重点专题精练：二次函数-2026年中考数学专项

**基本信息** 以二次函数概念性质为核心，通过分层题型构建“性质应用—图象综合—实际建模—创新拓展”的方法体系，逻辑链清晰，突出抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|单选1-5、填空11-12|顶点式/交点式设解析式、对称轴与增减性关联|从解析式到图象性质，建立“系数—图象—性质”推导链| |图象综合|单选6-10、填空13-14|函数值比较、函数与方程转化、新定义迁移|融合一次函数/几何图形，强化数形结合与推理意识| |实际应用|解答19-21|坐标系建模、最值计算|实际问题抽象为二次函数模型，培养应用意识| |创新拓展|填空15-16、解答22|动态几何翻折、距离公式综合|结合跨知识模块，提升批判性思维与创新意识|

重点专题精练：二次函数-2026年中考数学专项 一、单选题 1．（2026·陕西安康·模拟预测）已知抛物线与轴无交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围为（　　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽淮北·模拟预测）如图，二次函数的图象所在坐标系的原点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（2026·河南三门峡·一模）已知关于的二次函数 的图象上有三个点：，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表所示，下列说法错误的是（    ） x … 0 1 … y … m m … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 6．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某班为了举办活动准备做一个拱形门，要在拱形门的，，，，处粘贴装饰物，拱形门的形状近似一个抛物线形，如图在平面直角坐标系中，，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·二模）新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西西安·三模）已知二次函数，当x分别取、时，对应的函数值为、，若，则下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·山东菏泽·二模）如图，二次函数图象的对称轴是直线，若该图象与轴交点的纵坐标是2，与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②方程中一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（25-26九年级下·湖北十堰·自主招生）阅读材料：已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式计算．例如：求点到直线的距离．其中，，所以点到直线的距离为，根据以上材料，有下列结论： （1）点到直线的距离是； （2）直线和直线的距离是； （3）抛物线上存在两个点到直线的距离是； （4）若点P是抛物线上的点，则点P到直线距离的最小值是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）请写出一个二次函数的表达式______，使它满足以下两个条件：①图象经过原点；②函数的最大值为3． 12．（2026·江苏泰州·二模）数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为，花圃的面积为．则S关于x的函数表达式为______，当______时，S可以取得最大值． 13．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 14．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 15．（2026·湖北襄阳·一模）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 请回答下列问题： （1）________； （2）当时，则的长度为______． 16．（2026·安徽合肥·二模）已知点，在函数图象上，且，，，请探究下列问题： （1）若，则与的大小关系为_________（填“”，“”或“”）； （2）若方程有3个不同的实数根时，则实数t的取值范围为_________． 三、解答题 17．（2026·云南曲靖·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（常数）的图像经过坐标原点． (1)求的值； (2)若点与在二次函数（常数）的图像上，设．求的值． 18．（2026·浙江台州·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线． (1)直接写出新抛物线的解析式： ． (2)直线（）与新抛物线交于点，与原抛物线交于点，当线段时，求的值． (3)点在原抛物线上，点在新抛物线上，若且，求的取值范围． 19．（2026·陕西安康·模拟预测）大西北地区主要用风力发电，电力运输也是非常重要的设备．如图1，在一片戈壁滩上每隔50米安装一个输电铁塔，塔腿和塔身共高25米，在塔顶端安装一个高米的塔头用于安装输电线路，在两塔之间安装高压输电电缆，电缆形状类似于抛物线，为了安全起见，电缆距离地面最低处为20米．如图2，，，为塔头顶端，以地面水平线为轴，过的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求过点，的抛物线的函数表达式． (2)在抛物线和下方安装一根低压输送电缆，电缆形状为抛物线，且米，低压输送电缆最低处距离地面11.5米，在距离低压输送电缆最低处水平距离25米处的两侧垂直于地面安装两个绝缘支架固定，不改变电缆自然形状，安全部门要求安装支架需与高压电缆保持5米以上的距离，问安装支架是否符合安全距离要求． 20．（2026·安徽宣城·二模）抛物线与轴的两个交点为，，且与轴交点的纵坐标为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，若是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点．当时，求点的横坐标； (3)针对上述抛物线的特征，小宇发现这样的一个结论：若抛物线经过抛物线的顶点，则抛物线的顶点也在抛物线上．你认为他发现的这个结论正确吗？请说明理由． 21．（2026·内蒙古通辽·二模）综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 22．（2026·江苏宿迁·一模）如图1，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点，并且点的坐标为． (1)求的值； (2)当时，二次函数的最大值是3，求的值； (3)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上运动．过点作轴的垂线，与直线相交于点，与二次函数的图象相交于点，连接，将沿翻折，的对应点为．问在点的运动过程中，点能否落在轴上？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《重点专题精练：二次函数-2026年中考数学专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A D B A C C C 1．C 【分析】根据题意，得到，对称轴与轴的交点的横坐标，进行求解即可. 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵抛物线与轴无交点，且当时，随的增大而减小， ∴， 解得. 2．B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 3．B 【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴，与y轴交点坐标为，即可得到所在坐标系的原点． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，，与轴交点为 ∴点是坐标原点． 4．A 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算三个点到对称轴的距离，即可比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数为 ，， ∴抛物线开口向下， 对称轴为：直线， 开口向下的二次函数中，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， 点到对称轴距离为：， 点到对称轴距离为：， 点到对称轴距离为：， ∵ ， ∴． 5．D 【分析】由题意可知，当和时，函数值都是m，得到对称轴，结合的函数值可判定图象开口，根据函数增减性可判定C选项，结合函数图象的对称性得到当和时，函数值相等，可判定D选项，由此即可求解． 【详解】解：∵的函数值与的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为 ，故A选项正确，不符合题意； ∵时，，时，， ∴抛物线的开口向下， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，即时，y随x的增大而增大， ∴B，C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当和时，函数值相等， 即时，， ∴D选项错误，符合题意． 故选：D． 6．B 【分析】根据顶点式设抛物线解析式，代入已知点坐标求出参数；再将点D的横坐标代入解析式求纵坐标，点C到的距离即为该纵坐标与到顶点距离的和． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵，且点B与点C关于y轴对称， ∴将点代入解析式，得， 解得， ∴ 抛物线解析式为． ∵，且点A与点D关于y轴对称， ∴点D的横坐标为，代入解析式得， ∴ 点D的纵坐标为， 点C到的距离为． 7．A 【分析】先求出两个二次函数的顶点坐标，再利用新定义列出不等式，根据题意求出n的取值范围． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， 根据新定义可知， ∴， ∵无论m取任何实数，不等式恒成立， ∴． 8．C 【分析】先表示出函数的对称轴为，然后分和两种情况讨论，根据当开口向上时，距离对称轴越远，其函数值越大，当开口向下时，距离对称轴越远，其函数值越小，从而确定正确选项． 【详解】解：∵， ∴对称轴为， 当时，函数图象开口向上， ， ∴，即， ∴； 当时，函数图象开口向下， ， ∴，即， ∴； 两种情况都满足，所以选项C正确． 9．C 【详解】解：①∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，且对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴方程中一定有一个根在和之间， 故②错误； ③∵函数图象经过， ∴， 抛物线的顶点纵坐标为， ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间， ∴当时，； 当时，， 解得， ∴， 即， ∵， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根， 故③正确； ④∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确的选项有①③④，共3个． 10．C 【分析】利用给定的点到直线距离公式，逐一验证四个结论即可． 【详解】解：（1）直线中，，点为，代入距离公式得：，故（1）正确； （2）直线与平行，在上取点，计算该点到的距离：，故（2）错误； （3）设抛物线上点，满足，若点到距离为，则：，代入得，即， ∵恒成立， ∴，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故存在两个点，（3）正确。 （4）设平移得，当该直线与抛物线相切时，两平行线的距离即为所求最小值， 联立， 整理得， 当直线与抛物线相切时，， 解得，即切线为， 取上点，则距离， ∴距离最小值为，故（4）正确。 综上所述，正确结论共3个． 11．（答案不唯一） 【分析】根据题目条件，图象过原点可得常数项为，函数存在最大值可知二次项系数小于，且顶点纵坐标为，据此确定系数即可得到符合要求的二次函数． 【详解】解：设二次函数表达式为， 二次函数图象经过原点， 将代入得， 函数有最大值， 开口向下，即，且顶点纵坐标为， 将代入得， 令，则， 解得：， 满足条件的二次函数可以为（答案不唯一）． 12． 【详解】解：墙的一面不需要栅栏，栅栏只需要围三边， 与墙平行的一边长为， ， ， 时，可取最大值，为． 13． 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 14． 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 15． 13 【分析】（1）如图1，作，在上取点H，使，连接，，，当时，动点Q运动到点H的位置，得到，当点Q运动到点G的时候，最小为81，，再由勾股定理求出m的值； （2）求抛物线的解析式，将代入即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点P作于G，在上取点H，使，连接，，， ∵， ∵当时，动点Q运动到点H的位置， 则由题意和图象可知， 当点Q运动到点G的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ； （2）由（1）得：， ∴，， ， 当时，点Q运动到点B，则， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴顶点坐标为， 当，即点Q在A点时， ∴， ∴点C的纵坐标为250， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴（负值舍去）． 16． 【分析】（1）根据题意可得点，在函数图象上，再由二次函数的性质解答即可； （2）画出函数图象，利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴点，在函数图象上， ∵， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴该函数图象开口向下， ∴该函数图象上距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴A点横坐标离对称轴的距离大于B点横坐标离对称轴的距离， ∴； （2）由（1）得：函数的顶点坐标为， 如图， ∵方程有3个不同的实数根， ∴直线与函数图象有3个交点， 观察图象得：此时实数t的取值范围为． 17．(1) (2) 或或 【分析】（1）把原点的坐标代入解析式即可求出的值； （2）把点与的坐标代入二次函数中，可得：或，从而可得：或或，分情况代入求值即可． 【详解】（1）解：二次函数（常数）的图像经过坐标原点， ， 解得：； （2）解：由（1）可知二次函数的解析式为 点与在二次函数, 可得：， 可得：， 整理得：， 可得：， 或， 可得：， 整理得：， 当时， 可得：， 二次函数的图象过点， 可得：， 解得：或， 当时， 可得：； 当时， 可得：； 当时， 可得：； 综上所述，或或． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据题意可得点，点，从而得到，再由，即可求出m的值； （3）根据题意可得，，从而得到，再由二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； （2）解：直线（）与新抛物线交于点，与原抛物线交于点， ∴点，点， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； （3）解：∵点在原抛物线上，， ∴， ∵点在新抛物线上， ∴， ∴， 即， ∵， ∴时，h取得最小值，最小值为， ∵，且， ∴当时，此时h取得最大值，最大值为17， ∴h的取值范围为． 19．(1) (2)符合 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）根据待定系数法，求出抛物线的表达式，从而求出绝缘支架的高度，再计算距离高压电缆的高度，比较即可． 【详解】（1）解：由题可知，（米），则，，最低点坐标为， 则设抛物线的函数表达式为， 过， ，解得， 过点，的抛物线的函数表达式为； （2）解：符合，理由如下： 由题可知，（米），则，，最低点坐标为， 则设抛物线的函数表达式为， 过， ，解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， （米），则米米， 安装支架符合安全距离要求． 20．(1) (2)或或或 (3)结论正确，理由见解析 【分析】（1）使用待定系数法求函数表达式即可； （2）先求出直线的函数表达式为，设点，则点，从而得到，因此，分别求解即可； （3）先计算出抛物线的顶点的坐标为，将点代入的表达式可得，进而求出抛物线的顶点的坐标为，代入的表达式可知，点也在抛物线． 【详解】（1）解：由题意可知，点的坐标为， 将点，，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，即， 当时， 整理，得， 解得或； 当时， 整理，得， 解得或； 综上所述，点的横坐标为或或或； （3）解：结论正确，理由如下： ， ∴抛物线的顶点的坐标为， 将点代入，得， ， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点的坐标为， 将代入，得， ∴点也在抛物线上． 21．(1) (2)①灯饰与其水中倒影之间的距离为米； ②甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①由抛物线的对称性得，然后把其代入解析式求解点的纵坐标，即可求出灯饰与其水中倒影之间的距离； ②先求出甲型灯笼到的距离，再由点与之间的距离即可得到甲型灯笼的悬挂点即为点；接着求出2盏乙型灯笼到的距离，再求出它们到的距离，代入解析式即可求解乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离． 【详解】（1）解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将，，代入， 得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：①由抛物线的对称性得， 当时，， ∴灯饰与其水中倒影之间的距离为（米）； ②解：由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，点与之间的距离为（米）， 甲型灯笼的悬挂点即为点， 甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米； 由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，与之间的距离为米， 该悬挂点到的距离为（米）， 令，解得或， 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 综上，甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 22．(1) (2)或 (3)点的坐标为或时，点能否落在轴上． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分两种情况讨论即可求解； （3）利用折叠的性质、平行线的性质求得，推出，再利用勾股定理、分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点， ∴， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，二次函数的最大值是3，且， ∴该区间不包含对称轴， 分两种情况讨论： ①当区间在对称轴左侧时，即， 此时函数在区间上单调递增，最大值在处取得， ∴， 解得，， ∵， ∴； ②当区间在对称轴右侧时，即，解得， 此时函数在区间上单调递减，最大值在处取得， ∴， 解得，， ∵， ∴； 综上，或； （3）解：能，理由如下： 令，则， ∴， ∵点E的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m， ∴，， 若点Q落在y轴上， ∵点C在y轴上， ∴线段在y轴上， ∵轴，y轴轴， ∴轴，即， ∴(两直线平行，内错角相等)， 由翻折的性质可知，， ∴， ∴， ∴(等角对等边) ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ①当点N在点M上方时(即)： ∴， 由得：， 解得(舍去)，， ∵， ∴符合题意， 此时； ②当点M在点N上方时(即)： ∴， 由得：， 解得(舍去)，， ∵， ∴符合题意， 此时； 综上，点的坐标为或时，点能否落在轴上． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $