2026年山东青岛中考数学二轮复习解答题-二次函数应用

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过几何、经济、运动等多情境题型，系统构建“建模-求解-应用”逻辑链，强化数学建模与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何应用|5题（大门/隧道/拱桥等）|坐标系建立与抛物线表达式求解|从图形特征抽象函数模型，通过顶点/交点坐标确定解析式| |利润优化|4题（蔬菜/笔/电子产品）|成本-销量-利润关系分析|用二次函数刻画利润函数，结合自变量范围求最值| |运动轨迹|3题（水流/投篮/火箭）|轨迹最高点与射程计算|利用顶点式表达运动路径，关联实际意义解决射程问题| |综合应用|2题（体积/成本）|多变量关系与方案设计|整合一次函数与二次函数，构建综合应用模型|

解答题专题-二次函数应用（答案） 1. 如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成．矩形OABC的边米，OC＝9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON＝7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F． ①求EF的最大值． ②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式； （2）①先求出点M坐标为，再求出直线OM的解析式为，进而求出EF，根据二次函数性质即可求出当时，EF有最大值； ②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到，解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是． 【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点D的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入抛物线解析式得， 解得， ∴抛物线对应的函数的表达式为； （2）①将x＝7.5代入中，得y＝3， ∴点，∴设直线OM的解析式为y＝kx（k≠0）， 将点代入得， ∴， ∴直线OM的解析式为， ∴，∵， ∴当时，EF有最大值，为； ②∵师傅能刷到的最大垂直高度是米， ∴当时，他就不能刷到大门顶部， 令，即， 解得， 又∵EF是关于m的二次函数，且图象开口向下， ∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是． 【点评】本题主要考查的是二次函数的实际应用，同时考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键． 2. 如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分ACB连接，为确保安全，在抛物线一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE，抛物线的最高点C到AB的距离OC＝4米，∠ODC＝60°，点D，E在抛物线一部分ACB上，以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，确定一个单位长度为1米． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）求高架桥两端的A，B的距离； （3）如图2，现在将菱形ODCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形MNPQ广告牌，已知矩形MNPQ广告牌的价格为80元/米2，其余部分广告牌的价格为160元/米2，试求菱形广告牌所需的最低费用． 【分析】（1）过点D作DM⊥x于点M，作DN⊥y轴于点N，在Rt△NDO中，ND⊥y轴，∠ODN＝30°，勾股定理得出DN，进而得出，根据OC＝4，得出C（0，4），进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，解方程，得出A，B的坐标，即可求解． （3）待定系数法得出直线OD的解析式为，直线CD的解析式为，设矩形MNPQ中，QM＝PN＝x米，则，代入，，继而得出S矩形MNPQ，由（1）得出，设总费用为W，进而根据面积乘以广告牌的价格得出W的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，过点D作DM⊥x于点M，作DN⊥y轴于点N， ∵四边形ODCE是菱形，∠ODC＝60°， ∴OD＝OC＝4，， 在Rt△NDO中，ND⊥y轴，∠ODN＝30°， ∴，， ∴， ∵OC＝4， ∴C（0，4）， 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+c（a≠0）， 将C（0，4），代入得，， 解得：， ∴； （2）令， 解得：， ∴， ∴（米）， （3）设直线OD的解析式为y＝kx，将点代入得，， 解得：， ∴直线OD的解析式为， 设直线CD的解析式为y＝mx+n， 将点C（0，4），代入得，， 解得：， ∴直线CD的解析式为， 设矩形MNPQ中，QM＝PN＝x米， 则，代入，， 得， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 设总费用为W， ∴； 当时，W取得最小值， 最小值为， ∴菱形广告牌所需的最低费用为元． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3. 今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如表： 周数x 1 2 3 4 价格y（元/千克） 2 2.2 2.4 2.6 （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x的函数关系式； （2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数yx2+bx+c，请求出5月份y与x的函数关系式； （3）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为mx+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为mx+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？ 【分析】（1）从表格看出，x每增加1，y就增加0.2，由此可确定是一次函数关系式，继而代入两点可得出解析式； （2）把x＝1，y＝2.8和x＝2，y＝2.4，分别代入yx2+bx+c可求b、c的值，确定二次函数解析式； （3）根据一次函数，二次函数的性质及自变量的取值范围，求最大利润； 【解答】解：（1）通过观察可见四月份周数y与x 的符合一次函数关系式，设这个关系式为：y＝kx+b， 则， 解得：， ∴4月份y与x 的函数关系式为y＝0.2x+1.8； （2）将（1，2.8）（2，2.4）代入yx2+bx+c． 可得： 解之： 即yx2x+3.1． （3）4月份此种蔬菜利润可表示为：W1＝y﹣m＝（0.2x+1.8）﹣（x+1.2），即：W1＝﹣0.05x+0.6； 由函数解析式可知，四月份的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W＝﹣0.05×1+0.6＝0.55（元/千克）， 5月份此种蔬菜利润可表示为：W2＝y﹣m＝（x2x+3.1）﹣（x+2）， 即：W2x2x+1.1 由函数解析式可知，五月份的利润随周数变化符合二次函数且对称轴为：x， 即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W1.1＝1（元/千克）． 【点评】本题考查了一次函数、二次函数解析式求法及二次函数的实际应用，解答本题的关键是求出两函数关系式，将实际问题转化为数学计算，有一定难度． 4. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远．他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y． y与x的几组对应值如下表： x/m 0 1 2 3 4 … y/m 1 2 … （1）该喷枪的出水口到地面的距离为 　1　 米． （2）观察表格中的数据，用你学过的函数知识求出y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的基础上，当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为多少米？此时水流的射程为多少米？ 【分析】（1）由图象可得出水口到地面的距离； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出y与x的关系式，把x＝8代入可得水流的最高点到地面的距离，再根据顶点式得到水流轨迹的关系式，可得水流的射程． 【解答】解：（1）由表中数据可知，喷枪的出水口到地面的距离为1m， 故答案为：1； （2）由表格中的数据可知，y与x是一次函数关系， 设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 把（1，），（2，）代入解析式得：， 解得， ∴yx+1， 当x时，y1； 当x时，y1； ...； ∴y与x之间的函数关系式为yx+1； （3）由（2）知，当x＝8时，y8+1＝3， ∴水流的最高点到地面的距离为3； 设水流轨迹w＝a（x﹣8）2+3， 把（0，1）代入得：64a+3＝1， 解得：a， ∴w（x﹣8）2+3， 令w＝0，则0（x﹣8）2+3， 解得x＝8±4（负值舍去）， ∴水流的射程为（8+4）米． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标得到函数关系式是解题关键． 5. 小明爸爸打算用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． （1）请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长是多少分米？ （2）若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 【分析】（1）根据裁掉的正方形边长，得到长为10﹣2x．宽为6﹣2x，依据题意列出方程解答即可； （2）依据题意得到10﹣2x≤5（6﹣2x），解出0＜x≤2.5，再由侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，列出函数w＝0.25×2x（16﹣4x）+（10﹣2x）（6﹣2x）＝2x2﹣24x+60＝2（x﹣6）2﹣12，根据函数性质解答即可． 【解答】解：（1）如图所示： 设裁掉的正方形边长为x dm， 由题意可知：（10﹣2x）（6﹣2x）＝12，即x2﹣8x+12＝0， 解得：x1＝2或x2＝6（舍去）， ∴裁掉的正方形边长为2dm时，底面积为12dm2． （2）∵制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍， ∴10﹣2x≤5（6﹣2x）， ∴0＜x≤2.5， 设总费用为w，由题意可知： w＝0.25×2x（16﹣4x）+（10﹣2x）（6﹣2x）＝2x2﹣24x+60＝2（x﹣6）2﹣12， ∵对称轴为直线x＝6，开口向上， ∴0＜x≤2.5时，w随x增大而减小， ∴当x＝2.5时，w最小＝12.5元， 所以裁掉的正方形边长2.5dm时，总费用最低，最低为12.5元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数性质是关键． 6. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【分析】（1）①、易得火箭第二级的引发点的坐标为（9，3.6），分别代入抛物线的解析式和直线的解析式可得a和b的值； ②、把①中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，可得火箭运行的最高点的坐标，取纵坐标减去1.35km即为相应的高度，把所得高度分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的x的值，相减即为两个位置间的距离； （2）假设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．用a表示出火箭第二级的引发点的坐标，把火箭第二级的引发点的坐标和（15，0）代入直线解析式可得火箭落地点与发射点的水平距离恰好为15km时a和b的值，进而结合抛物线开口向下可得a的取值范围． 【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6）， ∴81a+9＝3.6． 解得：a． ∵yx+b经过点（9，3.6）， ∴3.69+b． 解得：b＝8.1； ②由①得：yx2+x （x2﹣15x） （x）2（0≤x≤9）． ∴火箭运行的最高点是km． ∴1.35＝2.4（km）． ∴2.4x2+x． 整理得：x2﹣15x+36＝0． 解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3． 由①得：yx+8.1． ∴2.4x+8.1． 解得：x＝11.4． ∴11.4﹣3＝8.4（km）． 答：这两个位置之间的距离为8.4km； （2）当x＝9时，y＝81a+9． ∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）． 设火箭落地点与发射点的水平距离为15km． ∴yx+b经过点（9，81a+9），（15，0） ∴． 解得：． ∴a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【点评】本题考查二次函数的应用．比火箭运行的最高点低的高度，要从求得的两个函数解析式去考虑合适的自变量的取值；求火箭落地点与发射点的水平距离超过15km时a的取值范围，需要求出火箭落地点与发射点的水平距离恰好是15km时a的值． 7. 甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的Q点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数y＝ax2+bx+c来表示．当篮球达到最高点P时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点P、点Q在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： （1）求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； （2）若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； （3）在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为2.96m，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 【分析】（1）设抛物线顶点式为y＝a（x﹣h）2+k将顶点坐标（2，3.5）和点（4，2）代入即可求解； （2）由题意可知新顶点坐标（3，3.5），设新抛物线顶点式为，将点（4，2）代入即可求解； （3）由（2）求得的函数解析式，当y＝2.96时，求得x的值求解． 【解答】解：（1）设抛物线顶点式为y＝a（x﹣h）2+k， ∵将顶点坐标（2，3.5）和点（4，2）代入得2＝a（4﹣2）2+3.5， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）∵新顶点坐标（3，3.5）， ∴设新抛物线顶点式为， ∵将点（4，2）代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （3）由（2）求得的函数解析式， 当y＝2.96时，， 解得x1＝3.6，x2＝2.4（不合题意，应舍去）， 4﹣3.6＝0.4， ∴乙距离甲0.4米时可以拦截成功． 【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 8. 大泽山葡萄是大家非常喜欢的一种水果，胶东半岛的山坡土壤为大泽山葡萄的生长提供了良好的环境．如图1，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图1的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，O是坐标原点，喷水管为OA，喷头A（0，0.8），水流落在山坡l上的点B（﹣2，m）和C（4，﹣1）处． （1）求山坡l和y轴右侧抛物线的表达式； （2）为了防治虫害，在葡萄树上露出地表1.1m的位置粘贴防虫胶带，请问在坡OC段种植的葡萄树，其上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？ 【分析】（1）山坡l的表达式为正比例函数，把点C的坐标代入可得比例系数；设y轴右侧抛物线的表达式为一般式，易得点B的对称点的坐标，把点B的对称点及点C的坐标代入可得相关系数； （2）设水流所在的抛物线到山坡OC的竖直距离为h，用x表示出h，进而得到h的最大值，与1.1比较即可得到粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险． 【解答】解：（1）设山坡l的表达式为：y＝kx， ∵过点C（4，﹣1）， ∴﹣1＝4k， 解得：k， ∴山坡l的表达式为：yx， ∴点B（﹣2，）， ∴右侧抛物线上点B的对称点为（2，）， 设y轴右侧抛物线解析式为：y＝ax2+bx+0.8， ∴， 解得：， ∴y轴右侧抛物线解析式为：y＝﹣0.15x2+0.15x+0.8； （2）粘贴的胶带没有被水流喷到的风险． 理由：设水流所在的抛物线到山坡OC的竖直距离为h， h＝﹣0.15x2+0.15x+0.8﹣（x）＝﹣0.15x2+0.4x+0.8， ∴h最大1.1， ∴粘贴的胶带没有被水流喷到的风险． 【点评】本题考查二次函数的应用．利用点B的对称点的坐标求得y轴右侧抛物线的表达式是解决本题的易错点． 9. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为4米，宽度OM为8米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【分析】（1）根据题意，可得点M及抛物线顶点P的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当x＝1.2时，，即可得出结论； （3）设OB＝m，则BC＝8﹣2m，根据矩形的性质得 设w＝AB+AD+DC，进而表示出的l长，根据二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）∵OM为8米，最高点P距离地面高度为4米， ∴点M（8，0），顶点即（4，4）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，把点M的坐标代入得： 0＝42a+4， 解得：， ∴这条抛物线的函数解析式为； （2）该双车道能同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆；理由如下： 当x＝4﹣1﹣1.8＝1.2时， ， ∴能同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆； （3）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， 设OB＝m米，则BC＝（8﹣2m）米，AB＝CD＝（4）米， 设w＝AB+AD+DC， 则 ， ∵， ∴当时， w有最大值，最大值为：（米）， 答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是10米． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用．读懂题意并掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 某车间生产两种笔： A型：每支成本5元，定价为x元； B型：每支成本6元，定价为m元． 根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为100万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：A型笔的销量y万支与定价x元的关系如下： 定价x（元） … 7 8 9 10 … 销量y（万支） … 100 90 80 70 … B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支． 问题： （1）求A型笔的销量y万支与售价x元的关系式； （2）当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价m为　20　 元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为 　410　 万元； （3）若A型笔每支利润不超过5元，求该厂家将生产的所有笔都出售后所获得的最大利润是多少？ 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出x＝8时A型笔的销售量，从而得出B型笔的销售量，再根据B型笔的销售情况得出关于m的方程从而求出m的值，然后求出该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润； （3）根据总利润＝销售A，B两种型号笔的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质和x的取值范围求出最值． 【解答】解：（1）根据表格数据可知，y与x的函数关系为一次函数， 设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把（7，100），（8，90）代入解析式得：， 解得， ∴y与x的函数解析式为y＝﹣10x+170； （2）但x＝8时，y＝﹣10×8+170＝90， ∴B型销量为100﹣90＝10（万支）， 根据题意，设B型销售量为z万支， 则z＝70﹣5（m﹣8）＝﹣5m+110＝10， 解得m＝20， ∴该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为：90×（8﹣5）+10×（20﹣6）＝270+140＝410（万元）， 故答案为：20，410； （3）该厂家将生产的所有笔都出售后所获得利润为W万元， 根据题意得：x﹣5≤5， 解得x≤10， A型销量为y＝﹣10x+170， B型销量为z＝﹣5m+110， ∴﹣5m+110＝100﹣（﹣10x+170）， 解得m＝﹣2x+36， ∴W＝（x﹣5）（﹣10x+170）+（﹣2x+36﹣6）（10x﹣70）＝﹣30x2+660x﹣2950＝﹣30（x﹣11）2+680， ∵﹣30＜0，x≤10， ∴但x＝10时，W最大，最大值为650， ∴该厂家将生产的所有笔都出售后所获得的最大利润是650万元． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 11. 3D打印技术通过数字化建模与增材制造特性，成为传统工艺数字化升级与消费体验法代的核心驱动力．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助3D打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度y（cm）与体积x（L）之间的数量关系进行了统计与分析： 1号冰杯所盛水的水面高度y1（cm）与体积x（L）的关系如表： x/L 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45 y1/cm 0 2 4 m 8 9 水面高度y1（cm）与体积x（L）近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度y2（cm）与体积x（L）的关系可以近似地用二次函数y＝ax2+bx刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： （1）m＝ 　6　 ； （2）求2号水杯所盛水的水面高度y2（cm）与体积x（L）的函数关系式； （3）当0＜x＜0.4时，在所盛水的体积相同的情况下，　1　 号水杯的水面高度较高（填“1”或“2”），两个水杯水面高度差的最大值是多少？ 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再把x＝0.3代入解析式求出y即可； （2）用待定系数法求出函数解析式； （3）先求出两个函数图象的交点，再结合图象得出结论；设两个水杯水面高度差为h＝y1﹣y2，然后得出h与x的函数解析式，由函数的性质求出最大值． 【解答】解：（1）∵水面高度y1（cm）与体积x（L）近似地满足一次函数关系，且过（0，0）， ∴设y1与x的函数解析式为y1＝kx 把（0.1，2）代入y1＝kx得：0.1k＝2， 解得k＝20， ∴y1与x的函数解析式为y＝20x， 当x＝0.3时，y1＝20×0.3＝6， ∴m＝6， 故答案为：6； （2）把（0.2，3），（0.4，8）代入y2＝ax2+bx得：， 解得， ∴y2＝25x2+10x； （3）联立方程组， 解得或， ∴一次函数与二次函数的交点坐标为（0，0）和（0.4，8）， 如图所示： 由函数图象可知，当0＜x＜0.4时，y1＞y2， ∴1号水杯的水面高度较高， 故答案为：1； 设两个水杯水面高度差为h＝20x﹣（25x2+10x）＝﹣25x2+10x＝﹣25（x﹣0.2）2+1， ∵﹣25＜0，0＜x＜0.4， ∴当x＝0.2时，h最大，最大值为1． ∴两个水杯水面高度差的最大值是1cm． 【点评】本题考查二次函数和一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． 12. 如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m． （1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求抛物线的解析式； （2）一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为1.6m，船顶高出水面约为1.3m，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔0.1m，请问当水位处于正常水位（即水面为AB）时，游船是否能够通过？并说明理由； （3）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度． 【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0），易得拱顶和点D的坐标，代入所设的解析式，可得a和k的值，即可求得抛物线的解析式； （2）取x为游船宽度的一半，求得y的值，看是否高于安全距离即可； （3）表示出彩灯PQ+MN+PM的长度，根据二次函数的性质得到最大值即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0）， 由题意得：拱顶的坐标为（0，1.8），点D的坐标为（2，﹣0.2）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2+1.8； （2）游船能够通过． 理由：由（1）得：抛物线解析式为：yx2+1.8， 当x＝0.8时，y0.82+1.8＝1.48． ∵1.48＞1.3+0.1， ∴游船能够通过； （3）设此时彩灯与抛物线交于点M（a，a2+1.8）， ∴PM＝2a， ∵彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，秋季水位会下降约0.2m， ∴彩灯的最低点Q在直线y＝1.2上， ∴点N为（a，1.2）， ∴MNa2+0.6， 设彩灯的长度为w， w＝PM+2MN ＝2a﹣a2+1.2 ＝﹣a2+2a+1.2， ∵﹣1＜0， ∴a＝1时，w最大，w最大＝﹣1+2+1.2＝2.2． 答：这串彩灯的最大长度为2.2米． 【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意得到用二次函数表示的彩灯的长度是解决本题的难点． 13. 某企业计划生产一种新型电子产品，进行自产自销，已知企业受人力、物力等各种因素影响，每月生产数量不超过10万件．经测算发现，每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）满足某种函数关系（一次函数、反比例函数、二次函数），如下表所示： 生产数量x（万件） … 1 3 4 7 … 每件生产成本y（元） … 9 8 7.5 6 … 企业决定将产品采取抖音销售和门店销售两种方式同时进行，且抖音和门店销售产品的数量按1：3分配销售． 抖音销售：售价12.5元/件，请主播销售，每件提成1元； 门店销售：根据销售经验，当售价每件降价2元，销售数量将增加1万件，当企业以16.5元/件的销售单价出售时，可以销售1万件，每月还需支付租金、工人等费用6万元． 假定公司生产出的产品都能销售完．政府为企业鼓励创新，若企业每销售1万件产品，补贴2500元． （1）判断每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）的函数关系，并求出表达式； （2）你设计一种生产方案，使得每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是多少？ （3）当生产数量x取值范围为 　　 时，门店销售的利润不低于抖音销售的利润． 【分析】（1）分析表格数据，可以发现，当成产数量x没增加1万件，每件生产成本y减少0.5元，故每件生产成本y（元）是生产数量x（万件）的一次函数，再利用待定系数法求表达式即可； （2）设每月销售完产品获得的收益为w元，企业的收益w是抖音销售利润、门店销售利润与政府补贴之和，由题意可得当生产数量是x万件，抖音和门店销售产品的数量分别为0.25x万件，0.75x万件，每件的生产成本是（﹣0.5x+9.5）元，故抖音销售的利润为0.25x•[12.5﹣1﹣（﹣0.5x+9.5）]万元，设门店的销售单价为m元，则由题意可知门店的销售量0.75x，从而可求得门店销售单价m＝18.5﹣1.5x，故门店的销售利润为：{0.75x•[18.5﹣1.5x﹣（﹣0.5x+9.5）]﹣6}万元，政府补贴为0.25万元，从而可求得w＝﹣0.625x2+7.5x﹣6，又根据题意可知0≤x≤10，因w是开口向下的二次函数，利用顶点坐标公式可求出顶点的横坐标x6在自变量的取值范围内，故当x＝6时，w取得最大值16.5，即生产数量为6万件时，企业的收益最大，最大收益是16.5万元； （3）由（2）可得门店销售利润为（﹣0.75x2+6.75x﹣6）万元，抖音销售的利润为（0.125x2+0.5x）万元，要使门店销售的利润不低于抖音销售的利润，只需﹣0.75x2+6.75x﹣6≥0.125x2+0.5x，即﹣0.875x2+6.25x﹣6≥0，先求出方程即﹣0.875x2+6.25x﹣6＝0的解为，再根据二次函数性质可知不等式﹣0.875x2+6.25x﹣6≥0的解集为，故生产数量x取值范围为时，门店销售的利润不低于抖音销售的利润． 【解答】解：（1）观察表格中的数据可得每件生产成本y随生产数量x的增加而均匀减少，符合一次函数关系，故设y＝kx+b（k≠0）， ∴， 解得：， ∴每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）的函数关系式为y＝﹣0.5x+9.5； （2）设每月销售完产品获得的收益为w元，生产数量是x万件， ∵抖音和门店销售产品的数量按1：3分配， ∴抖音和门店销售产品的数量分别为0.25x万件，0.75x万件， 抖音销售的利润为0.25x•[12.5﹣1﹣（﹣0.5x+9.5）]万元， 设门店的销售单价为m元，则由题意可知门店的销售量0.75x， 故m＝18.5﹣1.5x， ∴门店销售利润为：{0.75x•[18.5﹣1.5x﹣（﹣0.5x+9.5）]﹣6}万元， 销售x万件政府补贴0.25x万元， 由题意得：w＝0.25x•[12.5﹣1﹣（﹣0.5x+9.5）]+0.75x•[18.5﹣1.5x﹣（﹣0.5x+9.5）]﹣6+0.25x ＝0.125x2+0.5x+（﹣0.75x2）+6.75x﹣6+0.25x ＝﹣0.625x2+7.5x﹣6， ∴w是关于x的二次函数且开口向下，0≤x≤10， ∴当x6时，w最大，最大值为16.5万元， 答：生产6万件时，每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是16.5万元； （3）由（2）知门店销售利润为（﹣0.75x2+6.75x﹣6）万元，抖音销售的利润为（0.125x2+0.5x）万元， ﹣0.75x2+6.75x﹣6≥0.125x2+0.5x 即﹣0.875x2+6.25x﹣6≥0， 解得：， ∴故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二次函数的应用，函数与方程、不等式的关系，在求企业收益时，找出企业门店销售量与销售单价的关系是难点也是解决该题的关键． 14. 新欣商场经营某种新型电子产品，购进时的价格为20元/件．根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件． （1）写出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）写出销售该产品所获利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出商场获得的最大利润； （3）若商场想获得不低于4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，该商场应该如何确定销售价格． 【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝200+（40﹣x）×20，然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出销售该产品所获利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【解答】解： （1）依题意 y＝200+（40﹣x）×20＝﹣20x+1000 则销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y＝﹣20x+1000 （2）W＝y•（x﹣20）＝（x﹣20）（﹣20x+1000） 整理得W＝﹣20x2+1400x﹣20000＝﹣20（x﹣35）2+4500 则当x＝35时，商场获得最大利润：4500元 （3）依题意： 解①式得30≤x≤40 解②式得x≤34 故不等式组的解集为：30≤x≤34 即商场的确定的售价在30至34之间即可 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专题-二次函数的应用 1. 如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成．矩形OABC的边米，OC＝9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON＝7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F． ①求EF的最大值． ②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围． 2. 如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分ACB连接，为确保安全，在抛物线一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE，抛物线的最高点C到AB的距离OC＝4米，∠ODC＝60°，点D，E在抛物线一部分ACB上，以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，确定一个单位长度为1米． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）求高架桥两端的A，B的距离； （3）如图2，现在将菱形ODCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形MNPQ广告牌，已知矩形MNPQ广告牌的价格为80元/米2，其余部分广告牌的价格为160元/米2，试求菱形广告牌所需的最低费用． 3. 今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如表： 周数x 1 2 3 4 价格y（元/千克） 2 2.2 2.4 2.6 （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x的函数关系式； （2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数yx2+bx+c，请求出5月份y与x的函数关系式； （3）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为mx+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为mx+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？ 4. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远．他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y． y与x的几组对应值如下表： x/m 0 1 2 3 4 … y/m 1 2 … （1）该喷枪的出水口到地面的距离为 　 　 米． （2）观察表格中的数据，用你学过的函数知识求出y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的基础上，当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为多少米？此时水流的射程为多少米？ 5. 小明爸爸打算用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． （1）请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长是多少分米？ （2）若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 6. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 7. 甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的Q点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数y＝ax2+bx+c来表示．当篮球达到最高点P时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点P、点Q在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： （1）求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； （2）若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； （3）在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为2.96m，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 8. 大泽山葡萄是大家非常喜欢的一种水果，胶东半岛的山坡土壤为大泽山葡萄的生长提供了良好的环境．如图1，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图1的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，O是坐标原点，喷水管为OA，喷头A（0，0.8），水流落在山坡l上的点B（﹣2，m）和C（4，﹣1）处． （1）求山坡l和y轴右侧抛物线的表达式； （2）为了防治虫害，在葡萄树上露出地表1.1m的位置粘贴防虫胶带，请问在坡OC段种植的葡萄树，其上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？ 9. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为4米，宽度OM为8米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 10. 某车间生产两种笔： A型：每支成本5元，定价为x元； B型：每支成本6元，定价为m元． 根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为100万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：A型笔的销量y万支与定价x元的关系如下： 定价x（元） … 7 8 9 10 … 销量y（万支） … 100 90 80 70 … B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支． 问题： （1）求A型笔的销量y万支与售价x元的关系式； （2）当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价m为　 　 元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为 　 　 万元； （3）若A型笔每支利润不超过5元，求该厂家将生产的所有笔都出售后所获得的最大利润是多少？ 11. 3D打印技术通过数字化建模与增材制造特性，成为传统工艺数字化升级与消费体验法代的核心驱动力．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助3D打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度y（cm）与体积x（L）之间的数量关系进行了统计与分析： 1号冰杯所盛水的水面高度y1（cm）与体积x（L）的关系如表： x/L 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45 y1/cm 0 2 4 m 8 9 水面高度y1（cm）与体积x（L）近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度y2（cm）与体积x（L）的关系可以近似地用二次函数y＝ax2+bx刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： （1）m＝ 　 　 ； （2）求2号水杯所盛水的水面高度y2（cm）与体积x（L）的函数关系式； （3）当0＜x＜0.4时，在所盛水的体积相同的情况下，　 　 号水杯的水面高度较高（填“1”或“2”），两个水杯水面高度差的最大值是多少？ 12. 如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m． （1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求抛物线的解析式； （2）一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为1.6m，船顶高出水面约为1.3m，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔0.1m，请问当水位处于正常水位（即水面为AB）时，游船是否能够通过？并说明理由； （3）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度． 13. 某企业计划生产一种新型电子产品，进行自产自销，已知企业受人力、物力等各种因素影响，每月生产数量不超过10万件．经测算发现，每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）满足某种函数关系（一次函数、反比例函数、二次函数），如下表所示： 生产数量x（万件） … 1 3 4 7 … 每件生产成本y（元） … 9 8 7.5 6 … 企业决定将产品采取抖音销售和门店销售两种方式同时进行，且抖音和门店销售产品的数量按1：3分配销售． 抖音销售：售价12.5元/件，请主播销售，每件提成1元； 门店销售：根据销售经验，当售价每件降价2元，销售数量将增加1万件，当企业以16.5元/件的销售单价出售时，可以销售1万件，每月还需支付租金、工人等费用6万元． 假定公司生产出的产品都能销售完．政府为企业鼓励创新，若企业每销售1万件产品，补贴2500元． （1）判断每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）的函数关系，并求出表达式； （2）你设计一种生产方案，使得每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是多少？ （3）当生产数量x取值范围为 　 　 时，门店销售的利润不低于抖音销售的利润． 14. 新欣商场经营某种新型电子产品，购进时的价格为20元/件．根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件． （1）写出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）写出销售该产品所获利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出商场获得的最大利润； （3）若商场想获得不低于4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，该商场应该如何确定销售价格． 学科网（北京）股份有限公司 $