期末复习专题12 统计【8大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题12 统计 知识点1：全面调查和抽样调查 全面调查 抽样调查 定义 对 每一个 调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中 抽取一部分 个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出 估计 和 推断 的调查方法，称为抽样调查 相关概念 总体：在一个调查中，我们把 调查对象的全体 称为总体． 个体：组成总体的 每一个调查对象 称为个体 样本：我们把从总体中抽取的 那部分 个体称为样本． 样本容量：样本中包含的 个体数 称为样本容量，简称样本量 知识点2：简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中 逐个 抽取n( 1≤n＜N )个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都 相等 ，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内 未进入样本的各个个体 被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样 【注意】　简单随机抽样的特点 (1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的． (2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的． (3)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等． 知识点3：简单随机抽样的方法 1．抽签法 先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个 不透明 的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数． 2．随机数法 (1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数． (2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数．②用信息技术生成随机数． 抽签法、随机数法的步骤 知识点4：总体均值和样本均值 1．总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝ ＝为总体均值，又称总体平均数． 2．总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k( k≤N )个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝． 3．样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝ ＝为样本均值，又称样本平均数． 【注意】　总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，在简单随机抽样中，我们常用样本均值估计总体均值． 知识点5：分层随机抽样的相关概念 1．分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行 简单随机 抽样，再把所有子总体中抽取的样本 合在一起 作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 2．比例分配：在分层随机抽样中，如果每层 样本量 都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 使用分层随机抽样的前提 分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． 1．分层随机抽样的相关计算的2个关系 (1)． (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．2．分层随机抽样的步骤 第一步，按某种特征将总体分成 若干部分(层) ； 第二步，计算各层所占 比例 ； 第三步，计算各层抽取的 个体数 ； 第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本； 第五步，综合每层抽样，组成总样本． 分层随机抽样中的平均数 1．在分层随机抽样中，如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为两层的总体平均数分别为则样本平均数＝ ，总体平均数＝ ． 2．在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数．即． 知识点6：获取数据的基本途径 获取数据的基本途径 适用类型 注意问题 通过调查 获取数据 对于有限总体问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验 获取数据 没有现存的数据可以查询 需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察 获取数据 自然现象 要通过长久的持续观察获取数据 通过查询 获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 选择获取数据的途径的依据 选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性． 知识点7：频率分布直方图 画频率分布直方图的步骤 (1)求极差：极差为一组数据中 最大值 与 最小值 的差． (2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成 5～12 组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． (3)将数据分组． (4)列频率分布表：一般分四列：分组、 频数累计 、频数、 频率 ．其中频数合计应是样本容量，频率合计是 1 ． (5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 ．小长方形的面积＝组距× ＝ 频率 ．各小长方形的面积总和等于1． 绘制频率分布直方图的注意点 (1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1． (2)横轴表示样本数据，纵轴表这样每一组的频率可以用该组的组距为底、． (3)画频率分布直方图的关键是确定矩形的高，一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度不一致． 频率分布直方图具备的性质 (1)因为小长方形的面积＝组距×＝ 频率 ，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． (2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于 1 ． (3)样本容量＝． 知识点8：条形图、折线图、扇形图 (1)条形图 用途：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 优点：当数据量很大时，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各个区间的具体数目． 缺点：会损失数据的部分信息． (2)折线图 用途：描述数据随时间的变化趋势． 优点：可以表示数量的多少，直观反映数量的增减情况，即变化趋势． 缺点：不能直观反映数据的分布情况． (3)扇形图 用途：直观描述各类数据占总数的比例． 优点：可以直观地反映出各种情况所占的比例． 缺点：看不出具体数据的多少． 【注意】(1)条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率． (2)扇形图是用整个圆的面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数． (3)在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义． 知识点9：百分位数的定义 1．第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按 从小到大 排列原始数据． 第2步，计算i＝ n×p% ． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第 j 项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 平均数 ． 3．四分位数 (1)中位数相当于是第 50 百分位数．除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数． (2)第 25 ，50 ，75 百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． (3)第25百分位数也称为第 一 四分位数或 下 四分位数等，第75百分位数也称为第 三 四分位数或 上 四分位数等． 求百分位数的注意事项 (1)求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列． (2)计算i＝n×p%后要弄清i是整数还是非整数． 由频率分布直方图估计百分位数的方法 (1)确定百分位数所在的区间[a，b)． (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为 a＋×(b－a) ． 知识点10：众数、中位数、平均数 1．众数：一组数据中出现 次数 最多的数． 2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在 中间 位置的数(或中间两个数的 平均数 )叫做这组数据的中位数． 3．平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数． 【注意】　(1)一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个(如1，2，2，3，3，4，5，6这组数的众数是2和3)，还可以没有(如1，2，3，4，5，6这组数就没有众数)． (2)众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数． 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数． 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 知识点11：方差、标准差 1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 数据x1，x2，…，xn的方差为＝， 标准差为． 2．总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为则称S2＝为总体方差，S＝ 为总体标准差． (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k( k≤N )个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为f i(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝． 3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为则称s2＝ 为样本方差，s＝ 为样本标准差． 4．标准差的意义 标准差刻画了数据的 离散程度 或 波动幅度 ，标准差越大，数据的离散程度越 大 ；标准差越小，数据的离散程度越 小 ． 对方差与标准差概念的理解 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞). 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. 方差和标准差的计算技巧与性质 (1)方差的计算 ①基本公式：s2＝2＋2＋…＋]． ②简化计算公式：s2＝即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． (2)方差和标准差的性质 若把一组数据的每一个数变为原来的k倍并加上或减去常数a，则它的标准差变为原来的k倍，方差变为原来的k2倍，而与a的大小无关． 分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为方差分别为则这个样本的方差为 s2＝ ． 考点一 普查与抽样 考点二 简单随机抽样 考点三 分层抽样 考点四 条形图、折线图、扇形图 考点五 众数、平均数、中位数、极差 考点六 百分位数 考点七 方差、标准差 考点八 频率分布直方图 考点一 普查与抽样 1．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（    ） A．对某市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 B．对某品牌手机电池待机时间的调查 C．对某校九年级（1）班学生视力情况的调查 D．对长江水质情况的调查 【答案】C 【分析】根据全面调查（普查）适合调查范围小、易实施、无破坏性的调查的特点，逐一分析四个选项的调查场景. 【详解】对于A：对某市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，适合抽样调查； 对于B：对某品牌手机电池待机时间的调查，具有破坏性，适合抽样调查； 对于C：对某校九年级（1）班学生的视力情况的调查，人数较少，适合全面调查； 对于D：对长江水质情况的调查，范围广，适合抽样调查. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生成绩是（   ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【答案】C 【分析】根据总体，个体，样本，样本量的定义判断即可. 【详解】由题意可得200名学生成绩是样本． 3．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 【答案】C 【详解】总体是指360名学生的数学成绩，个体是每一名学生的数学成绩，样本是36名学生的数学成绩，只有C正确. 4．（25-26高一下·吉林四平·阶段检测）下列调查中，适合用普查的是（    ） A．调查全国居民的食品消费结构 B．调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标 C．调查某款新能源汽车电池的使用寿命 D．检查某载人飞船零部件的质量情况 【答案】D 【详解】A选项，全国居民数量庞大，全面调查难度大､成本高，适合抽样调查，A错误； B选项，调查一批袋装牛奶的细菌数具有破坏性，适合抽样调查，B错误； C选项，调查电池使用寿命会对电池造成损坏，适合抽样调查，C错误； D选项，载人飞船零部件的质量关乎飞行安全，必须确保每个零部件都合格，适合用普查，D正确. 5．（25-26高一上·重庆·开学考试）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．了解兰州白兰瓜的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D 【详解】切开白兰瓜具有破坏性，故A不符合题意； 测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故B不符合题意； 兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故C不符合题意； 航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故D符合题意. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列判断正确的是（    ） A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 【答案】D 【分析】根据样本及总体的定义及统计概念判断各个选项. 【详解】样本平均数可能大于总体平均数，也可能小于总体平均数，也可能等于总体平均数，因此A，B，C都有可能正确，也有可能是错误的， 但是当样本容量越大时，样本平均数越接近总体平均数，因此D正确. 故选：D. 考点二 简单随机抽样 7．（24-25高二下·上海·阶段检测）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第3个零件编号是______． 0647 4373 8686 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 【答案】26 【分析】按照随机数表抽样的规则，从指定位置开始逐次读取两位数字，筛选出到范围内不重复的编号，找到第三个有效编号即可。 【详解】首先明确有效编号范围为到。 读取规则为：从第一行第3列开始，从左到右依次读取两位数字，数值的编号舍去，重复出现的编号仅保留第一次读取的结果. 读取过程如下： 首次读取两位数字为47，大于39，舍去； 后续依次读取得到43、73、86、86、96、47，均大于39，全部舍去； 读取得到36，符合要求，为第1个有效编号； 后续依次读取得到61、46、98、63、71、62，均大于39，全部舍去； 读取得到33，符合要求，为第2个有效编号； 接下来读取得到26，符合要求，为第3个有效编号； 故所求第3个零件编号为26. 8．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【答案】A 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 9．（25-26高二下·上海宝山·期中）某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【答案】176 【详解】第1行第7列的数字开始，依次抽取175，068，331，047，447，176， 故第6个被抽到的同学的编号为176 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 【答案】ABC 【分析】由简单随机抽样的定义逐项判断即可. 【详解】抽签法是简单随机抽样，所以A正确； 随机数表法是简单随机抽样，所以B正确； 简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限，所以C正确； 简单随机抽样要求从总体中逐个抽出样本，所以D错误. 故选：ABC． 11．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（   ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 【答案】BD 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可. 【详解】根据简单随机抽样的概念：从有限总体中进行随机、不放回抽样， 可知 A不是逐个抽取，C不是不放回抽取，故不是简单随机抽样，BD是简单随机抽样． 故选：BD 12．（25-26高一下·全国·课后作业）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（   ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中拿出一件自己喜欢的来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可求解. 【详解】对于A，抽取个子最高的5名，不是随机抽取，不是简单随机抽样，故A不符合题意； 对于B，从有限总体中进行随机、不放回抽样，符合简单随机抽样的特征，故B符合题意； 对于C，不具有随机性，不是简单随机抽样，故C不符合题意； 对于D，总体个数是无限的，不是简单随机抽样，故D不符合题意. 故选：B． 考点三 分层抽样 13．（2025高二下·福建·学业考试）男女运动员的比例是，从中抽取容量为28的样本，则抽取男运动员的人数为（    ） A．22 B．18 C．16 D．12 【答案】C 【分析】利用男运动员的占比乘以样本容量即可求得抽取的男运动员人数. 【详解】，故抽取男运动员的人数为人. 14．（25-26高一下·宁夏银川·期中）高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为样本按比例分配，男女比例为， 所以应抽取的男生人数为. 15．（河南郑州市第七十四中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题）某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】先计算分层随机抽样的抽样比，再分别求出人工智能部门和软件开发部门的抽取人数，作差得到结果. 【详解】总员工数为780，抽取样本量为65，因此抽样比， 人工智能部门共360人，被抽取人数为， 软件开发部门共240人，被抽取人数为， 则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差为. 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（    ） A．人，人，人 B．人，人，人 C．人，人，人 D．人，人，人 【答案】A 【详解】因为，所以甲校应抽取， 乙校应抽取，丙校应抽取. 17．（2026·湖南株洲·模拟预测）某中学七年级有200人，八年级有220人，九年级有180人，用简单随机抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，若每个学生被抽到的概率为0.3，则（    ） A．180 B．200 C．240 D．260 【答案】A 【详解】由题意，该中学学生总数为， 因每人被抽到的可能性都为0.3，则抽取的样本容量. 18．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某调查小组为了解本月本市居民的用水情况，利用分层随机抽样的方法从X，Y两个社区抽取60名居民，已知X社区有4000人，Y社区有2 000人.经计算在抽取的60名居民中，X社区居民用水量的平均数和方差分别为15和80，Y社区居民用水量的平均数和方差分别为18和100，则两个社区的居民用水量的方差的估计值为（    ） A．86.7 B．88.7 C．90 D．100 【答案】B 【分析】先根据分层抽样比例算出、社区各自抽取的样本量，再计算60名样本居民用水量的总平均数，最后套用分层随机抽样的总体方差公式计算得到方差估计值. 【详解】总人数为（人），抽取人，则抽样比为. 而社区的权重为，社区的权重为. 这两个社区的居民用水量的平均数的估计值为， 所以这两个社区的居民用水量的方差的估计值如下， 为. 考点四 条形图、折线图、扇形图 19．（25-26高三上·河北邯郸·开学考试）某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：    下列结论正确的是（   ） A．该校2023年与2022年的本科达线人数比为6:5 B．该校2023年与2022年的专科达线人数比为6:7 C．2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80% D．2023年该校不上线的人数有所减少 【答案】C 【分析】设2022年的高考人数为100，则2023年的高考人数为150，再根据扇形统计图中各个种类的人数所占的比例，逐个选项判断即可． 【详解】不妨设2022年的高考人数为100，则2023年的高考人数为150， 2022年本科达线人数为50，2023年本科达线人数为90， 2023年与2022年的本科达线人数比为9:5， 本科达线人数增加了，故A错误，C正确； 2022年专科达线人数为35，2023年专科达线人数为45， 2023年与2022年的专科达线人数比为9:7，故B错误； 2022年不上线人数为15，2023年不上线人数也是15，不上线的人数无变化，故D错误． 故选：C. 20．（2026·江西鹰潭·一模）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（    ） A．2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少 B．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多 C．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍 【答案】D 【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解. 【详解】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A错误； 对于BC，知识付费用户数量的逐年增加量分别为： 2016年，；2017年，； 2018年，；2019年，； 2020年，；2021年，； 2022年，； 则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多， 知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故BC错误； 对于D，由， 则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D正确. 故选：D. 21．（25-26高一下·贵州铜仁·期中）年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ）    A．成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人 B．成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半 C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D．成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多 【答案】D 【分析】求得前名的人中，高一人数和高二人数判断选项A；求得成绩第1-名的人中，高一人数判断选项B；求得成绩第1-50名的50人中，高三最多有多少人判断选项C；求得成绩第51-名的50人中，高二人数与高一人数的关系判断选项D. 【详解】由饼状图，成绩前名的人中，高一人数比高二人数多 (人).故选项A判断正确； 由条形图知，成绩第1-100名的人中，前和后人数相等， 因此高一人数为，故选项B判断正确； 成绩第1-50名的50人中，高一人数为, 因此高三最多有32人. 故选项C判断正确； 成绩第51-名的50人中，高二人数无法确定，故选项D判断错误. 故选：D 22．（2025高三·全国·专题练习）（多选）近年来旅游业正从市场复苏转向高质量发展．如图是2024年1月1日—1月7日某市冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（   ） A．中央大街这7日日旅游人数的极差是1.2万人 B．冰雪大世界这7日日旅游人数的中位数是2.4万人 C．冰雪大世界这7日日旅游人数的平均数比中央大街大 D．冰雪大世界这7日日旅游人数的方差比中央大街大 【答案】BC 【分析】根据折线图可求中央大街日旅游人数的极差、冰雪大世界日旅游人数的中位数，判断A、B选项的正误；同样根据折线图可求两者的均值和方差，判断C、D选项的正误. 【详解】冰雪大世界这7日日旅游人数从小到大排列为1.7，1.9，2.3，2.4，2.8，2.8，2.9；中央大街这7日日旅游人数从小到大排列为0.9，1.1，1.2，1.9，2.4，2.4，2.7． 中央大街这7日日旅游人数的极差是万人，A错误； 冰雪大世界这7日日旅游人数的中位数是2.4万人，B正确； 冰雪大世界这7日日旅游人数的平均数为万人， 中央大街这7日日旅游人数的平均数为万人， 又，C正确； 冰雪大世界这7日日旅游人数的方差为， 中央大街这7日日旅游人数的方差为，D错误． 故选：BC. 23．（24-25高二上·山西朔州·阶段检测）如图是一个病人在5月1日和5月2日48小时内的体温记录折线图，根据此图，下列叙述不正确的是（   ） A．每六小时为病人测量一次体温 B．病人在5月1日612时体温下降最快 C．病人在5月2日18时体温是 D．病人在5月1日18时至5月2日18时体温一直在下降 【答案】D 【分析】根据折线图，结合选项即可求解． 【详解】对于A，根据折线统计图可知，每六小时为病人测量一次体温，故A正确； 对于B，根据折线统计图可知，病人在5月1日612时体温下降最快，故B正确； 对于C，根据折线统计图可知，病人在5月2日18时体温是，故C正确； 对于D，根据折线统计图可知，病人5月2日12至18时体温略有上升，所以选项D不正确． 故选：D． 24．（25-26高二下·四川宜宾·期末）下图是我国2012-2018年眼镜及其零件出口金额柱状图及同比增速折线图，则下列说法正确的是（    ）    A．2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额逐年增加 B．2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为16.41 C．2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速逐年减少 D．2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年 【答案】D 【分析】根据出口金额柱状图及同比增速折线图逐项判断. 【详解】根据出口金额柱状图及同比增速折线图， 可看出我国眼镜及其零件出口金额在2016年出现减少，选项A错误； 2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为 ，选项B错误； 2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速先减少，再增加， 后又减少，选项C错误； 从图中可知，2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年， 为，选项D正确. 故选：D 考点五 众数、平均数、中位数、极差 25．（2026·山东聊城·模拟预测）某品牌汽车过去6个月的销量（单位：万辆）分别为3.2，2.8，1.5，1.8，2.4，1.7，则这组数据的中位数为（   ） A．1.8 B．2 C．2.1 D．2.4 【答案】C 【详解】从小到大排列得， 再根据中位数的定义可知这组数据的中位数为. 26．（2026·湖南张家界·三模）某校随机抽取了200名学生进行成绩调研，再从这200名学生中随机抽取8名学生，得到他们的数学成绩如下：，记这组数据的平均数为，则（    ） A．100 B．98 C．101 D．102 【答案】A 【分析】根据平均数的计算公式即可求解． 【详解】由题意可得． 27．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知数据，，…，的平均数为4，将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【详解】由题，可得， 所以将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为， 所以，得. 28．（25-26高二·全国·暑假作业）如果数据，，…，的平均数是，则，，…，的平均数是（   ） A． B． C． D．以上均不是 【答案】C 【详解】∵ 数据的平均数为，∴ ，即. 设新数据的平均数为， 则. 将代入上式，得. 29．（24-25高一下·广西来宾·期末）抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】鞋厂最感兴趣的是销售量，即可根据数据的数字特征来判定. 【详解】鞋厂最感兴趣的是销售量最多的鞋号，即为数据的众数，故鞋厂最感兴趣的是众数. 故选 ：C. 30．（2025·河北沧州·一模）（多选）某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（   ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A．这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B．这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C．这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D．这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间 【答案】AB 【分析】根据频数分布分析数据即可. 【详解】选项A：这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数为，所以A选项正确； 选项B：成绩不超过85的学生人数为，所以B选项正确； 选项C：成绩分布在的人数为30，但不一定成绩的众数为85，所以C选项不正确； 选项D：由于，所以D选项不正确. 故选：AB 31．（25-26高三下·安徽淮南·阶段检测）（多选）一组互不相等的数据从小到大排列为…，去掉后，则（   ） A．极差变大 B．平均数变大 C．中位数变小 D．分位数变大 【答案】BD 【详解】设数据为，去掉后数据为. A：原极差为，新极差为，由于，所以新极差变小，故A错误. B：原平均数为，新平均数为， 差值为，所以新平均数变大，故B正确. C：原中位数为，新中位数为，差值为，新中位数变大，故C错误. D：原分位数，，向上取整，所以为，新分位数则为，差值为，新分位数变大，故D正确. 32．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）（多选）凯里市某七天每天的最高气温分别是37，35，34，36，39，36，34（单位℃），则（    ） A．该组数据的平均数为36 B．该组数据的极差为5 C．该组数据的第60百分位数为37 D．该组数据的中位数为36 【答案】BD 【分析】根据平均数、极差、百分位数和中位数定义和公式逐一求解即可得解. 【详解】该7个数据从小到大排列为：34，34，35，36，36，37，39， 所以改组数据的平均数为，极差为，中位数为第4个数据36， 因为，所以该组数据的第60百分位数为36. 故AC错误，BD正确. 故选：BD 考点六 百分位数 33．（25-26高一下·重庆·期中）某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】比赛的得分升序排列为：， 由，可知下四分位数为第4项和第5项的平均数，即． 34．（河南郑州市第七十四中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题）某餐馆老板为了了解顾客对餐馆的满意情况，随机抽取了12名顾客进行调查，得到他们的满意度指数分别为7，8，6，9，5，8，7，9，6，8，9，8，则这组数据的第75百分位数是（   ） A．6.5 B．7 C．8.5 D．9 【答案】C 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的计算规则求解第75百分位数. 【详解】将12个满意度指数从小到大排序为：5，6，6，7，7，8，8，8，8，9，9，9. 因为， 所以， 因为为整数， 所以第75百分位数为排序第9项和第10项数据的算术平均值， 即，故选项C正确. 35．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（    ） A．95 B．93.5 C．92.5 D．92 【答案】B 【详解】因为，所以10个数据的第40百分位数是第4个和第5个数的平均数， 即. 36．（2026·浙江·三模）已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】D 【分析】按分类，结合第百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3个数4，A可能； 对于B，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3、4个数的平均数4，B可能； 对于C，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第4个数4，C可能； 对于D，，无论取何值，该组数据由小到大排列的第5个数不可能为4，因此不可能为，D不可能. 37．（2026·江苏淮安·模拟预测）一组实数的上四分位数是（   ） A．12 B．13.5 C．15 D．20 【答案】C 【分析】根据四分位数的求法求得正确答案. 【详解】一共有个数字，，取第个数， 所以上四分位数是. 38．（2026·安徽·模拟预测）在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 【答案】C 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 考点七 方差、标准差 39．（2026·山东东营·模拟预测）（多选）一组数据1，2，2，4，5，6，8，则（     ） A．该组数据的极差为7 B．该组数据的中位数为3 C．该组数据的平均数为4 D．将每一个数据增加1，方差会变大 【答案】AC 【详解】样本的极差为，所以A选项正确； 样本的中位数为，所以B选项错误； 样本的平均数为，所以C选项正确； 样本原方差为， 数据全部加后，新样本的平均数为， 新样本的方差为，方差不变，所以D选项错误， 40．（河南郑州市第七十四中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题）为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则__________． 【答案】 【分析】先利用平均数公式求得的值，再结合方差公式得到的值，最后通过完全平方公式的变形求出. 【详解】由题意，，整理得，解得， 又因为，化简为，即， 设，，则，且， 由完全平方公式，代入得，解得， 再由，代入得： ，故， 因此. 41．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知数据，，，，的方差为1，则数据，，，，的方差为________． 【答案】9 【分析】根据方差的性质计算即可. 【详解】因为数据，，，，的方差为1， 所以数据，，，，的方差为. 42．（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16的80%分位数是14 B．若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C．若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D．若数据的平均数为，则的方差为 【答案】BCD 【详解】对于A项，因为，所以 80% 分位数为，故 A 错误； 对于B项，因为数据的平均数为4， 则数据的平均数为，故B正确； 对于C项，原7个数据：，方差， 加入数据 5,6,7 后，新平均数为：， ，故C正确， 对于D项，因为，则方差为，故D正确. 43．（2026·安徽淮南·二模）（多选）已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（   ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 【答案】AB 【分析】根据平均数，方差，标准差，极差的定义及性质可得答案. 【详解】因为一组大小不等的数据的平均数为，而，所以数据的平均数为，所以A正确； 数据的方差为，由方差的性质可得数据的方差为，所以B正确； 标准差为方差的算术平方根，取非负数，所以数据的标准差为，所以C错误； 极差为最大值减最小值，所以原数据极差，新数据的极差应为，所以D错误. 44．（25-26高二·全国·暑假作业）共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（   ） A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小 C．平均数大，方差大 D．平均数大，方差小 【答案】D 【分析】根据平均数、方差的意义进行分析，从而确定正确答案. 【详解】方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大. 平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画， 所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小． 45．（24-25高一下·河南郑州·期末）某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了1000份问卷，并统计每个问卷的满意度得分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该满意度得分的第80百分位数（精确到）和总体平均数； (3)已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为，其中大学生满意度得分的平均数为86，方差为；小学生满意度得分的平均数为96，方差为．请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记总体样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1) (2)第80百分位数为，总体平均数为 (3)平均数为91，方差为 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，可得结果； （2）根据百分位数定义和平均数公式求解即可； （3）由频率分布直方图，先求出1000份问卷的方差，用样本估计总体可得所有学生满意度得分的平均数为，方差为，进而结合题设公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得： ，解得． （2）由， ∴第80百分位数在区间内， 设第80百分位数为，由，得， 可以估计该满意度得分的第80百分位数为． 1000份问卷的平均分可估计为： ， 用样本估计总体，可以估计学生对该活动满意度的总体平均数为． （3）由频率分布直方图，1000份问卷的方差可估计为： ， 用样本估计总体，则所有学生满意度得分的平均数为，方差为． 记大学生满意度得分的平均数为，方差为，小学生满意度得分的平均数为，方差为， 估计中学生满意度得分的平均分为，方差为， 则，所以， ， 解得． 所以估计中学生对该活动满意度得分的平均数为91，方差为． 46．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 【答案】(1)6 (2)平均数为62.4，方差约为39.9 【详解】（1）因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为 1（频率和为 1），组距为 10， 所以 ，所以，解得， 因为：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， 四组总人数：， 抽样比为：因此 应抽取人数： 人； （2）因为与的频率之比为， 又因为落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2， 所以这两组学生成绩的平均数是， 这两组学生成绩的方差是 47．（2026·湖北·三模）（多选）在一组样本数据3，5，5，6，7，7，9中增加一个数据后，下列说法正确的是（    ） A．若众数仅为5，则 B．若平均数不变，则 C．若中位数不变，则 D．若极差为9，则或 【答案】AB 【分析】先求得原始数据的平均数，众数，中位数，极差，再结合选项依次讨论即可得答案. 【详解】原始数据的平均数为， 众数为5和7，中位数为6，极差为， 对于A，原数据众数为5和7，若新众数仅为5，则5的个数须超过7的个数，故增加的，故正确； 对于B，当增加数据后平均数不变，则增加的，故正确； 对于C，原中位数为6，增加后，新中位数为8个数据中第4、5位的平均数， 要使中位数仍为6，经检验只有满足条件，当增加数据后中位数不变，故，故错误； 对于D，当增加数据后极差为9，故当最小时，得； 当最大时，得，故或，故错误. 48．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）（多选）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】BD 【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否存在得分低于分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于分的合格要求. 【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为， 故甲的考核不一定合格，A错误； 对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数， 因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确； 对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为， 故丙的考核不一定合格，C错误； 对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为， 若有一个工作日的得分为，由， 可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于， 故丁的考核一定合格，D正确. 考点八 频率分布直方图 49．（2026·甘肃兰州·模拟预测）（多选）2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 【答案】ACD 【详解】对于A，由题可得，解得，故A正确： 对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误； 对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确； 对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确. 50．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）（多选）某学校学生课间活动的一大特色是跳绳，已知该校共有3600名学生，某数学兴趣小组从全校学生中随机抽取了200名，逐个测量其每分钟跳绳次数，进行统计得频率分布直方图（如图），则（   ） A．图中的值为0.010 B．估计全校学生每分钟平均跳绳次数约为167.6 C．估计全校学生每分钟跳绳次数分位数约为170 D．该样本中在区间内的学生有60人 【答案】ABD 【分析】根据直方图所有小矩形面积之和为1，列方程求出；利用每组的中点值乘以对应的频率，求和得到平均数的估计值；根据频率累加确定分位数所在的区间，利用比例关系计算具体数值；利用频数=样本容量×频率计算指定区间内的人数． 【详解】选项A：由频率分布直方图可知，组距为20， 根据所有矩形面积之和为1，可得：， 解得，故选项A正确； 选项B：各组的频率分别为：， ， ， ， ， 估计全校学生每分钟平均跳绳次数为： ，故选项B正确； 选项C：前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 所以分位数位于第四组内， 设分位数为，则：， 解得，故选项C错误； 选项D：样本中在区间内的频率为， 该样本中在区间内的学生人数为（人），故选项D正确． 51．（2026·甘肃嘉峪关·三模）（多选）为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（   ） A．样本中延迟在内的模型个数为60 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的平均数约为 D．该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟时间较短 【答案】AD 【分析】求出各组频率判断A；利用中位数的定义计算判断B；估计平均数判断C；结合频率分布直方图分析判断D. 【详解】由频率分布直方图知，数据落在各分组区间的频率依次为：， 对于A，样本中延迟在内的模型个数为，A正确； 对于B，由，，得估计样本的中位数落在区间内，B错误； 对于C，样本的平均数约为，C错误； 对于D，该分布峰值在左侧低延迟区间，仅少数模型延迟较高，频率随延迟增大逐渐降低， 因此呈现右拖尾形态，说明大部分模型的延迟较低，D正确. 52．（2026·江苏·模拟预测）（多选）某校100名学生参加唱歌比赛，成绩均在内，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.035 B．成绩在区间内的有15人 C．这100名学生成绩的平均数小于70分 D．这100名学生成绩的第60百分位数为80分 【答案】ABD 【详解】，，A对． ，即内的有15人，B对． 平均分，C错． ，这100名学生成绩的第60百分位数为80分，D对． 53．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）（多选）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩（单位：分）进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图． 下列说法正确的是（    ） A．高一参赛学生成绩的众数是 B．高一参赛学生成绩在的频率是 C．高一参赛学生成绩在的频率是 D．高一参赛学生成绩的平均数是 【答案】ABD 【详解】对于A，频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，所以，A正确； 对于B，高一参赛学生成绩在的频率是，B正确； 对于C，高一参赛学生成绩在的频率是，C错误； 对于D，高一参赛学生成绩的平均数是，D正确． 54．（2026·陕西咸阳·三模）（多选）某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，成绩在的频率分别为，则成绩的中位数， ，解得，B错误； 对于C，成绩在的频率为， 由，得成绩在区间的学生有104人，C正确； 对于D，成绩的平均数，D正确. 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【分析】根据分层随机抽样的比例分配原则求解即可. 【详解】因为A校2400人、B校1800人、C校1200人， 所以A校人数在三所高中人数中占比为， 所以按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人时，A校应抽取的人数为. 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 3．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 4．（2026·安徽·模拟预测）已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】∵，， ∴，则； 则新的样本数据的方差为， 故，. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【分析】运用频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 6．（2026高三·全国·专题练习）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法不正确的是（    ） A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 【答案】D 【分析】利用平均数和百分位数的定义逐项判断即可． 【详解】对于A，由饼图可知，平均数为：，故A正确； 对于B，，，故中位数在这一组， 设中位数为，则，解得，故B正确； 对于C，，，故第40百分位数在这一组， 设第40百分位数为，则，解得，故C正确； 对于D，上四分位数即第75百分位数，，， 故第75百分位数在]这一组，设第75百分位数为， 则，解得，故D错误． 7．（2026·江西九江·模拟预测）某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（   ） A．15 B．13.75 C．12.5 D．11.25 【答案】C 【详解】由题意知，区间的累计频率为， 区间的累计频率为， 区间的累计频率为. 由于，因此续航里程衰减率的第60百分位数位于区间内. 所以估计续航里程衰减率的第60百分位数约为 . 8．（25-26高一下·江苏南京·期中）（多选）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 【答案】ABD 【分析】由统计中的数学特征进行计算即可． 【详解】不妨设，此时，A中极差均为，故A对； ，所以，故B对； C中前者中位数为，后者中位数为或或，故C错； D中前者标准差为， 后者标准差为，故D对. 9．（2026·海南海口·模拟预测）（多选）某地7月份记录高温天气有10天，温度（单位：）由低到高的排列分别如下：33，34，35，36，36，37，37，37，37，38，这10个数的平均数为m，中位数为n，极差为t，方差为．则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，选项A错误. 个数据的中位数是排序后第个和第个数的平均值，第个数是，第个数是，因此，B正确. 最大值为，最小值为，因此，C正确. ，D错误. 10．（2026·安徽合肥·三模）（多选）已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（   ） A．平均数一定相等 B．中位数一定相等 C．标准差一定不相等 D．第百分位数可能相等 【答案】ACD 【详解】不妨设，则， 对于A：第二组数据的平均数为，故A正确； 对于B：第一组数据的中位数为，第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于，故B错误； 对于C：记第一组数据的标准差为， 则第二组数据的标准差为，故C正确； 对于D：第一组数据第80百分位数为， 第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确． 11．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）（多选）是指线上引流、线下消费的商业模式，近年来随着技术的渗透，特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验.已知2020年到2024年我国到家市场规模（单位：千亿元）依次为，则这个数据的（    ） A．极差是 B．中位数是 C．60%分位数是 D．平均数是 【答案】ABD 【详解】极差为，故A正确； 中位数是，故B正确； ，所以分位数是与的平均数，故C错误； ，故D正确. 12．（2025高二下·福建·学业考试）某学校为检测数学成绩，共有500人，且所有人的分数都落在的分数段，则分数落在的人数为__________． 【答案】 【分析】通过计算频率来求得正确答案. 【详解】分数落在的频率为， 对应人数为. 13．（25-26高二·全国·暑假作业）某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步 登山 其中，全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，按比例分配的分层随机抽样方法从中抽取一个200人的样本进行调查，则样本中参与跑步的人数为________，从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________． 【答案】 120 36 【详解】根据题意可知，样本中参与跑步的人数为， 所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为． 14．（2026·河南许昌·三模）某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 【答案】/ 【详解】数据升序排列为：6，9，，，，，，， 上四分位数的位置为， 位置为整数，取第项的平均值． 15．（河南郑州市第七十四中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题）某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 【答案】(1) (2)天 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中，长方形的面积和为1，计算a的值； （2）根据频数等于频率和总数的乘积计算即可； （3）利用每组中间值和频率的乘积之和计算平均数． 【详解】（1）由可得：， 故； （2）低于的组为，，， 对应的频率和为：， 天数为：（天）； （3）各组中间值分别为：25，35，45，55，65， ． 16．（25-26高二下·重庆·期中）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本数据的第百分位数即可； （2）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. （2）由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 统计 知识点1：全面调查和抽样调查 全面调查 抽样调查 定义 对 每一个 调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中 抽取一部分 个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出 估计 和 推断 的调查方法，称为抽样调查 相关概念 总体：在一个调查中，我们把 调查对象的全体 称为总体． 个体：组成总体的 每一个调查对象 称为个体 样本：我们把从总体中抽取的 那部分 个体称为样本． 样本容量：样本中包含的 个体数 称为样本容量，简称样本量 知识点2：简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中 逐个 抽取n( 1≤n＜N )个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都 相等 ，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内 未进入样本的各个个体 被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样 【注意】　简单随机抽样的特点 (1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的． (2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的． (3)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等． 知识点3：简单随机抽样的方法 1．抽签法 先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个 不透明 的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数． 2．随机数法 (1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数． (2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数．②用信息技术生成随机数． 抽签法、随机数法的步骤 知识点4：总体均值和样本均值 1．总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝ ＝为总体均值，又称总体平均数． 2．总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k( k≤N )个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝． 3．样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝ ＝为样本均值，又称样本平均数． 【注意】　总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，在简单随机抽样中，我们常用样本均值估计总体均值． 知识点5：分层随机抽样的相关概念 1．分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行 简单随机 抽样，再把所有子总体中抽取的样本 合在一起 作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 2．比例分配：在分层随机抽样中，如果每层 样本量 都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 使用分层随机抽样的前提 分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小． 1．分层随机抽样的相关计算的2个关系 (1)． (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．2．分层随机抽样的步骤 第一步，按某种特征将总体分成 若干部分(层) ； 第二步，计算各层所占 比例 ； 第三步，计算各层抽取的 个体数 ； 第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本； 第五步，综合每层抽样，组成总样本． 分层随机抽样中的平均数 1．在分层随机抽样中，如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为两层的总体平均数分别为则样本平均数＝ ，总体平均数＝ ． 2．在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数．即． 知识点6：获取数据的基本途径 获取数据的基本途径 适用类型 注意问题 通过调查 获取数据 对于有限总体问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验 获取数据 没有现存的数据可以查询 需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察 获取数据 自然现象 要通过长久的持续观察获取数据 通过查询 获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 选择获取数据的途径的依据 选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性． 知识点7：频率分布直方图 画频率分布直方图的步骤 (1)求极差：极差为一组数据中 最大值 与 最小值 的差． (2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成 5～12 组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． (3)将数据分组． (4)列频率分布表：一般分四列：分组、 频数累计 、频数、 频率 ．其中频数合计应是样本容量，频率合计是 1 ． (5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 ．小长方形的面积＝组距× ＝ 频率 ．各小长方形的面积总和等于1． 绘制频率分布直方图的注意点 (1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1． (2)横轴表示样本数据，纵轴表这样每一组的频率可以用该组的组距为底、． (3)画频率分布直方图的关键是确定矩形的高，一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度不一致． 频率分布直方图具备的性质 (1)因为小长方形的面积＝组距×＝ 频率 ，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． (2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于 1 ． (3)样本容量＝． 知识点8：条形图、折线图、扇形图 (1)条形图 用途：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 优点：当数据量很大时，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各个区间的具体数目． 缺点：会损失数据的部分信息． (2)折线图 用途：描述数据随时间的变化趋势． 优点：可以表示数量的多少，直观反映数量的增减情况，即变化趋势． 缺点：不能直观反映数据的分布情况． (3)扇形图 用途：直观描述各类数据占总数的比例． 优点：可以直观地反映出各种情况所占的比例． 缺点：看不出具体数据的多少． 【注意】(1)条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率． (2)扇形图是用整个圆的面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数． (3)在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义． 知识点9：百分位数的定义 1．第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按 从小到大 排列原始数据． 第2步，计算i＝ n×p% ． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第 j 项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 平均数 ． 3．四分位数 (1)中位数相当于是第 50 百分位数．除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数． (2)第 25 ，50 ，75 百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． (3)第25百分位数也称为第 一 四分位数或 下 四分位数等，第75百分位数也称为第 三 四分位数或 上 四分位数等． 求百分位数的注意事项 (1)求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列． (2)计算i＝n×p%后要弄清i是整数还是非整数． 由频率分布直方图估计百分位数的方法 (1)确定百分位数所在的区间[a，b)． (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为 a＋×(b－a) ． 知识点10：众数、中位数、平均数 1．众数：一组数据中出现 次数 最多的数． 2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在 中间 位置的数(或中间两个数的 平均数 )叫做这组数据的中位数． 3．平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数． 【注意】　(1)一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个(如1，2，2，3，3，4，5，6这组数的众数是2和3)，还可以没有(如1，2，3，4，5，6这组数就没有众数)． (2)众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数． 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数． 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 知识点11：方差、标准差 1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 数据x1，x2，…，xn的方差为＝， 标准差为． 2．总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为则称S2＝为总体方差，S＝ 为总体标准差． (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k( k≤N )个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为f i(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝． 3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为则称s2＝ 为样本方差，s＝ 为样本标准差． 4．标准差的意义 标准差刻画了数据的 离散程度 或 波动幅度 ，标准差越大，数据的离散程度越 大 ；标准差越小，数据的离散程度越 小 ． 对方差与标准差概念的理解 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞). 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. 方差和标准差的计算技巧与性质 (1)方差的计算 ①基本公式：s2＝2＋2＋…＋]． ②简化计算公式：s2＝即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． (2)方差和标准差的性质 若把一组数据的每一个数变为原来的k倍并加上或减去常数a，则它的标准差变为原来的k倍，方差变为原来的k2倍，而与a的大小无关． 分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为方差分别为则这个样本的方差为 s2＝ ． 考点一 普查与抽样 考点二 简单随机抽样 考点三 分层抽样 考点四 条形图、折线图、扇形图 考点五 众数、平均数、中位数、极差 考点六 百分位数 考点七 方差、标准差 考点八 频率分布直方图 考点一 普查与抽样 1．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（    ） A．对某市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 B．对某品牌手机电池待机时间的调查 C．对某校九年级（1）班学生视力情况的调查 D．对长江水质情况的调查 2．（25-26高三·全国·一轮复习）为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生成绩是（   ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 3．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 4．（25-26高一下·吉林四平·阶段检测）下列调查中，适合用普查的是（    ） A．调查全国居民的食品消费结构 B．调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标 C．调查某款新能源汽车电池的使用寿命 D．检查某载人飞船零部件的质量情况 5．（25-26高一上·重庆·开学考试）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．了解兰州白兰瓜的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列判断正确的是（    ） A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 考点二 简单随机抽样 7．（24-25高二下·上海·阶段检测）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第3个零件编号是______． 0647 4373 8686 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 8．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 9．（25-26高二下·上海宝山·期中）某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 11．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（   ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 12．（25-26高一下·全国·课后作业）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（   ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中拿出一件自己喜欢的来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 考点三 分层抽样 13．（2025高二下·福建·学业考试）男女运动员的比例是，从中抽取容量为28的样本，则抽取男运动员的人数为（    ） A．22 B．18 C．16 D．12 14．（25-26高一下·宁夏银川·期中）高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 15．（河南郑州市第七十四中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题）某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（    ） A．人，人，人 B．人，人，人 C．人，人，人 D．人，人，人 17．（2026·湖南株洲·模拟预测）某中学七年级有200人，八年级有220人，九年级有180人，用简单随机抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，若每个学生被抽到的概率为0.3，则（    ） A．180 B．200 C．240 D．260 18．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某调查小组为了解本月本市居民的用水情况，利用分层随机抽样的方法从X，Y两个社区抽取60名居民，已知X社区有4000人，Y社区有2 000人.经计算在抽取的60名居民中，X社区居民用水量的平均数和方差分别为15和80，Y社区居民用水量的平均数和方差分别为18和100，则两个社区的居民用水量的方差的估计值为（    ） A．86.7 B．88.7 C．90 D．100 考点四 条形图、折线图、扇形图 19．（25-26高三上·河北邯郸·开学考试）某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：    下列结论正确的是（   ） A．该校2023年与2022年的本科达线人数比为6:5 B．该校2023年与2022年的专科达线人数比为6:7 C．2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80% D．2023年该校不上线的人数有所减少 20．（2026·江西鹰潭·一模）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（    ） A．2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少 B．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多 C．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍 21．（25-26高一下·贵州铜仁·期中）年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ）    A．成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人 B．成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半 C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D．成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多 22．（2025高三·全国·专题练习）（多选）近年来旅游业正从市场复苏转向高质量发展．如图是2024年1月1日—1月7日某市冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（   ） A．中央大街这7日日旅游人数的极差是1.2万人 B．冰雪大世界这7日日旅游人数的中位数是2.4万人 C．冰雪大世界这7日日旅游人数的平均数比中央大街大 D．冰雪大世界这7日日旅游人数的方差比中央大街大 23．（24-25高二上·山西朔州·阶段检测）如图是一个病人在5月1日和5月2日48小时内的体温记录折线图，根据此图，下列叙述不正确的是（   ） A．每六小时为病人测量一次体温 B．病人在5月1日612时体温下降最快 C．病人在5月2日18时体温是 D．病人在5月1日18时至5月2日18时体温一直在下降 24．（25-26高二下·四川宜宾·期末）下图是我国2012-2018年眼镜及其零件出口金额柱状图及同比增速折线图，则下列说法正确的是（    ）    A．2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额逐年增加 B．2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为16.41 C．2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速逐年减少 D．2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年 考点五 众数、平均数、中位数、极差 25．（2026·山东聊城·模拟预测）某品牌汽车过去6个月的销量（单位：万辆）分别为3.2，2.8，1.5，1.8，2.4，1.7，则这组数据的中位数为（   ） A．1.8 B．2 C．2.1 D．2.4 26．（2026·湖南张家界·三模）某校随机抽取了200名学生进行成绩调研，再从这200名学生中随机抽取8名学生，得到他们的数学成绩如下：，记这组数据的平均数为，则（    ） A．100 B．98 C．101 D．102 27．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知数据，，…，的平均数为4，将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 28．（25-26高二·全国·暑假作业）如果数据，，…，的平均数是，则，，…，的平均数是（   ） A． B． C． D．以上均不是 29．（24-25高一下·广西来宾·期末）抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 30．（2025·河北沧州·一模）（多选）某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（   ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A．这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B．这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C．这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D．这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间 31．（25-26高三下·安徽淮南·阶段检测）（多选）一组互不相等的数据从小到大排列为…，去掉后，则（   ） A．极差变大 B．平均数变大 C．中位数变小 D．分位数变大 32．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）（多选）凯里市某七天每天的最高气温分别是37，35，34，36，39，36，34（单位℃），则（    ） A．该组数据的平均数为36 B．该组数据的极差为5 C．该组数据的第60百分位数为37 D．该组数据的中位数为36 考点六 百分位数 33．（25-26高一下·重庆·期中）某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（   ） A． B． C． D． 34．（河南郑州市第七十四中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题）某餐馆老板为了了解顾客对餐馆的满意情况，随机抽取了12名顾客进行调查，得到他们的满意度指数分别为7，8，6，9，5，8，7，9，6，8，9，8，则这组数据的第75百分位数是（   ） A．6.5 B．7 C．8.5 D．9 35．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（    ） A．95 B．93.5 C．92.5 D．92 36．（2026·浙江·三模）已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 37．（2026·江苏淮安·模拟预测）一组实数的上四分位数是（   ） A．12 B．13.5 C．15 D．20 38．（2026·安徽·模拟预测）在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 考点七 方差、标准差 39．（2026·山东东营·模拟预测）（多选）一组数据1，2，2，4，5，6，8，则（     ） A．该组数据的极差为7 B．该组数据的中位数为3 C．该组数据的平均数为4 D．将每一个数据增加1，方差会变大 40．（河南郑州市第七十四中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题）为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则__________． 41．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知数据，，，，的方差为1，则数据，，，，的方差为________． 42．（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16的80%分位数是14 B．若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C．若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D．若数据的平均数为，则的方差为 43．（2026·安徽淮南·二模）（多选）已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（   ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 44．（25-26高二·全国·暑假作业）共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（   ） A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小 C．平均数大，方差大 D．平均数大，方差小 45．（24-25高一下·河南郑州·期末）某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了1000份问卷，并统计每个问卷的满意度得分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该满意度得分的第80百分位数（精确到）和总体平均数； (3)已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为，其中大学生满意度得分的平均数为86，方差为；小学生满意度得分的平均数为96，方差为．请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记总体样本平均数为，样本方差为，则． 46．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 47．（2026·湖北·三模）（多选）在一组样本数据3，5，5，6，7，7，9中增加一个数据后，下列说法正确的是（    ） A．若众数仅为5，则 B．若平均数不变，则 C．若中位数不变，则 D．若极差为9，则或 48．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）（多选）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考点八 频率分布直方图 49．（2026·甘肃兰州·模拟预测）（多选）2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 50．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）（多选）某学校学生课间活动的一大特色是跳绳，已知该校共有3600名学生，某数学兴趣小组从全校学生中随机抽取了200名，逐个测量其每分钟跳绳次数，进行统计得频率分布直方图（如图），则（   ） A．图中的值为0.010 B．估计全校学生每分钟平均跳绳次数约为167.6 C．估计全校学生每分钟跳绳次数分位数约为170 D．该样本中在区间内的学生有60人 51．（2026·甘肃嘉峪关·三模）（多选）为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（   ） A．样本中延迟在内的模型个数为60 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的平均数约为 D．该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟时间较短 52．（2026·江苏·模拟预测）（多选）某校100名学生参加唱歌比赛，成绩均在内，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.035 B．成绩在区间内的有15人 C．这100名学生成绩的平均数小于70分 D．这100名学生成绩的第60百分位数为80分 53．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）（多选）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩（单位：分）进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图． 下列说法正确的是（    ） A．高一参赛学生成绩的众数是 B．高一参赛学生成绩在的频率是 C．高一参赛学生成绩在的频率是 D．高一参赛学生成绩的平均数是 54．（2026·陕西咸阳·三模）（多选）某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 3．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 4．（2026·安徽·模拟预测）已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 6．（2026高三·全国·专题练习）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法不正确的是（    ） A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 7．（2026·江西九江·模拟预测）某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（   ） A．15 B．13.75 C．12.5 D．11.25 8．（25-26高一下·江苏南京·期中）（多选）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 9．（2026·海南海口·模拟预测）（多选）某地7月份记录高温天气有10天，温度（单位：）由低到高的排列分别如下：33，34，35，36，36，37，37，37，37，38，这10个数的平均数为m，中位数为n，极差为t，方差为．则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽合肥·三模）（多选）已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（   ） A．平均数一定相等 B．中位数一定相等 C．标准差一定不相等 D．第百分位数可能相等 11．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）（多选）是指线上引流、线下消费的商业模式，近年来随着技术的渗透，特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验.已知2020年到2024年我国到家市场规模（单位：千亿元）依次为，则这个数据的（    ） A．极差是 B．中位数是 C．60%分位数是 D．平均数是 12．（2025高二下·福建·学业考试）某学校为检测数学成绩，共有500人，且所有人的分数都落在的分数段，则分数落在的人数为__________． 13．（25-26高二·全国·暑假作业）某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步 登山 其中，全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，按比例分配的分层随机抽样方法从中抽取一个200人的样本进行调查，则样本中参与跑步的人数为________，从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________． 14．（2026·河南许昌·三模）某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 15．（河南郑州市第七十四中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题）某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 16．（25-26高二下·重庆·期中）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $