期中复习专题08 球的外接与内切问题【9大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题08 球的外接与内切问题 题型预览 题型一 汉堡模型 题型二 墙角模型 题型三 斗笠模型 题型四 对棱相等模型 题型五 面面垂直模型 题型六 矩形模型 题型七 二面角模型 题型八 台体模型 题型九 内切球的问题 知识清单 球的表面积和体积 1．球的表面积公式S＝ 4πR2 (R为球的半径)． 2．球的体积公式V＝ πR3 ． 题型突破 题型一 汉堡模型 1．（25-26高三上·河北石家庄·月考）在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算三角形外接圆的半径，再求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设是等腰三角形的外心， 由，， ， 设三角形外接圆半径为，由正弦定理得， 设三棱锥外接球球心为，半径为，则， 所以外接球的表面积为. 故选：D 2．（2026·山西临汾·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由及正弦定理，得外接圆半径， 在三棱锥中，由平面，得三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 因此三棱锥外接球球心到平面的距离， 所以三棱锥外接球半径，该球的表面积. 3．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，将三棱锥补形成长方体，利用长方体与该三棱锥的相同的外接球求解. 【详解】 设棱的中点分别为，连接， 构造长方体，则长方体外接球的表面积 即为三棱锥外接球的表面积．依题意，， 设长方体外接球的半径为R，则， 所以其外接球的表面积． 故选：B 4．（25-26高二上·北京·期中）已知球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则球的表面积与圆柱的表面积之比为（    ） A．1:1 B．2:3 C．3:4 D．1:2 【答案】B 【分析】求出球的表面积与圆柱的表面积可得答案. 【详解】球的半径为，则球的表面积为， 圆柱的底面半径为，高为， 则圆柱的表面积为， 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为. 故选：B. 5．（2025·江西·模拟预测）已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】设正六边形，的中心分别为，，连接，可得正六棱柱外接球的球心为的中点，再结合棱柱的体积公式求出，进而求得外接球的半径，再结合球的表面积公式计算即可. 【详解】设正六边形，的中心分别为，，连接， 则正六棱柱外接球的球心为的中点， 该正六棱柱的外接球的半径为， 因为正六棱柱的体积为，， 所以，解得，又， 所以，从而. 故答案为：. 题型二 墙角模型 6．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，、、两两垂直，，，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】将三棱锥补形为一个长方体，则球的直径即为长方体的体对角线，再利用球的表面积公式计算即得答案. 【详解】如图所示： 将三棱锥补形为一个长方体，则球的直径即为长方体体对角线. 设外接球的半径为R 即，故. 故答案为：. 7．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】本题根据题意以PA，PB，PC为棱构造长方体，长方体的对角线即为该三棱锥外接球的直径，计算即可得出结果. 【详解】在三棱锥中，因为PA，PB，PC两两垂直，且， 以PA，PB，PC为棱构造一个长方体， 则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球， 由题意可知，这个长方体的体对角线的中点是三棱锥的外接球的球心， 三棱锥的外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 8．（25-26高二上·北京·期中）在三棱锥中，，、、两两垂直，则该三棱锥外接球的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补成正方体，可知三棱锥的外接球直径即为正方体的体对角线长，求出的值，结合球体体积公式可求得结果. 【详解】在三棱锥中，，、、两两垂直， 将三棱锥补成正方体， 所以三棱锥的外接球直径即为正方体的体对角线长， 故，可得， 因此该三棱锥外接球的体积为. 故选：B. 9．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：A. 10．（24-25高一下·黑龙江·期末）在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的体对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积． 【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，则， 所以，所以球的表面积为. 故选：B． 题型三 斗笠模型 11．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________. 【答案】 【分析】根据给定条件，确定外接球球心位置，利用球的截面小圆性质求出球半径即可. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，取线段的中点，连接， 则，，设点在底面的射影为点， 则为正的中心，，则， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，设球的半径为R， 则，由勾股定理得，即，解得， 所以该正三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 12．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取正三棱锥的底面中心为，设外接球的球心为，先由三棱锥的体积求出正三棱锥的高为，再由勾股定理求出球的半径，最后求出表面积即可. 【详解】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上. 设正三棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正三角形的面积为， 所以，解得. 球心到底面的距离为， 由，得， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该圆锥的高为，所以，解得， 设球的半径为，由题意知，解得， 所以球的表面积为． 14．（25-26高三上·山西长治·开学考试）（多选）已知圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则下列结论正确的是（    ） A．该圆锥的母线长为2 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．该圆锥外接球的表面积等于 【答案】ABC 【分析】根据圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，即可计算母线长，进而判断A，利用圆锥体积公式计算即可判断B，计算圆锥的侧面积即可判断C，先计算外接球的半径，再计算球的表面积即可判断D. 【详解】设母线长为，底面半径为，因为轴截面是面积为的等边三角形， 所以，解得，底面半径，故A正确； 圆锥高，体积，故B正确； 侧面展开扇形的弧长为，侧面积为，故C正确； 设圆锥的外接球的球心为，半径为，轴截面如图所示： 在等边中，外接圆半径为，即， 所以圆锥的外接球的表面积，故D错误． 故选：ABC． 15．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 【答案】 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，外接球的半径为，连接，则， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 16．（24-25高三上·天津和平·月考）已知四棱锥的高为2，底面为菱形，，分别为的中点，则四面体的体积为_________；若点在底面投影点为菱形中心，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【分析】根据中点，得到，故，先得到为全等的等边三角形，故，从而求出四面体的体积，再作出辅助线，找到三棱锥的外接球的球心，进而根据半径相等得到方程，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】如图，设，连接， 底面为菱形，故为的中点， 又分别为的中点，所以， 故， 又， 故， 因为四边形是菱形，， 所以为全等的等边三角形， 故菱形的面积为， 四棱锥的高为2，所以， 故； 若点在底面投影点为菱形中心， 连接，则⊥底面，且， 因为为等边三角形， 所以三棱锥的外接球球心在底面的投影为的中心， 因为，所以， 所以， 过点作⊥于点，设，则， 则， 由勾股定理得，， 因为，所以，解得， 故外接球半径， 三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：， 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 题型四 对棱相等模型 17．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 18．（2025高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可. 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 19．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的体积即可. 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 20．（24-25高一下·辽宁·期末）已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理得，再补成正方体得外接球得半径，最后根据球体积公式得结果. 【详解】因为所以，， 即， 因为，，所以平面，同理可得平面， 所以可作为边长为1的正方体的四个顶点， 因为正方体的外接球直径为，所以外接球的半径为， 因此球的体积为， 故选：A. 题型五 面面垂直模型 21．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由外接球球心的定义即可确定其位置，然后由勾股定理可得外接球的半径，再由球的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为是等腰直角三角形，，， 则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆半径为， 由正弦定理可得，解得， 设外接圆圆心为，外接圆的圆心为， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 故选：C 22．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 【答案】D 【分析】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理：平面， 设等边的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O， 则平面，平面， 所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 在等边中由正弦定理得，解得：， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：D. 23．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接圆的半径为，四棱锥的外接球的半径为，利用正弦定理求出，再由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】依题意，，设外接圆的半径为， 四棱锥的外接球的半径为， 则，即， 又侧面底面，底面为正方形， 侧面底面，，平面， 所以平面， 所以， 所以四棱锥的外接球的表面积. 故选：B 24．（24-25高二上·陕西西安·月考）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设中点为，连接，过点作，进而根据已知条件证明三棱锥的外接球的球心在上，再设外接球的半径为，球心为，中点为，连接，再根据几何关系得，进而代入数据计算即可得答案 【详解】设中点为，连接， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，， 所以，， 过点作， 因为平面平面，平面平面，平面，平面 所以平面，平面， 所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为， 则由得，由得， 又因为， 所以为等腰直角三角形， 设球心为，中点为，连接， 则， 所以， 即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 25．（24-25高二上·广东·月考）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 【答案】B 【分析】令的外心为，取中点，由已知可得四边形是矩形，利用球的截面性质求出球半径即可得解. 【详解】在中，，则，中点为的外心， 于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC， 平面平面，平面，则平面，， 令正的外心为，则为的3等分点，， 又平面，则，而，则四边形是矩形， ，因此球O的半径， 所以球O的表面积为. 故选：B 题型六 矩形模型 26．（25-26高二下·浙江·期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________ 【答案】 【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】由题设，都是直角三角形，只需平面即可， 所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上， 而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等， 所以的中点是外接球的球心，所以． 故答案为：. 27．（2026·广东广州·一模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析出三棱锥的外接球是一个长方体的外接球，是其外接球的直径，求出长方体的外接球的半径，再由球的表面积公式求解即可. 【详解】将三棱锥放在一个长方体中，如图所示， 则是长方体外接球的直径， 因为是直角三角形，且， 所以， 所以球的直径， 所以半径为，球的表面积为.    故选：C 28．（25-26高一下·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，，，，，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为________. 【答案】 【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图①所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图②所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积. 【详解】将沿翻折到与共面时，得到平面四边形如图①所示， 设，即， 由题意得，， 在中，由余弦定理得 即 即， 解得或（舍去）， 所以， 将三棱锥补成长方体如图②所示， 该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径， 所以外接球的体积. 故答案为：. 29．（24-25高一下·安徽滁州·期末）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）．已知四面体为鳖臑，平面，且，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】由已知，可根据题意，设，然后根据体积为1，求解出，然后把鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，可根据长方体的外接球半径是其体对角线的一半求解出外接球半径，从而求解外接球表面积. 【详解】由已知，因为平面，可令， 所以，所以， 所以， 由已知，鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，设其外接球半径为， 所以其外接球的半径， 所以其外接球的表面积. 故答案为：. 题型七 二面角模型 30．（2026·四川成都·模拟预测）三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____ 【答案】 【分析】设利用双曲线的定义确定点、的轨迹，作的中垂线，结合二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将点的坐标表示出来，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程，求出球的半径，再用球的表面积公式计算结果. 【详解】在平面内，，以中点为原点，为轴正向， 过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系， 容易得到:点在双曲线上， 同理，在平面内，以中点为原点，为轴正向，过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，容易得到，点在双曲线上， 由，所以、两点在直线上的投影相同，记为， ∴设，则因为, 所以为平面的平面角,所以中，， 由余弦定理，，解得:，所以 又，所以重合，则， 所以的外接圆圆心分别为的中点，分别记为， 记为外接球球心，则平面平面， 则四点共面，且四边形中，， 因为，所以， ， 在中，. ∴三棱锥的外接球的表面积为. 31．（2025高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定二面角的平面角，再求三棱锥外接球的半径，最后利用球的体积公式计算的结果． 【详解】如图，设的中点分别为，连接， 则，，因为等边三角形中，是的中点，将沿中线折起， 所以，进而，所以为二面角的平面角，故． 因为，都是直角三角形，记三棱锥外接球的球心为，连接， 因为为的中点，则， 又，，所以平面，所以， 又，，所以平面，所以， 同理得， 由，可知，且，所以平分， 因为，，所以，在中，，， 所以，即三棱锥外接球半径为． 所以所求体积为． 故选：C. 32．（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到翻折后四面体ABCD是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面AOC，又可求体积. 【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面AOC，， 所以平面AOC， 二面角的大小为，， , 故所求体积之比为， 故选：D． 33．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是_____ 【答案】/ 【分析】取中点，连接，推得，即得 是等边三角形，分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点，可得点为四面体的外接球的球心，分别求出，即可求得外接球半径即得. 【详解】 如图，取中点，连接， 因，则，且， 又二面角的平面角为 60°，即， 故 是等边三角形， 分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点， 则点为四面体的外接球的球心， 由已知可得， 连接，易得，故得，，则， 在中，， 故该球的表面积是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查三棱锥的外接球的半径求法问题，属于难题. 解题思路在于：先找到二面角的平面角，推得正三角形，分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点 ，即外接球球心，结合图形即可求得外接球半径. 题型八 台体模型 34．（25-26高二上·江西上饶·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 35．（2025·四川泸州·模拟预测）已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆台的高为，其外接球的半径为，根据圆台的体积公式，求得，分球心在圆台的内部和外部，列出方程求得的值，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆台的高为，其外接球的半径为， 因为圆台的体积为，可得，解得， 若球心在圆台的内部，可得，解得， 所以外接球的表面积为； 若球心在圆台的外部，可得，此时无解， 综上可得，外接球的表面积为. 故选：C. 36．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正四棱台的体积公式求出该棱台的高，然后取正四棱台上、下底面中心分别为，根据勾股定理列出等式，确定其外接球 球心的位置，从而求得其半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为和， 所以该正四棱台上底面面积为，下底面面积为. 设正四棱台的高为，则根据正四棱台的体积公式得 ，解得. 设正四棱台上、下底面中心分别为，则其外接球球心在线段上， 因为， 设外接球的半径为，设，则，因为， 所以，化简得， 即正四棱台的外接球球心位于处. 此时，所以该棱台的外接球体积为. 37．（2025高二上·江西南昌·专题练习）若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示，    则其外接球球心在直线上， ，，， 所以，， 由，设， 可得， 解得， 所以外接球半径即， 所以其外接球表面积为. 故选：A 题型九 内切球的问题 38．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设球半径为，圆锥的底面圆半径为，高为， 轴截面如图所示， ， 因为球是轴截面为正三角形的圆锥的内切球， 所以，， 所以， 所以圆锥的表面积与球的表面积之比为. 39．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球的面积公式求出内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球表面积为，设其内切球半径为， 所以，解得， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 40．（25-26高三上·云南·月考）如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为______. 【答案】 【分析】根据正四面体的体积公式和球的体积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接，，，，，，则， ， 又，则， 所以，大球的体积为. 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 所以，所以一个小球的体积为， 故其中一个小球与大球的体积比为. 故答案为：. 41．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式：.） 【答案】 【分析】设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合球的体积公式即可求解． 【详解】如图，设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得， 即， 整理得，所以， 故两球体积之和为 ， 由二次函数性质可知：当且仅当时，有最小值， 即两球体积之和的最小值为． 故答案为：． 42．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 故球与棱台的体积比为. 故选：C. 强化训练 1．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆台体积公式求出高，再根据外接球球心在上下底面圆心连线上，由球心到两底面圆周的距离相等列方程求出外接球半径，代入球的体积公式计算结果. 【详解】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得， 设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以， 设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为. 2．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 3．（2026·福建·二模）已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先找到的外接圆圆心位置，结合三棱锥的体积确定外接球半径及外接球球心的位置，并利用勾股定理建立关于的方程求解，最后用球的表面积公式计算求解. 【详解】 已知，，所以的面积. ，直角三角形外接圆圆心为斜边中点， 设中点为，则. 因为三棱锥体积，代入得，， 又，为中点，由等腰三角形三线合一得， 且 ， 因此平面，即在底面投影为. 设，球半径为，则. ，， 联立得，解得，因此. 即球的表面积. 4．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径. 【详解】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 5．（25-26高一下·吉林长春·月考）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积与体积公式求解即可. 【详解】因为，，则，故. 又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长. 设三棱锥的外接球半径为， 则，故. 因此该球的表面积为， 体积为. 6．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，判断点到三棱锥的距离都相等，得到外接球半径，代入求解即可. 【详解】 因为为等边三角形，所以. 在等腰中，，则. 在中，，，， 则，所以. 同理可得，. 取中点，连接，. 在中，有；在中，有， 则点到三棱锥的距离都相等，则点即为三棱锥的外接球的球心， 显然，的外接球的半径为. 所以球的表面积. 7．（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积. 【详解】设点在底面的投影为，因为， 所以点是的外心，则，且底面，球心在上， 由正弦定理得外接圆的直径径，解得半径， 即，则， 设，外接圆半径为，则， 则，且， 则，解得，则外接球半径， 则三棱锥外接球的表面积为. 8．（25-26高一下·河南·期中）（多选）在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（    ）． A．当增大时，四棱锥的体积逐渐增大 B．若，则三棱锥的体积为 C．若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为 D．若，则三棱锥的内切球半径为 【答案】BCD 【分析】对A，表示出四棱锥的体积，结合正弦函数的性质判断；对B，由结合选项A求解判断；对C，由题可得，将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球，运算得解；对D，由分割体积，运算得解. 【详解】对于A，由题可知，， 当增大时，的值先增大后减小，所以四棱锥的体积先增大后减小，故A错误； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，若四棱锥有外接球，即菱形有外接圆，则， 将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球， 可得其外接球的半径，所以其外接球的表面积为，故C正确； 对于D，若，设三棱锥的内切球半径为， 则， 所以， 解得，故D正确.    9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知圆锥的底面半径等于，高等于1，则（    ） A．圆锥的体积为π B．过圆锥顶点的截面面积的最大值为2 C．圆锥外接球的表面积为16π D．圆锥的母线与底面所成角大小为60° 【答案】ABC 【分析】对 A，圆锥体积公式直接代入已知的底面半径和高计算验证；对 B，设截面两母线夹角为 θ，利用三角形面积公式 结合三角函数有界性分析面积最大值；对 C，利用圆锥外接球球心在高所在直线上，由求解外接球半径 ，进而计算表面积；对 D，找出母线与底面所成角的平面角，在直角三角形中通过三角函数值计算角度判断. 【详解】整理已知条件可知：圆锥底面半径，高，母线长，逐一分析选项： 对于A：圆锥体积公式，代入得： ，A正确； 对于B：过圆锥顶点的截面为等腰三角形，两腰均为母线长，设两母线夹角为，则截面面积. 设轴截面顶角，则，得， 因此最大值为（当时），，B正确； 对于C：圆锥外接球球心在高所在直线上，设外接球半径为，由可得， 解得，外接球表面积，C正确； 对于D：圆锥母线与底面所成角为母线和其在底面投影（底面半径）的夹角，在直角三角形中， 得，D错误. 【点睛】本题综合考查圆锥的几何性质，涉及体积、截面面积、外接球表面积计算及空间线面角求解，核心运用数形结合思想与解直角三角形方法. 10．（2026·辽宁沈阳·二模）（多选）若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 【答案】ACD 【分析】先根据表面积计算出正四面体的棱长，然后运用正四面体的性质求出高，进而得到体积，最后通过将四面体放入正方体求解外接球表面积. 【详解】设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，A正确； 作平面，垂足为，则为的重心，连接延长交于中点， 则有，于是该正四面体的高为，B错误； 由 A选项和B选项的分析可知该正四面体的体积为，C正确； 将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，且四面体的外接球即为正方体的外接球， 其半径为，表面积为，D正确. 11．（2026·湖南·三模）如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 【答案】 【分析】作出辅助线，转化为三棱柱的外接球问题，结合正弦定理和余弦定理得到答案 【详解】如图，过作，且，过作，且， 连接，，，，根据题意可知，， 由题意知，，，所以， 又，是平面内的两条相交直线，所以⊥平面， 所以三棱柱为直三棱柱． 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同，设其半径为． 由，知，设三角形的外接圆半径为， 则，求得． 设，则，在中，设，， 则，， 代入，解得或（舍），． 12．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】 根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的表面积为 13．（25-26高一下·吉林·月考）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则外接球体积为________． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆台的高为，设圆台的外接球的半径为，球心到圆心的距离为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】设圆台的上底面圆的圆心为，半径为，下底面圆的圆心为，半径为， 圆台的母线为，圆台的高为，则 可得， 设圆台的外接球的球心为，半径为，球心到下底面圆心的距离为， 可得，即， 可得，解得，所以， 所以圆台的外接球的体积为. 14．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【答案】 【分析】分别求出和外接圆的圆心，利用几何关系寻找外接球球心和外接圆圆心的数量关系，即可得到外接球的半径. 【详解】 因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为， 由正弦定理可得，解得， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 球的外接与内切问题 题型预览 题型一 汉堡模型 题型二 墙角模型 题型三 斗笠模型 题型四 对棱相等模型 题型五 面面垂直模型 题型六 矩形模型 题型七 二面角模型 题型八 台体模型 题型九 内切球的问题 知识清单 球的表面积和体积 1．球的表面积公式S＝ 4πR2 (R为球的半径)． 2．球的体积公式V＝ πR3 ． 题型突破 题型一 汉堡模型 1．（25-26高三上·河北石家庄·月考）在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）. A． B． C． D． 2．（2026·山西临汾·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京·期中）已知球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则球的表面积与圆柱的表面积之比为（    ） A．1:1 B．2:3 C．3:4 D．1:2 5．（2025·江西·模拟预测）已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为______. 题型二 墙角模型 6．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，、、两两垂直，，，则球的表面积为______． 7．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为__________. 8．（25-26高二上·北京·期中）在三棱锥中，，、、两两垂直，则该三棱锥外接球的体积为（    ）． A． B． C． D． 9．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·黑龙江·期末）在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型三 斗笠模型 11．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________. 12．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·山西长治·开学考试）（多选）已知圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则下列结论正确的是（    ） A．该圆锥的母线长为2 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．该圆锥外接球的表面积等于 15．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 16．（24-25高三上·天津和平·月考）已知四棱锥的高为2，底面为菱形，，分别为的中点，则四面体的体积为_________；若点在底面投影点为菱形中心，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 题型四 对棱相等模型 17．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 18．（2025高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 19．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·辽宁·期末）已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 题型五 面面垂直模型 21．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 23．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·陕西西安·月考）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二上·广东·月考）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 题型六 矩形模型 26．（25-26高二下·浙江·期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________ 27．（2026·广东广州·一模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一下·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，，，，，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为________. 29．（24-25高一下·安徽滁州·期末）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）．已知四面体为鳖臑，平面，且，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为__________． 题型七 二面角模型 30．（2026·四川成都·模拟预测）三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____ 31．（2025高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 33．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是_____ 题型八 台体模型 34．（25-26高二上·江西上饶·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 35．（2025·四川泸州·模拟预测）已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 36．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 37．（2025高二上·江西南昌·专题练习）若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 题型九 内切球的问题 38．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 39．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高三上·云南·月考）如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为______. 41．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式：.） 42．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 强化训练 1．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建·二模）已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·吉林长春·月考）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·河南·期中）（多选）在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（    ）． A．当增大时，四棱锥的体积逐渐增大 B．若，则三棱锥的体积为 C．若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为 D．若，则三棱锥的内切球半径为 9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知圆锥的底面半径等于，高等于1，则（    ） A．圆锥的体积为π B．过圆锥顶点的截面面积的最大值为2 C．圆锥外接球的表面积为16π D．圆锥的母线与底面所成角大小为60° 10．（2026·辽宁沈阳·二模）（多选）若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 11．（2026·湖南·三模）如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 12．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 13．（25-26高一下·吉林·月考）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则外接球体积为________． 14．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $