期末复习专题13 概率【7大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题13 概率 知识点1：试验的样本空间 1．随机试验的定义 我们把对 随机现象 的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． 2．随机试验的特点 (1)试验可以在 相同 条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是 明确可知 的，并且 不止一个 ； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个 ，但事先不能确定出现 哪一个结果 ． 3．样本点、样本空间 样本点 随机试验E的 每个可能的 基本结果称为样本点，用 ω 表示样本点 样本空间 全体样本点 的集合Ω称为试验E的样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝ {ω1，ω2，…，ωn} 为有限样本空间 样本点个数的三个探求方法 (1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举． 知识点2：随机事件、必然事件、不可能事件 随机事件 将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件，并把只包含 一个 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称∅为不可能事件 知识点3：事件的关系 关系 定义 符号表示 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B 一定 发生，称事件B 包含 事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B ⊇ A且A ⊇ B，则称事件A与事件B相等 A＝B 知识点4：事件间的运算 定义 符号表示 图示 并事件 事件A与事件B 至少有一个 发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或 A＋B ) 交事件 事件A与事件B 同时 发生，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或 AB ) 【注意】事件A∪B指的是事件A与事件B至少有一个发生，不是事件A与事件B只有一个发生. 知识点5：互斥事件与对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 如果事件A与事件B 不能同时 发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若 A∩B＝∅ ，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中 有且仅有一个 发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若 A∩B＝∅ ，且A∪B＝Ω，则A与B对立 【注意】若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件；反之，不一定成立. 判断互斥事件、对立事件的两种方法 定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 知识点6：古典概型的定义 1．概率 对随机事件发生可能性大小的 度量 (数值)称为事件的概率，事件A的概率用 P(A) 表示． 2．古典概型的定义 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的 样本点 只有有限个． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 ． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 【注意】古典概型必须同时具备两个特征，缺一不可. 古典概型概率的计算 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 求古典概型概率的步骤 (1)判断所给概率模型是否为古典概型． (2)算出样本点的总数n． (3)算出事件A包含的样本点个数m． (4)算出事件A的概率，即P(A)＝． “放回”与“不放回”问题 解决放回与不放回问题应注意的两点 (1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重复的． (2)关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复． 知识点7：概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1　对任意的事件A，都有P(A) ≥ 0． 性质2　必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0 ，即P(Ω)＝ 1 ，P(∅)＝ 0 ． 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ 1－P(A) ，P(A)＝ 1－P(B) ． 性质5　如果A⊆B，那么 P(A)≤P(B) ． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 知识点8：相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 判断两个事件相互独立的方法 (1)定量法：利用P(AB)＝ P(A)P(B) 是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立． (2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，若 没有影响 就是相互独立事件． 知识点9：相互独立事件的性质 (1)必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立． (2)如果事件A与事件B相互独立，那么A与与B与也都相互独立． 【注意】当三个事件A，B，C两两独立时，等式P( ABC )＝P(A)P(B)P( C )一般不成立. 相互独立事件概率求解的关注点 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①确定各事件是相互独立的．②确定各事件会同时发生．③先求每个事件发生的概率，再求其积． (2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法． (3)已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 AB P(A)P(B) A，B都不发生 PP A，B恰有一个发生 ∪ A，B中至少有一个发生 P(A)P＋P·P(B)＋P(A)·P(B) A，B中至多有一个发生 ∪∪ P(A)P＋P·P(B)＋P·P 考点一 互斥事件与对立事件关系的判断 考点二 计算古典概率 考点三 有放回与无放回问题的概率 考点四 概率的基本性质 考点五 独立事件的判断 考点六 独立事件的乘法公式 考点七 独立事件的实际应用 考点一 互斥事件与对立事件关系的判断 1．（26-27高三·全国·一轮复习）如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 【答案】B 【分析】根据事件互斥、对立事件和必然事件的定义，逐一分析选项． 【详解】解：如图①所示，不是必然事件，是必然事件，与不互斥； 如图②所示，是必然事件，是必然事件，与互斥． 故选B. 2．（2026·广东佛山·二模）设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】B 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件， 如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”， 此时，满足， 但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同， 故与不互为对立事件，故条件是不充分的. 综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件. 3．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可. 【详解】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 4．（2026·青海海东·二模）（多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 【答案】BD 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】“甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意； “甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” 两个事件不会同时发生，故它们互斥， 同时两事件的并集{丙丁， 乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意； “甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” 不会同时发生，即它们互斥， 且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C不合题意； “甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 不会同时发生，故它们互斥， 例如当选出的是{甲， 丁}时，该结果不属于这两个事件，即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 【答案】CD 【分析】依据互斥事件不能同时发生、对立事件不能同时发生且必有一个发生的定义，逐一判断每个选项中两个事件的关系即可得到答案. 【详解】 从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：两个红球，一红一白，两个白球， 对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至少一个白球”包含一红一白、两个白球， 二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误； 对于B：“恰有一个红球”即一红一白，“都是白球”即两个白球，二者互斥，但存在“两个红球”的情况， 二者不是必有一个发生，不对立，B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”即两个白球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确； 对于D：“至多一个红球”包含两个白球、一红一白，“都是红球”即两个红球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确. 6．（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 考点二 计算古典概率 7．（2025高二下·福建·学业考试）一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】由题意，基本事件共3种：抽中红球、抽中黄球、抽中蓝球， 其中“抽中红球”包含的基本事件数为1， 所以抽中红球的概率. 8．（25-26高二上·云南昆明·期中）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______.           【答案】 【分析】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】因为选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中， 设每种选法可标记为，其中分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，，共6种. 其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，，共2种， 故所求概率为. 9．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 10．（25-26高二上·海南·期末）一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同. (1)若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求； (2)若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用古典概型的概率公式，直接根据“红球数量/总球数=给定概率”建立方程，即可求解未知的红球个数. （2）利用不放回抽样和等可能样本点的计数原理，通过列出所有可能的两次抽球结果并统计第二次抽到绿球的样本数，根据古典概型的概率公式进行计算. 【详解】（1）从盒子中随机抽取1个球， 抽到红球的概率为，解得. （2）设3个绿球分别为，个红球分别为， 采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球， 不同情况有， 共20种， 其中第二次抽到的球为绿球，即第二个字母为或或的情况共有12种， 故第二次抽到的球是绿球的概率为. 11．（25-26高一下·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【答案】(1)平均数为100，方差为104 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数与方差的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据条件，利用古典概型求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为， 故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为： 设事件“既有的答卷也有的答卷” 则，共6种情况． 故, 12．（25-26高一下·贵州遵义·期中）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【答案】(1) (2)77；106 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图求各组频率，结合频率和为1运算求解； （2）用每组区间的中点值为代表，结合平均数和方差公式运算求解； （3）分析可知男生3人，女生2人，利用枚举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. （2）用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差. （3）在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 考点三 有放回与无放回问题的概率 13．（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可； （2）放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 （2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. 14．（25-26高二下·上海松江·期中）祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______． 【答案】 【详解】因为是有放回地抽取，所以第一次和第二次抽到写有数字1的卡片的概率均为：， 则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为：. 15．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 【答案】 【分析】求得总的取法数及符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解. 【详解】由题知是有放回地取球，所以每次都有5种不同取法，总取法有种， 而这列数中恰有4个不相同的数的取法有种， 故这列数中恰有4个不相同的数的概率为． 16．（2026·河南许昌·模拟预测）袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球.每次从中不放回地摸取一个小球，直至将某种颜色的小球全部取出.则摸球结束时摸出3个小球的概率为______. 【答案】/0.3 【详解】摸出的3个小球有三种情况：依次为红红红、蓝红蓝、红蓝蓝， 则概率为. 17．（25-26高三上·江苏苏州·期末）一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 【答案】/ 【分析】根据不放回和放回的不同方式特点，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】当标签的选取是不放回的，共有方式， 其中事件A有共4种方式， 所以； 当标签的选取是放回的，共有方式， 其中事件A有，5种方式， 所以, 所以. 故答案为： 18．（25-26高二上·浙江舟山·期末）一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法结合古典概率公式即可求解. 【详解】对2个红色球，2个绿色球依次编号为， 从袋中不放回地依次随机摸两个球， 共有共12种， 两个球颜色相同的情况共有4种， 则两个球颜色相同的概率. 故选：D 考点四 概率的基本性质 19．（2026·湖北·三模）已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和事件概率计算公式即可求解. 【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件， 根据容斥原理： ， 因为 ，且， 所以 ，概率非负，故， 代入已知条件：， 所以. 20．（2026高一·全国·专题练习）袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【答案】取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式列出方程组求解即可. 【详解】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为，则事件两两互斥， 依题意，，则，解得， 所以取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 21．（25-26高二·全国·暑假作业）为维护世界经济秩序，我国在某论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年内（含3年）达到要求，则包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求的概率为_________． 【答案】0.79/ 【分析】由互斥事件的和事件概率公式即可求解. 【详解】设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税达到要求”为事件，“不到4年达到要求”为事件， 则“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”是事件，而，互斥， ． 22．（25-26高一下·全国·单元测试）由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时，等候付款的人数及概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 求： (1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？ (2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？ 【答案】(1)0.04 (2)0.26 【详解】（1）设“5人及以上排队等候付款”为事件，由于所有概率的和为1， 则，即5人及以上排队等候付款的概率是0.04． （2）设“至多有1人排队”为事件，“没有人排队”为事件，“恰有1人排队”为事件，则事件与互斥，，，，所以，即至多有1人排队等候付款的概率是0.26． 23．（2026·甘肃张掖·模拟预测）小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 【答案】 【分析】先求，再根据即可求解. 【详解】设小王参加甲款游戏闯关成功为事件，参加乙款游戏闯关成功为事件， 则， 所以， 又， 所以. 24．（25-26高二下·四川凉山·期中）某社区开展“垃圾分类知识竞答”活动，题库中有6道“易回收”题和3道“有害垃圾”题.系统随机抽取2道题作为一次挑战，则抽到的题目中至少有一道“有害垃圾”题的概率是__________. 【答案】 【详解】要求至少有一道“有害垃圾”题的概率，可以先求一道“有害垃圾”题都没有的概率. 总抽法数种，一道“有害垃圾”题都没有的抽法数. 故所求概率为. 考点五 独立事件的判断 25．（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 26．（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】D 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 27．（25-26高二下·甘肃陇南·期中）（多选）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与D互为对立 【答案】ACD 【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D． 【详解】设2个白球为，，2个黑球为， 则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A正确； 对于B，因为， 所以事件B与C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，， 则， 故事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，因为，， 所以事件A与D互为对立，故D正确. 28．（25-26高二下·贵州遵义·期中）（多选）已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（   ） A．事件与互斥 B．事件与独立 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可． 【详解】已知，则， 由. 对A：因为，所以事件与可能同时发生，故事件与不互斥，选项A错误； 对B：因为， ， 所以，所以事件与独立，选项B正确； 对C：，又， 所以，选项C正确； 对D：因为事件与互斥，事件与独立， 所以，选项D正确． 29．（25-26高二下·甘肃白银·期中）（多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项. 【详解】对于A，只有当与相互独立时，，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，与互斥，则， 那么，故C正确； 对于D，如果与相互独立， 那么，故D正确. 30．（2025高二下·福建·学业考试）天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 【答案】/ 【分析】根据事件的独立性，利用独立事件的概率乘法公式计算两地同时下雨的概率. 【详解】设”甲地下雨”为事件，”乙地下雨”为事件，则，. 由两地下雨互不影响，可知事件与相互独立. 因此，甲乙两地都下雨的概率为. 考点六 独立事件的乘法公式 31．（2026·重庆·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率求解. 【详解】只进行两局比赛结束的概率为， 则两人进行第三局比赛的概率为． 32．（2026·河北张家口·三模）现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率加法公式和条件概率的乘法公式，即可求解. 【详解】记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，这两个活动有且仅有一个失误的概率为. 33．（2026·重庆·模拟预测）在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】由题意，知蜻蜓沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 蜻蜓跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 34．（2026·重庆·模拟预测）（多选）已知事件，，的概率均不为0，则下列说法正确的是（　　） A．若事件，则 B． C．若，则 D．若事件与相互独立，则 【答案】AB 【详解】根据基本事件的包含关系可知，若事件，则，即A正确； 由对立事件的基本性质可得，因此，即B正确； 抛掷一枚质地均匀的骰子，不妨设事件A：“抛出的点数为1或2或3”，事件B：“抛出的点数为3”，事件C：“抛出的点数为3或6”， 此时，但此时，即C错误； 若事件与相互独立，则，即D错误. 35．（2026·湖北襄阳·一模）（多选）下列说法正确的有（   ） A．若事件A与事件B相互独立，，，则 B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8 C．一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D．1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507 【答案】AC 【分析】运用独立事件概率公式、方差性质、互斥事件定义和百分位数计算方法，来判断各说法的正确性. 【详解】选项A：事件与相互独立，则， 又，，则，选项A 正确； 选项B：设原数据的方差为，新数据为， 因为（为常数）， 则，选项B错误； 选项C：记“至少有一个红球”为事件，“两个球颜色相同”为事件： 事件的样本点：(红,黑)、(红,白)、(黑,红)、(白,红)； 事件的样本点：(黑,黑)、(白,白)； 事件与无公共样本点，不可能同时发生，故与互斥，选项C 正确； 选项D：对于个按从小到大排列的数据，上四分位数的位置为：， 根据百分位数定义，位置为小数时，取第个数作为上四分位数，而非，因此选项D 错误. 考点七 独立事件的实际应用 36．（25-26高二上·湖北·期中）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据获胜规则，结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （2）根据前4局甲乙各胜两局求解即可； （3）根据2局结束比赛、4局结束比赛和6局结束比赛，利用相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【详解】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： （2）打满局结束，当且仅当比赛在前局和前局均未结束， 即前局比分为且前局比分为， 所以，所求概率为： （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： 37．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲或乙均连胜3局，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分析可知4局胜者依次为甲，乙，乙，乙、乙，甲，乙，乙和乙，乙，甲，乙，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. （2）记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. 38．（25-26高二上·广东·阶段检测）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分第2局甲轮空，第3局乙轮空；和第2局乙轮空，第3局甲轮空两种情况分别计算即可； （2）分甲第2局轮空，第3局轮空，第4局轮空三种情况分别计算即可； （3）第4局是甲、乙对打，有两种情况：情况一，第2局为甲、丙对打，第3局为乙、丙对打；情况二，第2局为乙、丙对打，第3局为甲、丙对打.分别计算两种情况下第4局为甲、乙对打的概率. 【详解】（1）若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为. 若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为. 故所求概率为. （2）分三种情况. 第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜， 其概率为. 第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负， 其概率为. 第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了. 其概率为. 故所求概率为. （3）第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜. 此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜. 此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 故所求概率为 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【答案】B 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 2．（25-26高二·全国·暑假作业）从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是（   ） A．① B．②④ C．③ D．①③ 【答案】C 【详解】从1∼9中任取两数，有以下三种情况：（i）两个均为奇数；（ii）两个均为偶数；（iii）一个奇数和一个偶数. ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，有可能同时发生不存在对立的关系； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，不互斥，故不存在对立的关系； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，与两个都是偶数是对立事件； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一个奇数和一个偶数的结果，不存在对立的关系. 所以只有③所包含的事件是对立事件. 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为个除颜色外其他都相同的球中，有个红球，个白球， 所以从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为. 4．（2026高三·全国·专题练习）将四位数2024的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将2024的各个数字重新排列，包括自身可以得到9个四位数： 2204、2240、4220、4022、2024、2420、2042、2402、4202， 其中两个2不相邻的有5个：2024、2420、2042、2402、4202， 所以所求概率为． 5．（25-26高二·全国·暑假作业）团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，A，B两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在此次比赛中，四局结束比赛包含两种情况：①前3局A两胜一负，第四局A胜；②前3局A一胜两负，第四局A负． 则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为． 6．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算 “恰好击中两次” 的三种互斥情况的概率； 最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可. 【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C， 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：，不命中 ， 乙：，不命中 ， 丙：，不命中 ， 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： ， 甲、丙击中，乙未击中概率为： ， 乙、丙击中，甲未击中概率为： ， 将三种情况的概率相加： . 7．（2026·浙江台州·二模）设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立； 对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立； 对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立； 对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥， 由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立. 8．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 9．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）（多选题）下列结论正确的是（   ） A．若，互为对立事件，，则 B．事件，，两两互斥，则事件与互斥 C．事件与对立，则 D．若与互斥，则它们的对立事件也互斥 【答案】ABC 【分析】通过互斥事件和对立事件的定义与概率性质，逐一分析各选项即可. 【详解】若，互为对立事件，则，已知，可得，故A正确； 事件两两互斥，则事件不能同时发生，则事件与也不可能同时发生， 则事件与互斥，故B正确； 事件与对立，则，故C正确； 若，互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误. 故选：ABC 10．（25-26高二下·山东烟台·期中）（多选）某校举办象棋比赛，最终有甲、乙、丙、丁四名同学进入决赛，决赛的比赛规则为：四名同学进行单循环比赛（即每名同学都要与其他各名同学进行一局比赛），每名同学胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，且每局比赛中，每名同学胜、平、负的概率均为.若各局比赛结果相互独立，则在比赛结束时，下列结论正确的有（   ） A．甲同学积分为3分的概率为 B．甲同学胜2局且乙同学胜2局的概率为 C．甲同学积分的数学期望为4 D．四名同学积分总和的方差为 【答案】BCD 【分析】分析出甲积3分的情况，再求出概率即可.分析出甲胜2局且乙胜2局的情况，再分析概率即可.根据期望的公式以及线性性求解选项C.根据方差公式求解选项D. 【详解】四人单循环赛，每名选手共进行3局比赛，总共有局比赛，每局胜得3分、平得1分、负得0分，每局胜/平/负概率均为​，各局独立. 选项A.甲积3分有两种情况：1胜2负或3局全平.则概率为， A错误. 选项B.甲胜2局且乙胜2局，分三种情况. 甲胜乙：甲需要在丙丁中再胜1场，乙需要胜丙丁两场，概率为. 乙胜甲：乙需要在丙丁中再胜1场，甲需要胜丙丁两场，概率为. 甲乙平局，概率为 总概率​，B正确. 选项C.甲每局得分的期望为：，甲共3局， 由期望的线性性：，C正确. 选项D.设每局总得分​，总积分，各局独立， 故：平局概率，总得分2；分胜负概率，总得分3. ,.. 因此，D正确. 11．（2026·甘肃金昌·三模）（多选）某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（    ） A． B．从高一年级中抽取的学生人数为30 C．从高二年级中抽取的学生人数为27 D．从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是 【答案】AB 【详解】A选项，根据分层抽样，，解得，正确； B选项，从高一年级中抽取的学生人数为，正确； C选项，从高二年级中抽取的学生人数为，错误； D选项，从全校中任选一人，此人是高三学生的概率，错误． 12．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）（多选）下列事件中，A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 【答案】AC 【详解】对于选项A，可知事件“第一次为反面朝上，且第二次为正面朝上”， 可知， 所以，所以相互独立，选项A正确； 对于选项B，可知第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为， 第一次没有摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为， 可知第一次的结果对第二次摸球有影响，所以事件不相互独立，选项B错误； 对于选项C，可知事件“出现点数为2”， 可知， 所以，所以相互独立，选项C正确； 对于选项D，可知事件互斥，即，所以事件不相互独立，选项D错误； 13．（2025·上海·模拟预测）相互独立事件，满足，，则________． 【答案】/ 【详解】由对立事件的性质得， 则，解得， 已知事件，相互独立，则 ，解得． 14．（25-26高二下·重庆·期中）已知随机事件，相互独立，且，则__________． 【答案】0.64 【详解】由题意得. 15．（25-26高二下·江苏镇江·期中）学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】(1)2 (2)71， (3) 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形所表示频率之和为1，可得，据此可得答案； （2）由频率分布直方图计算平均数，中位数方法可得答案； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，方法1，由可得答案；方法2，由对立事件概率关系可得答案. 【详解】（1）由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； （2）平均数. 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 16．（2026高三·全国·专题练习）有三种产品，合格率分别为0.9、0.85、0.85.各抽取一件进行检验，求： (1)恰有一件不合格品的概率； (2)至少有两件不合格品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】设“三种产品各抽取一件，抽取的是合格产品”的事件分别为， （1）“恰有一件不合格品”的事件有，，三种情况，再根据互斥与独立事件概率计算公式计算出概率； （2）至少有两件不合格品的有四种情况，，再根据互斥与独立事件概率计算公式计算出概率. 【详解】（1）设“三种产品各抽取一件，抽取的是合格产品”的事件分别为， ，， ， ， ． “恰有一件不合格品”的事件有，，三种情况， 其概率为 ． （2）至少有两件不合格品的有四种情况，， 概率为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 概率 知识点1：试验的样本空间 1．随机试验的定义 我们把对 随机现象 的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． 2．随机试验的特点 (1)试验可以在 相同 条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是 明确可知 的，并且 不止一个 ； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个 ，但事先不能确定出现 哪一个结果 ． 3．样本点、样本空间 样本点 随机试验E的 每个可能的 基本结果称为样本点，用 ω 表示样本点 样本空间 全体样本点 的集合Ω称为试验E的样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝ {ω1，ω2，…，ωn} 为有限样本空间 样本点个数的三个探求方法 (1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举． 知识点2：随机事件、必然事件、不可能事件 随机事件 将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件，并把只包含 一个 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称∅为不可能事件 知识点3：事件的关系 关系 定义 符号表示 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B 一定 发生，称事件B 包含 事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B ⊇ A且A ⊇ B，则称事件A与事件B相等 A＝B 知识点4：事件间的运算 定义 符号表示 图示 并事件 事件A与事件B 至少有一个 发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或 A＋B ) 交事件 事件A与事件B 同时 发生，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或 AB ) 【注意】事件A∪B指的是事件A与事件B至少有一个发生，不是事件A与事件B只有一个发生. 知识点5：互斥事件与对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 如果事件A与事件B 不能同时 发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若 A∩B＝∅ ，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中 有且仅有一个 发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若 A∩B＝∅ ，且A∪B＝Ω，则A与B对立 【注意】若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件；反之，不一定成立. 判断互斥事件、对立事件的两种方法 定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 知识点6：古典概型的定义 1．概率 对随机事件发生可能性大小的 度量 (数值)称为事件的概率，事件A的概率用 P(A) 表示． 2．古典概型的定义 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的 样本点 只有有限个． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 ． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 【注意】古典概型必须同时具备两个特征，缺一不可. 古典概型概率的计算 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 求古典概型概率的步骤 (1)判断所给概率模型是否为古典概型． (2)算出样本点的总数n． (3)算出事件A包含的样本点个数m． (4)算出事件A的概率，即P(A)＝． “放回”与“不放回”问题 解决放回与不放回问题应注意的两点 (1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重复的． (2)关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复． 知识点7：概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1　对任意的事件A，都有P(A) ≥ 0． 性质2　必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0 ，即P(Ω)＝ 1 ，P(∅)＝ 0 ． 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ 1－P(A) ，P(A)＝ 1－P(B) ． 性质5　如果A⊆B，那么 P(A)≤P(B) ． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 知识点8：相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 判断两个事件相互独立的方法 (1)定量法：利用P(AB)＝ P(A)P(B) 是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立． (2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，若 没有影响 就是相互独立事件． 知识点9：相互独立事件的性质 (1)必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立． (2)如果事件A与事件B相互独立，那么A与与B与也都相互独立． 【注意】当三个事件A，B，C两两独立时，等式P( ABC )＝P(A)P(B)P( C )一般不成立. 相互独立事件概率求解的关注点 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①确定各事件是相互独立的．②确定各事件会同时发生．③先求每个事件发生的概率，再求其积． (2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法． (3)已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 AB P(A)P(B) A，B都不发生 PP A，B恰有一个发生 ∪ A，B中至少有一个发生 P(A)P＋P·P(B)＋P(A)·P(B) A，B中至多有一个发生 ∪∪ P(A)P＋P·P(B)＋P·P 考点一 互斥事件与对立事件关系的判断 考点二 计算古典概率 考点三 有放回与无放回问题的概率 考点四 概率的基本性质 考点五 独立事件的判断 考点六 独立事件的乘法公式 考点七 独立事件的实际应用 考点一 互斥事件与对立事件关系的判断 1．（26-27高三·全国·一轮复习）如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定不互斥 2．（2026·广东佛山·二模）设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 3．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 4．（2026·青海海东·二模）（多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 5．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 6．（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 考点二 计算古典概率 7．（2025高二下·福建·学业考试）一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·云南昆明·期中）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______.           9．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 10．（25-26高二上·海南·期末）一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同. (1)若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求； (2)若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率. 11．（25-26高一下·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 12．（25-26高一下·贵州遵义·期中）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 考点三 有放回与无放回问题的概率 13．（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 14．（25-26高二下·上海松江·期中）祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______． 15．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 16．（2026·河南许昌·模拟预测）袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球.每次从中不放回地摸取一个小球，直至将某种颜色的小球全部取出.则摸球结束时摸出3个小球的概率为______. 17．（25-26高三上·江苏苏州·期末）一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 18．（25-26高二上·浙江舟山·期末）一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 考点四 概率的基本性质 19．（2026·湖北·三模）已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 20．（2026高一·全国·专题练习）袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 21．（25-26高二·全国·暑假作业）为维护世界经济秩序，我国在某论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年内（含3年）达到要求，则包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求的概率为_________． 22．（25-26高一下·全国·单元测试）由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时，等候付款的人数及概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 求： (1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？ (2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？ 23．（2026·甘肃张掖·模拟预测）小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 24．（25-26高二下·四川凉山·期中）某社区开展“垃圾分类知识竞答”活动，题库中有6道“易回收”题和3道“有害垃圾”题.系统随机抽取2道题作为一次挑战，则抽到的题目中至少有一道“有害垃圾”题的概率是__________. 考点五 独立事件的判断 25．（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 26．（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 27．（25-26高二下·甘肃陇南·期中）（多选）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与D互为对立 28．（25-26高二下·贵州遵义·期中）（多选）已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（   ） A．事件与互斥 B．事件与独立 C． D． 29．（25-26高二下·甘肃白银·期中）（多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 30．（2025高二下·福建·学业考试）天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 考点六 独立事件的乘法公式 31．（2026·重庆·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 32．（2026·河北张家口·三模）现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 33．（2026·重庆·模拟预测）在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 34．（2026·重庆·模拟预测）（多选）已知事件，，的概率均不为0，则下列说法正确的是（　　） A．若事件，则 B． C．若，则 D．若事件与相互独立，则 35．（2026·湖北襄阳·一模）（多选）下列说法正确的有（   ） A．若事件A与事件B相互独立，，，则 B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8 C．一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D．1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507 考点七 独立事件的实际应用 36．（25-26高二上·湖北·期中）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 37．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 38．（25-26高二上·广东·阶段检测）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 2．（25-26高二·全国·暑假作业）从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是（   ） A．① B．②④ C．③ D．①③ 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）将四位数2024的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二·全国·暑假作业）团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，A，B两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江台州·二模）设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 8．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）（多选题）下列结论正确的是（   ） A．若，互为对立事件，，则 B．事件，，两两互斥，则事件与互斥 C．事件与对立，则 D．若与互斥，则它们的对立事件也互斥 10．（25-26高二下·山东烟台·期中）（多选）某校举办象棋比赛，最终有甲、乙、丙、丁四名同学进入决赛，决赛的比赛规则为：四名同学进行单循环比赛（即每名同学都要与其他各名同学进行一局比赛），每名同学胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，且每局比赛中，每名同学胜、平、负的概率均为.若各局比赛结果相互独立，则在比赛结束时，下列结论正确的有（   ） A．甲同学积分为3分的概率为 B．甲同学胜2局且乙同学胜2局的概率为 C．甲同学积分的数学期望为4 D．四名同学积分总和的方差为 11．（2026·甘肃金昌·三模）（多选）某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（    ） A． B．从高一年级中抽取的学生人数为30 C．从高二年级中抽取的学生人数为27 D．从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是 12．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）（多选）下列事件中，A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 13．（2025·上海·模拟预测）相互独立事件，满足，，则________． 14．（25-26高二下·重庆·期中）已知随机事件，相互独立，且，则__________． 15．（25-26高二下·江苏镇江·期中）学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 16．（2026高三·全国·专题练习）有三种产品，合格率分别为0.9、0.85、0.85.各抽取一件进行检验，求： (1)恰有一件不合格品的概率； (2)至少有两件不合格品的概率． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $