期末复习讲义05 概率6大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期末复习讲义05 概率 【考点一】有限样本空间与随机事件 【考点四】概率的基本性质 【考点二】事件的关系和运算 【考点五】事件的相互独立性 【考点三】古典概型 【考点六】频率与概率 一、随机事件与概率 1. 随机事件的分类与定义 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，记为，其概率。 不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，记为，其概率。 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，记为，其概率满足。 核心说明：必然事件和不可能事件是随机事件的极端情况，三者共同构成所有可能的试验结果。 2. 事件的关系与运算（高频判断） 包含关系：若事件发生，则事件一定发生，记为，此时。 相等关系：若且，则，此时。 并事件（和事件）：事件或至少有一个发生，记为（或）。 交事件（积事件）：事件和同时发生，记为（或）。 互斥事件：事件和不能同时发生，即，核心性质：。 对立事件：事件和有且仅有一个发生，即且，记为（为的对立事件），核心性质：，即。 易错点：① 对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件；② 区分“或”（并事件）与“且”（交事件），避免混淆运算逻辑。 3. 概率的基本性质（必考） 性质1：对任意事件，都有； 性质2：，； 性质3：若，则（表示发生且不发生）； 性质4（加法公式）：对任意两个事件，有； 性质5（互斥事件加法）：若互斥，则，可推广到多个互斥事件：。 4. 频率与概率（基础概念） 频率：在次重复试验中，事件发生的次数与试验总次数的比值，记为，频率是变化的，随试验次数变化而波动。 概率：频率的稳定值，是一个确定的常数，反映事件发生的可能性大小，不随试验次数变化而变化。 核心关系：当试验次数很大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用于估计概率。 易错点：频率不是概率，不能用单次试验的频率代替概率。 二、古典概型 1. 古典概型的定义与特征（判断必考） 定义：具有以下两个特征的概率模型称为古典概型，也叫等可能概型。 核心特征： 有限性：试验的所有可能结果（基本事件）个数是有限的； 等可能性：每个基本事件发生的概率都相等。 常见示例：掷骰子、抽卡片、摸球（无放回且球完全相同）等，均满足古典概型特征。 易错点：判断古典概型时，需同时满足“有限性”和“等可能性”，缺一不可（如不均匀的骰子，不满足等可能性，不是古典概型）。 2. 古典概型的概率计算公式（核心必考） 设试验的基本事件总数为，事件包含的基本事件个数为，则事件发生的概率为： 核心步骤： 判断试验是否为古典概型（验证有限性和等可能性）； 列举或计算试验的基本事件总数； 找出事件包含的基本事件个数； 代入公式计算概率，结果需化为最简分数或小数（期末建议保留分数）。 易错点：① 计算基本事件总数时，避免重复或遗漏（可采用列举法、树状图、组合数计算）；② 忽略等可能性，误将不等可能的事件当作古典概型计算。 3. 古典概型常见题型（高频） 题型1：简单列举类（基本事件个数少），如掷1次骰子、抽2张卡片，直接列举所有基本事件，再计数计算。 题型2：组合类（无放回抽样），如从个个体中抽取个，基本事件总数为，事件包含的个数用组合数计算，再代入公式。 题型3：互斥/对立事件结合类，当直接计算较复杂时，可先计算，再用求解（简化计算）。 示例：从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取1个，求抽到偶数的概率。解：基本事件总数，事件（抽到偶数）包含的基本事件为2,4，即，故。 三、几何概型 1. 几何概型的定义与特征（判断必考） 定义：当试验的所有可能结果（基本事件）个数是无限的，但每个基本事件的发生都具有等可能性，且所有基本事件可以构成一个可度量的几何区域，这样的概率模型称为几何概型，是古典概型的推广和补充。 核心特征： 无限性：试验的基本事件个数是无限的； 等可能性：每个基本事件发生的概率只与它所占据的几何区域的度量（长度、面积、体积）成正比，与区域的形状、位置无关。 常见示例：撒豆子、取随机数、等待时间等，均满足几何概型特征。 易错点：区分古典概型（有限）与几何概型（无限），避免将无限个基本事件的试验当作古典概型计算。 2. 几何概型的概率计算公式（核心必考） 设试验的所有基本事件构成的几何区域为，其度量值（长度、面积、体积）为；事件包含的基本事件构成的几何区域为，其度量值为，则事件发生的概率为： 核心步骤： 判断试验是否为几何概型（验证无限性和等可能性）； 确定所有基本事件对应的几何区域，计算其度量值； 确定事件对应的几何区域，计算其度量值； 代入公式计算概率，结果需化为最简分数或小数。 3. 几何概型的常见类型（高频题型） 类型1：长度型（一维区域）：几何区域为线段、射线、直线等，度量值为长度。 示例：某人午觉醒来，表停了，打开收音机想听整点报时，求等待时间不超过10分钟的概率。解：所有可能结果对应的区域为[0,60]（单位：分钟），长度；事件（等待时间≤10分钟）对应的区域为[50,60]，长度，故。 类型2：面积型（二维区域）：几何区域为平面图形（三角形、矩形、圆等），度量值为面积（期末重点考查）。 示例：在边长为2的正方形内随机撒一粒豆子，求豆子落在该正方形内接圆内的概率。解：正方形面积；内接圆半径，面积，故。 类型3：体积型（三维区域）：几何区域为空间图形（正方体、球体等），度量值为体积（选考，难度较低）。 易错点：① 确定几何区域时，避免混淆“事件对应的区域”与“总体区域”；② 计算度量值时，注意公式正确（如圆的面积、三角形面积），避免计算失误。 【考点一】有限样本空间与随机事件 1.（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 2．（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【答案】C 【分析】利用随机事件的定义求解即可. 【详解】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C 3．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 4．有下列事件：①篮球运动员罚球命中；②在自然数集中任取一个数为质数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶函数.上述事件中为随机事件的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据随机事件以及必然事件的概念，进行判断，可得答案. 【详解】①篮球运动员罚球命中,是随机事件； ②在自然数集中任取一个数可能为质数，也可能不是质数，故属于随机事件； ③在标准大气压下，水在100 ℃时一定沸腾，是必然现象，故为必然事件； ④设为偶函数，它们的公共定义域为集合M,当时，， 则，即任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶函数， 为必然事件， 故随机事件有2个， 故选：C 5.（多选）（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 【答案】CD 【分析】运用必然事件的概念判断即可. 【详解】A为随机事件，B为不可能事件，C，D为必然事件． 故选:CD 6．（多选）（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·期末）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．2021年8月18日，北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D．，则 【答案】AC 【分析】根据随机事件的定义判断即可. 【详解】A与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件. 故选：AC 7.下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程有两个不相等的实数根；③下周一会下雨；④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于次.其中随机事件的序号为________. 【答案】③④ 【分析】根据随机事件的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，物理在重力作用下必然会自由下落，为必然事件，不是随机事件，①错误； 对于②，方程有两个不相等的实数根为不可能事件，不是随机事件，②错误； 对于③，下周一可能会下雨，也可能不会下雨，则下周一会下雨可能发生，也可能不发生，为随机事件，③正确； 对于④，收到观众信息回复次数大于次可能发生，也可能不发生，为随机事件，④正确. 故答案为：③④. 8.如图，把一个表面涂有蓝漆的正方体木块锯成64个完全相同的小正方体，若从中任取一块，则这一块至多有一面涂有蓝漆的概率为_______． 【答案】 【分析】求出至多有一面涂有蓝漆的小木块个数，即可求出概率大小. 【详解】解：有两面涂有蓝漆的小木块有24个，有三面涂有蓝漆的小木块有8个， 则至多有一面涂有蓝漆的小木块有32个，故． 故答案为: . 【点睛】本题考查了等可能事件的概率，属于基础题.本题的关键是准确找到至多有一面涂有蓝漆的小木块个数. 9.先后抛掷两枚骰子． (1)写出该试验的样本空间． (2)出现“点数相同”的结果有多少种？ 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据两枚筛子的可能点数，即可写出样本空间； （2）两枚筛子点数相同有六种情况，由此写出答案. 【详解】（1）抛掷两枚骰子，第一枚骰子可能的基本结果用x表示，第二枚骰子可能的基本结果用y表示，那么试验的基本事件可用表示, 该试验的样本空间为 . （2）“点数相同”包含、，，、、，共6种结果． 10.某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球，10个绿球和10个白球的袋子.调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）.若摸到红球就如实回答第一个问题，若摸到绿球，则不回答任何问题；若摸到白球，则如实回答第二个问题.所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做.最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数有多少？ 【答案】36 【解析】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球，绿球，白球的概率都是，从而可得回答各个问题以及不回答问题的人数，进而可得回答第一个问题是“是”的人数，根据石子数得出100人中抽烟的人数，从而估计出该学校吸烟的人数. 【详解】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球，绿球，白球的概率都是. 即我们期望大约有人回答了第一个问题， 人不回答任何问题， 人回答了第二个问题. 在回答阳历生日月份是奇数的概率是. 因而回答第一个问题的100人中，大约有50人回答了“是”. 所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有3人回答了“是”. 即估计该学校大约有3%的学生抽烟，也就是全校大约有36人抽烟. 【点睛】本题考查了概率的应用，解题的关键是理解题干各个量之间的关系，属于基础题. 【考点二】事件的关系和运算 11.（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐一判断各个选项即可求解． 【详解】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 12．（24-25高一下·云南昭通·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】B 【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于B中，事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于C中，当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于D中，当向上的点数是2时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 13．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【分析】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论. 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 14．（24-25高一下·广西柳州·期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生 B．至少有1名男生与全是女生 C．恰有1名男生与恰有2名男生 D．至少有1名男生与至少有1名女生 【答案】C 【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案. 【详解】对于A，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，A错误； 对于B，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，B错误； 对于C，事件恰有1名男生指有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，C正确； 对于D，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况， 事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，D错误. 故选：C 15.（多选）（23-24高一下·西藏拉萨·期末）从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（  ） A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球” B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球” C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球” D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球” 【答案】AB 【分析】对于A，判断两个事件是否可以同时发生，从而判断是否为互斥事件，接下来判断是否为对立事件；对于BCD，利用与A相同的方法进行分析，从而解答题目. 【详解】从袋中任意取出3个球，可能的情况有：“3个红球”“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”. 对于A：“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同事发生，是互斥事件， 但有可能两个都不发生，故不是对立事件，故A正确； 对于B：“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”不可能同事发生，是互斥事件， 但有可能同时不发生，故不是对立事件，故B正确； 对于C：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”不可能同事发生，是互斥事件， 其中必有一事件发生，故是对立事件，故C错误； 对于D：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同事发生， 故不是互斥事件，不可能是对立事件，故D错误. 故选：AB. 16．（多选）（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【详解】对于A：因为 ，，所以，因此若任取，则是必然事件，真命题； 对于B：因为 ，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此若任取，则是随机事件，假命题； 对于C：因为 ，任取，有可能成立，也可能不成立， 因此任取，则是随机事件，真命题； 对于D：因为 ，，所以一定有，显然任取，则是必然事件，真命题． 故选：ACD 17．（多选）（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期末）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 【答案】AB 【分析】由对立事件，互斥事件的定义结合题意逐一判断即可. 【详解】从口袋内一次取出2个球，这个试验的样本空间 (白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，包含6个基本事件， 当事件“两球都为白球”发生时，事件“两球都不是白球”和事件“两球恰有一白球”不可能发生，满足互斥事件的定义， 且“两球都为白球”不发生时，事件“两球都不是白球”不一定发生，事件“两球恰有一白球”不一定发生，故非对立事件，故A、B正确； “两球都为白球”发生时，事件“两球至少有一个白球”可以发生，故不是互斥事件，故C错误； 事件“两球不都是白球”意思是“两球至少有一个不是白球”与事件“两球都是白球”是对立事件， 故D错误. 故选：AB 18．（多选）（24-25高一下·广东惠州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数据、、、、、、、、、的下四分位数为 B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 C．设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和 D．已知，，且，则 【答案】AC 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用韦恩图法可判断B选项；利用平均数和方差的性质可判断C选项；利用事件的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故数据、、、、、、、、、的下四分位数为，A对； 对于B选项，若事件、互斥且不对立，如下图所示： 则，即的对立事件与的对立事件不一定互斥，B错； 对于C选项，设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和， 若，则、、、、、 的平均数为，方差为，C对； 对于D选项，若，则，故，D错. 故选：AC. 19.（23-24高一下·湖南邵阳·期末）某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为______． 【答案】0.2/ 【分析】根据和概率基本性质计算即可. 【详解】设学生爱好篮球为事件A，学生爱好音乐为事件B，则学生爱好篮球或音乐为事件，既爱好篮球又爱好音乐为事件, , 又因为, 所以. 故答案为：. 20.掷一枚骰子，观察它朝上的点数.设事件A=“点数为1”，B=“点数为偶数”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3的倍数”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件； (2)事件A与C，C与D，D与E之间各有什么关系？ (3)用集合形式表示事件，，，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意写出样本空间和各对应事件的基本事件的集合形式即可； （2）根据事件中基本事件，判断各事件的包含等关系，即可判断相关事件的关系； （3）写出相关事件的对立事件，利用事件的运算性质确定所求事件的集合形式. 【详解】（1）由题意，样本空间且， （2）由（1）知：是的子事件，是的子事件， 且，即是对立事件. （3）由（1），， 所以，，，. 【考点三】古典概型 21.（24-25高一下·甘肃天水·期末）在2025年6月21日天水市公祭伏羲活动期间，有人提出了这样一个问题：伏羲八卦中每一卦由三个爻组成（“”为阳爻，“”为阴爻）.从八卦中随机抽取一卦，那么抽到恰好含有两个阳爻的卦的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概率的公式计算即可. 【详解】由八卦图可知，抽到恰好含有两个阳爻的情况有3种，所以抽到恰好含有两个阳爻的概率为. 故选：B 22．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【详解】由题意可知从高一学生中抽取人，记为， 从高二学生中抽取人，记为， 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中至少有一名来自高二年级有，7种情况， 所以所求概率为. 故选：D. 23．（25-26高一上·贵州遵义·期末）购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的条件，求出买3个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可，根据古典概型求概率. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，个盲盒的总情况数为，即27种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在3个盲盒中包含所有3种玩偶， 共有种情况， 则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为. 故选：D 24．（24-25高一下·福建福州·期末）一个盒子中装有4支铅笔，其中2支一等品，1支二等品和1支三等品．若从中任取2支铅笔，则恰有1支铅笔是一等品的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法并根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】由题意将4支铅笔中2支一等品用，表示，1支二等品用表示，1支三等品用表示， 则从中任取2支的情况为：，，，，，共6种情况， 则恰有1支铅笔是一等品的情况有，，，，共4种符合， 所以恰有1支铅笔是一等品的概率为，故D正确. 故选：D. 25.（多选）（24-25高一下·山东济南·期末）已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别计算出，再结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】由题意， 所以，，. 故选：BCD. 26．（多选）（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）不透明的袋子中装有两个分别标有数字1，2的红球和四个分别标有数字1，2，3，4的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则（    ） A．这两个球颜色相同的概率小于颜色不同的概率 B．至少有一个红球被取出的概率为 C．这两个球上的数字相同的概率为 D．这两个球上的数字之和为偶数的概率为 【答案】AC 【分析】写出样本空间，列举法进行求解古典概型的概率. 【详解】从袋子中随机取出两个球，样本空间＝{（红1,红2），（红1,黄1），（红1,黄2）， （红1,黄3），（红1,黄4），（红2,黄1），（红2,黄2），（红2,黄3），（红2,黄4）， （黄1,黄2），（黄1,黄3），（黄1,黄4），（黄2,黄3），（黄2,黄4），（黄3,黄4）}. A选项，样本空间共15种情况数，其中两个球颜色相同的情况有7种，颜色不同的有8种， 这两个球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为是，A正确. B选项，至少有一个红球的情况有9种，故概率为是，B不正确. C选项，这两个球上的数字相同情况有2种，故概率为，C正确. D选项，这两个球上的数字之和为偶数的情况有6种，概率为，D不正确. 故选：AC 27.（24-25高一下·山东烟台·期末）从，，，，中随机选个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为________． 【答案】/ 【分析】利用列举法表示古典概型的概率. 【详解】从，，，，中随机选个不同的数， 有，，，，，，，，，，共种情况； 其中满足和为偶数的有，，，，共种情况， 即概率为， 故答案为：. 28．（25-26高一上·江西南昌·期末）学校社团开放日设置了4个体验项目：手工篆刻、即兴戏剧、AI编程、非遗糖画，每位同学需随机抽取2个不同项目参与，且每个项目组合被抽中的概率相等，则李同学恰好抽中“手工篆刻”的概率为__________． 【答案】/0.5 【分析】列举出所有可能的情况，利用古典概率求解即可． 【详解】手工篆刻、即兴戏剧、AI编程、非遗糖画分别用，，，来表示， 则李同学从4个体验项目中任选2个不同项目， 有，，，，，，共种情况， 李同学恰好抽中“手工篆刻”的情况有，，，共种， 故所求概率为． 故答案为：． 29.（24-25高一下·广西柳州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的小长方体的面积和为1求解； （2）利用分层随机抽样的平均数公式与方差公式求解； （3）由按比例分配的分层随机抽样，确认在中抽5人，在中抽2人，列出样本空间和满足事件的总情况，利用求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得. （2）因为的人数为， 的人数为， 所以在平均成绩为， 在的成绩的方差为. （3）因为和这两组的频率之比为， 所以在中抽5人，在中抽2人， 设从学生中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为， 故， 又因为，则， 所以事件的概率为. 30．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，这个电路的工作状态可用表示，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，列出所有情况得解； （2）“电路是通路”即，且，至少有一个是1，由古典概率的公式计算. 【详解】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示． 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“电路是通路”等价于，，且，至少有一个是1， 所以. 所以. 【考点四】概率的基本性质 31.（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列结论正确的是（    ） A．若事件A与事件B互斥，则 B．若事件A与事件B互斥，则 C．若事件A与事件B对立，则 D．若事件A与事件B对立，则 【答案】C 【分析】举例法可判断A；利用互斥与对立事件的关系可判断BCD. 【详解】对于A，若抛掷一枚质地均匀的色骰子出现1点记为事件A，出现2点记为事件B， 则互斥，但，故A错误； 对于B，事件A与事件B互斥，则，故B错误； 对于C，若事件A与事件B对立，则，故B正确； 对于D，若事件A与事件B对立，则，故D错误. 故选：C. 32．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 33．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用与互为对立求出，再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案. 【详解】由与互为对立，则， 又与互斥，则. 故选：B. 34．（24-25高一下·湖北武汉·期末）某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率计算公式，结合对立事件概率之间的关系求解. 【详解】设“选出的3辆车都是燃油车”为事件，则. 设“选出的3辆中至少有1辆新能源车”为事件，则事件、为对立事件， 所以. 故选：C 35.（多选）（24-25高一下·湖南·期末）据某省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择技术学科”，“选择一门理科学科”，“选择历史学科”，“选择一门文科学科”，以下结论正确的是（   ） A．F和G是互斥事件但不是对立事件 B．F和H是互斥事件也是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】由互斥事件和对立事件的定义和概率性质逐项分析即可求解. 【详解】对于A，事件F表示“选择一门理科学科”，事件G表示“选择历史学科”， 所以，所以F和G是互斥事件， 除了理科学科和历史学科外，还有其他文科 学科（政治、地理）， 所以（为总样本空间），即F和G不是对立事件，故A正确； 对于B，事件F表示“选择一门理科学科”，事件H表示“选择一门文科学科”， 所以，且所以（为总样本空间）， 所以F和H是互斥事件，也是对立事件，故B正确； 对于C， 事件E表示“选择技术学科”，事件H表示“选择一门文科学科” 因为技术学科是理科，所以E和H是互斥事件，所以，故C正确； 对于D，事件E表示“选择技术学科”，事件G表示“选择历史学科”，E和G是互斥事件， 但（为总样本空间），所以，故D错误. 故选：ABC 36．（多选）（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法不正确的是（   ） A．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】CD 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念进行判断. 【详解】对A，，又，所以，则，正确； 对B，若A，B为两个事件，则，正确； 对C，事件A，B，C两两互斥，则，并不能说明，错误； 对D，若事件A，B满足，且事件A，B互斥，则A与B相互对立，错误. 故选：CD 37.（25-26高一上·江西九江·期末）河流与河流是水库的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.8和0.6，同时不缺水的概率是0.5，则水库缺水的概率为_________． 【答案】0.1/ 【分析】设相应事件，可知，根据事件的关系运算求解即可. 【详解】记“河流不缺水”为事件，“河流不缺水”为事件，“水库不缺水”为事件，则水库缺水为事件， 由，且， 可得， 所以水库缺水的概率． 故答案为： 38．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则______． 【答案】0.6/ 【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】随机事件和互斥，则． 又和对立，. 故答案为：0.6． 39.（24-25高一下·新疆巴州·期末）一盒子内有编号分别为1、2、3、4、5的5个相同小球，从中随机摸出2个小球. (1)写出试验的样本空间； (2)记事件A=“摸出的小球编号均为奇数”，事件B=“摸出的小球编号均为偶数”，事件C=“摸出的小球编号不相邻”，分别求出事件A、B、C的概率，并说明事件A、B、C之间的关系. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意直接列出即可； （2）由古典概率求解可得，再由事件间关系判断即可. 【详解】（1）由题意可得. （2）由（1）可得摸出的小球编号均为奇数为，所以； 摸出的小球编号均为偶数为，所以； 摸出的小球编号不相邻为，所以， 事件与事件互斥，都是事件的子事件. 40．（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意，列出不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果，满足条件的事件是连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生，包括两种情况，一是一男一女，二是两女，这两种情况是互斥的，方法1：根据古典概型概率公式得到结果；方法2 ：得出取出的2人全是男生包含的样本点个数，再利用对立事件求出概率； （2）①试验发生包含的事件是有放回地连续抽取2张卡片，列举出所有的事件共有25种结果，找出满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果；②“选出的不全是男生”其对立事件为“选出的全是男生”，求出包含的样本点个数，再求出概率. 【详解】（1）把抽取2张卡片的结果记为，其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号． 依题意，不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有20种可能的结果． 用事件A表示“选出的2人不全是男生”． 方法1：  依题意知事件A包含的样本点有 ， ，共有14种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． 方法2 ： 依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有 ，共有6种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． （2）抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有25种可能的结果． 设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”， 则事件B所包含的样本点有，共有5种可能的结果， 因此，，即独唱和独奏由同一个人表演的概率为． 设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”， 包含的样本点有，共有9种可能的结果， 因此，，即选出的不全是男生的概率为． 【考点五】事件的相互独立性 41.（24-25高一下·湖南衡阳·期末）常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】甲前两轮胜利的概率， 甲前两轮一赢一输，第三轮胜利的概率， 于是甲胜利的概率. 故选：D 42．（24-25高一下·山东烟台·期末）甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为．若甲、乙两人各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件概率的乘法公式及互斥事件概率加法公式分别计算. 【详解】由题意得， 故选：A. 43．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为，，且2人是否击中目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件概率乘法公式结合对立事件概率公式运算求解. 【详解】设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件， 则，，且，可得，， 所以. 故选：B. 44．（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 【答案】B 【分析】分别根据相互独立事件的概率，互斥事件的概率，包含事件的概率的定义及公式计算可得. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为独立，所以与也相互独立， 所以，故B错误； 对于C：若独立，根据并事件的概率公式得 ，故C正确； 对于D：互斥，由概率的加法公式可得，故D正确. 故选：B 45.（多选）（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 46．（多选）（24-25高一下·湖南长沙·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 【答案】BD 【分析】首先根据题意将的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判断即可. 【详解】不放回的随机取两次，共有种不同结果. 由题意，共15种结果； 共15种结果. 共12种结果. , 对于选项A： 事件和事件能同时发生，比如，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于选项B：，所以B正确； 对于选项C：，，所以，所以C错误； 对于选项D：，. 由于，所以相互独立，所以D正确. 故选：BD. 47.（23-24高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 【答案】/ 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 48．（25-26高一上·陕西渭南·期末）如图，已知开关闭合后是否正常工作是相互独立的，且正常工作的概率分别为，现在闭合，则灯亮的概率是_____________________. 【答案】 【分析】首先确定灯亮时开关的闭合情况，再根据独立事件概率公式，即可求解. 【详解】若灯亮，则开关闭合，中至少一个闭合， 所以灯亮的概率为. 故答案为： 49.（24-25高一下·福建龙岩·期末）甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设“甲乙两人至少有一人全部答对”，得到两两互斥，且与相互独立，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）设“甲乙两人一共答对三道题”，得到，且，设，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：设“甲乙两人至少有一人全部答对”， 则两两互斥，与相互独立， 且，所以． 所以 ． （2）解：由题知，， 设“甲乙两人一共答对三道题”， 则 ． 因为，所以， 设，则在单调递增，单调递减， 所以当时，；当时，，所以， 所以，即，当且仅当时等号成立， 故甲乙两人一共答对三道题的概率最小值为． 50．（24-25高一下·福建厦门·期末）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不相互独立，理由见解析 【分析】（1）写出所有的样本点，再根据古典概率公式即可得出答案； （2）利用独立性事件同时发生的乘法公式及互斥事件发生的加法公式计算，再验证与是否相等即可判断. 【详解】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型.     记事件“甲获得一等奖”，则，，     所以，所以甲获得一等奖的概率为. （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中，2. 由（1）知； ，；     ，；     ，.     则，，与相互独立. 所以.     因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 .     因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以.     所以，所以事件与事件不相互独立. 【考点六】频率与概率 51.（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 【答案】C 【分析】用样本的合格率估计总体的合格率，再估算出合格产品件数． 【详解】由题意合格率为， 因此合格品件数约为（万件）， 故选：C． 52．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 53．（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 【答案】A 【分析】利用概率的意义直接求解． 【详解】某医院治疗一种疾病的治愈率为， 对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确； 对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为， 不一定有一位病人被治愈，故B错误； 对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误； 对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误． 故选：A. 54．（23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 【答案】B 【分析】由概率的定义即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误； 对于B，明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确； 对于C，不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误； 对于D，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨量，故D错误. 故选：B. 55.（多选）（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法错误的有（    ） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 【答案】ACD 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可． 【详解】对于A，次品率是一个概率值，表示的是统计意义上的平均结果，不是必然结果， 抽取100件产品，次品数是一个随机变量，可能是10件，但不是“必有”10件，故A错误； 对于B“明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨”概率为90%表示降雨的可能性很大， 但不是100%，所以仍然存在不下雨的可能，故B正确； 对于C，“连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件”每次投骰子出现1的概率是， 连续10次出现1的概率是，虽然概率很小，但仍然是可能发生的，故C错误； 对于D，概率是理论上的稳定值，不能通过一次有限的试验结果（5次中1次）来直接确定，这只是这次试验的频率，不是概率，故D错误． 本题选择不正确的，故选：ACD． 56．（多选）（25-26高一上·陕西渭南·期末）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可. 【详解】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 57.（25-26高一上·辽宁锦州·期末）在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 【答案】 /0.7 14 【分析】根据随机事件的概率计算公式计算即可. 【详解】由题意可知摸球100次，其中30次摸到黑球， 所以其中70次摸到白球，故一次试验中摸到白球的概率为， 设不透明的盒子里，装有6个黑球和个白球， 则摸到白球的概率为，解得. 故答案为：；14. 58．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示． 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 125 176 369 命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是_____． 【答案】 【分析】根据试验中频率与概率的关系，即可求解. 【详解】由题意知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差就越小. 所以使误差较小的可能性大的估计值是. 故答案为：. 59.（23-24高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 【答案】(1) (2)B车间,理由见解析 【分析】（1）根据题意算出频率，以频率作为概率即可求解； （2）根据平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）从数据可知，在随机抽取6件产品中， A车间生产该批次产品的合格量为，频率为，B车间生产该批次产品的合格量为，频率为， 以频率作为概率，A，B两车间生产该批次产品的合格率均为； （2）A车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， B车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， 因为，所以A车间生产的产品质量比B车间生产的产品质量更稳定，故选A车间生产的产品更好. 60．（23-24高一上·广西桂林·期末）在某校进行男生身高调查，随机抽取100名男生，测得他们的身高（单位：），并按照区间，，，，分组，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该校一位男生的身高位于区间的概率及该校男生身高的分位数； (2)估计该校男生的平均身高（同一组数据用该区间的中点值为代表）. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率估计概率运算求解，并根据百分位数的定义求分位数； （2）直接利用平均数公式求出平均数. 【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 身高位于区间的频率为， 用频率估计概率，估计该校一位男生的身高位于区间的概率为， 又因为的人数占比为0.10，的人数占比为0.20. 可知该校100名生学身高的分位数落在. 设该校100名生学身高的分位数为x，则，解得. 故该校100名生学身高的分位数为. （2）根据频率分布直方图，由平均数公式可得： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义05 概率 【考点一】有限样本空间与随机事件 【考点四】概率的基本性质 【考点二】事件的关系和运算 【考点五】事件的相互独立性 【考点三】古典概型 【考点六】频率与概率 一、随机事件与概率 1. 随机事件的分类与定义 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，记为，其概率。 不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，记为，其概率。 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，记为，其概率满足。 核心说明：必然事件和不可能事件是随机事件的极端情况，三者共同构成所有可能的试验结果。 2. 事件的关系与运算（高频判断） 包含关系：若事件发生，则事件一定发生，记为，此时。 相等关系：若且，则，此时。 并事件（和事件）：事件或至少有一个发生，记为（或）。 交事件（积事件）：事件和同时发生，记为（或）。 互斥事件：事件和不能同时发生，即，核心性质：。 对立事件：事件和有且仅有一个发生，即且，记为（为的对立事件），核心性质：，即。 易错点：① 对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件；② 区分“或”（并事件）与“且”（交事件），避免混淆运算逻辑。 3. 概率的基本性质（必考） 性质1：对任意事件，都有； 性质2：，； 性质3：若，则（表示发生且不发生）； 性质4（加法公式）：对任意两个事件，有； 性质5（互斥事件加法）：若互斥，则，可推广到多个互斥事件：。 4. 频率与概率（基础概念） 频率：在次重复试验中，事件发生的次数与试验总次数的比值，记为，频率是变化的，随试验次数变化而波动。 概率：频率的稳定值，是一个确定的常数，反映事件发生的可能性大小，不随试验次数变化而变化。 核心关系：当试验次数很大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用于估计概率。 易错点：频率不是概率，不能用单次试验的频率代替概率。 二、古典概型 1. 古典概型的定义与特征（判断必考） 定义：具有以下两个特征的概率模型称为古典概型，也叫等可能概型。 核心特征： 有限性：试验的所有可能结果（基本事件）个数是有限的； 等可能性：每个基本事件发生的概率都相等。 常见示例：掷骰子、抽卡片、摸球（无放回且球完全相同）等，均满足古典概型特征。 易错点：判断古典概型时，需同时满足“有限性”和“等可能性”，缺一不可（如不均匀的骰子，不满足等可能性，不是古典概型）。 2. 古典概型的概率计算公式（核心必考） 设试验的基本事件总数为，事件包含的基本事件个数为，则事件发生的概率为： 核心步骤： 判断试验是否为古典概型（验证有限性和等可能性）； 列举或计算试验的基本事件总数； 找出事件包含的基本事件个数； 代入公式计算概率，结果需化为最简分数或小数（期末建议保留分数）。 易错点：① 计算基本事件总数时，避免重复或遗漏（可采用列举法、树状图、组合数计算）；② 忽略等可能性，误将不等可能的事件当作古典概型计算。 3. 古典概型常见题型（高频） 题型1：简单列举类（基本事件个数少），如掷1次骰子、抽2张卡片，直接列举所有基本事件，再计数计算。 题型2：组合类（无放回抽样），如从个个体中抽取个，基本事件总数为，事件包含的个数用组合数计算，再代入公式。 题型3：互斥/对立事件结合类，当直接计算较复杂时，可先计算，再用求解（简化计算）。 示例：从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取1个，求抽到偶数的概率。解：基本事件总数，事件（抽到偶数）包含的基本事件为2,4，即，故。 三、几何概型 1. 几何概型的定义与特征（判断必考） 定义：当试验的所有可能结果（基本事件）个数是无限的，但每个基本事件的发生都具有等可能性，且所有基本事件可以构成一个可度量的几何区域，这样的概率模型称为几何概型，是古典概型的推广和补充。 核心特征： 无限性：试验的基本事件个数是无限的； 等可能性：每个基本事件发生的概率只与它所占据的几何区域的度量（长度、面积、体积）成正比，与区域的形状、位置无关。 常见示例：撒豆子、取随机数、等待时间等，均满足几何概型特征。 易错点：区分古典概型（有限）与几何概型（无限），避免将无限个基本事件的试验当作古典概型计算。 2. 几何概型的概率计算公式（核心必考） 设试验的所有基本事件构成的几何区域为，其度量值（长度、面积、体积）为；事件包含的基本事件构成的几何区域为，其度量值为，则事件发生的概率为： 核心步骤： 判断试验是否为几何概型（验证无限性和等可能性）； 确定所有基本事件对应的几何区域，计算其度量值； 确定事件对应的几何区域，计算其度量值； 代入公式计算概率，结果需化为最简分数或小数。 3. 几何概型的常见类型（高频题型） 类型1：长度型（一维区域）：几何区域为线段、射线、直线等，度量值为长度。 示例：某人午觉醒来，表停了，打开收音机想听整点报时，求等待时间不超过10分钟的概率。解：所有可能结果对应的区域为[0,60]（单位：分钟），长度；事件（等待时间≤10分钟）对应的区域为[50,60]，长度，故。 类型2：面积型（二维区域）：几何区域为平面图形（三角形、矩形、圆等），度量值为面积（期末重点考查）。 示例：在边长为2的正方形内随机撒一粒豆子，求豆子落在该正方形内接圆内的概率。解：正方形面积；内接圆半径，面积，故。 类型3：体积型（三维区域）：几何区域为空间图形（正方体、球体等），度量值为体积（选考，难度较低）。 易错点：① 确定几何区域时，避免混淆“事件对应的区域”与“总体区域”；② 计算度量值时，注意公式正确（如圆的面积、三角形面积），避免计算失误。 【考点一】有限样本空间与随机事件 1.（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 3．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 4．有下列事件：①篮球运动员罚球命中；②在自然数集中任取一个数为质数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶函数.上述事件中为随机事件的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5.（多选）（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 6．（多选）（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·期末）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．2021年8月18日，北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D．，则 7.下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程有两个不相等的实数根；③下周一会下雨；④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于次.其中随机事件的序号为________. 8.如图，把一个表面涂有蓝漆的正方体木块锯成64个完全相同的小正方体，若从中任取一块，则这一块至多有一面涂有蓝漆的概率为_______． 9.先后抛掷两枚骰子． (1)写出该试验的样本空间． (2)出现“点数相同”的结果有多少种？ 10.某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球，10个绿球和10个白球的袋子.调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）.若摸到红球就如实回答第一个问题，若摸到绿球，则不回答任何问题；若摸到白球，则如实回答第二个问题.所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做.最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数有多少？ 【考点二】事件的关系和运算 11.（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 12．（24-25高一下·云南昭通·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 13．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 14．（24-25高一下·广西柳州·期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生 B．至少有1名男生与全是女生 C．恰有1名男生与恰有2名男生 D．至少有1名男生与至少有1名女生 15.（多选）（23-24高一下·西藏拉萨·期末）从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（  ） A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球” B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球” C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球” D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球” 16．（多选）（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 17．（多选）（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期末）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 18．（多选）（24-25高一下·广东惠州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数据、、、、、、、、、的下四分位数为 B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 C．设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和 D．已知，，且，则 19.（23-24高一下·湖南邵阳·期末）某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为______． 20.掷一枚骰子，观察它朝上的点数.设事件A=“点数为1”，B=“点数为偶数”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3的倍数”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件； (2)事件A与C，C与D，D与E之间各有什么关系？ (3)用集合形式表示事件，，，. 【考点三】古典概型 21.（24-25高一下·甘肃天水·期末）在2025年6月21日天水市公祭伏羲活动期间，有人提出了这样一个问题：伏羲八卦中每一卦由三个爻组成（“”为阳爻，“”为阴爻）.从八卦中随机抽取一卦，那么抽到恰好含有两个阳爻的卦的概率是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·贵州遵义·期末）购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·福建福州·期末）一个盒子中装有4支铅笔，其中2支一等品，1支二等品和1支三等品．若从中任取2支铅笔，则恰有1支铅笔是一等品的概率为（    ）． A． B． C． D． 25.（多选）（24-25高一下·山东济南·期末）已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 26．（多选）（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）不透明的袋子中装有两个分别标有数字1，2的红球和四个分别标有数字1，2，3，4的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则（    ） A．这两个球颜色相同的概率小于颜色不同的概率 B．至少有一个红球被取出的概率为 C．这两个球上的数字相同的概率为 D．这两个球上的数字之和为偶数的概率为 27.（24-25高一下·山东烟台·期末）从，，，，中随机选个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为________． 28．（25-26高一上·江西南昌·期末）学校社团开放日设置了4个体验项目：手工篆刻、即兴戏剧、AI编程、非遗糖画，每位同学需随机抽取2个不同项目参与，且每个项目组合被抽中的概率相等，则李同学恰好抽中“手工篆刻”的概率为__________． 29.（24-25高一下·广西柳州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 30．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 【考点四】概率的基本性质 31.（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列结论正确的是（    ） A．若事件A与事件B互斥，则 B．若事件A与事件B互斥，则 C．若事件A与事件B对立，则 D．若事件A与事件B对立，则 32．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·湖北武汉·期末）某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 35.（多选）（24-25高一下·湖南·期末）据某省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择技术学科”，“选择一门理科学科”，“选择历史学科”，“选择一门文科学科”，以下结论正确的是（   ） A．F和G是互斥事件但不是对立事件 B．F和H是互斥事件也是对立事件 C． D． 36．（多选）（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法不正确的是（   ） A．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 37.（25-26高一上·江西九江·期末）河流与河流是水库的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.8和0.6，同时不缺水的概率是0.5，则水库缺水的概率为_________． 38．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则______． 39.（24-25高一下·新疆巴州·期末）一盒子内有编号分别为1、2、3、4、5的5个相同小球，从中随机摸出2个小球. (1)写出试验的样本空间； (2)记事件A=“摸出的小球编号均为奇数”，事件B=“摸出的小球编号均为偶数”，事件C=“摸出的小球编号不相邻”，分别求出事件A、B、C的概率，并说明事件A、B、C之间的关系. 40．（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【考点五】事件的相互独立性 41.（24-25高一下·湖南衡阳·期末）常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一下·山东烟台·期末）甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为．若甲、乙两人各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为，，且2人是否击中目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 45.（多选）（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 46．（多选）（24-25高一下·湖南长沙·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 47.（23-24高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 48．（25-26高一上·陕西渭南·期末）如图，已知开关闭合后是否正常工作是相互独立的，且正常工作的概率分别为，现在闭合，则灯亮的概率是_____________________. 49.（24-25高一下·福建龙岩·期末）甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 50．（24-25高一下·福建厦门·期末）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【考点六】频率与概率 51.（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 52．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 53．（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 54．（23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 55.（多选）（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法错误的有（    ） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 56．（多选）（25-26高一上·陕西渭南·期末）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 57.（25-26高一上·辽宁锦州·期末）在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 58．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示． 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 125 176 369 命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是_____． 59.（23-24高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 60．（23-24高一上·广西桂林·期末）在某校进行男生身高调查，随机抽取100名男生，测得他们的身高（单位：），并按照区间，，，，分组，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该校一位男生的身高位于区间的概率及该校男生身高的分位数； (2)估计该校男生的平均身高（同一组数据用该区间的中点值为代表）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $