18 第三章 第八节 二次函数的综合应用-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学全练本Word练习

第八节　二次函数的综合应用建议用时:60分钟 【拔高练·能力提升】 1.【数形结合思维】 (2025·北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点O和点 A(3,3a). 　　　　　　　　　　　　　　　 (1)求c的值,并用含a的式子表示b. (2)过点P(t,0)作x轴的垂线,交抛物线于点M,交直线y=ax于点N. ①若a=1,t=4,求MN的长; ②已知在点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中,MN的长随OP的长的增大而增大,求a的取值范围. 2.(2024·常州)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C. (1)OC=　　　　.  (2)如图,已知点A的坐标是(-1,0). ①当1≤x≤m,且m>1时,y的最大值和最小值分别是s,t,s-t=2,求m的值; ②连接AC,P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点(点B除外),过点P作PD⊥x轴,垂足为D,作∠DPQ=∠ACO,射线PQ交y轴于点Q,连接DQ,PC,若DQ=PC,求点P的横坐标. 3.(2025·苏州)如图,二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,作直线BC,M(m,y1), N(m+2,y2)为二次函数y=-x2+2x+3图象上两点. (1)求直线BC对应的函数表达式. (2)试判断是否存在实数m使得y1+2y2=10.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. (3)已知P是二次函数y=-x2+2x+3图象上一点(不与点M,N重合),且点P的横坐标为1-m,作△MNP.若直线BC与线段MN,MP分别交于点D,E,且△MDE与△MNP的面积的比为 1∶4,请直接写出所有满足条件的m的值. 4.(2025·济南莱芜三模)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,设抛物线的对称轴为直线l,M为抛物线上一点. (1)求抛物线的表达式; (2)如图1,点M在直线l右侧,且点M的纵坐标大于-3,连接MC,过点M作MN⊥CM交直线l于点N,若tan∠MCN=,求点M的坐标; (3)如图2,连接AC,BC,若点M在抛物线上B,C两点之间,过点M作AC的平行线交BC于点P,求PM的最大值及此时点M的坐标. 第八节　二次函数的综合应用 1.解:(1)将点O(0,0)代入y=ax2+bx+c得c=0, ∴该抛物线表达式为y=ax2+bx. 将点A(3,3a)代入y=ax2+bx得3a=9a+3b, ∴b=-2a. (2)①若a=1,则该抛物线及直线的表达式分别为y=x2-2x,y=x,如图. ∵t=4,∴P(4,0). ∵PM⊥x轴,∴xM=xN=4. 将x=4代入y=x2-2x得y=42-2×4=8, 即M(4,8); 将x=4代入y=x得y=4, 即N(4,4), ∴MN=8-4=4. ②在点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中, ∵PM⊥x轴,P(t,0), ∴xM=xN=t. 将x=t代入y=ax2-2ax得y=at2-2at, 即M(t,at2-2at); 将x=t代入y=ax得y=at,即N(t,at), ∴MN=|at2-2at-at|=|at2-3at|. 令MN=0,则at2-3at=0,解得t=0或t=3. 若a>0,则2a>0,即点B在y轴右侧,如图. 当0<t≤3时,则有MN=-at2+3at,其图象开口向下,对称轴为直线t=. 若MN的长随OP的长的增大而增大,即MN的长随t的增大而增大,则2a≤, 解得a≤,∴0<a≤. 当t>3时,则有MN=at2-3at,其图象开口向上,对称轴为直线t=,不符合题意. 若a<0,则2a<0,即点B在y轴左侧,如图. 当t<0时,则有MN=-at2+3at,其图象开口向上,对称轴为直线t=, 若MN的长随OP的长的增大而增大,即MN的长随t的减小而增大, 则2a≤,解得a≤, ∴a<0. 综上所述,a的取值范围为a≤且a≠0. 2.解:(1)3 (2)将点A的坐标代入抛物线表达式得0=-1-b+3, 解得b=2, ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3, ∴抛物线的对称轴为直线x=1,顶点为(1,4),B(3,0). ①当1≤x≤m,且m>1时,y在x=1时取得最大值,即s=4. 当x=m时,y取得最小值为t=-m2+2m+3, 则4-(-m2+2m+3)=2, 解得m=1+(不合题意的值已舍去). ②设点P(n,-n2+2n+3),则D(n,0), 由点A,C的坐标得直线AC的表达式为y=3x+3. 当点P在x轴上方时,如图. ∵∠DPQ=∠ACO, ∴直线PQ的表达式为y=3(x-n)-n2+2n+3, ∴Q(0,-n2-n+3). 由点P,C,D,Q的坐标得DQ2=n2+(-n2-n+3)2,PC2=n2+(-n2+2n)2. ∵DQ=PC,∴DQ2=PC2, 即n2+(-n2-n+3)2=n2+(-n2+2n)2, 解得n=-1(舍去)或1或1.5. 当点P在x轴下方时, 同理可得点Q(0,-n2+5n+3), 则DQ2=n2+(-n2+5n+3)2=PC2=n2+(-n2+2n)2, 解得n=-1(舍去)或(舍去)或. 综上所述,点P的横坐标为1或1.5或. 3.解:(1)令x=0,则y=3,可得点C的坐标为(0,3). 令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x=-1或x=3. ∴点B的坐标为(3,0). 设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b, ∴解得 ∴直线BC对应的函数表达式为y=-x+3. (2)不存在实数m使得y1+2y2=10.理由如下: 把点M(m,y1),N(m+2,y2)代入y=-x2+2x+3, 可得y1=-m2+2m+3,y2=-(m+2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3, ∴y1+2y2=-m2+2m+3+2(-m2-2m+3)=-3m2-2m+9. 当y1+2y2=10时,即-3m2-2m+9=10, 整理可得3m2+2m+1=0. ∵Δ=4-12=-8<0,∴方程没有实数根, ∴不存在实数m使得y1+2y2=10. (3)m=或m=. 提示:如图,过点N作NH∥y轴,交x轴于点H,交BC于点N',过点P作PQ⊥NH,垂足为Q,作MM'∥y轴,交BC于点M', 则MM'∥NN'. 当x=1-m时,y=-(1-m)2+2(1-m)+3=-m2+4, ∴P(1-m,-m2+4). ∵N(m+2,-m2-2m+3), ∴Q(m+2,-m2+4), H(m+2,0),N'(m+2,-m+1), ∴NQ=PQ=|2m+1|, BH=HN'=|-m+1|, ∴∠PNQ=∠BN'H=45°, ∴PN∥BC,∴△MDE∽△MNP, ∴()2=,∴MD=MN,即MD=ND. ∵MM'∥NN',∴△MM'D∽△NN'D, ∴==,即MM'=NN'. ∵M(m,-m2+2m+3),N(m+2,-m2-2m+3), N'(m+2,-m+1), ∴M'(m,-m+3),NN'=m2+m-2, ∴MM'=-m2+3m,∴-m2+3m=m2+m-2,即m2-m-1=0, 解得m=或m=. 4.解:(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3得 解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3. (2)如图,过点M作 ED∥y轴,过点C作 CD⊥DE 于点D,过点N作NE⊥DE于点E. ∵CM⊥MN,∴∠CMN=90°. ∵∠CMN=∠NEM=∠CDM=90°, ∴∠DCM+∠CMD=∠CMD+∠NME=90°, ∴∠DCM=∠NME,∴△CDM∽△MEN, ∴=. 设点M的坐标为(m,m2-2m-3). 在y=x2-2x-3中,令x=0得y=-3,∴C(0,-3). ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴抛物线的对称轴为直线x=1, ∴DM=m2-2m-3-(-3)=m2-2m,NE=m-1. ∵tan∠MCN=,∴==,∴=, 解得m1=(此时点M的纵坐标小于-3,舍去),m2=, ∴点M的坐标为(,-). (3)如图,过点M作 MH∥y轴交BC于点H,作 PG⊥HM于点G. ∵OC=OB=3,∴∠OCB=∠OBC=45°. ∵MH∥y轴,∴∠PHG=∠OCB=45°. ∵AC∥PM,∴∠ACP=∠CPM, ∴∠ACO+∠OCB=∠PHG+∠PMH, ∴∠ACO=∠PMH, ∴tan∠PMH=tan∠ACO==, ∴=,∴GM=3PG. 又∵∠PHG=45°,∴PG=HG,∴HM=HG+GM=4PG, ∴PM==PG, ∴==,∴PM=HM. 设M(m,m2-2m-3), 由B(3,0),C(0,-3)得直线BC的表达式为y=x-3, ∴H(m,m-3),∴HM=m-3-(m2-2m-3)=-m2+3m, ∴PM=(-m2+3m)=-(m-)2+. ∵-<0,∴当m=时,PM有最大值,最大值为, 此时M(,-). 学科网（北京）股份有限公司 $