专题4.5 立体几何中的线线角、线面角、二面角重难点8大题型归纳（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题4.5 立体几何中的线线角、线面角、二面角重难点归纳（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求异面直线所成角 题型02求线面角 题型03求线面角的范围 题型04三垂线、垂面法求二面角 题型05射影面积、补形法求二面角 题型06求二面角的取值范围 题型07线线角、线面角、二面角综合 题型08三余弦定理的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求异面直线所成角 掌握平移法（中点、中位线、平行四边形）将异面直线转化为相交直线；能构造三角形并利用余弦定理求角，注意角度范围为锐角或直角 基础高频，常在选择题或解答题第一问出现，考查空间想象和转化能力，平移技巧是关键 求线面角 理解线面角是斜线与射影的夹角；掌握几何法（作垂线找射影）和核心步骤（作—证—算）；能准确找出斜足和垂足 每年必考，常在解答题中出现，几何法需规范作图，注意线面角范围为0°到90° 求线面角的范围 掌握最小角定理（线面角是斜线与平面内所有直线所成角的最小值）；能通过分析斜线段长、点到平面距离的变化确定角范围；常用正弦值等于距离除以斜线段长来转化 难度中等，常在选择题或填空题中出现，考查动态几何中角度最值的分析能力 三垂线、垂面法求二面角 掌握三垂线定理及其逆定理作平面角；理解垂面法（作垂直于棱的平面，交线所成角即为平面角）；能规范作图并计算 核心难点，常在解答题中出现，三垂线法需合理选择点作垂线，垂面法适用于棱不易作垂线的情形 射影面积、补形法求二面角 掌握射影面积法（二面角余弦等于射影面积与原面积之比）；理解补形法将几何体补全为规则体，利用已知二面角求解；能灵活选择方法简化计算 技巧性较强，多在选择题或填空题中使用，射影面积法适用于一个面在另一面投影易求的图形，补形法适用于不规则几何体 求二面角的取值范围 理解二面角范围为0°到180°；能通过分析两个半平面的张开程度、动点运动或几何边界确定范围；常用极限位置法（端点、垂直、平行）确定临界角 难度较高，常在压轴小题中出现，考查动态几何中二面角变化规律的分析能力，需结合图形和代数约束 三余弦定理的应用 掌握三余弦定理的几何意义（斜线与平面内直线所成角的余弦等于线面角余弦与射影线夹角的余弦乘积）；能用于求线面角、斜线与平面内直线夹角，以及证明最小角定理 拓展内容，偶有考查，常在选择题中与线面角结合，理解定理本质可快速求解某些角度关系 知识点01 异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是‌空间中两条不共面直线‌的夹角，通过“空间问题平面化”转化为‌两条相交直线的夹角‌，其取值范围为（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 知识点02 线面角 1、定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 （2）体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 知识点03 二面角 1、三垂线定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图则它们组成的角为二面角的平面角，范围为 3、二面角的求法 （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 题型一 求异面直线所成角 解｜题｜技｜巧 通过平移，将两条异面直线平移到相交位置，构造出它们的夹角（通常取锐角或直角），再放入三角形中利用余弦定理或已知边长求解。通常会利用中点、中位线、平行四边形对边平行、或补形（将几何体补成长方体）等方式，将一条直线平移到与另一条相交的位置。 注意：异面直线所成的角有范围限制，若是钝角，则需要求其补角。 【典例1】（25-26高二下·上海·阶段检测）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________ 【答案】或 【分析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，利用求出进而得到侧棱长，根据异面直线的概念可知即为异面直线与所成角的平面角，在中利用余弦定理求解即可； 【详解】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径， 因为底面边长为4，所以， 易知球心在直线上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，由余弦定理可得， 解得； 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，由余弦定理可得， 解得. 综上：直线与所成角的余弦值为或. 【典例2】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，正方体的棱长为2，动点分别在面对角线和上，若大于零），则与所成的角（  ） A．与都有关 B．与有关，与无关 C．与有关，与无关 D．与都无关 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，判断两直线得到两直线垂直，得出结果. 【详解】 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 正方体的棱长为2，，则 ， ， 因为， 所以与垂直， 所以与所成的角与都无关. 故选：D. 【变式1】（25-26高二上·陕西西安·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点，，，，分别为线段，，，，的中点，连接，，，，，，，则下列正确结论的序号是_____． ①点，，，不在同一个平面内； ②直线，，交于同一点； ③直线与直线所成角的余弦值为． 【答案】 【分析】连接，则四边形是平行四边形，进而，即可判断①；连接，延长交于点，延长交于点，则，即可判断②；取的中点，连接，为直线与所成角的平面角，利用余弦定理解三角形即可判断③. 【详解】①连接，则且， 所以四边形是平行四边形，得， 所以， 所以点在同一个平面内，故①错误； ②连接，则且， 所以四点共面，延长交于点， 则； 连接且， 所以四点共面，延长交于点， 则， 所以两点重合，则直线交于同一个点.故②正确； ③取的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形，得， 所以为直线与所成角的平面角， 在中，， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为，故③正确. 故答案为：②③ 【变式2】（25-26高二上·全国·期中）在正方体中，过点作直线与异面直线和所成的角均为，则的取值范围为____________. 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解. 【详解】如图，因为，所以或其补角为异面直线和所成的角. 因为，所以是等边三角形，所以， 过点作直线的平行线，则当与的角平分线平行时，取得最小值为， 故的取值范围为， 故答案为：.    题型二 求线面角 答｜题｜模｜板 1、定义法求线面角：过斜线上的点作平面的垂线，通过垂线、射影，直线本身构成的直角三角形来求角度 2、如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 注意线面角的角度范围 【典例1】（2026·四川巴中·一模）在四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作，，作点在平面投影为，连接，，设，由直线与平面所成角的定义可得为与平面所成角,由线面垂直的性质定理可得，进而可得，，并求得，，即可得答案. 【详解】如图，过作，，作点在平面的投影为，连接，， 设， 因， 则，． 因为平面，，平面， 所以，，且为与平面所成角． 又，，， ，平面，，平面， 所以平面，平面． 又平面，平面， 则，． 又，，， 则， 故， 结合，得． 又， 则, 故与平面所成角的正弦值等于． 故选：A． 【典例2】（多选）（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）（多选）如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（   ） A．该三棱锥的外接球直径为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项A，可将三棱锥补成长方体计算；选项B，根据三棱锥体积进行运算；选项CD，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成长方体，找到相应角进行计算； 【详解】对于A，由三条侧棱两两垂直，则该三棱锥可补成长方体，如图所示，该三棱锥的外接球也就是补成的长方体的外接球， 则外接球直径，故A正确； 选项B，由三棱锥的体积，得， 化简，得，故B正确； 对于C，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成如图所示的长方体， 则直线与所成角为记为，与所成角为记为，与所成角为记为， 则，，，则， 故C错误； 对于D，直线与平面、平面、平面所成角分别为， 则， 故 ，故D正确. 【变式1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【分析】由线面角的定义作出平面角，根据等体积法求出到平面的距离，再由正弦的定义求出正弦值. 【详解】过点作平面的垂线，垂足为，连接， 则与平面所成角为， 因为，侧面是底角为的等腰梯形， 所以等腰梯形的高， 因为， 因为，设点B到面的距离为， 根据，即，解得， 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式2】（25-26高一下·天津南开·期中）如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 【答案】 【分析】利用等体积法求点到平面的距离，进而可求线面夹角. 【详解】设正方体的棱长为， 所以，所以， ， 设的中点为，连接， 所以， 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 所以， 所以，所以， 解得， 设直线与平面所成角为， 所以，又，所以， 所以. 题型三 求线面角的范围 答｜题｜模｜板 线面角是斜线与平面内所有直线所成角中的最小角（最小角定理）。因此，求线面角的范围转化为求斜线与平面内某条特殊直线（如投影线）夹角的变化范围。 1、找垂线定射影：过斜线上一点作平面的垂线，确定垂足，则射影为斜足与垂足的连线。线面角即为斜线与射影的夹角。 2、利用动点变化：当斜线上点或平面内直线运动时，射影长度随之改变，通过分析直角三角形中边长比例（正弦）的变化，结合几何约束（如点到平面的距离为定值、斜线长度变化范围），利用三角函数的单调性确定角度范围。 3、临界位置法：线面角的最值往往出现在斜线端点位于平面边界、垂足与某点重合、或斜线与平面内某直线垂直/平行等特殊位置。通过分析几种极限情形，即可得到角度范围。 【典例1】（25-26高一下·浙江温州·期中）点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【答案】 【分析】点在平面中的射影为，连接，，则是直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，，再根据求解即可. 【详解】如图，设正四面体中，点在平面中的射影为， 连接，，则平面，为正的中心， 所以是直线与平面所成角的平面角， 所以 设正四面体的棱长为，则，， 所以 所以 【典例2】（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面，可得即为直线与平面ABCD所成角，再进行分析即可确定正确答案. 【详解】连接， 在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以.    【变式1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法取直线 与平面 所成角的正弦值的临界状态可得答案. 【详解】如图，正三棱柱 棱长均为 2，取 的中点为 ， 则 平面 ， 当点 是靠近点 的四等分点时， ，则 平面 ， 此时直线 与平面 所成角的正弦值最大为 1； 当点 与 重合时，此时 最长， 即 ， 因为正三棱柱 中， 是棱 的中点， 所以点 到平面 的距离为 ，    此时直线 (即 ) 与平面 所成角的正弦值最小，为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值取值范围是 . 故选：  D. 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】分别取、中点、，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面，可知，设，，利用线面角的定义结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】分别取、中点、，因为，则， 在正方形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， ， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 题型四 三垂线、垂面法求二面角 答｜题｜模｜板 作垂线找二面角是几何法求二面角题目的主要思路，若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 【典例1】（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作于点，再利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而得到为中点即可证明； （2）利用体积求出，作于点，作于点，连，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到为二面角的平面角，再求解即可. 【详解】（1）作于点， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以， ，为中点． ，． ，，． （2），，为三棱锥的高， ， 作于点，作于点，连． 平面，平面， ． ，又，平面， 平面，平面， 所以． ，平面，， 平面，又平面， 所以，故为二面角的平面角． ，， ． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点，平面平面，若，，，求二面角的余弦值.    【答案】 【分析】二面角为“直二面角”，故联想到“三正弦定理”得：，进而代入求解. 【详解】由题意知，平面平面，故二面角为“直二面角”. 设二面角的大小为，由“三正弦定理”得：. 由于在中，，，则. 在中，，，则， 所以在中，，所以，， 所以，所以. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在中，.将以为轴旋转至，动点与原来的形成三棱锥，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)记二面角为，二面角为.证明：为定值； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）过点分别向引垂线，垂足分别为，根据线面垂直的性质定理证明，由此可得，同理，再计算即可； 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以∽， 所以，即. 由已知可得≌，同理，在中可证. 又，且两直线在平面内，所以平面. （2）由（1）知平面，所以平面平面， 则点在平面内的射影在直线上. 如图，过点分别向引垂线，垂足分别为， 连接，则四边形是矩形. 由于，且两直线在平面内，所以平面， 从而，因此，同理. 因此， 从而，为定值. 【变式2】（多选）（25-26高三上·重庆·阶段检测）（多选）在三棱锥中，，且点在平面上的射影位于内部，记二面角，的大小分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】过点作平面于，过点作于，过点作于，根据线面垂直的判定定理可得平面，平面，根据三垂线定理及逆定理求二面角，结合垂直关系逐项分析即可. 【详解】过点作平面于，过点作于， 过点作于， ，平面， 所以平面，而平面，故. 同理可得平面，. 对于A：，所以，故A正确； 对于B：， 所以， 因为在上单调递增， 所以，同理可得， 则， 所以，故B正确； 对于C、D：,,,, 所以， 所以，记二面角的大小为， 同理可得， 所以，， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 题型五 射影面积、补形法求二面角 答｜题｜模｜板 射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 【典例1】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图所示，正方形平铺在水平面上，先将矩形沿折起，使二面角为，再将正方形沿折起，使二面角为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为底面且高要足够高的直四棱柱，再作出平面与平面截该直四棱柱的截面，利用二面角的面积射影公式求解即可. 【详解】设平面，平面与以为底面的直四棱柱(高要足够高)的截面分别为和， 在后侧面中过作直线的垂线，垂足分别为， 则由于平面经过平面，于是平面平面， 由平面垂直的性质定理可得都是平面的垂线， 则四边形为四边形在平面中的正投影，易知与全等， 因此四边形的面积等于四边形的面积， 设四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为， 平面与平面所成的锐二面角为，平面与平面所成的锐二面角为， 平面与平面所成的锐二面角为， ， . 故选：C 【典例2】（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)记平面与平面的交线为，试证明：； (3)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据四棱锥的性质，利用面面垂直的性质定理，结合面面垂直的判定定理证明结论； （2）根据矩形的性质，利用线面平行的判定定理，结合线面平行的性质定理证明结论； （3）过作于，过作交于，根据面面垂直的性质定理，得出即为平面与平面所成锐二面角，根据三角形的几何性质结合均值不等式求出的最大值，进而计算二面角余弦的最大值． 【详解】（1）已知底面为矩形，故， 平面平面，为两平面的交线， 又平面，且， 平面， 平面，且平面， 平面平面． （2） 已知底面为矩形，故， 又平面平面， 平面， 已知平面，且平面平面， 由线面平行的性质定理得，． （3） 过作于，平面平面， 由面面垂直的性质定理得，平面， 过作，交于，是矩形， 则，且， 又平面， 平面，故， ， ， ， ， ， 平面，故， 综上，，， 故即为平面与平面所成锐二面角； 设，则，在中，， 则， ，当且仅当时等号成立， ， 在中，， ， 设，令， 当增大时，减小，故增加， 随着增大而递增， 故时，取最大值，最大值为 ． 【变式1】（2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理可证； （2）取中点，连接，，证明为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解可得； （3）先作出平面与平面的交线，然后作出二面角的平面角，令，，用表示出，然后可得. 【详解】（1）在梯形中， ，，， ，， ，， 平面平面，平面平面， 平面，平面． （2）取中点，连接，， ，，， ，，为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面，， ，， ，， ．    （3）当与，都不重合时，令，， 延长交的延长线于，连接， 在平面与平面的交线上， 在平面与平面的交线上， 平面平面， 过作交于，连接， 由（1）知，， 又，平面，， 平面，平面，． 又，平面，， 平面，，． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，整理得， 所以 因为为直角三角形，为斜边上的高，所以， 所以， ，， ，．    【变式2】（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，通过平行的传递性得到，由题中条件得到四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，由平面和平面，得到在平面上的射影为，利用余弦定理求出，利用同角关系式求，从而得到和，则，代入数值求解，从而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，，即， ，G，F分别是线段BE，DC的中点， ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 平面，平面， 在平面上的射影为， ，， 由可得，，所以. 分别是线段BE，DC的中点，，， ，， ，， 又，， 二面角A-l-B的余弦值为. 题型六 求二面角的取值范围 答｜题｜模｜板 1、二面角不小于其中一个面内的直线与另一个面所成线面角，可借助线面角下界进行放缩。 2、在棱上取动点，作垂直于棱的射线构成平面角，分析该角随动点位置变化时的单调性，结合几何边界（如点与顶点重合、垂足落在棱端点）确定范围。 3、作垂直于棱的平面，与两个半平面的交线所成角即为二面角的平面角，通过分析垂面截线的长度或角度变化，利用三角形边角关系求范围。 4、二面角的最值往往出现在动点运动到特殊位置（如与端点重合、某点投影落在棱上、两半平面垂直或平行等），通过分别计算这些极限状态下的平面角，即可得到取值范围 5、还可以通过射影面积跟补形法去表示二面角，从而求二面角的范围 【典例1】（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先根据已知条件得出为等腰直角三角形，为一个角为的直角三角形，再通过作垂线构造出与平面所成角以及锐二面角的平面角，然后利用几何关系得到，从而将转为关于的表达式，最后利用基本不等式得出最大值. 【详解】因为，所以为等腰直角三角形，取中点， 则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以， 故是直角三角形，为直角，又，可得， 作，垂足为，因为平面平面，平面平面， 所以平面， 则即为与平面所成角，再作，因为平面， 所以，又，故平面，于是有， 从而即为锐二面角的平面角，而由及 可得，所以，即， 得，因为为线段上的动点且不含端点， 可知，所以， 等号在即时取得，所以的最大值为. 【典例2】（2025高三·全国·竞赛）设为正方体棱AB上的动点，则平面与平面夹角的正切值的最小值为______． 【答案】 【分析】延长和交于点，在平面内作于点，连接，可得为二面角的平面角，设正方体棱长为，利用面积法可得，可得，利用二次函数的最值求得最小值即可. 【详解】延长和交于点，则为平面与平面的公共点， 从而为平面与平面的交线； 在平面内作于点，连接， 由正方体性质易知平面，平面，则， 又平面，故平面，又平面， 故，故为二面角的平面角， 设正方体棱长为，易知，故， 即，则， 由的面积得： 故， 当点为中点时等号成立， 故二面角正切值最小值为， 则平面与平面夹角的正切值的最小值为． 故答案为：. 【变式1】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，三棱锥满足面，点为棱中点，点在直线上的投影分别为. (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)是否存在点使得点到的距离均相等，若存在，求二面角余弦值的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在点，余弦值的取值范围为 【分析】（1）题中垂直条件较多，利用线线垂直证明线面垂直，从而证明线线垂直，进而找到平面中的两直线与直线垂直；（2）要求三棱锥的体积，由于已知的长度，那么只要求出的面积；条件中提到二面角的余弦值，因此先找出二面角的平面角，再考虑该平面角与可通过联系；（3）先利用球的任意截面都是圆的性质找出的位置，再构造二面角的平面角，利用函数求取值范围 【详解】（1）连接，因是等腰三角形底边上的中线，所以 因为平面，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 所以 因点在直线上的投影是点，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 所以 因点在直线上的投影是点，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 （2）同（1），可证得平面，则 由（1）的过程可知，平面，所以， 所以是二面角的平面角，则 在四边形中，，所以 所以，解得 因为平面，所以， 因为，所以 所以，可得，故 所以是等边三角形，其面积为 所以三棱锥的体积为 （3） 因为是直角三角形，所以其外心在其斜边的中点，设线段中点为 过作直线使得平面，则直线上的任意点到，，的距离相等； 同理，是直角三角形，设斜边的中点为 过作直线使得平面，则直线上的任一点到，，的距离相等； 因此，与的交点距离，，，，的距离相等 因为平面，所以，故在的中位线上 所以与相交于点，即与重合 即 设线段中点为，线段中点为，连接，， 中，，因此 过作，与延长线交于，因为，所以 又因为（中位线），所以 因此，是二面角的平面角 设， 则，，，，（中位线） 由射影定理得，，则 由（1）可知，，由勾股定理得，，则，由垂径定理得， 在中，由余弦定理得，，代入化简得， 设，，函数在上单调递减 ，，而 故，即二面角余弦值的取值范围为 【变式2】（2026·陕西咸阳·二模）已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】(1)通过线面垂直证明线线垂直；(2) 求出二面角的正切值的表达式，再求解其取值范围. 【详解】（1）因为， 为 中点，所以， 在 和 中，，，， 故 （SAS），得 ，又 为 中点，所以 , 且 ， 平面 ，所以 平面 ，因为平面 ，所以，又，且 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ； 又 ，且 ， 平面 ，故 平面 ， 又 平面 ，所以 ； （2）由 ，，，得为等边三角形，故 ，， 由（1）知 平面 ，所以，所以即为二面角的平面角. 设，在中，可得 则四面体的体积为， 根据题意有，解得，即， . 题型七 线线角、线面角、二面角综合 答｜题｜模｜板 线面角与二面角一起出现时，通常情况下会共高线，这时，线面角与二面角的正弦值就会有关系。通过这个给出其中一个，求另外一个 【典例1】（25-26高二上·北京大兴·期中）在正四面体中，点在线段（点不与端点重合）上运动．设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，平面与平面所成角为，则，，的大小关系是______. 【答案】. 【分析】取的中点，由题可得点在平面上的射影在上，可得直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，即平面与平面所成角，易得，结合可得，得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 由点在线段上，结合正四面体性质可得点在平面上的射影在上， 连接， 则直线与平面所成角为，即，且， 同理，直线与平面所成角为，即，且， 易知，则，所以，即， 由，得，又， 所以即平面与平面所成角，则， 又，，而， 故，即，又， . 故答案为：.    【典例2】（2025高三·全国·专题练习）在矩形中，若为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设直线与平面所成的角分别为，二面角的大小为，则按从大到小排序为______． 【答案】 【分析】设点在平面的投影为点，根据线面角定义得到，，作交于点，根据二面角的平面角定义得到，接着设、、得到、、，再根据条件依次探究三个正切值大小关系即可得解. 【详解】根据题意，画出几何图形如图所示，    设点在平面的投影为点，则面， 连接，则即直线与平面所成的角，即， 连接，则即直线与平面所成的角，即， 因为面，所以， 作交于点，连接，因为、平面，， 所以平面，因为平面， 所以，所以即二面角的大小，即， 设，，，则，，，且均为锐角， 在中，，所以，即，所以； 在中，，，， 所以，，，所以， 所以， 作于点，，， 所以，即， 又，所以，作交于点，所以四边形是矩形， ，所以， 所以， 易知，所以，即， 所以，即；， 在矩形中，作且交于点， 延长交于点，如图所示，   ，，所以， ，又，所以， ，所以， 即，时，， 所以，所以，即， 综上所述，. 故答案为：. 【变式1】（2026·重庆九龙坡·一模）（多选）如图，已知锐二面角大小为，P为定点，N为AB上的动点，设，PN与AB所成的角为β，PN与平面ABQ所成的角为θ，PN在平面上的投影与AB所成的角为γ，下列说法正确的是（   ） A． B． C．的值随x增大而增大 D．当且仅当时，存在点N使得 【答案】ABD 【分析】过点作平面，垂足为，过点作，，垂足为，在直角三角形中求出比大小判断A；根据判断B；用表示，利用函数的单调性判断C；根据的关系判断D. 【详解】如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足为， 连接， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则，，，，其中， 则， 因为，所以，则，故A正确； 因为，，所以，则， 等号成立时重合，故B正确； 因为为定点，所以为定值， 因为 ， 因为随着的增大而增大， 所以随着的增大而减小，故C错误； 当点重合时，， 因为，则此时， 当点不重合时，假设存在点N使得， 因为，所以，即， 所以，故，故D正确. 故选：ABD 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比较三个角,,的大小，直接比较角度很困难，但我们可以比较它们的正切值，因为这三个角都在之间，正切函数在这个范围内是单调递增的，所以比较正切值的大小就等同于比较角度的大小． 【详解】解：正三棱柱中，， 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1， 如图，过作，垂足点为，连接，则， 与所成的角为，且， 又，， 与平面所成的角为，且， ，①， 再过点作，垂足点为，连接， 又易知底面，底面， ，又，平面， 平面， 二面角的平面角为，且，又， ，，②， 又，，③， 由①②③得，又，，，在单调递增， ． 题型八 三余弦定理的应用 答｜题｜模｜板 三余弦定理描述了斜线与平面内直线所成角的余弦关系——斜线与平面内某直线的夹角余弦，等于斜线与平面所成角的余弦乘以该直线与斜线在平面内射影夹角的余弦。 【典例1】（25-26高一下·云南昆明·期中）（多选）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图①，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图②，在平面四边形中，，，，如图③，将沿翻折至，记二面角的平面角为，记二面角的平面角为，则下列说法正确的有（   ） A．当时，则 B．当时，则 C．当时， D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】借助翻折性质及三面角余弦定理，在三面角中，可得，计算即可得A、B；在三面角中，可得，计算即可得C、D. 【详解】由题，可知在中，由得， 故，，又因为， 所以， 于是在等腰中，，， 翻折保持边长与角度不变，因此在中，，， 且，， 在三面角中，应用三面角余弦定理， 得， 代入得①； 对于A，当时，，所以，即，故A正确； 对于B，由①式，当时，， 在中，，， 则， 因此，故B正确； 设，在三面角中，应用三面角余弦定理， 得， 即， 代入化简得，从而②； 对于C，若，则， 代入上式得，故C错误； 对于D，由②式，由于，令，则，， 于是， 由基本不等式，， 当且仅当时取等号，此时最小值可取得， 故的最小值为，故D正确. 【典例2】（25-26高二上·湖北宜昌·阶段检测）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为___________.    【答案】/ 【分析】根据已知及定义列方程求二面角的余弦值. 【详解】    如图，连接AC， 因为，则. 因为是菱形，且, 所以. 因为， 所以，. 因为，所以. 设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 故答案为:. 【变式1】（多选）（25-26高三上·浙江绍兴·期末）（多选）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，且为中点，则 C．不存在与，使得 D．当时，则最小值为 【答案】ABD 【分析】A：运用已知公式直接判断即可； B：根据面面垂直的性质定理，结合勾股定理和逆定理进行运算判断即可. C：运用假设法，结合余弦函数的最值性质进行判断即可； D：根据锐角三角函数定义，结合余弦定理、基本不等式进行求解判断即可. 【详解】A：当时，由已知公式，得 ， 所以，所以本选项说法正确； B：当为中点，取的中点，连接， 因为在矩形中，， 所以， 由勾股定理可得，且 ，而， 所以， 所以，于是， 因为，所以平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面，平面， 所以，于是有， 因为， 所以，所以本选项说法正确； C：假设存在与，使得， 因为在矩形中，， 所以， 由已知公式 ， 显然，所以假设成立，因此本选项说法不正确； D：在矩形中，设， 所以， 于是有， 因为， 所以由 ， 由余弦定理可得： ， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以有，当且仅当时取等号， 所以由 ，所以本选项说法正确. 故选：ABD 【变式2】（25-26高三上·广东汕头·期中）类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且.    (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）证明平面⊥平面，故二面角的大小为，为等边三角形，，代入公式，求出的值； （2）在（1）基础上，得到，由同角三角函数关系和正弦定理得到，再利用余弦定理得到方程，求出，得到答案； 【详解】（1）设，连接， 因为底面为菱形，所以，，为的中点， 又，为公共边，所以≌， 所以，⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 故二面角的大小为， 又，则，， 又，所以为等边三角形，， 由三面角余弦定理得 ；    （2）存在，，理由如下： 由三面角余弦定理得， 即，， 显然为锐角，故， 在中，由正弦定理得， 即，故， 由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 此时，使得； 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求解. 【详解】设上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，以下底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则由已知有， 连接，因为，所以，所以， 所以， 即. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 3．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，证明，原题即得证； （2）作交的延长线于点，连接，则，所以即为二面角的平面角，再解三角形得解． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 则，且， 又为的中点，在矩形中，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）解：作交的延长线于点，连接， 则， 所以即为二面角的平面角， 由，则， 所以，故二面角的正切值为． 4．（2025高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线与平面所成的角是，直线与所成的角是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据最大角定理和最小角定理即可求解. 【详解】由于面，根据最大角定理，平面内的任意一条直线与面所成的角的最大角为的平面角是，所以， 由于面，根据最小角定理，斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的角，所以. 故选：AD． 5．（25-26高二上·北京西城·期中）已知某圆锥的底面半径为2，高为，为该圆锥的顶点，点，，在其底面圆周上，且不是钝角三角形，记平面，，与底面所成角的大小分别为，，，若，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】根据题设和平面所成角定义取三个三角形底边的中点、记圆锥的底面圆圆心为O得到分别为平面，，与底面所成的角，再依据题设数据逐步分析求出得到O为AC中点且求出，进而得到底面即可求解. 【详解】由题意可得、和均为等腰三角形， 分别取三个三角形底边的中点，记圆锥的底面圆圆心为O， 连接， 则，底面， 所以分别为平面，，与底面所成的角， 所以， 所以由得， 所以， 所以，则即， 所以O为AC中点，且，因为平面， 所以平面底面，所以. 故选：D 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高三上·北京·期中）如图，在边长为3的正方形中，点在上，正方形以为轴逆时针旋转角（）到的位置，同时点沿着从点运动到点，，点在上，在运动过程中点始终满足，记点在面上的射影为，则在运动过程中向量与夹角的正切值的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】根据二面角的平面角的概念，求出各线段长度，作出正方形的平面图形，再根据两角差的正切公式，以及基本不等式，求出最大值. 【详解】由题意可知，则与的距离为， 作正方形的平面图形，如下图： 可知，设， ， 因为，当且仅当，即时取等号， 即，所以的最大值为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，正方体的棱长为4，点、分别为棱、的中点，点为线段上的一个动点，则__________；直线与平面所成角为，则的最大值为__________． 【答案】 / / 【分析】根据平面可知到平面的距离为，计算即可；取线段的中点，可知，化简求最小值即可. 【详解】因平面平面，平面，则平面， 则到平面的距离为， 因点、分别为棱、的中点，则， 则， 则； 取线段的中点，易知平面， 则直线与平面所成角， 则， 在等腰直角三角形中，当时，最短， 此时， 故的最大值为. 故答案为：； 3．（25-26高二上·北京西城·期中）如图，三棱锥中，平面，，，，，设为棱上的一个动点，记与平面所成角为. ①当与重合时，___________； ②的最大值为____________.    【答案】 / / 【分析】过A作交于点，连接，由线面角定义直接计算即可求解第①空；由求出最小值即可求解第②空. 【详解】过A作交于点，连接，    因为平面，平面， 所以， 所以当与重合时，与平面所成角满足； 当在棱上运动时，因为平面，所以即为与平面所成角且， 所以，所以当取得最大值时，取得最大值，则取得最小值为， ,,,平面中，所以平面, 平面,所以, 所以，所以. 所以最大值为，所以取得最大值为. 故答案为：； 4．（多选）（25-26高三上·广东·期末）（多选）在棱长为的正四面体中，，分别为棱和（包括端点）的动点，直线与平面、平面所成角分别为，，则（   ） A．点到平面和平面的距离之和是定值 B．的正负由点位置确定，与点位置无关 C．的最大值为 D．正四面体顶点在球的球面上，当时，则过点截球的截面面积最小值为 【答案】ABD 【分析】设正四面体的面面角为，根据其性质可知，对于，设，则可表示出，进而可表示出，则可判断；对于，根据线面角的定义可求出线面角，以及可用线段表示出，可以看出其只与点到面和平面的距离有关，则可判断；对于，由选项可求出的，根据正四面体的性质可知异面直线的距离是最短的，继而可判断；对于，正四面体的外接球球心，过点截球的截面面积最小的条件是截面与线段，根据外接球的半径可以求出横截面积. 【详解】设正四面体的面面角为，根据其性质可知， 对于，做分别垂直平面和平面，设， 作分别垂直，因为， 则可表示出， 进而可表示出， 则，故正确； 对于，根据线面角的定义可求出线面角， 则，所以正负由点位置确定，与点位置无关，故正确； 对于，由选项可求出的， 当最大时即取最小时，由正四面体的性质可知异面直线的距离最小， 最小值为，所以，故错误； 对于，正四面体的外接球球心，过点截球的截面面积最小的条件是截面与线段垂直， 由正四面体的性质可知其外接球的半径为，是正四面体高，则垂直平面， 由正四面体性质可知其高为，且点是的重心，则有 则球心到平面距离为，又因，则， 由余弦定理得： ， 则， 故截面的半径的平方为，截面面积，故正确. 故选： 5．（2025高三·全国·竞赛）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，设二面角的大小分别为，则_____． 【答案】2 【分析】利用结构特征表示出，类比出的值，代入后再由同角三角函数基本关系化简求解. 【详解】点在平面上的射影为的垂心，则 于是 从而． 所以． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. 1．（多选）（25-26高三上·湖北·期末）（多选）如图，在三棱锥中，.设直线与平面所成的角为，则下列说法中正确的是（    ） A．存在点，使得 B．恰存在两条直线，使得直线与直线、所成的角均为 C．当时，的余弦值的取值范围是 D．当时，二面角的取值范围是 【答案】ABD 【分析】当平面平面时可证，即可判断A，利用锐角三角函数得到，即可判断B，过作平面于，过作于，连接，即可得到为直线与平面所成的角，即可得到，从而判断C，设点在平面内的投影为点，过作于，连接，即可得到为二面角的平面角，从而得到，求出的范围，即可判断D. 【详解】对于A：当直线在平面上的投影为直线即平面平面时， 因为，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B：因为，在中 ， 所以，设的平分线为，连接，在平面中过作， 则， 要使直线与直线、所成的角均为， 则点在平面上的投影在的平分线上， 如图在内存在直线使得直线与直线、所成的角均为， 在的邻补角内存在直线使得直线与直线、所成的角均为， 所以恰存在两条直线，使得它与直线，所成的角为，故B正确； 对于C：过作平面于，过作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面所成的角，即， 于是， 又，，所以， 即当时，的余弦值的取值范围是，故C错误； 对于D：设点在平面内的投影为点， 则， 过作于，连接，则为二面角的平面角. 在中，， 其中是平面内以为圆心，为半径的圆上的点到直线的距离， 所以，所以，所以， 所以二面角的范围是，故D正确. 故选：ABD. 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．    (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质推理得证. （2）证明平面，再利用面面垂直的性质求出点到平面的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【详解】（1）由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 又，则， 又，平面，因此平面， 又平面， 所以. （2）在中，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 在平面内过作于， 由（1）知，平面， 在中，， 则，， 所以点到平面的距离为.    （3）在平面内过作于M，作于N，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，则平面， 又平面，则， 又平面，则平面， 又平面，因此， 则即为二面角的平面角， 设，，由（1）得， 则， 在中，由，得， 在中，由，得， 在中，， 因此， 由，得，则， 所以二面角的正切值的取值范围为. 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在长方形中，，设，将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质，进而可得平面； （2）在（ii）图中过点作，垂足为，进而得到二面角的平面角为，设，再由二面角的平面角的余弦值为，求出即可求解； （3）利用定义法将所求角的余弦值表示为一元函数，再利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为四边形为长方形，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面； （2）如图所示，在（ii）图中过点作，垂足为， 交于点，连接．由翻折知 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得； （3）如图所示，由（2）知， 所以平面平面，所以． 由（1）问，知平面且，所以平面， 又平面，所以，又， 且平面，所以平面， 又平面，所以． 在（ii）图中过点作交于点， 过点作，连接． 由（2）知平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以平面， 所以在平面的射影为，所以为直线与平面所成角． 注意到，即， 解得． 又， ，所以， 即，所以， 由（2）知，所以 （当且仅当时等号成立）． 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，为棱上一点． (1)若，求棱柱的表面积的值； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的大小； (3)若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点的位置． 【答案】(1) (2) (3)为的中点时， 【分析】（1）分别计算出各面面积后求和即可得； （2）结合等角定理与余弦定理计算即可得； （3）利用二面角的平面角定义找到两平面角后，利用两角和的正切公式计算即可得. 【详解】（1）； （2）如图，在正三棱柱中， 取的中点，连接， 则有、，则四边形为平行四边形， 故，则为异面直线与所成角或其补角， 因为，底面的边长为1， 则， 在中，由余弦定理得：； （3）如图，分别取，的中点，，连接，，，， 在正三棱柱中，有， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，则为二面角的平面角， 同理为二面角的平面角， 设，则，又， 所以， 则， 则当时，即为的中点时，． 5．（2026·江苏南京·模拟预测）三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若，，，平面与平面所成的角为，则.现已知在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】作出图形，，，平面与平面所成的角为，作，平面，则该二面角的平面角为.要求三棱锥体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即，接下来就根据条件把和用同一个变量表示出来求解即可. 【详解】过点作，平面，连接. 因为平面，所以. 又平面，，所以平面. 又平面，所以. 所以即为平面与平面所成的角的平面角. 因为，， 所以. 在中，. . 所以， 当且仅当时，等号成立. 故当时，三棱锥体积最大，为16. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 立体几何中的线线角、线面角、二面角重难点归纳（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求异面直线所成角 题型02求线面角 题型03求线面角的范围 题型04三垂线、垂面法求二面角 题型05射影面积、补形法求二面角 题型06求二面角的取值范围 题型07线线角、线面角、二面角综合 题型08三余弦定理的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求异面直线所成角 掌握平移法（中点、中位线、平行四边形）将异面直线转化为相交直线；能构造三角形并利用余弦定理求角，注意角度范围为锐角或直角 基础高频，常在选择题或解答题第一问出现，考查空间想象和转化能力，平移技巧是关键 求线面角 理解线面角是斜线与射影的夹角；掌握几何法（作垂线找射影）和核心步骤（作—证—算）；能准确找出斜足和垂足 每年必考，常在解答题中出现，几何法需规范作图，注意线面角范围为0°到90° 求线面角的范围 掌握最小角定理（线面角是斜线与平面内所有直线所成角的最小值）；能通过分析斜线段长、点到平面距离的变化确定角范围；常用正弦值等于距离除以斜线段长来转化 难度中等，常在选择题或填空题中出现，考查动态几何中角度最值的分析能力 三垂线、垂面法求二面角 掌握三垂线定理及其逆定理作平面角；理解垂面法（作垂直于棱的平面，交线所成角即为平面角）；能规范作图并计算 核心难点，常在解答题中出现，三垂线法需合理选择点作垂线，垂面法适用于棱不易作垂线的情形 射影面积、补形法求二面角 掌握射影面积法（二面角余弦等于射影面积与原面积之比）；理解补形法将几何体补全为规则体，利用已知二面角求解；能灵活选择方法简化计算 技巧性较强，多在选择题或填空题中使用，射影面积法适用于一个面在另一面投影易求的图形，补形法适用于不规则几何体 求二面角的取值范围 理解二面角范围为0°到180°；能通过分析两个半平面的张开程度、动点运动或几何边界确定范围；常用极限位置法（端点、垂直、平行）确定临界角 难度较高，常在压轴小题中出现，考查动态几何中二面角变化规律的分析能力，需结合图形和代数约束 三余弦定理的应用 掌握三余弦定理的几何意义（斜线与平面内直线所成角的余弦等于线面角余弦与射影线夹角的余弦乘积）；能用于求线面角、斜线与平面内直线夹角，以及证明最小角定理 拓展内容，偶有考查，常在选择题中与线面角结合，理解定理本质可快速求解某些角度关系 知识点01 异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是‌空间中两条不共面直线‌的夹角，通过“空间问题平面化”转化为‌两条相交直线的夹角‌，其取值范围为（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 知识点02 线面角 1、定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 （2）体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 知识点03 二面角 1、三垂线定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图则它们组成的角为二面角的平面角，范围为 3、二面角的求法 （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 题型一 求异面直线所成角 解｜题｜技｜巧 通过平移，将两条异面直线平移到相交位置，构造出它们的夹角（通常取锐角或直角），再放入三角形中利用余弦定理或已知边长求解。通常会利用中点、中位线、平行四边形对边平行、或补形（将几何体补成长方体）等方式，将一条直线平移到与另一条相交的位置。 注意：异面直线所成的角有范围限制，若是钝角，则需要求其补角。 【典例1】（25-26高二下·上海·阶段检测）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________ 【典例2】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，正方体的棱长为2，动点分别在面对角线和上，若大于零），则与所成的角（  ） A．与都有关 B．与有关，与无关 C．与有关，与无关 D．与都无关 【变式1】（25-26高二上·陕西西安·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点，，，，分别为线段，，，，的中点，连接，，，，，，，则下列正确结论的序号是_____． ①点，，，不在同一个平面内； ②直线，，交于同一点； ③直线与直线所成角的余弦值为． 【变式2】（25-26高二上·全国·期中）在正方体中，过点作直线与异面直线和所成的角均为，则的取值范围为____________. 题型二 求线面角 答｜题｜模｜板 1、定义法求线面角：过斜线上的点作平面的垂线，通过垂线、射影，直线本身构成的直角三角形来求角度 2、如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 注意线面角的角度范围 【典例1】（2026·四川巴中·一模）在四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值等于（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）（多选）如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（   ） A．该三棱锥的外接球直径为 B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 【变式2】（25-26高一下·天津南开·期中）如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 题型三 求线面角的范围 答｜题｜模｜板 线面角是斜线与平面内所有直线所成角中的最小角（最小角定理）。因此，求线面角的范围转化为求斜线与平面内某条特殊直线（如投影线）夹角的变化范围。 1、找垂线定射影：过斜线上一点作平面的垂线，确定垂足，则射影为斜足与垂足的连线。线面角即为斜线与射影的夹角。 2、利用动点变化：当斜线上点或平面内直线运动时，射影长度随之改变，通过分析直角三角形中边长比例（正弦）的变化，结合几何约束（如点到平面的距离为定值、斜线长度变化范围），利用三角函数的单调性确定角度范围。 3、临界位置法：线面角的最值往往出现在斜线端点位于平面边界、垂足与某点重合、或斜线与平面内某直线垂直/平行等特殊位置。通过分析几种极限情形，即可得到角度范围。 【典例1】（25-26高一下·浙江温州·期中）点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【典例2】（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 题型四 三垂线、垂面法求二面角 答｜题｜模｜板 作垂线找二面角是几何法求二面角题目的主要思路，若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 【典例1】（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点，平面平面，若，，，求二面角的余弦值.    【变式1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在中，.将以为轴旋转至，动点与原来的形成三棱锥，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)记二面角为，二面角为.证明：为定值； 【变式2】（多选）（25-26高三上·重庆·阶段检测）（多选）在三棱锥中，，且点在平面上的射影位于内部，记二面角，的大小分别为，则（   ） A． B． C． D． 题型五 射影面积、补形法求二面角 答｜题｜模｜板 射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 【典例1】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图所示，正方形平铺在水平面上，先将矩形沿折起，使二面角为，再将正方形沿折起，使二面角为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)记平面与平面的交线为，试证明：； (3)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 【变式1】（2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【变式2】（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 题型六 求二面角的取值范围 答｜题｜模｜板 1、二面角不小于其中一个面内的直线与另一个面所成线面角，可借助线面角下界进行放缩。 2、在棱上取动点，作垂直于棱的射线构成平面角，分析该角随动点位置变化时的单调性，结合几何边界（如点与顶点重合、垂足落在棱端点）确定范围。 3、作垂直于棱的平面，与两个半平面的交线所成角即为二面角的平面角，通过分析垂面截线的长度或角度变化，利用三角形边角关系求范围。 4、二面角的最值往往出现在动点运动到特殊位置（如与端点重合、某点投影落在棱上、两半平面垂直或平行等），通过分别计算这些极限状态下的平面角，即可得到取值范围 5、还可以通过射影面积跟补形法去表示二面角，从而求二面角的范围 【典例1】（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【典例2】（2025高三·全国·竞赛）设为正方体棱AB上的动点，则平面与平面夹角的正切值的最小值为______． 【变式1】（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，三棱锥满足面，点为棱中点，点在直线上的投影分别为. (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)是否存在点使得点到的距离均相等，若存在，求二面角余弦值的取值范围；若不存在，请说明理由. 【变式2】（2026·陕西咸阳·二模）已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 题型七 线线角、线面角、二面角综合 答｜题｜模｜板 线面角与二面角一起出现时，通常情况下会共高线，这时，线面角与二面角的正弦值就会有关系。通过这个给出其中一个，求另外一个 【典例1】（25-26高二上·北京大兴·期中）在正四面体中，点在线段（点不与端点重合）上运动．设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，平面与平面所成角为，则，，的大小关系是______. 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）在矩形中，若为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设直线与平面所成的角分别为，二面角的大小为，则按从大到小排序为______． 【变式1】（2026·重庆九龙坡·一模）（多选）如图，已知锐二面角大小为，P为定点，N为AB上的动点，设，PN与AB所成的角为β，PN与平面ABQ所成的角为θ，PN在平面上的投影与AB所成的角为γ，下列说法正确的是（   ） A． B． C．的值随x增大而增大 D．当且仅当时，存在点N使得 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 题型八 三余弦定理的应用 答｜题｜模｜板 三余弦定理描述了斜线与平面内直线所成角的余弦关系——斜线与平面内某直线的夹角余弦，等于斜线与平面所成角的余弦乘以该直线与斜线在平面内射影夹角的余弦。 【典例1】（25-26高一下·云南昆明·期中）（多选）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图①，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图②，在平面四边形中，，，，如图③，将沿翻折至，记二面角的平面角为，记二面角的平面角为，则下列说法正确的有（   ） A．当时，则 B．当时，则 C．当时， D．的最小值为 【典例2】（25-26高二上·湖北宜昌·阶段检测）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为___________.    【变式1】（多选）（25-26高三上·浙江绍兴·期末）（多选）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，且为中点，则 C．不存在与，使得 D．当时，则最小值为 【变式2】（25-26高三上·广东汕头·期中）类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且.    (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由； 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 3．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 4．（2025高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线与平面所成的角是，直线与所成的角是，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·北京西城·期中）已知某圆锥的底面半径为2，高为，为该圆锥的顶点，点，，在其底面圆周上，且不是钝角三角形，记平面，，与底面所成角的大小分别为，，，若，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高三上·北京·期中）如图，在边长为3的正方形中，点在上，正方形以为轴逆时针旋转角（）到的位置，同时点沿着从点运动到点，，点在上，在运动过程中点始终满足，记点在面上的射影为，则在运动过程中向量与夹角的正切值的最大值为__________. 2．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，正方体的棱长为4，点、分别为棱、的中点，点为线段上的一个动点，则__________；直线与平面所成角为，则的最大值为__________． 3．（25-26高二上·北京西城·期中）如图，三棱锥中，平面，，，，，设为棱上的一个动点，记与平面所成角为. ①当与重合时，___________； ②的最大值为____________.    4．（多选）（25-26高三上·广东·期末）（多选）在棱长为的正四面体中，，分别为棱和（包括端点）的动点，直线与平面、平面所成角分别为，，则（   ） A．点到平面和平面的距离之和是定值 B．的正负由点位置确定，与点位置无关 C．的最大值为 D．正四面体顶点在球的球面上，当时，则过点截球的截面面积最小值为 5．（2025高三·全国·竞赛）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，设二面角的大小分别为，则_____． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. 1．（多选）（25-26高三上·湖北·期末）（多选）如图，在三棱锥中，.设直线与平面所成的角为，则下列说法中正确的是（    ） A．存在点，使得 B．恰存在两条直线，使得直线与直线、所成的角均为 C．当时，的余弦值的取值范围是 D．当时，二面角的取值范围是 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．    (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在长方形中，，设，将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明： 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，为棱上一点． (1)若，求棱柱的表面积的值； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的大小； (3)若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点的位置． 5．（2026·江苏南京·模拟预测）三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若，，，平面与平面所成的角为，则.现已知在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．8 C．9 D．16 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $