. 【答案】π． 【详解】试题分析：因为球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了． 由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，矩形对角线AC=5，则. 考点：球的体积和表面积. 36．（25-26高二上·四川成都·月考）矩形中，，，沿将矩形折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】根据矩形的特征：对角线的中点到四个顶点的距离相等，即可确定四面体外接球的球心位置，进而可求球半径. 【详解】 如图，在四面体中，，取的中点，连，则， 所以四面体的顶点在以为球心，半径为5的球面上， 故球的表面积为． 故答案为： 考点七 台体中的外接球 37．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积. 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 则球心到下底面圆距离为，因此，解得， 所以球O的表面积为. 38．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为_____. 【答案】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在线段上或在其延长线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得，矛盾， 若球心在线段的延长线上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. 39．（2025高二上·江西南昌·专题练习）若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示，    则其外接球球心在直线上， ，，， 所以，， 由，设， 可得， 解得， 所以外接球半径即， 所以其外接球表面积为. 故选：A 40．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，体积为56，则该正四棱台的外接球的表面积为___________． 【答案】 【分析】先根据棱台的体积公式计算得出上下底面的半径，最后结合球心到上下底面距离应用勾股定理得出外接球的半径应用球的表面积公式计算求解. 【详解】如图所示，设球心为O，半径为R，棱台的高为h， 由棱台的体积公式可得：， 因为边长为的正方形的外接圆半径为， 所以上底面的外接圆半径， 下底面的外接圆半径， 若球心在两平面之间，设球心O到上底面的距离， 则到下底面的距离为， 由球心到各顶点的距离相等可得： ， 解得，不符合题意； 若球心在两平面同侧，设球心O到上底面的距离， 则到下底面的距离为， 由球心到各顶点的距离相等可得， ， 解得，所以， 所以该正四棱台的外接球的表面积为．    故答案为： 41．（25-26高一下·河北沧州·期中）（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（    ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D．圆台的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】利用圆台表面积公式，代入已知半径和母线计算可判断A；由轴截面几何关系求出高，再代入圆台体积公式计算可判断B；圆台侧面展开图的圆心角可由底面半径差与母线长关系求得，从而判断C；设外接球心在轴线上，根据勾股定理列方程解得半径平方，再求表面积即可判断D. 【详解】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为， 由题意可知：设上底面半径为，下底面半径为，母线为， ，则， 对于A选项，圆台的表面积，所以A正确； 对于B选项，设圆台的高为，由图可知，，则圆台的体积，所以B正确； 对于C选项，圆台侧面展开图所在扇形的圆心角（或者，此圆台是由底面半径为2，母线长为6的圆锥截得的，所以圆台侧面展开图所在扇形的圆心角），所以C错误； 对于D选项，圆台的外接球的球心O一定在上，如图所示，连接OA，OD，则，则，设外接球半径为R，即，所以， 解得，所以外接球的表面积，所以D正确． 42．（2026·四川成都·三模）已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【分析】作球的大圆截圆台得轴截面为圆的内接等腰梯形，在这个图形中由几何法求得球半径，再计算表面积. 【详解】如图是球的大圆截圆台得轴截面是圆的内接等腰梯形，分别是圆台下底、上底圆心，则为圆台的高，直线过， 由已知，，， 设， 若在线段上，则， ，即，解得， 所以与重合， 若在延长线上，则， 则有，同样解得，即与重合， 所以球半径为， 表面积为 考点八 面面夹角模型（二面角模型） 43．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在三棱锥中，二面角为，为边长为2的等边三角形，为等腰直角三角形（），则该三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】利用球的截面小圆性质，分析探讨出三棱锥的外接球球心位置，求出球半径即可得解. 【详解】取的中点为点，过作底面，如图所示， 设为球心，过作，且在底面上，连接、、， 由性质易得，即二面角的平面角，大小为， 在中，，则，；设，易得， 由球的性质知，，过点作于点，，， 在中，，在中，，， 则，，化简可得， .. 故答案为： 44．（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到翻折后四面体ABCD是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面AOC，又可求体积. 【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面AOC，， 所以平面AOC， 二面角的大小为，， , 故所求体积之比为， 故选：D． 45．（2026四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是_____ 【答案】/ 【分析】取中点，连接，推得，即得 是等边三角形，分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点，可得点为四面体的外接球的球心，分别求出，即可求得外接球半径即得. 【详解】 如图，取中点，连接， 因，则，且， 又二面角的平面角为 60°，即， 故 是等边三角形， 分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点， 则点为四面体的外接球的球心， 由已知可得， 连接，易得，故得，，则， 在中，， 故该球的表面积是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查三棱锥的外接球的半径求法问题，属于难题. 解题思路在于：先找到二面角的平面角，推得正三角形，分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点 ，即外接球球心，结合图形即可求得外接球半径. 46．（25-26高一下·四川成都·期末）如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______．若二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】分别确定外接球球心的位置，再求外接球半径，进而可得外接球的表面积. 【详解】对第一种情况，如下图： 取的中点，连接，，在线段上取点，使得，则为正三角形的重心. 因为，所以为的外心，即. 又为等边三角形，所以，又平面，平面平面，平面平面， 所以平面. 所以. 又为正三角形的重心，所以也是正三角形的外心，所以. 所以为的外接球球心. 因为，所以，所以外接球半径. 所以外接球表面积为：. 对第二种情况：如图： 因为为的外接圆圆心，为正的外接圆圆心. 过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心. 因为二面角的余弦值为， 所以，所以. 又，所以. 所以三棱锥外接球. 所以此时三棱锥外接球的表面积为：. 故答案为：； 47．（25-26高三上·山东德州·期末）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，所以为二面角的平面角，过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上，设球的半径为，在中利用余弦定理可得，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，取的中点，连接，， 由题意，，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且， 所以，为外接圆的圆心， 又是边长为2的等边三角形，所以， 过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上， 设球的半径为，连接，可得， 在中，， 利用余弦定理可得， 所以，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：A. 48．（2026陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外接球球心的性质确定球心的位置为过正与的中心的垂线上，再构造直角三角形求解球的半径，即可求解． 【详解】解：由题，设正与的中心分别为，， 根据外接球的性质有平面，平面， 又二面角的大小为，故， 又正与的边长均为2， 故， 故， ， ， 故， 故，又， 故球的半径， 故球的表面积为． 故选：C． 考点九 内切球的问题 49．（2026·山东泰安·三模）已知圆锥的底面半径为，其内切球的体积为，则圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据球的体积得到半径，结合截面图可得答案. 【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1，作出截面图如下， 因为底面半径为，所以，即, 由内切圆的性质可得，即为正三角形，所以圆锥的母线长为. 50．（25-26高一下·全国·课堂例题）在正方体中，三棱锥内切球的表面积为，求正方体外接球的体积. 【答案】 【详解】设正方体的棱长为，则三棱锥为正四面体，且. 因为三棱锥内切球的表面积为，所以三棱锥内切球的半径为1. 设三棱锥内切球的球心为，到平面的距离为， 则，即， 所以，又， 所以，则， 又因为正方体外接球直径就是正方体体对角线长， 所以正方体外接球的半径为， 故该外接球的体积为. 51．（25-26高一下·海南海口·期中）已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 【答案】 【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，再计算对应圆台的侧面积，球的表面积，即可得答案. 【详解】设上底半径，下底半径 . 由圆台内切球的轴截面性质知，圆台母线长 ， 圆台的高（为球的半径） 由勾股定理得： ， 因此球半径 ， 所以圆台侧面积， 球的表面积， 所以=. 52．（25-26高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 【答案】 【分析】设四面体的棱长为，求出正四面体的高，可得其体积，设正四面体的内切球半径为利用等体积法可得则,从而得到内切球的半径即可求解. 【详解】设四面体的棱长为，则底面三角形的高为，且底面中心将底面三角形的高分为两段， 所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为， 所以正四面体的体积 设正四面体的内切球半径为则， 所以内切球表面积，又正四面体的表面积， 所以 53．（25-26高三下·重庆·阶段检测）如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以5个球的表面积之和为. 54．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）某正三棱台（底面与顶面均为正三角形，侧面都是等腰梯形的几何体）的体积为，内切球（与棱台各面都相切）的半径为，则该三棱台的侧棱长为__________ 【答案】 【分析】根据题意设上底面与下底面正三角形的边长分别为，根据棱台体积，求出表面积，然后求出，进而求解棱长. 【详解】设上底面与下底面正三角形的边长分别为, 根据棱台体积公式，， 则， 则可得侧面梯形的高为， 根据勾股定理，可得， 则，故， 则， 则可得棱长为. 故答案为：. 55．（25-26高三上·江苏·阶段检测）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为__________． 【答案】 【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可. 【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长， ，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的表面积为. 故答案为： 56．（2026·湖南邵阳·一模）（多选）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（   ） A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 【答案】AD 【分析】先做出圆台的轴截面，利用数形结合思想，根据各个选项所给条件逐一进行判断和运算即可. 【详解】取圆台的一个轴截面，则，如图（1）所示． 对于选项A，过点作的垂线，交于点，连接，则，所以内切球直径，内切球半径， 所以圆台的内切球体积，故选项A正确； 对于选项B，如图（2），在轴截面中，于点． 因为，所以． 设，则，所以． 所以圆台的外接球的表面积，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以． 如图（3）所示，当外接球球心点在之间时，圆台的母线， 圆台的表面积． 当外接球的球心在的延长线上时，如图（4）所示，圆台的母线， 圆台的表面积，故选项C错误； 对于选项D，外接球半径，由选项C分析可知，圆台的高或1． 所以圆台的体积， 当时，；当时，，故选项D正确． 故选：AD 考点十 棱切球的问题 57．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知正方体的体积为，则，则， 球为正方体的棱切球， 故其半径， 球的表面积为． 58．（25-26高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，根据勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 59．（25-26高二上·河南周口·开学考试）设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，的中心为，连接，，，计算即可得出为等腰直角三角形，所以再应用正四棱锥的体积即得,最后应用球O的体积公式计算. 【详解】如图， 取的中点， 的中心为，连接，, 设球的半径为，则， 球与正四棱锥的各棱均相切，则底面正方形棱长为， 过作，则，， ，为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 所以 正四棱锥的体积为， 所以， 球的半径为，则球O的体积为 故选:B 60．（2026广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 【答案】 【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值. 【详解】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 61．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（    ）    A．正方体外接球的半径为 B．点在线段上运动，则四面体的体积不变 C．与所有12条棱都相切的球的体积为 D． 是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是 【答案】D 【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A；求得四面体的体积是否变化判断选项B；求得与所有12条棱都相切的球的体积判断选项C；求得长的最小值判断选项D. 【详解】选项A：连接，则为正方体外接球的直径， 又，则正方体外接球的直径为，故A错误； 选项B：为边长是的等边三角形，面积为定值， 点在线段上运动，，与平面相交， 所以与平面相交，所以四面体的高是变化的， 所以四面体的体积是变化的，故B错误； 选项C：与所有12条棱都相切的球的半径为， 该球体积为， 则与所有12条棱都相切的球的体积为，故C错误； 选项D：正方体的内切球的半径为，球心为中点， 是球面上任意一点，则长的最小值是,故D正确. 故选:D. 62．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则__________．    【答案】 【分析】如图为正方形的中心，则既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心，过点作于点，求出外接球的半径与棱切球的半径，即可得解. 【详解】在多面体中，为正方形的中心，如图所示： 由题意可知既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心， 过点作于点，在中，， ，所以， 所以， 所以    故答案为： 1．（25-26高一下·天津·期中）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，设圆锥的侧面积为，圆锥的内切球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥轴截面等边三角形的边长为，则底面圆的直径为，底面半径，圆锥的母线长，圆锥的高， 圆锥侧面积， 内切球的球心在圆锥的高上，且球与轴截面的三边都相切，所以球的半径就是这个等边三角形的内切圆半径， 对于边长为的等边三角形，其内切圆半径为高的，即，即圆锥内切球的半径为， 所以圆锥内切球的表面积， 因此. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）球面上有，，三点，，，球心到平面的距离是，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到外接圆的半径，由球到平面的距离结合勾股定理得到球的半径，最后由球的体积公式计算即可. 【详解】如图，设是外接圆的圆心，则平面， 因为，，所以等边的外接圆的半径， 所以球的半径， 所以球的体积． 3．（2026·重庆·三模）已知圆锥的轴截面是顶角为的三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥性质，即可得外接球心即为轴截面外接圆圆心，再利用解三角形即可求体积之比. 【详解】设外接球的半径为，则球的体积为， 由于圆锥内接于球，其轴截面为一个内接于球的大圆的等腰三角形，则轴截面三角形的外接圆就是外接球的大圆， 即轴截面三角形的外接圆半径就是外接球的半径， 已知轴截面顶角为，由正弦定理可得，底面直径满足， 解得，因此圆锥底面半径，圆锥的高， 所以圆锥体积， 则该圆锥与球的体积之比为：. 4．（25-26高一下·全国·期末）已知圆台存在内切球，圆台的上底面半径为2，母线长为6，则该内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆台内切球的轴截面如图所示，由题意易知为等腰梯形，且， 取的中点 ，连接，因为圆台存在内切球，设内切球的半径为， 则易知球心在上，且， 过点作，交于，连接， 设，则由圆的切线性质可知， 所以，所以， 过点作，交于， 则, 由，得，解得， 所以，所以内切球的表面积为. 5．（2026·湖北武汉·三模）表面积为的圆柱内放入一个球，则该球体的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱的底面圆的半径为，高为，由题设可得，分析可得要使球体的体积最大，则应取，进而结合球的体积公式求解即可. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 而圆柱的表面积为，则，即， 要在圆柱内放入一个球，设球的半径为，则，即， 要使球体的体积最大，则应取， 则，即， 则该球体的体积最大值为. 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先由球的表面积求出半径，结合球心在上可知为直径、为直角三角形，分别求出的最大面积和点到平面的最大距离，代入三棱锥体积公式即可得最大值. 【详解】设球的半径为， 则有，解得， 又因为球心在棱上， 所以为直径且， 所以为直角三角形，且, 要使棱锥的体积最大， 则的面积最大，且点到平面的距离也要最大， 当平面时，最大，此时, 又, 当且仅当时，等号成立； 设三棱锥的体积为， 所以， 所以. 7．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台及球的轴截面，从而可得等腰梯形及其内切圆，再结合勾股定理及条件解方程可得. 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长. 由勾股定理得：，化简得①. 又，代入①得：，，解得或. 若时，则，，所以圆台的侧面积； 若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去. 因此，圆台的侧面积为. 8．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，可得，分别取与的外心，，过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，得解. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为、所以，， 所以，又，所以. 分别取与的外心，，易知点，分别在，上， 过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心. 由已知可得，，连接，易得， 所以，则，则， 所以在中，，即三棱锥外接球的半径为， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 9．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（    ） A． B． C．18 D． 【答案】A 【分析】利用正四棱台的外接球球心必在上、下底面中心的连线上，由上、下底面边长确定，先分析正四棱台的外接球半径最小值就是下底面外接圆半径，从而可求棱台的高和侧面积. 【详解】因为正四棱台上下底均为正方形， 由上､下底面积分别为3，12，可得上､下底面正方形的边分别为， 上､下底面正方形的外接圆半径分别为和， 因为正四棱台的外接球半径一定大于或等于下底面正方形的外接圆半径， 所以正四棱台的外接球的半径最小值为，此时下底面中心即为外接球的球心. 则棱台的高， 再由勾股定理计算可得：， 所以再由勾股定理可得侧面梯形的斜高为：， 即一个侧面的梯形面积为， 则该四棱台的侧面积为. 11．（25-26高一下·山东济宁·期中）（多选）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 【答案】ACD 【分析】对于AB，求出圆锥的母线长和高，即可求出侧面积和体积；对于C，求出外接球半径，即可得出外接球体积；对于D，求出内切球半径，即可得出内切球表面积. 【详解】设圆锥的底面半径，母线长为， 则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得， 所以圆锥的高. 对于A：圆锥侧面积，A正确. 对于B：圆锥体积，B错误. 对于C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上， 由勾股定理得，，即，解得， 圆锥的外接球的表面积，C正确. 对于D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形， 则，解得. 所以内切球的体积为，D正确. 12．（2026·山西大同·三模）（多选）在三棱锥中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积的最大值为 C．若，则三棱锥外接球的表面积为 D．若，则点在平面的投影是的外心 【答案】AC 【分析】对于A，取的中点，连接，即可得到平面，从而判断A；利用三棱锥的体积即可判断B；将三棱锥补成长方体即可求出C；根据线面垂直即可判断D. 【详解】 对于A，取的中点，连接，由于，，， 由等腰三角形的性质可得，，由于平面且与交于点，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B，三棱锥的体积， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，当，由于，，， 由勾股定理可得，，，将三棱锥补成长方体，易得长方体的外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积，故C正确； 对于D，当时，因为，设为点在平面上的投影，则，所以点在平面的投影不是的外心，故D错误． 13．（25-26高一下·福建南平·期中）（多选）已知正四棱台中，，则下述正确的是（    ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】画出图形，连接交于点，连接交于点，连接，结合图形分析得出为四棱台的高，然后过点作交于，通过已知条件结合勾股定理计算即可得出选项A；根据台体的体积公式判断B，结合题意计算四棱台上下底面面积和侧面积即可得出选项C，分析可知该四棱台外接球的球心在直线上，结合球的旋转求外接球半径和表面积. 【详解】对于选项A：如图，连接交于点，连接交于点，连接， 则在正四棱台中有， 可得平面，故为四棱台的高， 由平面，所以， 过点作交于，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 在正四棱台中，由， 所以，则， 则， 在直角三角形中，， 得到四棱台的高为，故A正确； 对于B，该四棱台的体积为，故B错误； 对于C，由题意得该四棱台的表面积拆分如下， ①正四棱台的上下两个正方形的面积： 设上下两个面的面积分别为，则， ②正四棱台的侧面积，在等腰梯形中，如图所示： 过分别作垂直于交于点， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 则， 所以等腰梯形的面积如下， 为， 所以正四棱台的侧面积为， 得到四棱台的表面积为，故C正确， 对于D，由题意可知该四棱台外接球的球心在直线上， 设球的半径为， 则，即，解得， 所以外接球的表面积为，故D正确. 14．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】当平面垂直于平面时，三棱锥的体积最大，进而结合勾股定理和底面梯形外接圆性质确定外接球的球心位置和球半径，再结合求表面积公式求解即可. 【详解】依题意，，正三角形的高为，则到的距离与梯形的高均为. 三棱锥的体积，其中， 是到底面的高，由图知，当且仅当平面平面时，最大（），此时其体积最大. 又因是等腰梯形，为圆内接四边形，其外心必在对称轴（中点到中点的连线）上，而. 设四棱锥的底面外接圆半径为，外心到的距离为， 由勾股定理： 将代入可得，解得， 因.则可知棱锥底面外接圆圆心就是中点，且，即. 外接球的球心必在过底面外心且垂直于底面的直线上， 设，外接球半径为，则：. 由平面平面，，得底面，， 且.由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：. 因此， 外接球表面积：. 15．（25-26高一下·山东烟台·期中）已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______. 【答案】 【分析】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为，利用正弦定理求出，再根据求出，进而得到表面积． 【详解】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为， 则，解得， ， 则其外接球表面积为． 16．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则其内切球的表面积为________． 【答案】 【分析】先求正六棱锥的高，再计算斜高进而求出表面积，接着求出棱锥体积，最后根据内切球的性质求出内切球半径代入球的表面积公式即可. 【详解】正六棱锥底面是正六边形，底面外接圆半径等于底面边长，即底面中心到底面顶点距离为2， 设顶点为，为棱锥的高，由侧棱长， 由勾股定理得， 底面正六边形的边心距（中心到边的距离）， 斜高（侧面等腰三角形的高） . 底面积：，侧面积：. 总表面积， 棱锥体积， 由棱锥内切球性质得 . 内切球表面积. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 外接球、内切球和棱切球 知识点1、墙角模型（三条棱两两垂直） 公式，即 知识点2、对棱相等模型（补形为长方体） 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 公式 知识点3、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 公式 知识点4、切瓜模型（两个面互相垂直） 知识点5、折叠模型（两个全等三角形或等腰三角形拼在一起） 第一步：将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 知识点6、矩形模型（两直角三角形拼接在一起(斜边相同)模型） 知识点7、斗笠模型（圆锥、顶点的投影为底面的外心(正棱锥)） 知识点8、球的表面积和体积 1．球的表面积公式S＝ 4πR2 (R为球的半径)． 2．球的体积公式V＝ πR3 ． 知识点9、内切球 1、正方体内切球公式r=（棱长a） 2、正四面体内切球：半径: （棱长a） 外接球 3、任意棱锥通用内切球 体积法万能式 知识点10、棱切球（与所有棱相切） 1. 正方体（棱长a） 半径: (直径=面对角线 ) 球心：正方体中心，切点为各棱中点 2. 正四面体（棱长a） 半径: 三球半径比：r（内）: r（棱）: r（外）= 1 :: 3 考点一 两两垂直模型（墙角模型） 考点二 汉堡模型（直棱柱、圆柱、侧棱垂直底面的棱锥） 考点三 斗笠模型（圆锥、正棱锥） 考点四 补图法（对棱相等模型） 考点五 面面垂直模型（切瓜模型） 考点六 矩形模型（两直角三角形拼接在模型） 考点七 台体中的外接球 考点八 面面夹角模型（二面角模型） 考点九 内切球的问题 考点十 棱切球的问题 考点一 两两垂直模型（墙角模型） 1．（2025·四川广安·模拟预测）在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西吕梁·一模）在正三棱锥中，棱两两垂直，若的边，则该正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，则三棱锥的外接球的半径为_____；若为线段的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为_____． 4．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 5．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京·期中）在三棱锥中，，、、两两垂直，则该三棱锥外接球的体积为（    ）． A． B． C． D． 考点二 汉堡模型（直棱柱、圆柱、侧棱垂直底面的棱锥） 7．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖南株洲·期中）（多选）三棱锥的四个顶点都在球上，且底面，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．球心在三棱锥的内部 C．球心到底面的距离为1 D．球的表面积为 9．（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 11．（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 12．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 考点三 斗笠模型（圆锥、正棱锥） 13．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 14．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·新疆·阶段检测）如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 16．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________． 17．（25-26高二下·湖南长沙·期中）正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 18．（2026·辽宁沈阳·三模）（多选）如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为4 C．圆锥SO外接球的表面积为 D．若，为线段AB上的动点，则的最小值为 考点四 补图法（对棱相等模型） 19．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 20．（2026安徽合肥·一模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一下·甘肃·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·四川乐山·期末）如图，在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 24．（2026广东广州·一模）在三棱锥中，，侧面与底面垂直，则三棱锥外接球的表面积是__． 考点五 面面垂直模型（切瓜模型） 25．（25-26高二上·广东·阶段检测）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 26．（25-26高一下·陕西宝鸡·期末）将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为（   ） A．4π B．6π C．8π D．12π 27．（25-26高一下·安徽合肥·期末）在正方形ABCD中，已知是AB的中点，现以DE为折痕将折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，此时三棱锥外接球的体积为，则（    ） A． B． C． D． 28．（2026四川巴中·一模）在三棱锥中，侧面是等边三角形，平面平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·重庆南岸·阶段检测）三棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是以为斜边的直角三角形，平面平面，若，则球的表面积为__________. 30．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的取值范围为______. 考点六 矩形模型（两直角三角形拼接在模型） 31．（25-26高一下·天津·期中）古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为______. 32．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑 (biēnào). 如图所示，三棱锥 中，平面，则该三棱锥即为鳖臑. 若且三棱锥外接球的体积为，则三棱锥体积的最大值是__________ 34．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 35．（2026·江苏·三模）矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为________. 36．（25-26高二上·四川成都·月考）矩形中，，，沿将矩形折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的表面积为__________． 考点七 台体中的外接球 37．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 38．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为_____. 39．（2025高二上·江西南昌·专题练习）若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，体积为56，则该正四棱台的外接球的表面积为___________． 41．（25-26高一下·河北沧州·期中）（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（    ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D．圆台的外接球的表面积为 42．（2026·四川成都·三模）已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 考点八 面面夹角模型（二面角模型） 43．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在三棱锥中，二面角为，为边长为2的等边三角形，为等腰直角三角形（），则该三棱锥外接球的表面积为______. 44．（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 45．（2026四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是_____ 46．（25-26高一下·四川成都·期末）如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______．若二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 47．（25-26高三上·山东德州·期末）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 48．（2026陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 考点九 内切球的问题 49．（2026·山东泰安·三模）已知圆锥的底面半径为，其内切球的体积为，则圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D．4 50．（25-26高一下·全国·课堂例题）在正方体中，三棱锥内切球的表面积为，求正方体外接球的体积. 51．（25-26高一下·海南海口·期中）已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 52．（25-26高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 53．（25-26高三下·重庆·阶段检测）如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 54．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）某正三棱台（底面与顶面均为正三角形，侧面都是等腰梯形的几何体）的体积为，内切球（与棱台各面都相切）的半径为，则该三棱台的侧棱长为__________ 55．（25-26高三上·江苏·阶段检测）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为__________． 56．（2026·湖南邵阳·一模）（多选）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（   ） A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 考点十 棱切球的问题 57．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 58．（25-26高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 59．（25-26高二上·河南周口·开学考试）设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 60．（2026广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 61．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（    ）    A．正方体外接球的半径为 B．点在线段上运动，则四面体的体积不变 C．与所有12条棱都相切的球的体积为 D． 是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是 62．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则__________．    1．（25-26高一下·天津·期中）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，设圆锥的侧面积为，圆锥的内切球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）球面上有，，三点，，，球心到平面的距离是，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·三模）已知圆锥的轴截面是顶角为的三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·期末）已知圆台存在内切球，圆台的上底面半径为2，母线长为6，则该内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北武汉·三模）表面积为的圆柱内放入一个球，则该球体的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 7．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 8．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（    ） A． B． C．18 D． 11．（25-26高一下·山东济宁·期中）（多选）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 12．（2026·山西大同·三模）（多选）在三棱锥中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积的最大值为 C．若，则三棱锥外接球的表面积为 D．若，则点在平面的投影是的外心 13．（25-26高一下·福建南平·期中）（多选）已知正四棱台中，，则下述正确的是（    ） A．该四棱台的高为 B．该四棱台的体积为 C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为 14．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 15．（25-26高一下·山东烟台·期中）已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______. 16．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则其内切球的表面积为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $